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• JoelVillanueva

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ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Es aquel que se genera por la rotación de un rayo, alrededor de un punto fijo, desde una posición inicial hasta otra posición final. En el gráfico, se tiene:

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Son las diferentes formas en que se pueden medir los ángulos; destacando solamente: 1. SISTEMA. SEXAGESIMAL ( S ) Llamado también inglés; es aquel que divide al ángulo de una vuelta en 360 partes iguales; denominando a cada una de ellas un grado sexagesimal (1º) Unidad:

1o 

1 vuelta  1 vuelta  360o 360

Además:

•O :

vértice

• : Posición inicial (tanto para "a" como para "b") • : Posición final para "α " • : posición final para "β " Se pueden distinguir dos tipos de rotación, con respecto al sentido de giro de las manecillas de un reloj: Sentido Horario: b Sentido. Antihorario: a

y

Se asume la convención de que si el ángulo se genera en sentido antihorario su medida es positiva, mientras que en sentido horario su medida es negativa. Así mismo es bueno destacar que la medida de un ángulo trigonométrico no puede ser limitada ya que va a depender directamente de la magnitud de la rotación.

Observación Para operar ángulos trigonométricos es bueno tenerlos en un solo sentido; para ellos se recomienda el siguiente gráfico:

1º = 60' 1' = 60" 1º = 3600"

2. SISTEMA CENTESIMAL ( C ) Llamado también francés; es aquel que divide al ángulo de una vuelta en 400 partes iguales, denominando a cada una de ellas un grado centesimal. ( 1g ) Unidad:

1g 

1 vuelta  1 vuelta  400g 400

Además:

1g = 100m 1m = 100s

1g = 10000s 3. SISTEMA RADIAL Llamado también circular o internacional, es aquel que tiene como unidad a un radián ( 1 rad.) que viene a ser la medida de un ángulo central en una circunferencia cuando el arco que le corresponde mide igual que el radio de la circunferencia. En el gráfico adjunto.

Además: * 1) 2)

1 vuelta = 2Πrad

CONSIDERACIONES 1rad. > 1º > 1g 360º < > 400g < > 2Πrad

180º < > 200g < > Πrad 180º < > 200g

3)

9º < > 10g

180º < > 200g < > prad 4) aºb'c'' = aº + b' + c" agbmcs = ag + bm + cs 5)

9º < > 10g

aº = (60a)' = (3600a)" ag = (100a)m = (10000a)s 27' < > 50m 81" < > 250s

6)

CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS

S C R   g 180º 200  .rad Es el procedimiento mediante el cual un ángulo expresado en cierto sistema; se expresa en unidades de otro sistema. El criterio a utilizar se llama "método del factor de conversión", que consiste en multiplicar al ángulo por una fracción cuyo numerador y denominador son equivalentes y están dados por dos ángulos expresados en los sistemas que intervienen. Así por ejemplo; convertir: 1) 45º  Radianes



 rad 4

2) 60g



sexagesimal

  54 o 3)

 rad  centesimales 10

  20g

d) 8

e) 9

11. Señalar verdadero (V) o falso (F) siendo S, C y R lo convencional. PROBLEMAS PROPUESTOS

S 180 S 9

I.

Convertir:

 

6

b) e)

 

c)

4



5

1 S

8



9

rad al sistema centesimal a) 5 b) 10g c) 15g g g d) 20 e) 50

a) d)

05.

54º al sistema centesimal a) 60g b) 63g c) 72g g d) 75 e) N.A.

b) 5º30' e) 18º30'

c) 7º30'

d)



08.

E

Reducir:

a) 10 d) 40

b) 20 e) 60

rad

b)

rad

e)



b)

9



e)

18

 5

 5  20

rad

c)

 4

rad

rad



c)

10

 20

 4

01. De la siguiente relación:

x x'

 10R 

9C S

Calcular el número de grados a) 30g b) 40g c) 50 g d) 60 g e) 70g

c) 30

10 . Si: (x+1) < > xº Cual es el valor de "x". a) 5 b) 6 c) 7

c)

6  100

NIVEL II.

