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UN MODELO DE COLOR – TRABAJO COLABORATIVO

RUTH STELLA OCHOA BOHÓRQUEZ

POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO ÁLGEBRA LINEAL BARRANCABERMEJA 2019

Competencia: Aplicar los conocimientos del álgebra lineal para interpretar situaciones y dar solución a cuestionamientos planteados en ellas, aplicando estrategias, recursos y un lenguaje adecuado. Indicadores:   

Interpreta y comunica relaciones entre los objetos matemáticos del álgebra lineal y un modelo de color, utilizando un lenguaje adecuado. Selecciona y utiliza los procesos matemáticos adecuados para resolver e interpretar las variaciones en un modelo de color. Justifica los distintos modos de razonamiento, procesos y conclusiones realizados para resolver una situación problema.

Actividad: 1. Deslice los botones hasta asignar valores a las variables a, b, c de manera 0 0 255 255 que obtenga los vectores ( 0 ) , (255) , ( 0 ) , (255). Describir el 0 255 0 255 resultado de color que se obtiene para cada uno. 255 Solución: Al reemplazar el vector ( 0 ) en el archivo de GeoGebra, se 0 obtiene color rojo como muestra la siguiente figura.

0 Al reemplazar el vector (255) en el archivo de GeoGebra, se obtiene color 0 verde como muestra la siguiente figura.

0 Al reemplazar el vector ( 0 ) en el archivo de GeoGebra, se obtiene color 255 azul como muestra la siguiente figura.

255 Al reemplazar el vector (255) en el archivo de GeoGebra, se obtiene color 255 blanco como muestra la siguiente figura.

2. ¿Cuál es el vector que representa el color amarillo? Solución: Tanteando un poco el programa, uno puede notar que al usar todo el color rojo y todo el color verde se obtiene el color amarillo. Es decir, el vector 255 que representa el amarillo es (255), como se ve en la siguiente figura. 0

51 Hay otro vector que también representa el color amarillo, este es (255). De 0 hecho hay bastantes vectores que permiten obtener amarillo.

3. En las casillas resaltadas con negro, asignar valores reales entre 0 y 1, con cuatro cifras decimales. ¿Qué cambios en el color produce la multiplicación de un vector por un escalar? Solución: Luego de revisar el programa, uno puede notar que si dos escalares son 0 y el otro varía entre 0 y 1 entonces se cambia la opacidad o tonalidad del vector resultante. Es decir, la multiplicación por un escalar hace que el color se

vuelva más claro o más oscuro. Si tomamos números cercanos a 0, el color se vuelve más oscuro y para números cercanos a 1, el color se vuelve más claro. 4. Describir el proceso matemático que se usa para obtener cualquier color a 0 0 255 partir de los vectores ( 0 ) , (255) , ( 0 ). 0 255 0 𝑥 Solución: Si se quiere encontrar un color cualquiera (𝑦) para 𝑥, 𝑦, 𝑧 entre 𝑧 0 0 255 valores 0 y 255 a partir de los vectores ( 0 ) , (255) , ( 0 ). Basta con 0 255 0 𝑥 0 0 255 encontrar escalares 𝐶, 𝐶2 , 𝐶3 tal que 𝐶1 ( 0 ) + 𝐶2 (255) + 𝐶3 ( 0 ) = (𝑦). 𝑧 0 255 0 Notemos que dado que las variables 𝑥, 𝑦, 𝑧 se mueven solo entre 0 y 255 los escalares 𝐶1 , 𝐶2 , 𝐶3 debes ser tomados entre 0 y 1. 𝑎 5. Seleccione un vector (𝑏 )cuyas componentes sean valores numéricos entre 𝑐 0 y 255 e identifique el color correspondiente en la sección Configurar Colores. ¿Es posible obtener el color seleccionado como resultado de mezclar tonalidades de los colores correspondientes a los vectores 0 0 255 ( 0 ) , (255) , ( 0 ), esto es, ¿existen valores 𝐶1 , 𝐶2 , 𝐶3 tal que 0 255 0 𝑎 0 0 255 𝐶1 ( 0 ) + 𝐶2 (255) + 𝐶3 ( 0 ) = (𝑏 ). 𝑐 0 255 0 Solución: Escojamos 𝑎 = 51, 𝑏 = 105.5, 𝑐 = 0. Entonces se obtiene el color naranja como se muestra en la siguiente figura.

