• Author / Uploaded
• jen kunieda

• Categories
• Movimiento (física)
• Cantidad
• Física y matemáticas
• Física
• Ingeniería mecánica

Citation preview

43

MECANICA DE FLUIDOS Ing. Joaquin Serrano Choto

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

UNIDAD IV TURBOMAQUINARIA Para cambiar la dirección ó magnitud de la velocidad de un fluido, es necesario aplicar una fuerza. Cuando un alabe móvil desvía una corriente de fluido, cambiando así su cantidad de movimiento, se generan fuerzas entre el alabe y el chorro, estas fuerzas desarrollan un trabajo cuando se desplazan junto con el álabe, el funcionamiento de las turbo máquinas se basa en este principio. Las bombas, ventiladores y los compresores ya sean axiales ó centrífugos, aumentan la energía del fluido al efectuar trabajo continuamente sobre él. Las turbinas hidráulicas (De impulso, de Francis, y de hélice), las de vapor y las de gas extraen continuamente energía del fluido y la convierten en Par aplicado a una flecha que gira. Para el adecuado diseño de las turbo máquinas se requiere tanto de la teoría como de la experimentación; un buen diseño correspondiente a un tamaño de turbo máquina y a una velocidad determinada puede adaptarse con facilidad a otros tamaños y velocidades de máquinas geométricamente semejantes aplicando para ello la teoría de modelos. En esta sección primero se estudiarán las relaciones de semejanza mediante los conceptos de unidades homologas y velocidad específica. UNIDADES HOMOLOGAS Para utilizar modelos a escala en el diseño de turbo máquinas es necesario tener, además de la semejanza geométrica entre modelo y prototipo, diagramas vectoriales de velocidad geométricamente semejantes a la entrada ó a la salida de los rodetes impulsores. Para satisfacer estas dos condiciones los efectos de la viscosidad deben ser despreciados. Cuando dos unidades son geométricamente semejantes y tienen diagramas vectoriales de velocidad iguales se dice que las unidades son "homologas". Las líneas de corriente en dos unidades homologas son también semejantes. V

VR v

 

u Rodete

Alabe

u = Velocidad de un punto sobre el rotor. v = Velocidad relativa del fluido respecto al alabe. V = Velocidad absoluta del fluido al salir del impulsor (Suma vectorial de v y u). VR = Componente radial de V, y proporcional a Q.  = Angulo que forman V y u.

 = Angulo del álabe. Para que exista semejanza geométrica entre dos unidades, el ángulo las líneas de corriente sean semejantes, el Angulo

 debe ser el mismo en ambas, y para que

 debe ser el mismo en ambos flujos.

Es conveniente expresar el hecho de que el ángulo  debe ser el mismo en cualquiera de una serie de turbo máquinas homologas entre sí, relacionando la velocidad de rotación "N", el diámetro del impulsor "D" (ó alguna longitud característica) y el caudal "Q".

 constante, VR es proporcional a V (VR = V Sen ) y "u" es proporcional a VR, por tanto la condición para que  sea constante en una serie de unidades homologas se puede expresar como: Para

VR  Const. u

(I)

44

MECANICA DE FLUIDOS Ing. Joaquin Serrano Choto

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

El caudal Q es proporcional a VR D2 pues el área de cualquier sección transversal es proporcional a D 2, y la u velocidad de rotación N es proporcional a . D Q  Const. Al sustituir estos valores en la ecuación (I) obtenemos: (II) N D3 Que expresa la condición mediante la cual unidades geométricamente semejantes son homólogas. El caudal Q a través de unidades homólogas se puede relacionar con la carga H y con el área de una sección transversal representativa A, mediante la fórmula de orificios: Q  Cd A 2 g H Cd = Coeficiente de descarga Dado que A  D 2 la ecuación (II) se puede escribir como:

Al eliminar Q de las ecuaciones (II) y (III) obtenemos:

Q

D

2

H

 Const.

H  Const. D2 N 2

(III)

(IV)

Las ecuaciones (III) y (IV) son de gran utilidad cuando se determinan las características de operación de una máquina a partir de las características de una máquina homologa de diferente tamaño y velocidad. VELOCIDAD ESPECÍFICA La velocidad específica de una turbo máquina es una constante que se utiliza ampliamente para seleccionar el tipo de unidad y también en diseños preliminares. Generalmente se define de forma diferente para bombas y turbinas. La velocidad específica (Ns) de una serie de bombas homologas se define como la velocidad de cierta unidad de la serie de tal tamaño que descarga la unidad de caudal operando contra la unidad de carga. Si eliminamos D de las expresiones (II) y (IV), y simplificamos obtenemos:

N Q

 Const. (V) 3 H4 Por definición de velocidad específica, la constante de la ecuación anterior es N s, la cual es la velocidad de N Q NS  una máquina para Q = 1 y H = 1 por tanto: (VI) 3 H4 La velocidad específica de una serie generalmente se define para el punto de máxima eficiencia, es decir para la velocidad, el caudal, y la carga correspondiente a la eficiencia máxima. La velocidad específica de una serie de turbinas homólogas se define como la velocidad de una máquina de tamaño tal que produce la unidad de potencia operando bajo la unidad de carga. Como la potencia P es p proporcional a QH obtenemos:  Const. (VII) QH Los términos D y Q se pueden eliminar de las ecuaciones (II), (IV), y (VII) obteniendo como resultado: N P  Const. (VIII) 5 H4 Para la unidad de potencia y la unidad de carga, la constante de la ecuación (VIII) es la velocidad específica N P de toda la serie: NS  (IX) 5 H4 Mediante las ecuaciones (VI) y (IX) se puede calcular la velocidad específica de una máquina que se necesita para una carga y caudal dados.

