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• Antonio Castilla

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• Física y matemáticas

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TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

TEMA: HISTORIA

DE

TERCER AÑO

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utilizaron la base 10 y dieron a conocer el símbolo cero en forma primitiva, son Los Babilonios. Los Griegos a diferencia de los Babilonios, utilizaron las letras de su

ARITMÉTICA

alfabeto como símbolos, para representar números, entre los personajes GENERALIDADES El hombre, con su ingenio, hace posible hacer realidad la construcción grandes edificios, puentes, carreteras, etc. Esto es posible por que organiza sus ideas y los representa con símbolos matemáticos. A través de estos símbolos nos comunicamos, lo interpretamos y nos da una idea clara de lo que se quiere hacer con la opción de modificar, ampliar o simplemente comunicar la idea a los demás. Queda claro entonces que la matemática es una ciencia es muy importante para la evolución, desarrollo modificación de lo que esta en nuestro entorno.

griegos que aportaron al desarrollo de la aritmética fueron: •

Pitágoras:

Contribuyo al uso de los números irracionales, la teoría de las proporciones, etc. •

Platón:

Creador del método analítico para la resolución de problemas. •

Así pues la matemática tiene ramas diferentes, una de ellas en esta en esta oportunidad a la aritmética.

Euclides:

Escribe su famoso “Elementos” (320) a C.), en el que trata temas sobre: Aritmética, Álgebra, Geometría, y Trigonometría.

La Aritmética es una ciencia que se encarga del estadio de los números. Su aplicación se da desde que se hacían intercambios, hace mucho tiempo atrás.

•

Hindúes:

Les corresponde el mérito de haber utilizado el sistema decimal hasta su máximo progreso; ya que fueron los Mayas (en América ) y los

Al inicio se utilizaban los dedos de la mano, posteriormente hubo la necesidad de emplear piedras, gramos de trigo, nudos hechos en cuerda, pedazos de corteza, etc.

Sumerios (en Mesopotamia) los primeros que utilizaron el valor de posición y cero en la escritura. •

La primera evidencia histórica de esta ciencia se da los antecedentes de los Caldeos Asirios, Los Sumerios, que nos indican el conocimiento de un sistema numérico que data de 3500 años A. C. Los Egipcios dedican dieron gran aporte por sus avances de ingeniería en la construcción de las pirámides allá por los 3200 a.C. El más antiguo libro de matemática fue el Papiro de Rmind (1700 a.C.), estos utilizaron sistemas decimal. Posteriormente, aquellos que introdujeron el importante concepto de posición de un símbolo, con lo que podían representar valores mayores

Hacia el año 1050 el famoso sabio hindú Mahaviya publica su famoso

“Lilabati” donde usa el valor de posición y el cero, siendo el verdadero iniciador de un consistente sistema decimal de numeración. •

Los Árabes:

La especial ubicación geográfica y el progreso de la navegación favorecieron a un notable intercambio comercial entre árabes e hindúes. Los árabes aprendieron el sistema numérico hindú y resultaron así sus

MATEMATICA

MATEMATICA 7

8

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DYALAY–AL–DIN–RUMI

portadores a Europa; por eso al sistema que usamos actualmente – el que llevaron los árabes a Europa – se llama indo – arábigo o también decimal. Difusión del saber matemático en Europa: • Fibonacci: Divulgo el sistema indo – arábigo en toda Europa desterrando al sistema numérico de los romanos (1200)

¿SABÍAS QUÉ...

LA CARRERA PROFESIONAL DE FARMACIA Y BIOQUÍMICA

Widman: Alemán (1489) introduce los signos matemáticos más (+) y menos (–) •

Regiomontano (1470): Introduce nociones sobre los números decimales. •

John Neper (1550 – 1616): Crea los logaritmos •

Fermat (1601 – 1665) Verdadero impulsor del estudio de los números en base a geniales concepciones. •

Martínez Guiajano, Juan Ortega, Gaspar Lax de Moya fueron españoles que contribuyeron a mejorar el ambiente matemático de la época. •

El químico farmacéutico, como miembro de las profesiones médicas del equipo de salud, es el especialista del medicamento, alimento y tóxico, con sólida formación científica, tecnología y humanística, con capacidad ejecutiva y de liderazgo.

