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Mecánica de fluidos Prof. Wilmer Sucasaire

2019

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Mecánica de fluidos

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¿Qué es un fluido? Sustancia que ocupa la forma del recipiente que los contiene (líquido).

forma y el volumen del recipiente que lo contiene (gas).

Sustancia que ocupa la

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Densidad Es una propiedad importante de cualquier sustancia, que se define como la masa por unidad de volumen. ρ=

Unidad en el SI: [ρ] =

m V

kg m3

Unidad en el CGS: [ρ] =

g cm3

Equivalencia: 1

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g kg = 1000 3 3 cm m

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Presión Se define la presión, P , en un punto como la fuerza normal por unidad de área, A, es decir: F⊥ A donde F⊥ es la fuerza normal neta. P =

Unidad en el SI: [P ] = 1

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N = 1Pa m2

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Presión en un fluido El fluido ejerce fuerzas en muchas direcciones, estas fuerzas son perpendiculares al plano.

Por lo tanto, los fluidos ejercen presión en todas las direcciones.

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Presión contra profundidad en fluido X

~ = ~0 F

~1 −W ~ −F ~ 2 = ~0 F P1 A ˆ − m g ˆ − P2 A ˆ = ~0 P1 A ˆ − ρ A ∆y g ˆ − P2 A ˆ = ~0 Simplificando A: P1 − ρ ∆y g − P2 = 0

Se sabe que ∆y = y2 − y1 . Ahora despejando P1 : P1 = P2 + ρ g (y2 − y1 )

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Presión contra profundidad en fluido

P = P0 + ρ g (y2 − y1 ) P = P0 + ρ g h donde P es la presión absoluta; P0 es la presión atmosférica.

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Presión atmosférica Una forma de medir la presión atmosférica es llenar un tubo de ensayo con mercurio, luego invertirlo en un tazón de mercurio. Experimento de Torricelli

(1643)

P1 = P2 + ρ g h P = 0 + (13 600) (9,80) (0,760) P0 = 1,013 × 105 Pa = 1 atm

a nivel del mar

Presión atmosférica en Arequipa: P0 = 0,9998 × 105 Pa

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Presión manométrica La diferencia entre la presión absoluta y la presión atmosférica.

P − P0 : Presión manométrica

P − P0 = ρ g h

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Ley de Pascal

La presión aplicada a un fluido encerrado se trasmite sin disminución a todas las partes del fluido y las paredes del recipientes.

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Ley de Pascal Ejemplo: Un hombre parado en el área A1 : m = 80 kg (masa del hombre) F1 = 784 N (peso del hombre) F1 F2 P = = A1 A2 F2 =

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A2 F1 A1

A1 = 0,785 m2 ; radio r = 0,5 m A2 = 12,566 m2 ; radio r = 2,0 m F2 = 12 550 N

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Principio de Arquímedes Es un principio físico que afirma que: “Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, recibe un empuje (E) de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del fluido desalojado”.

E = mf g E = ρf Vf g donde ρf : densidad del fluido. Vf : volumen del fluido.

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Fluidos en movimiento Muchas de las características del movimiento de los fluidos se comprenden examinando el comportamiento de un fluido ideal, el cual satisface las condiciones siguientes: 1

2

3

4

El fluido es no viscoso: no hay fuerzas de fricción internas entre capas adyacentes. El fluido es incompresible: significa que su densidad es constante. El movimiento del fluido es estable: la velocidad, la densidad y la presión en cada punto del fluido no cambian en el tiempo. El fluido se mueve sin turbulencia: esto implica que cada elemento del fluido tiene una velocidad angular de cero en torno a su centro. Esto es, no puede haber corrientes de remolino presentes en el fluido en movimiento.

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Ecuación de continuidad La figura representa un fluido que fluye en el interior de un tubo de tamaño no uniforme, en un flujo estable. el fluido que entra por un extremo inferior del tubo recorre una distancia: ∆x1 = v1 ∆t Entonces, la masa contenida en la región interior más oscura es: m1 = ρ A1 v1 ∆t Análogamente, para m1 = ρ V1 m1 = ρ A1 ∆x1 extremo superior: En un intervalo de tiempo ∆t, m2 = ρ A2 v2 ∆t

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Ecuación de continuidad Dado que la masa se conserva y el flujo es estable, la masa que entra por el fondo del tubo a través de A1 en el tiempo ∆t debe ser igual a la masa que sale a través de A2 en el mismo intervalo. m1 = m2 ρ A1 v1 ∆t = ρ A2 v2 ∆t A1 v 1 = A2 v 2 Se conoce como la ecuación de continuidad. Equivale al hecho de que la cantidad de fluido que entra por un extremo del tubo en un intervalo de tiempo dado es igual a la cantidad de fluido que sale del tubo en el mismo intervalo, suponiendo que no hay fugas. Prof. Wilmer Sucasaire