45

MECANICA DE FLUIDOS Ing. Joaquin Serrano Choto

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Para bombas que manejan grandes caudales con cargas bajas se requiere de una velocidad específica alta; para una turbina que opere bajo una carga grande produciendo una potencia relativamente pequeña (Caudal pequeño), la velocidad específica es baja. Las bombas centrifugas tiene velocidades específicas bajas, las bombas de flujo mixto tienen velocidades medias, y las bombas de flujo axial tienen velocidades específicas altas. Las velocidades específicas de las turbinas de impulso son bajas, las de las turbinas Francis son intermedias y las de las turbinas de hélice son altas. TEORIA ELEMENTAL DE LA CASCADA Las turbo máquinas desarrollan trabajo sobre el fluido ó extraen trabajo de él, de manera continua al permitir que el fluido escurra a través de una serie de alabes móviles y posiblemente también fijos. Una serie de alabes semejantes dispuestos de forma simétrica en la periferia de un cilindro se denomina cascada. CASCADA

Alabe

Dado que las turbo máquinas son dispositivos rotacionales, el sistema de álabes se puede arreglar simétricamente sobre una circunferencia, tal como se muestra en la figura. Si el flujo se acerca en la dirección radial al sistema de álabes, su momento de cantidad de movimiento cambiara de cero a un valor que depende del caudal en masa, de la componente tangencial de la velocidad V T T  Q R VT desarrollada y del radio así.



Si se considera un sistema de álabes que giren con una velocidad angular w dentro de un sistema de álabes fijos como se muestra en la siguiente figura:

u

VR V

(a)

(b)

Con objeto de obtener una operación eficaz de todo el sistema, es importante que el fluido entre al sistema de álabes móviles con la mínima alteración posible en su movimiento, es decir tangencialmente como se muestra en la figura (b). Cuando la velocidad relativa no es tangente al álabe en su entrada se puede presentar separación de flujo, en estas condiciones, las pérdidas tienden a aumentar en forma rápida con el ángulo de la tangente y afectan radicalmente la eficacia de la máquina. Estas pérdidas se llaman "Pérdidas por choque ó por turbulencia". Una vez que el fluido sale de los álabes móviles generalmente tiene su velocidad alterada tanto en dirección como en magnitud, habiendo cambiado por tanto su momento de la cantidad de movimiento; este cambio corresponde ya sea que el fluido desarrolle trabajo sobre los álabes móviles ó a que estos efectuaron trabajo sobre el fluido. Para turbinas hay que hacer que el fluido entre sin choque y salga sin velocidad. El diseño de turbo máquinas tiene por objeto acomodar y dar forma apropiada a los álabes y a los conductos entre ellos para que la máquina resultante cumpla eficazmente su propósito.

46

MECANICA DE FLUIDOS Ing. Joaquin Serrano Choto

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

TEORIA DE LAS TURBOMAQUINAS En la teoría de las turbo máquinas, se desprecia la fricción y se supone que el fluido escurre perfectamente a través de la máquina, es decir como si lo hiciera a través de un número infinito de álabes imaginarios muy delgados, de tal manera que la velocidad relativa del fluido siempre sea tangente a los álabes de la máquina. Lo anterior se traduce en una simetría circular en el rodete y permite que la ecuación de momento de la cantidad de movimiento para flujo permanente adquiera la forma:

T

Q[(R VT )Sal  (R VT )Ent ]

(I)





Donde “T” es el par motor que actúa sobre el fluido en el volumen de control, ( Q VT R)Sal y ( Q VT R)Ent representan respectivamente el momento de la cantidad de movimiento que entra y sale del volumen de control. Para estudiar las relaciones que existen entre las diferentes velocidades en el álabe, generalmente se utilizan los diagramas vectoriales polares. V1

1

VR1

ENTRADA

FIGURA (a)

v1

V2

1

VR2

2

u1

v2

2 u2

SALIDA

Respetando la nomenclatura de los diagramas la ecuación (I) se transforma en: T  Q (R2 V2 Cos 2  R1 V1 Cos 1 )

  T   Q (R2 VU2  R1 VU1 )



(II)

 Q  m  Masa del fluido por unidad de tiempo a través de la máquina. Cuando T es positivo, el momento de la cantidad de movimiento del fluido aumenta al pasar por el rodete, como en el caso de una bomba, para T negativo, el momento disminuye como en el rodete de una turbina, cuando T = 0, es decir en conductos que no tienen alabes resulta R VU  const. lo que corresponde a un movimiento llamado "Vortice libre", en el cual la componente tangencial de la velocidad varía inversamente con el radio. RELACIONES DE CARGA Y ENERGIA Si multiplicamos la ecuación (II) por la velocidad angular " w" (rad/seg) del rodete se obtiene: T w  Q (wR2 VU2  w R1 VU1 )



Tw 

 Q (u2 VU2



 u1 VU1 )

(III)

Dado que P Q  H Q es el peso por unidad de tiempo a través de la máquina y la carga H es la energía potencial por unidad de peso, la potencia disponible de una turbina es HQ , si no se consideran las pérdidas. Análogamente el rodete de una bomba desarrolla una potencia QH  donde H es la carga sobre la bomba, el intercambio de potencia resulta: T w Q H (IV)



Si igualamos (III) y (IV) y despejamos H obtenemos: H 

u2 VU2  u1 VU1 g

El signo de la expresión (V) se cambia cuando se trata de una turbina. Para una bomba la carga real "H B" desarrollada está dada por: Para una turbina la carga real "HT" se define: Donde

HT 

H

eh

 H  Hp

HB 

(V) (Carga Teórica)

e

h

H  H  Hp

(VI)

(VII)

eh es la eficiencia hidráulica de la máquina y Hp representa todas las pérdidas internas de la máquina.