De manera que 𝐶1 =

51 1 105.5 0 = = 0.2, 𝐶2 = = 0.4137, 𝐶3 = = 0. 255 5 255 255

Ahora, si reemplazamos 𝐶1 , 𝐶2 , 𝐶3 en componer colores, se puede observar que recuperamos el color naranja.

𝑎 Para cualquier vector (𝑏 ) cuyas componentes sean valores numéricos entre 0 𝑐 y 255, siempre es posible encontrar escalares 𝐶1 , 𝐶2 , 𝐶3 ya que la ecuación 𝑎 0 0 255 𝐶1 ( 0 ) + 𝐶2 (255) + 𝐶3 ( 0 ) = (𝑏 ) 𝑐 0 255 0 𝑐1 𝑎 𝑐 se puede escribir en la forma 𝐴𝑋 = 𝑌, donde 𝑋 = ( 2 ), 𝑌 = (𝑏 ) y 𝑐3 𝑐 255 𝐴=( 0 0

0 255 0

0 0 ) 255

con determinante igual a 2553 ≠ 0. 6. ¿Existen valores reales 𝐶1 , 𝐶2 , 𝐶3 que permitan generar cualquier color a 0 60 255 partir de los vectores ( 0 ) , (255) , ( 0 ). ? 195 255 0 Solución: Considere la siguiente matriz

255 𝐴=( 0 0

0 255 195

60 0 ) 255

Calculemos su determinante. det(𝐴) = 255 det (

255 195

0 ) = 255(2552 − 195(0)) = 2553 ≠ 0. 255

Como det(𝐴) ≠ 0, 𝐴 es invertible y tiene rango 3. Luego los vectores generan todo el espacio, es decir, la respuesta es SÍ, cualquier color se puede escribir como una combinación lineal de los vectores columna de la matriz 𝐴. 7. ¿Qué características debe cumplir la matriz para que no altere el color original? 𝑎 Solución: Dado un vector 𝑋 = (𝑏 ), buscamos una matriz 𝐴 tal que se 𝑐 mantenga el color, es decir, tal que 𝐴𝑋 = 𝑋. Por tanto, 1 𝐴 = (0 0

0 0 1 0). 0 1

La matriz que hace esto es la matriz identidad.

8. ¿Qué características debe cumplir la matriz para modificar sólo el componente rojo?, ¿sólo el verde? y ¿sólo el azul? 𝑎 Solución: Dado un color cualquiera 𝑋 = (𝑏 ), si queremos modificar una sola 𝑐 componente del vector, las otras componentes se deben eliminar al hacer la

multiplicación por la matriz en cuestión. De modo que las columnas de la matriz que no corresponden a la componente que queremos modificar deben ser cero. En efecto, las matrices 𝑐1 𝐴 = (𝑐2 𝑐3

0 0 0 0 0) , 𝐵 = (0 0 0 0

𝑒1 𝑒2 𝑒3

0 0 0 ) , 𝐶 = (0 0 0

0 𝑑1 0 𝑑2 ) 0 𝑑3

Modifican el rojo, el verde y el azul respectivamente para cualesquier escalares 𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 , 𝑑1 , 𝑑2 , 𝑑3 , 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 entre 0 y 1, con el cuidado de que la suma de ellos no se pase de 1 y obtengamos valores entre 0 y 255. 1 1 1 9. Dada la matriz 𝐴 = (0 1 1) ¿cuál es el vector asociado al color original 0 0 1 de tal manera que el color final sea el blanco? Solución: Como ya hemos visto, el color blanco está dado por el vector 𝑎 255 (255). Entonces buscamos un vector (𝑏 ) tal que 𝑐 255 1 1 (0 1 0 0

1 𝑎 255 𝑏 1) ( ) = (255). 1 𝑐 255

Como la matriz 𝐴 es triangular inferior, podemos proceder por eliminación de Gauss y obtener 𝑐 = 255 entonces 𝑏 + 𝑐 = 255 implica que 𝑏 = 0 y 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 255 implica que 𝑎 = 0. Es decir, el color azul ( 0 ) es transformado por la 255 matriz 𝐴 en el color blanco.