Euler, Lagranje, Legendre, Gauss, etc., fueron algunos de los grandes matemáticos creadores de la aritmética actual. •

EL

HOMBRE ES UNA MIRADA; EL RESTO ES SÓLO

AL

AMIGO .

CARNE.

PERO

Ámbito de Trabajo: Industria farmacéutica, centros hospitalarios, clínicas, farmacias, laboratorios bromatológicos, microbiológicos y farmacológicos. Industrias químicas, fármaco químicas, alimentarías y cosméticos. Centros de investigación y docencia.

AL VERDADERA MIRADA ES LA QUE VE

FUNDE

TU

CUERPO

ENTERO

EN

TU

MIRADA, VETE HACIA LA VISIÓN, VETE HACIA LA VISIÓN....

MATEMATICA

MATEMATICA 9

10

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R = Q ∪ Q|

donde: R–:Reales R+: Reales positivos

TEMA: CONJUNTOS NUMÉRICOS Los conjuntos que estudian el curso aritmética según la teoría de conjuntos son los siguientes:

1. Conjunto de los Números Naturales (N), son únicamente los enteros positivos. N = {1, 2, 3, 4, ........................ n}

de la unión de los naturales y la diferencias de dichos números: Z = {-n∞, ......, –2, –1, 0, 1, 2 ........., n∞} ;

raíces a cantidades negativas, son de la forma: PAR −A = i Unidad Imaginaria: i − 1 (notación de Gauss) Luego Ejemplo:

−A = A . i −4 =

4 .

Z = {Z–, Z°, Z+ }

a la suma de un número real con un número imaginario. a ± bi # Complejo (c) =

del cociente de 2 números enteros donde el denominador es diferente de cero. Q = {x/x = a /b. a ∧b ε Z; b ≠ 0 } Enteros  Luego: Q = fraccionar ios Decimales (Exacto , P . puro , P . mixto ) 

:

2,

3

7 , 1 / 2 ........

Números trascendentes : π, e, .............

5. Conjunto de los Números Reales (R) Esta formado por la unión de los números racionales e irracionales.

MATEMATICA

Parte imaginaria Parte real

Esquema de Clasificación de los Números

Racionales Reales (R) Complejos (C)

4. Conjunto de Números Irracionales (Q') Esta formado: Radicales inexactos

−1

7. Conjunto de los Números Complejos, Se denomina número complejo

3. Conjunto de Números Racionales (Q), son aquellos que provienen

-

11

= ± 2. i

2. Conjuntos de los Números Enteros (Z), son aquellos que resultan 0 ε Z°

6. Conjunto de los Números Imaginarios, Se obtiene de extraer

(Q) Irracionales (Q')

Enteros (Z) Fraccionarios

Naturales Ceros (Z°) Negativo (Z-)

Imaginarios (I)

Luego: N⊂Z⊂ Q⊂ R⊂C Q ∪ Q' = R R∪I=C

Q ∩ Q' = φ R ∩I =φ

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B) 5 + 3i es un número real

12 1. Si “m” es un

número entero

par. ¿El cuál de las alternativas

4. ¿Cuál es el mayor número entero de –2, 7? B)

C)

2 E)

–2

–1

A)

B)

C)

3m+3 D)

7m+2 E)

4m+7

3

3m+5

6m+7

5. Si a < 0 ∧ b > 0 entonces a – b, 2. Si “n ” es un número par ¿Cuál de las siguientes es un número impar? A)

B)

C)

2k D)

2k+1 E)

k-1

7k

ByC

dará un resultado: A) Siempre negativo B)

Un número natural

C)

Un número entero

D) Un número racional E)

Un número Irracional

6. Luego de resolver la siguiente 3. Cual

de

las

siguientes

relaciones es correcta. A) –52 natural

MATEMATICA

es

un

ecuación: 3x2 + 4 = -5

número

D)

3

−8

número

sus soluciones pertenecen a

es

es

un

Re

B)

En

ales C)

Na

teros D)

Co

turales E) Im

un número

imaginario E) 4i

A) -3 D)

un

irracional

nos representa siempre un número par?

es

7

C)