47

MECANICA DE FLUIDOS Ing. Joaquin Serrano Choto

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

La eficiencia global de la máquina se reduce aún más, debido a la fricción en los cojinetes, ó la fricción del fluido entre el rodete y la carcaza, y el fluido que circula alrededor del rodete sin pasar a través de él. Estas pérdidas no alteran las fórmulas de carga H. Las bombas generalmente se diseñan de tal manera que el momento angular del fluido a la entrada del Impulsor sea cero. u V Cos 2 H 2 2 En este caso obtenemos (VU1 = 0  1 = 90º). (VIII) g A su vez, las turbinas generalmente se diseñan de modo que el momento angular del fluido sea cero en la sección de salida del rodete para condiciones de máxima eficiencia. En este caso resulta (VU2 = 0 

2 = 90º).

H

u1 V1 Cos 1 g

(IX)

La ecuación de Bernoulli se puede escribir para una bomba teniendo en cuenta las ecuaciones (V) y (VI) así:  P V2   P V2  HB   2  2  Z2    1  1  Z1    2g    2g     

(X)

 (u V Cos 2 )  (u1 V1 Cos 1 )  HB   2 2   HP g   Donde se ha supuesto que todas las líneas de corriente que pasan a través de la bomba poseen la misma energía. Al emplear las relaciones entre la velocidad absoluta V, la velocidad relativa al rodete v, y la velocidad del rodete u se obtienen los diagramas vectoriales mostrados en la figura (a), si aplicamos la ley de cósenos obtenemos: (XI) v12  u12  V12  2 u1 V1 Cos 1 v22  u22  V22  2 u2 V2 Cos 2

Al eliminar las velocidades absolutas V 1 y V2 de estas ecuaciones y de la ecuación (X) obtenemos la ecuación de pérdidas:  u2  u2   v2  v2   P  P  H P   2 1    2 1    2 1   (Z2  Z1 )    2g   2g    

Es decir:

Las pérdidas consisten en la diferencia de carga centrifuga

HP 

 P v2   P v2  u22  u12   2  2  Z2    1  1  Z1     2g  2g   2g    

u22  u12 , y el cambio del flujo relativo. 2g

En ausencia de pérdidas el incremento de carga de presión es:

 P P H   2 1   

   (Z  Z )  2 1  

 u22  u12   v22  v12       2g    2g     

Es decir cuando se tiene flujo a través del rodete, el aumento de carga es igual a la carga centrifuga menos la diferencia en cargas de velocidad relativa. Cuando no existe flujo a través del rodete v1 y v2 son cero. Las mismas expresiones se obtienen para turbinas.

MECANICA DE FLUIDOS Ing. Joaquin Serrano Choto

48

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA La teoría matemática y los resultados experimentales han desarrollado soluciones prácticas de muchos problemas hidráulicos. En la actualidad muchas estructuras hidráulicas se proyectan y construyen solo después de haber efectuado un amplio estudio sobre modelos. La aplicación del análisis dimensional y la semejanza hidráulica permite al ingeniero organizar y simplificar las experiencias, así como el análisis de los resultados obtenidos. ANALISIS DIMENSIONAL El análisis dimensional trata de las relaciones matemáticas de las dimensiones de las magnitudes físicas y constituye otra herramienta muy útil de la moderna mecánica de fluidos. En toda ecuación que exprese una relación física entre magnitudes debe verificarse la igualdad al sustituir las magnitudes por sus valores numéricos y también por sus dimensiones. Entre las aplicaciones del análisis dimensional se puede mencionar: 1. Conversión de un sistema de unidades a otro. 2. Desarrollo de ecuaciones 3. Reducción del número de variables requeridas en un problema experimental. 4. Establecimiento de los principios para el diseño de modelos. DIMENSIONES Y UNIDADES En general todas las relaciones físicas utilizadas en mecánica se pueden expresar en función de las magnitudes fundamentales fuerza (F), masa (M), Longitud (L) y Tiempo (T). Las cuales se relacionan entre sí por la segunda ley de Newton: F  ma La segunda ley de Newton expresada a través de las dimensiones de las magnitudes que intervienen en ella, se ML escribe así: F  2  M L T 2 T En esta expresión se observa que solo tres de las cuatro dimensiones son independientes y la cuarta se determina por la ley anterior. El análisis es también un medio para determinar parámetros adimensionales tales como el número de Reynold, número de Froude, etc., mediante la agrupación de las magnitudes significativas reduciendo de este modo el número de variables que intervienen en el problema. En mecánica de fluidos se utilizan los siguientes métodos de análisis dimensional: 1. El método de RAYLEIGH 2. El método de BUCKINGHAM ó TEOREMA "".

METODO DE RAYLEIGH El método de análisis dimensional propuesto por Rayleigh se expresa en forma de una ecuación exponencial, en la cual las dimensiones de ambos lados de la ecuación deben ser homogéneas. Si A es alguna función de variables independientes A1, A2, A3, la ecuación funcional puede ser escrita en la siguiente forma general: A   (A1, A2, A3 ) De acuerdo al principio de homogeneidad dimensional esta ecuación puede expresarse así: A  K ( A1a , A2b , A3c ) K = Constante adimensional, la cual se determina ya sea por las características físicas del problema ó por mediciones experimentales. Los parámetros adimensionales son obtenidos primeramente por evaluación de los exponentes a, b, c, de tal forma que la ecuación es dimensionalmente homogénea y posteriormente agrupando al mismo tiempo estas variables con potencias iguales para formar los parámetros adimensionales.