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Ecuación de Bernoulli El trabajo realizado sobre el extremo inferior del fluido en ∆t:

fluido de la parte superior en ∆t:

~ 1 · ∆~x1 = F1 ∆x1 W1 = F W1 = P1 A1 ∆x1 = P1 V De manera análoga, el trabajo realizado sobre el ~ 2 · ∆~x2 = F2 ∆x cos(180o ) = −P2 A2 ∆x2 = −P2 V W2 = F Recuérdese que el volumen que pasa a través de A1 en el tiempo ∆t es igual al volumen que pasa a través de A2 en el mismo intervalo. Prof. Wilmer Sucasaire

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Ecuación de Bernoulli Por lo tanto, el trabajo neto realizado por estas fuerzas en el tiempo ∆t es: W = W1 + W2 = P1 V − P2 V Un parte de este trabajo se invierte en cambiar la energía cinética del fluido, y otra modifica su energía potencial gravitatoria. Si m es la masa del fluido que pasa a través del tubo en el intervalo de tiempo ∆t, entonces el cambio de energía cinética del volumen de fluido es: 1 1 ∆K = m v22 − m v12 2 2 El cambio de energía potencial gravitatoria es: ∆U = m g y2 − m g y1 Prof. Wilmer Sucasaire

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Ecuación de Bernoulli El trabajo total: W = ∆K + ∆U P1 V − P2 V = P1 V +

P1 +

1 1 m v22 − m v12 + m g y2 − m g y1 2 2

1 1 m v12 + m g y1 = P2 V + m v22 + m g y2 2 2

1 2 1 ρ v1 + ρ g y1 = P2 + ρ v22 + ρ g y2 2 2

La ecuación de Bernoulli establece que la suma de la presión, la energía cinética por unidad de volumen y la energía potencial por unidad de volumen, tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo de una línea de corriente. Prof. Wilmer Sucasaire

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Ejercicio - presión 1. Un barril contiene una capa de aceite (densidad de 600 kg/m3 ) de 0,120 m sobre 0,250 m de agua. a) ¿Qué presión manométrica hay en la interfaz aceite agua? b) ¿Qué presión manométrica hay en el fondo del barril?

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Ejercicio - presión 2. Un cilindro alto con área transversal de 12,0 cm2 se llenó parcialmente con mercurio hasta una altura de 5,00 cm. Se vierte lentamente agua sobre el mercurio (los dos líquidos no se mezclan). ¿Qué volumen de agua deberá añadirse para aumentar al doble la presión manométrica en la base del cilindro?

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Ejercicio - presión 3. En las figuras, determine x (en cm) si se sabe que: (i) Figura 1, ρ1 = 2,5 g/cm3 y ρ2 = 2,0 g/cm3 . (ii) Figura 2, ρ1 = 3,6 g/cm3 , ρ2 = 4,8 g/cm3 y ρ3 = 1,6 g/cm3 .

Figura 1.

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Figura 2.

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Ejercicio - principio de Arquímedes 4. Calcula el volumen de un cilindro que está sumergido un tercio desu volumen en aceite mineral. El peso del cilindro es de 20 N. El pesode un litro de este aceite mineral es de 8,5 N.

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Ejercicio - principio de Arquímedes 5. Una muestra de mineral pesa 17,50 N en el aire, pero si se cuelga de un hilo ligero y se sumerge por completo en agua, la tensión en el hilo es de 11,20 N. Calcule el volumen total y la densidad de la muestra.

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Ejercicio - principio de Arquímedes 6. Un cubo homogéneo de 9,0 cm de lado que tiene una densidad de 0,05 g/cm3 flota en agua sostenida mediante una cuerda por una esfera homogéneas que tiene una densidad de 4,0 g/cm3 , tal como se muestra en la figura. Si se desprecia la masa de la cuerda, calcule el volumen de la esfera.

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Ejercicio - principio de Arquímedes 7. Un cable anclado al fondo de un lago de agua dulce sostiene una esfera hueca de plástico bajo la superficie. El volumen de la esfera es de 0,650 m3 y la tensión en el cable es de 900 N. a) Calcule la fuerza de flotación ejercida por el agua sobre la esfera. b) ¿Qué masa tiene la esfera? c) El cable se rompe y la esfera sube a la superficie. En equilibrio, ¿qué fracción del volumen de la esfera está sumergida?

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Ejercicio - principio de Arquímedes 8. Un bloque cúbico de madera de 10,0 cm por lado flota en la interfaz entre aceite y agua con su superficie inferior 1,50 cm bajo la interfaz (observa la figura). La densidad del aceite es de 790 kg/m3 . a) ¿Qué presión manométrica hay en la superficie de arriba del bloque? b) ¿Y en la cara inferior? c) ¿Qué masa y densidad tiene el bloque?