PROBLEMAS PARA LA CLASE

A)

mplejos

aginarios

número

complejo 7. Si a < 0 y b = -3, entonces el producto de a . b pertenece a los números A) Nat B) Ent urales ero C) Ima D) Reales Positivos ginarios E) R. Negativos

1 + 2 entonces diremos 2 que x es un número:

8. Si: x =

A) tero C) cional E) gativo

En Ra Ne

B) N atural D) Ir racional

11. El

resultado de “x” 3−x 1 = es un número 2 5 A) En tero C) Irr acional E) Co mplejo

en

B) Ra cional D) I maginario

12. Al sumar 0,7 con obtendremos un número:

1,3

A) R B) I eales maginario C) I D) C rracional omplejo E) Entero Negativo

los números

MATEMATICA

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9. Qué número entero encuentra entre 5,5 y 6,5

se

complejos existe la posibilidad de obtener un número imaginario E) Si multiplicamos racional entero podrían darse el caso de obtener número entero.

¿POR QUÉ ENSUCIAS

A) 3 D) 6

B) 2 E) 4

C) 5

TU MUNDO?

DPTO.

10. Respecto a los números que se encuentra entre 4 y 5 podíamos afirmar que son números A) Ent ero C) Ima ginarios E) B y D 13. Indicar 13 incorrecta: 14

la

B) onal D) cional

DE

A) I rracional C) R acional E) I maginario

“Manuel Scorza” V.L.E.B.

SI TI,

N E

NUNCA ABANDONAS LO QUE ES IMPORTANTE PARA SI TE IMPORTA TANTO QUE ESTÁS DISPUESTO A

LUCHAR PARA OBTENERLO, TE ASEGURO QUE TU VIDA ESTARÁ LLENA DE ÉXITO. SERÁ UNA VIDA DURA, PORQUE LA EXCELENCIA NO ES FÁCIL PERO VALDRÁ LA PENA.

Irra

proposición

B) atural D) ntero

PUBLICACIONES

Raci

A) La suma de 2 números enteros nos da otro entero. B) El producto de dos números racionales nos da la posibilidad de obtener un número entero. C) El producto de 2 números racionales dos da siempre un entero D) Al sumar dos números

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R. BACH

14. El número real que le sigue a 2 es: A) 2 C)

2, 3

15

CLAVES

B) 2, 00001 D) 2, 02

E) Indeterminado

15. Si los lados de un triángulo son:2, 1 y 5 , al sumar sus lados nos resulta un número

1. B

6. E

11. A

2. E

7. C

12. A

3. C

8. C

13. C

4. C

9. D

14. E

MATEMATICA

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Real positivo 5. A

10. E

15. A

A) n + 2 D) 3n + 1

B) n - 5 E) B y D

C) 2n + 7

Entero positivo

3. ¿Cuál de las siguientes alternativas es incorrecta?

A)

PROBLEMAS PARA LA CASA 16

1. Si los “m” es un número entero par. ¿Cuál de las alternativas nos representa siempre un número impar? A) 2m + 6 B) m + 1 D) m + 8 E) m + 8

C) m – 2

4. El menor número real que le sigue a 3 es: A) 3,3 D) 3,03

B) 3,0001 C) 4 E) 3,00001

5. ¿Si a < 0 y b < 0 entonces a . b 2. Si “m” es un número impar. ¿Cuál de las alternativas siempre representa un número par?

MATEMATICA

resulta un número Real negativo Imaginario

−9

Entero negativo

Resulta ser un

6. Si: a → un número entero negativo b → un número real

número Real B) –2 es un número entero 1 C) + 3 es un número 2 racional D) 3 + 4i es un número complejo E) Todas son incorrectas.

Son producto nos resulta un

7. ¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta?