49

MECANICA DE FLUIDOS Ing. Joaquin Serrano Choto

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

TEOREMA "" DE BUCKINGHAM

El teorema "" de Buckingham establece que en un problema físico en que se tengan "n" magnitudes ó variables que incluyan "m" dimensiones, las variables se pueden agrupar en "n -m" parámetros adimensionales independientes. En efecto sean A1, A2, A3, ..., An las magnitudes consideradas, como viscosidad, presión velocidad, etc. Se supone que todas estas cantidades son esenciales para resolver el problema, lo cual se puede expresar mediante la relación funcional: f (A1 , A2 , A3 ...An )  0 Si 1, 2, …, representan parámetros adimensionales que agrupan a las cantidades A 1, A2, A3, todas estas , incluyendo m dimensiones, el teorema de Buckingham establece la existencia de una ecuación de la forma: f (1 , 2 , 3, ...., n m )  0 El método para determinar los parámetros  consiste en seleccionar m de las n magnitudes A, con diferentes dimensiones de manera que contengan entre todas ellas las m dimensiones y emplearlas como variables repetidas al combinarlas con las magnitudes A restantes, formando así cada parámetro adimensional . Como ejemplo supóngase que A1, A2, y A3 contienen las dimensiones M, L, y T, no necesariamente en cada una de ellas, pero si en forma colectiva, entonces el primer parámetro adimensional seria: El segundo quedaría como:

2

1

Y

 A1X1 A21 A3Z1 A4

Y

 A1X2 A22 A3Z2 A5

Y así sucesivamente hasta el parámetro:

n  m  A1X

nm

Y

Z

A2n  m A3 n  m An

Los exponentes de estas expresiones deberán determinarse de tal manera que cada parámetro resulte adimensional. Se sustituyen las dimensiones de las magnitudes A y los exponentes de M, L, y T se igualan a cero por separado, formando así tres ecuaciones con tres incógnitas para cada parámetro

, pudiéndose determinar los

exponentes x, y, z, por tanto el parámetro . Si solo se tienen dos dimensiones, entonces se seleccionan dos de las cantidades A como variables repetidas, obteniéndose dos ecuaciones con dos incógnitas para cada parámetro . En muchos casos, el arreglo adimensional de algunas variables del problema se puede obtener por simple inspección, el caso más simple se tiene cuando dos cantidades poseen las mismas dimensiones, siendo el cociente de las dos un parámetro adimensional. PROCEDIMIENTO Los pasos a seguir en el análisis dimensional se pueden resumir en los siguientes: 1. Seleccionar las variables pertinentes, lo cual requiere conocer el fenómeno. A1, A2, A3, A4, A5 2. Escribir las relaciones funcionales f (A1 , A2 , A3 , A4 , A5 )  0 3. Seleccionar las variables repetidas (No se debe elegir la magnitud dependiente como variable repetida). Estas variables deben incluir todas las m dimensiones del problema. Generalmente se selecciona una variable que represente la escala geométrica del problema, otra que represente las condiciones cinemáticas y en la mayoría de los casos se selecciona una variable que se relacione con la masa ó la fuerza del sistema. 4. Escribir los parámetros

 en términos de los exponentes todavía desconocidos 1  A1X1 A2Y1 A3Z1 A4

5. Escribir para cada expresión como la anotada anteriormente, las ecuaciones en términos de los exponentes, de manera que la suma de ellos para cada dimensión sea cero. 6. Resolver las ecuaciones simultáneas resultantes. 7. Sustituir la solución del sistema de ecuaciones simultáneas en los parámetros  del paso Nº 4. 8. Establecer la relación funcional: f (1 , 2 , 3, ...., nm )  0 , ó escribir explícitamente para uno de los parámetros :

2

 (1 , 3 ,...., n m )

50

MECANICA DE FLUIDOS Ing. Joaquin Serrano Choto

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

SIGNIFICADO DE ALGUNOS DE LOS PARAMETROS ADIMENSIONALES Ciertos parámetros adimensionales obtenidos por medio de análisis dimensional son de importancia al interpretar resultados experimentales. Algunos de estos parámetros son: Número de Reynold, Número de Froude, y Número de Weber. NUMERO DE REYNOLD VD El número de Reynold es el cociente de las fuerzas de inercia entre las fuerzas viscosas: R 



Un valor crítico de este parámetro permite distinguir entre el flujo laminar y el flujo turbulento en un escurrimiento dado; por ejemplo en el flujo a través de un tubo. NUMERO DE FROUDE De la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de gravedad se obtiene el siguiente parámetro V V2 adimensional: , a la raíz cuadrada de este parámetro se le conoce como Número de Froude: F  gL gL En el caso de un flujo con superficie una libre, la naturaleza del flujo (Rápido ó tranquilo) depende de si el número de Froude es mayor ó menor que la unidad. Este parámetro resulta de gran utilidad en el cálculo de resaltos Hidráulicos y en el diseño de estructuras hidráulicas. NUMERO DE WEBER El número de Weber es el cociente de las fuerzas de inercia y las fuerzas de tensión superficial cuando el V2 L  numerador y el denominador se multiplican por "L": W 



Este parámetro es de gran importancia en el estudio de intercaras gas - líquido ó Líquido - líquido y también cuando estas intercaras se encuentran en contacto con una frontera sólida. SEMEJANZA HIDRAULICA Y MODELOS Como un medio auxiliar del diseñador frecuentemente, se llevan a cabo estudios sobre modelos de estructuras hidráulicas y de máquinas. Estos estudios permiten visualizar el flujo y hacen posible obtener ciertos resultados numéricos y parámetros de diseño útiles por ejemplo en la calibración de vertederos y compuertas, y en la determinación de tirantes hidráulicos. Si se ha de obtener resultados cuantitativos con suficiente aproximación de un estudio sobre modelos, entonces deberá existir semejanza dinámica entre modelo y prototipo, esta semejanza requiere: 1. Que se tenga semejanza geométrica exacta entre ambos sistemas. 2. Que la relación entre presiones dinámicas en puntos correspondientes sea una constante, este requisito se puede expresar también como una semejanza cinemática (Las líneas de corriente deben ser geométricamente semejantes) SEMEJANZA GEOMETRICA Existe semejanza geométrica entre modelo y prototipo cuando las relaciones entre todas las dimensiones correspondientes u homologas entre modelo y prototipo sean iguales, tales relaciones pueden escribirse así: Lm  LR Lp 2