S 6

09. Exprese en el sistema centesimal a) 5g b) 6g c) 18g g d) 10 e) N.A. g

 10  15

a)

7 rad al sistema sexagesimal a) 25º32'51" b) 25º42'51" c) 35º42'52" d) 25º42'52" e) 26º42'53"

07.

e)



15. Dados los números de grados sexagesimales (S) y centesimal (C) tal que: S=x+4 y C=x+5 Hallar: “R”

24 rad al sistema sexagesimal

a) 7º d) 15º30'

b)

R 18

14. Hallar el ángulo en el sistema circular que cumple: 2C – S = 22

20



S2 5

 C1 

10  3

d)

g

06.





a)

rad al sistema sexagesimal a) 10º b) 20º c) 18º d) 30º e) 40º

04.

c) VFV

a) 30° b) 33° c) 25° d) 27° e) 36° 13. Calcular el número de radianes que cumple con:

50 al sistema radial

d) 03.

C 6

g

3

R 

12. Hallar el ángulo en el sistema sexagesimal que cumple con:

01. 40g al sistema sexagesimal a) 40º b) 24º c) 36º d) 54º e) 16º



R 

III.S° < > Cg < > R rad a) VVV b) VVF d) VFF e) FFF

NIVEL I

a)



C 200

 10C 

II.

02.



4º30'

centesimales.

02. Determine la medida circular de un ángulo, si se sabe que el doble de su número de grados sexagesimales excede a su número de grados centesimales en 80 a)  d)

b)  4

e)

2 3 3 4

c)

 2

03. Hallar el complemento del ángulo 2 5

rad en el sistema sexagesimal.

a) 10° d) 18°

b) 12° e) 20°

c) 15°

04. La suma de dos ángulos es 120° y su diferencia es  3

rad. Hallar la medida del menor de los ángulos

en grados sexagesimales. a) 50° b) 45° c) 30° d) 20° e) 15°

REFORZAMIENTO 1. Convertir a sexagesimales la siguiente magnitud angular:  = 24g

2. Hallar 3. Hallar:

que:

a + b, sabiendo

05. De la relación. Hallar “n”. (5n + 1)° < > (6n – 2) a) 1 d) 7

b) 3 e) 9

4. Convertir a sexagesimales y radianes la siguiente

g

magnitud angular:  = 16g

5. Convertir rad a grados

c) 5

sexagesimales

6. Seis veces el número de grados sexagesimales de un ángulo sumado a dos veces el número de sus grados centesimales es 222 ¿Hallar el número de radianes de dicho ángulo?

06.De la figura, calcular “”.

7. Un ángulo positivo mide Sº ó C g, calcular el valor simplificado de:

5 -4

a) 90° d) 45°

b) 60° e) 9°

c) 30°

8. Hallar el número de radianes de un ángulo si: S = 5n +1 y C= 6n – 2 donde “S” y “C” son los números de grados sexagesimales y centesimales de dicho ángulo

07. Convertir: 45° a grados centesimales. a) 45g d) 80g 08. Convertir: a) 40º d) 160°

b) 50g e) N.A. 2rad 3

c) 60g

a grados sexagesimales.

b) 80° e) N.A.

11.Simplificar: a) 1 d) 2, 5

M b) 1, 5 e) 3

10.

11.

Un alumno al querer copiar 30º se equivoca y copia 30g ¿Cuál fue el error cometido en radianes? Hallar “” de la figura

c) 6

10. Calcular “x”, si: (7x + 1)° < > b) 5 e) 11

complementarios es 60g. Hallar el número de radianes de cada uno de ellos

c) 120°

09. Calcular “x”, si: (7x + 3)° < > (8x + 2)g a) 2 b) 4 d) 8 e) 10 a) 3 d) 9

9. La diferencia de las medidas de 2 ángulos

 5

rad.

c) 7

180 ( C  S )( C  S ) 19 SC

c) 2

12. La suma de las medidas de dos ángulos es /10 rad y la diferencia de los mismos es 9°. Calcular la medida del mayor de los ángulos. a) 12g b) 13g c) 14g d) 15g e) 16g

.