9. Si: x > 0 y y < -2. se deduce que xy + yx es:

–62 es un número natural 6 + 4i es un número real C) –0,484950 .. es un número racional 3 − 8 es un número D) imaginario 1 5 + su E) resolver 2 2 resultado es un entero

8. Al

sumar

0,2

con

2,8

número .............. A) Real B) Imaginario C) Racional D) Entero E) No se puede determinar

Siempre positivo Puede ser cero Siempre negativo Puede ser positivo

10. ¿Cuál de los enunciados es falso? A) –52 un número entero B) 41/2 es irracional C) 3.5 es racional

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obtendremos un número A) ntero C) omplejo E) yD

E C A

D) 5 + 3i es imaginario E) –0,345 es un real

B) I maginario D) R acional

TU

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4. E

9. C

5. C

10. D

ERES MI HERMANO PORQUE ERES UN SER HUMANO Y AMBOS

SOMOS HIJOS DE UN ÚNICO

ESPÍRITU SANTO; SOMOS IGUALES ERES MI COMPAÑERO

Y ESTAMOS HECHOS DE LA MISMA TIERRA.

EN EL SENDERO DE LA VIDA Y MI AYUDA PARA COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE LA VERDAD OCULTA. BASTA PARA QUE TE AME COMO

ERES HERMANO...

HUMANO Y ESTO

KAHIL GIBRÁN

¿SABÍAS QUÉ... LA CARRERA PROFESIONAL DE MICROBIOLOGÍA Y PARASITOLOGÍA

17 18

19

CLAVES

MATEMATICA

1. B

6. A

2. E

7. E

3. A

8. E

MATEMATICA

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Número Es el primero y básico de los conceptos matemáticos y nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza. Numeral Es la representación simbólica o figurativa del número. Ejemplo:

El Microbiólogo Parasitólogo estudia los microorganismos y los parásitos, considerando sus aspectos morfológicos, bioquímicos, moleculares, evolutivos taxonómicos, así como sus interrelaciones entre sí, con otros organismos y el medio ambiente. Es un estudio profesional con criterio científico, tecnológico y humanístico; con capacidad de aplicar los conocimientos de la microbiología y parasitología para el control de plagas y enfermedades que afectan al hombre, animales y plantas; así como para la prevención y el control de la contaminación. Aplica sus conocimientos de la ingeniería de diseños y procesos para la explotación industrial de microorganismos benéficos. Evalúa y califica la calidad microbiológica de materias primas, insumos empleados en la producción de alimentos, bebidas, cosméticos, fármacos, etc. Posee capacidad de gestión empresarial y de organización de proyectos de inversión, producción y de servicios.

TEMA: NUMERACIÓN 20 Concepto Es la parte de la Aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números.

MATEMATICA

15, XV, 24 – 1 6, VI, 22 + 2, 32 – 3

SISTEMA DE NUMERACIÓN Concepto Es un conjunto de reglas, principios y convenios que se utilizan para representar y expresar a los llamados numerales Principios: • Del Orden Toda cifra de un numeral posee un determinado orden el cual empieza de uno y se encuentra a la derecha a izquierda. Ejemplo:

Numeral:

6

5

4

3

2

1

2

7

3

9

7

5

← Orden

Lugar 1 2 3 4 5 6 (Lectura) • De la Base Es un numeral referencial que nos indica como debe agruparse las cantidades para formar las órdenes de un numeral en cierto sistema 21 de numeración. Ejemplo 342

n → base

MATEMATICA

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“Nos indica que se agrupará de “n” en “n” en dicho sistema” - La base toma valores enteros y positivos mayores o iguales que 2 n ≥ 2 o sea n = {2, 3, 4, 5, .........} -

cifra no significativa •

Entonces la base mínima: n= 2 Veamos en forma grafica: representa el número 16 en base 3

Otro ejemplo: representar el número 17 en base 5

De las cifras: Las cifras cumplen las siguientes condiciones Pertenecen a Z (cifras ε Z) Son menores que la base (cifras < n) La cifra máxima es una unidad menor que la base cifra = (base - 1) Toman valores enteros menores que la base. 22 Si la base “n”; se pueden utilizar en las cifras 0,

1, 2, 3, 4, ............., (n – 1) máxima cifra cifra significativa

MATEMATICA

Principales sistemas de numeración Base

O sea que: 16 = 121(3)

•

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Sistema de Numeración

Cifras

2

Binario o Dual

0,1

3

Temario

0, 1, 2

4

Cuartenario

0, 1, 2, 3

5

Quinario

0, 1, 2, 3, 4

6

Senario y Sexanario

0, 1, 2, ........... 5

7

Heptanario

0, ..........., 6

8

Octanario

0, ..........., 7

9

Nonario

0, ...........; 8

10

Decimal o Decuplo

0, ..........., 9

11

Undecimal

0, ..........., 9, (10)