Am L2m  Lm   2   L2R Ap Lp  Lp 

(Las áreas varían con el cuadrado de las longitudes)

3

L  Vm L3  m3   m   L3R  Lp  Vp Lp  

(Los volúmenes varían con el cubo de las longitudes)

La semejanza geométrica incluye la rugosidad superficial del modelo y del prototipo; si el modelo es la décima parte del prototipo en todas las dimensiones geométricas entonces las alturas de las rugosidades deberán guardar la misma relación.

MECANICA DE FLUIDOS Ing. Joaquin Serrano Choto

51

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

SEMEJANZA CINEMATICA Entre modelo y prototipo exista semejanza cinemática cuando: 1. Las trayectorias de las partículas móviles homologas son geométricamente semejantes. 2. Las relaciones entre las velocidades de las partículas homologas son iguales. VELOCIDAD Lm L Vm Tm L T   m  m  LR  TR  R Lp Vp Lp Tp TR Tp

ACELERACION Lm L am Tm2 L T2   m  m2  LR  TR2  R2 L ap Lp Tp TR p Tp2 CAUDAL L3m

Qm Qp



Tm L3p



L3m, L3P



Tm Tp

 L3R  TR 

L3R

TR

Tp SEMEJANZA DINAMICA Entre dos sistemas semejantes geométrica y cinemáticamente existe semejanza hidráulica si las relaciones entre fuerzas homologas en el modelo y prototipo son las mismas. Las condiciones requeridas para la semejanza completa se obtienen a partir de la segunda ley de Newton: F m a Las fuerzas que actúan pueden ser cualquiera de las siguientes o una combinación de las mismas: 1.

Fuerzas de presión (Fp):

Fp  P A  P L2

 L2 L2  L  FI  m a  ( L3 ) 2     L2 v 2 T2 T  3. Fuerzas de gravedad (FG): FG  m g   L3 g 2. Fuerzas de Inercia (FI):

 du  v 4. Fuerzas de Viscosidad (FV): FV     A     L2   v L dy L     FE  E A  E L2 5. Fuerzas Elásticas (FE): 6. Fuerzas de Tensión Superficial (FT): FT   L

Entre modelo y prototipo se desarrollan las siguientes relaciones de fuerzas:

 Fuerzas  Fuerzas

(FP  FI  Fa  FV  FE  FT )m (FP  FI  Fa  FV  FE  FT ) P



mm am mP aP

52

MECANICA DE FLUIDOS Ing. Joaquin Serrano Choto

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

RELACION DE FUERZAS 1. FI  FP

2 2  L  L  ( L3 ) 2  ( L ) 2 FI m a T   T   2 FP P A PL P L2

2.

ma

 du     A  dy  FI  FG



 L2 v2 v    L2 L

m a  L2 v 2 FI   FG m g  L3 g 4.

(Número de Euler)

FI  FV

FI m a   FV  A 3.

  2   FI   v FP P



FI  v L  FV 

(Número de Reynold)



FI v2  (Raíz cuadrada = Número de Froude) FG L g



FI  v2 (Número de Cauchy)  FE E

FI  FE FI m a  L2 v2   FE E A E L2 También:

FI v  FE E

(Número de Mach)



5.

FI  FT

m a  L2 v2 FI   FT L L



FI  v2 L  FE 

(Número de Weber)

Para obtener la similitud dinámica entre dos diagramas de flujo cuando actúan Todas las fuerzas, todas las relaciones de fuerzas independientes que pueden representarse, deberán ser las mismas en el modelo y el prototipo, así la similitud dinámica entre dos diagramas de flujo todas las fuerzas están actuando se expresan por medio de las siguientes simultaneas:

 FI  F  P

 F   I    m  FP

 FI  F  V

 F     I   (N R ) m  (N R ) P     m  FV  P

 FI  F  G

 F     I   (NF )m  (N F ) P     m  FG  P

 FI  F  E

 F   I    m  FE

 FI  F  T

 F     I   (NW )m  (NW )P     m  FT  P

   (N E ) m  (N E ) P  P

   (NC )m  (NC )P  P

53

MECANICA DE FLUIDOS Ing. Joaquin Serrano Choto

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

En casi todos los problemas de ingeniería las cinco ecuaciones anteriores no es necesario utilizarlas simultáneamente debido a: 1) Algunas de estas fuerzas pueden no actuar: 2) Algunas pueden tener una magnitud despreciable, dependiendo del problema que se trate. 3) Pueden oponerse otras fuerzas de una manera tal que se reduzca el efecto de ambas.