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Ejercicio - principio de Arquímedes 9. Un lingote de aluminio sólido pesa 89 N en el aire. a) ¿Qué volumen tiene? b) El lingote se cuelga de una cuerda y se sumerge por completo en agua. ¿Qué tensión hay en la cuerda (el peso aparente del lingote en agua)?

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Ejercicio - principio de Arquímedes 10. Una roca cuelga de un hilo ligero. Cuando está en el aire, la tensión en el hilo es de 39,2 N. Cuando está totalmente sumergida en agua, la tensión es de 28,4 N. Cuando está totalmente sumergida en un lıquido desconocido, la tensión es de 18,6 N. Determine la densidad del lıquido desconocido.

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Ejercicio - Ecuación de continuidad y de Bernoulli 11. Fluye agua por un tubo de sección transversal variable, llenándolo en todos sus puntos. En el punto 1, el área transversal del tubo es de 0,070 m2 , y la rapidez del fluido es de 3,50 m/s. a) ¿Qué rapidez tiene el fluido en puntos donde el área transversal es de i) 0,105 m2 ? ii) ¿0,047 m2 ? b) Calcule el volumen de agua descargada del extremo abierto del tubo en 1,00 hora.

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Ejercicio - Ecuación de continuidad y de Bernoulli 12. Fluye agua por un tubo circular de sección transversal variable, llenándolo en todos sus puntos. a) En un punto, el radio del tubo de 0,150 m. ¿Qué rapidez tiene el agua en este punto si la razón de flujo de volumen en el tubo es de 1,20 m3 /s? b) En otro punto, la rapidez del agua es de 3,80 m/s. ¿Qué radio tiene el tubo en este punto?

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Ejercicio - Ecuación de continuidad y de Bernoulli 13. En la figura, tome en cuenta la rapidez de la superficie superior del tanque y demuestre que la rapidez del fluido que sale por el orificio en el fondo es s 2gh , v1 = 1 − A21 /A22 donde h = y2 − y1 , y A1 y A2 son las áreas del orificio y de la superficie superior, respectivamente. Suponga que A1  A2 de forma que el flujo sea casi estable y laminar.

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Ejercicio - Ecuación de continuidad y de Bernoulli 14. Las áreas de la parte ancha (A) y angosta (B) del tubo de la figura son respectivamente, 50, 0 cm2 y 10,0 cm2 . El caudal de agua es de 2000 cm3 /s. Determine: a) la velocidad del agua en ambas partes del tubo (A y B) b) la diferencia de presión entre las partes ancha y angosta. c) la diferencia de altura h en las columnas de mercurio.

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Ejercicio - Ecuación de continuidad y de Bernoulli 15. Fluye agua continuamente de un tanque abierto como se muestra en la figura. La altura del punto 1 es de 10,0 m, y la de los puntos 2 y 3 es de 2,00 m. El área transversal en el punto 2 es de 0,0480 m2 y en el punto 3 es de 0,0160 m2 . El área del tanque es muy grande en comparación con el área transversal del tubo. Calcule: a) La velocidad del fluido en el punto 3. b) Presión manométrica en el punto 2.

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Ejercicio - Ecuación de continuidad y de Bernoulli 16. En un punto de una tubería, la rapidez del agua es de 3,00 m/s y la presión manométrica es de 5,00 × 104 Pa. Calcule la presión manométrica en otro punto de la tubería, 11,0 m más abajo, si el diámetro del tubo ahı es el doble que en el primer punto.

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Ejercicio - Ecuación de continuidad y de Bernoulli 17. Se descarga agua de un tubo horizontal cilíndrica a razón de 465 cm3 /s. En un puntp del tubo donde el radio es de 2,05 cm, la presión absoluta es de 1,60 × 105 Pa. ¿Qué radio tiene una constricción del tubo donde la presión se reduce a 1,20 × 104 Pa?

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Ejercicio - Ecuación de continuidad y de Bernoulli 18. En cierto punto de una tuberıa horizontal, la rapidez del agua es de 2,50 m/s y la presión manométrica es de 1,80 × 104 Pa. Calcule la presión manométrica en un segundo punto donde el área transversal es el doble que en el primero.

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Ejercicio - Ecuación de continuidad y de Bernoulli 19. Un sistema de riego de un campo de golf descarga agua de un tubo horizontal a razón de 7 200 cm3 /s. En un punto del tubo, donde el radio es de 4,00 cm, la presión absoluta del agua es de 2,40 × 105 Pa. En un segundo punto del tubo, el agua pasa por una constricción cuyo radio es de 2,00 cm. ¿Qué presión absoluta tiene el agua al fluir por esa constricción?

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