En cada nuevo problema de semejanza se hace necesaria una comprensión completa de los fenómenos de los fluidos para determinar cómo puede simplificarse satisfactoriamente el problema, por medio de la eliminación de las fuerzas que no son aplicables, despreciables ó de compensación. EFECTOS DE LA VISCOSIDAD Y RESISTENCIA AL FLUJO La viscosidad es la propiedad de los fluidos que ocasiona los esfuerzos cortantes en un flujo y constituye también uno de los medios para que se desarrollen las pérdidas ó irreversibilidades. Si no hubiera viscosidad no se tendría resistencia al flujo. FLUJO LAMINAR, INCOMPRESIBLE Y PERMANENTE ENTRE DOS PLACAS PARALELAS Las ecuaciones del movimiento de un fluido real se pueden desarrollar si se consideran las fuerzas que actúan sobre un pequeño elemento de fluido, incluyendo los esfuerzos cortantes generados por el movimiento mismo del fluido, y por la viscosidad. h U a

( L Y) Sen 

y

u

L dh

 dL

Analizando el caso general de un flujo permanente entre placas paralelas inclinadas, teniendo la placa superior una velocidad constante "U" como se muestra en la figura. El flujo entre dos placas fijas es un caso especial que se obtiene al hacer U = 0. Si en la figura la placa superior se mueve paralelamente a la dirección del flujo y existe una variación de presión en la dirección "L", el problema se puede analizar considerando un cuerpo libre en forma de una lámina delgada de ancho unitario. Si el flujo es permanente, la lámina se moverá con velocidad constante U. La ecuación del movimiento será:     d dP P y   P y  L y    L    L  yL    L y Sen   0 d L dy    

54

MECANICA DE FLUIDOS Ing. Joaquin Serrano Choto

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Al dividir toda la ecuación entre el volumen del elemento y simplificar obtenemos: d d dh  (P   h) (1) Donde se ha sustituido sen θ   dL dy d L

Como no existe aceleración en la dirección Y, el lado derecho de la ecuación no es función de Y. De está manera, se puede integrar fácilmente con respecto a Y, obteniendo:   Y d (P   h)  A (2) dL

 du   por Por otro lado, al sustituir la ley de Newton de la viscosidad      dy  

 en ecuación (2) resulta:

du 1 d A  (P   h) y  dy  d L 

Al integrar otra vez con respecto a Y: u 

1 d A (P   h) Y2  Y  B 2 d L 

Donde A y B son las constantes de integración. Para calcular dichas constantes se deben utilizar las Y0  u0 condiciones de frontera: Para Y  a  u U Obteniéndose: B = O

A eliminar A y B resulta:

U

u

Aa 1 d (P   h) a2  B 2 d L 

UY 1 d  (P   h) ( a Y  Y2 ) a 2 dL

(3)

Si las placas están en posición horizontal (h = const.), si no existe un gradiente de presión y elevación es decir si se tiene una distribución hidrostática de presión (P + h = const.), la distribución de velocidades resulta una línea recta. Para placas fijas U = O, obteniéndose en tal caso un perfil de velocidades Parabólico. El caudal a través de una sección transversal fija se obtiene integrando la ecuación (3) con respecto a Y: a Ua 1 d Q   u dy  Q   (P   h) a 3 (4) 2 12  d L 0 En el caso general, la velocidad máxima no se tiene en plano medio entre las dos placas. FLUJO LAMINAR A TRAVES DE TUBOS CIRCULARES Y ENTRE CILINDROS CONCENTRICOS Para estudiar el flujo laminar incompresible y permanente a través de un tubo circular ó entre dos cilindros concéntricos, se puede considerar como cuerpo libre un cilindro hueco de espesor infinitesimal y aplicar la ecuación de movimiento en la dirección L, con aceleración igual a cero.

R R

L 

55

MECANICA DE FLUIDOS Ing. Joaquin Serrano Choto

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

De la figura se puede escribir:   dP d 2RRP   2RRP  2RR L   2RL  2RL  (2RL) R  2RRL Sen   0 Si sustituimos dL  dR    dh ) y al dividir entre el volumen del cuerpo libre ( 2RRL ) se obtiene: Sen  por (  dL d 1 d (P   h)  ( R)  0 dL R dR

Como

(1)

d (P   h) no es función de R, la ecuación anterior se puede multiplicar por RR , e integrar con dL

respecto a R obteniendo:

R2 d (P   h)   R  A (2) , Donde A es la constante de integración. 2 dL

Para un tubo circular esta ecuación se debe satisfacer cuando R = 0; Para este caso se obtiene A = 0, al du sustituir:     (3) donde el signo menos es necesario para obtener el signo adecuado del término  en dR du la figura. (Se considera que u disminuye con R, siendo por tanto negativa.) dR du 

1 d A dR (P   h) R dR  2 d L  R

Una integración adicional da como resultado:

u

R2 d A (P   h)  Ln R  B 2 d L 

(4)

Para calcular A y B en el caso del flujo entre dos cilindros concéntricos, como los mostrados en la siguiente figura, se tiene

u = 0 para R = b (El radio del tubo interior) y u = 0 para R = a.

R=a R = b

Una vez que se ha sustituido A y B por sus respectivos valores calculados de la manera indicada:

1 d u  (P   h) 4 d L

    2 2 a  b a  a2  R2  Ln  b  R Ln   a  

(5)

Obteniéndose para el caudal entre los dos tubos de la figura: a

Q   2 R u dR   b



8

  ( a2  b2 )2 d (P   h)  a4  b4  a dL  Ln  b 

     

(6)

56

MECANICA DE FLUIDOS Ing. Joaquin Serrano Choto

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

TUBERIA CIRCULAR

Para tubo circular; A = 0 en la ecuación (4) y se tiene 2

 a R u     4

2

 d   d L (P   h) 

u = 0 para R = a, resultando:

(7)

La velocidad máxima Umax se presenta a lo largo del eje de simetría (R = 0) y se expresa mediante la ecuación:

Umax  

a2 d (P   h) 4 d L

(8)

Como la distribución de velocidades es un paraboloide de revolución, su volumen es igual a la mitad del volumen del cilindro que lo circunscribe; por lo tanto la velocidad promedio resulta ser la mitad de su velocidad máxima: a2 d V  (P   h) (9) 8 d L El caudal Q a través de del tubo es ( V  a2 ), es decir: Q  

 a4 8

d (P   h) dL

(10) 0

Este caudal también se puede obtener integrando la velocidad u con respecto al área: Q   2 R u dR a

Para un tubo horizontal h = const. La caída de presión P en el segmento “L” se puede expresar como:

P dP y sustituyendo en la ecuación (10), junto con D/2 en lugar de “a”, obtenemos:  L dL Obteniéndose para la velocidad promedio:

V

P D2

32  L

Q

P  D 4 128  L

(11)

(12)

De la ecuación (11) se puede despejar la caída de presión, la cual representa las pérdidas por unidad de volumen:

P 

128  L Q

D

4

(13)

En la última expresión se observa que las pérdidas varían directamente con la viscosidad, la longitud, y el caudal, e inversamente con la cuarta potencia del diámetro. Nótese además que la rugosidad del tubo no interviene en la ecuación. La ecuación (13) se conoce como "Ecuación de Hagen - Poiseville”. Los resultados obtenidos mediante las ecuaciones de la (1) a la (11) no son válidos en la región de la entrada a un tubo. Si el fluido entra al tubo desde un depósito a través de una entrada abocinada, la velocidad será al principio uniforme en toda la sección transversal. Dado que en la pared del tubo la velocidad debe ser cero, el fluido se ve frenado en la zona cercana a la pared debido a la acción del esfuerzo cortante. Teniendo en cuenta la ecuación de continuidad, se concluye que la velocidad deberá incrementarse en la región central del tubo por el efecto señalado anteriormente. RESISTENCIA AL FLUJO TURBULENTO El esfuerzo cortante en la pared del conducto de sección transversal constante a través del cual se tiene un  flujo Turbulento, Incompresible y Uniforme varía aproximadamente al cuadrado de la velocidad. 0   V 2 2 donde  es un coeficiente adimensional.

57

MECANICA DE FLUIDOS Ing. Joaquin Serrano Choto

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

En canales abiertos y en conductos cerrados de sección no circular, el esfuerzo cortante no es constante sobre la superficie en estos casos 0 se toma como el promedio del esfuerzo cortante en la pared. (1) (2)

z 

La figura muestra las fuerzas en dirección axial sobre un elemento de fluido en un conducto abierto. Al aplicar la ecuación de cantidad de movimiento al volumen de control que comprende al líquido entre las secciones (1) y (2) de la figura, bajo los supuestos hechos anteriormente da como resultado que no existe flujo neto de cantidad de cantidad de movimiento hacia afuera del volumen de control, indicando que se tiene equilibrio de fuerzas en la dirección del movimiento: (P1  P2 ) A   A Z  0 LPm donde Z  L sen  y Pm es el perímetro mojado del conducto, el cual se define como la parte del conducto donde las paredes se encuentran A en contacto con el fluido, es decir se excluye la superficie libre del líquido. El cociente se denomina Radio Pm Hidráulico (Rh) del conducto. Si P  P1  P2 entonces: P A  A Z  0 LPm  A(P   Z)  0 LPm

 0 

A (P  Z) LPm



Rh (P  Z) L



0

Rh



P  Z L



Al dividir toda la ecuación entre  y hacer Hf 

Hf L

S 

 V2 Rh 2g

P  Z L

P   Z





 V 2 2Rh

(Pérdidas por unidad de peso) se tiene:

donde "S" representa las pérdidas por unidad de longitud.

Al despejar "v" obtenemos: V 

2g



Rh S  V  C Rh S

Esta ecuación constituye la fórmula de "CHEZY", en la cual el coeficiente "C" de Chezy se pensó originalmente que era una constante para cualquier tamaño de conducto ó condición en la superficie de la pared. En la actualidad se emplean varias fórmulas para encontrar el valor de "C". f D Para tuberías donde   y Rh  , se obtiene la ecuación de Darcy - Weisbach: 4 4 L V2 Hf  f D 2g Esta ecuación se puede aplicar a canales abiertos en la forma:

V

8g f

Rh S

Con valores de "f" determinados de experimentos con tuberías. La ecuación de Darcy - Weisbach se utiliza generalmente en cálculos de flujo en tuberías. Hf es la pérdida de carga, ó caída de la línea de cargas piezométricas, a lo largo de la longitud "L", de la tubería de diámetro "D" y con la velocidad promedio " v". Las dimensiones de Hf son de longitud.

58

MECANICA DE FLUIDOS Ing. Joaquin Serrano Choto

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

El factor de fricción " f " es el factor adimensional necesario para que la ecuación produzca el correcto, valor de las pérdidas. Todas las variables de la ecuación de Darcy, excepto f se pueden determinar experimentalmente. Los experimentos indican que para flujo turbulento, las pérdidas de carga: 1- Varían directamente con la longitud de la tubería. 2- Varían aproximadamente con el cuadrado de la velocidad. 3- Varían aproximadamente con el inverso del diámetro. 4- Depende de la rugosidad de la superficie interior del tubo () 5- Depende de las propiedades de densidad y viscosidad del fluido. 6- Son independientes de la presión. Para tubos rugosos, el término



se conoce como "Rugosidad Relativa". D Nikuradse comprobó la validez de este concepto mediante sus experimentos con tubos de rugosidad artificial logradas con granos de arena.



los valores correspondientes a “f” contra NR quedan D incluidos en una sola curva, sin importar el diámetro real del tubo. Por tanto se pudo comprobar que para un Los experimentos indicaron que para cierto valor de

  tipo de rugosidad: f  f  NR ,   D  

DIAGRAMA DE MOODY L. F. Moody construyo una de las cartas más útiles para determinar ángulos de fricción en tubos comerciales limpios. Esta grafica constituye la base para los cálculos de tuberías. La carta es un diagrama que expresa el factor de fricción como factor de la rugosidad relativa ( /D) y del número de Reynolds. Los valores de rugosidad absoluta ( ) de los materiales más utilizados en la fabricación de tuberías generalmente aparecen enlistados en la esquina superior izquierda del diagrama de Moody. (Ver figura). La línea recta denominada flujo laminar corresponde a la ecuación de Hagen-Pouseville. 128  L Q Efectivamente la ecuación para flujo laminar en una tubería: P   D4 Se puede transformar sustituyendo P  hf y

hf 

128 L  Q

D  4



128  L Q 

   y despejando hf, obteniendo:

D4 g 

  D2   Sustituyendo: También Q  VA  V   4  32  L V(2V) 32  L V 64  V 2L 128  L V  D2 2V Multiplicando por obtenemos: hf   h   f DV 2g D 2V D2 g (2V)  D4 g 4 D2 g Pero:

NR 

DV





De donde se obtiene:

hf 

f

64 L V 2 NR D 2g

64 NR

De Darcy: hf  f

L V2 D 2g

(Flujo laminar).

La ecuación anterior representa una línea recta con pendiente (-1) en escalas logarítmicas, la cual se puede utilizar como solución para problemas de flujo laminar a través de tubos. Es aplicable para todas las rugosidades, ya que la pérdida de carga para flujo laminar es independiente de la rugosidad de la pared.

59

MECANICA DE FLUIDOS Ing. Joaquin Serrano Choto

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Se puede observar en el diagrama de Moody (ver figura) que las curvas correspondientes a rugosidades



 0.001 tienden a caer sobre la curva de tubos lisos al disminuir el número de Reynolds. D Esto se puede explicar por la presencia de una película laminar en la pared del tubo cuyo espesor disminuye conforme crece el número de Reynolds. Para ciertos rangos del número de Reynolds en la zona de transición, la película cubre completamente las proyecciones de las rugosidades pequeñas y el tubo posee un factor fricción igual al de tubos lisos. Para números de Reynolds mayores, algunas de las rugosidades a través de la película laminar producen turbulencia adicional que aumenta la pérdida de carga. En la zona llamada "Tubos rugosos, turbulencia completa", el espesor de la película es despreciable y cada rugosidad contribuye de lleno a la turbulencia. El diagrama de Moody es adimensional por lo cual se puede utilizar con cualquier sistema coherente de unidades. El diagrama de Moody puede utilizarse con tuberías de sección no circular sustituyendo el diámetro "D" por 4RH. En sustitución del Diagrama de Moody para calcular el factor de fricción “ f ” se puede utilizar la siguiente 1.325 formula: f 2    5.74   ln     3.7 D (NR ) 0.9 

relativas menores a

Esta ecuación es válida para.

10 6 

 D

 10 2

y

5000  NR  10 8

PROBLEMAS SIMPLES DE TUBERIAS Los casos de flujo simple en tuberías que son básicos para la solución de problemas más complejos son: TIPO DATOS DETERMINAR I Q, L, D, ,  hf II

hf, L, D, ,

 hf, L, Q, , 

Q

III D Los problemas del tipo I son los más sencillos ya que los datos proporcionados permiten una resolución de forma directa. Debido a que Q ó D son desconocidos en los problemas del tipo II y III el Numero de Reynolds se desconoce desde el principio, por lo que una solución directa es imposible, siendo necesario asumir un valor inicial de “ f ” y obtener la solución final mediante un proceso de tanteos. En cada uno de estos casos se utilizan, la ecuación de Darcy, la de continuidad, y el diagrama de Moody, para determinar la variable incógnita. Para la resolución de los problemas se recomiendan los siguientes procedimientos: PROBLEMAS TIPO I (Determinar Perdidas por Fricción) 1. Calcular la velocidad utilizando la ecuación de Continuidad (Q = VA). VD 2. Calcular el Numero de Reynolds ( NR  ). 3. Calcular Rugosidad relativa (

 D



).

 4. Con (NR ) y   obtener “ f ” de Diagrama de Moody. D  

Con “ f ” calcular perdidas por fricción utilizando La ecuación de Darcy: hf  f

L V2 D 2g

60

MECANICA DE FLUIDOS Ing. Joaquin Serrano Choto

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROBLEMAS TIPO II (Determinar Caudal) 1.

 2 g D hf Utilizando la ecuación de Darcy obtener una ecuación de “V” en función de “ f ”: V    L 

2.

Calcular (

3. 4.



 1    (I)   f  

) y asumir un valor de “ f ” en la curva correspondiente. D Con el valor de “ f ” Calcular la velocidad con ecuación (I). VD Calcular el Numero de Reynolds ( NR  ).



6.

 Con (NR ) y   obtener “ f ” de Diagrama de Moody D   Si el valor de “ f ” encontrado es diferente del asumido volver a paso Nº 3 y repetir el procedimiento hasta encontrar el valor correcto, que será cuando se repita el mismo valor de “ f ” en dos cálculos sucesivos.

7.

Con el último valor de velocidad calculado determinar el caudal utilizando la ecuación de continuidad.

5.

PROBLEMAS TIPO III (Determinar Diámetro) 1. 2.

 4Q   1   V    2    D  Sustituir la relación anterior en la ecuación de Darcy para obtener una ecuación de “D” en función de “ f ”. Utilizando la ecuación de Continuidad obtener una ecuación de “V” en función de “D”.

 8LQ2 D 2   gh f 

3. 4. 5. 6.

1

5 1  (f) 5   Asumir un valor de “ f ” y con las ecuaciones anteriores calcular “D” y “V”.  VD Determinar el Numero de Reynolds ( NR  ) y la rugosidad relativa   . D     Con (NR ) y   obtener “ f ” de Diagrama de Moody. D   Volver al paso Nº 3 y repetir el procedimiento hasta encontrar el valor correcto de “ f ” y el correspondiente diámetro.

61

MECANICA DE FLUIDOS Ing. Joaquin Serrano Choto

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

DIAGRAMA DE MOODY