12

Duodecimal

0, ..........., 9(10), (11)

Son frecuencia se estila utilizar las siguientes letras parea denotar algunas cifras: Alfa α ≡ 10 Gamma γ ≡ 2 Epsilon ε ≡ 14 Beta β ≡ 11 Delta δ ≡ 13 •

Representación Literal de Numerales: Numeral de 3 cifras de base “n” : abc (n ) Numeral de 4 cifras de base “n” : abcd (n ) ab : numeral de 2 cifras: (10, 11, 12, ................ 98, 99) 23 abc : numeral de 3 cifras: (100, 101, 102 ........... 998, 999) aaa : numeral de 3 cifras iguales: (111, 222, 333, ..........., 999)

MATEMATICA

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-

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18 ab : numeral de 3 cifras que empiezan en 18. (1800, 1811, 1812, .......) a( a + 1)( a + 2) Numeral de tres cifras consecutivas.

(123; 456; 567.....) OBSERVACIONES: 1. LA PRIMERA CIFRA DE UN NUMERAL DEBERÁ SER SIGNIFICATIVA (DIFERENTE DE CERO) 2. TODO AQUELLO QUE ESTÉ ENTRE PARÉNTESIS EN EL LUGAR DE LAS CIFRAS, REPRESENTA UNA DE ELLAS

3.

SE DENOMINA NUMERAL CAPICÚA A AQUEL QUE LEÍDO DE IZQUIERDA A DERECHA O VICEVERSA SE LEE IGUAL.

EJEMPLO: 33; 454; 777: 7887

aa , aba , abba

CAMBIOS DE BASE EN Z: Caso N° 1: De base “n” a base 10 existen tres métodos: - Ruffini - Descomposición polinómica - Practico: sube y baja

O sea que: 127(8) = 87 B. Descomposición Polinómica Ejemplo: Convertir 324(6) a base 10 Resolución 324(6) = 3 . 62 + 2 . 61 + 4 = 108 + 12 + 4 = 124 O sea que: 324(6) = 124

A. M Ruffini:

Ejemplo: Convertir 215(6) a base 10

Ejemplo: Convertir 542(7) a base 10

Resolución

Resolución 542(7) = 5 . 72 + 4 . 7 + 2 O sea que: 215(6) = 83 Ejemplo 24 Convertir 127(8) a base 10.

= 245 + 28 + 2 = 275 O sea que: 542(7) = 275 C. M. Practico: Sube y Baja Convertir 215(6) en base 10

MATEMATICA

25

MATEMATICA

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O sea que: 215(6)= 83 Convertir 542(7) en base 10

Ejemplo: Convertir 500 a base 9

O sea que: 215(6)= 83 Caso N° 03: De base “n” a base “m” Caso N° 2: De la base 10 a base “n” El único método es el de divisiones sucesivas Ejemplo: Convertir 1234 a base 5

Ejemplo: Convertir 152(7) al sistema de numeración undecimal Resolución

A.

Convertir 152(7) a base 10

Resolución Osea 152(7) = 86

B.

Halla el número 86 convertir a base 11 a través

de divisiones sucesivas.

Ejemplo: Convertir 431 a base 4 26

Ejemplo: convertir 401(6) a base 4 27

MATEMATICA

MATEMATICA

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Siendo: abc ( 4 ) = 2pr ( 7 )

A)

Resolución

a>2 ∧a pqr → n < m Si: abc < pqr → n > m Ejemplo N° 01: Hallar “a” 28

MATEMATICA

4 c Se cumple:

q=9 P+r=9

3. a = b; c = d → a ± c = b ± d

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1. En una sustracción, el minuendo es el quíntuple de la diferencia. Si el sustraendo es igual a 400. Hallar la diferencia. Dar como respuesta la suma de cifras Rpta.

4. (PAR) ± (PAR) = (PAR) (PAR) + (IMPAR) = (IMPAR) (IMPAR) + (IMPAR) = (PAR)

TELÉFONO DE GRAHAM BELL

2. La suma de los tres términos de una sustracción es de 240. si el sustraendo es la tercera parte del minuendo. Hallar el CA de la diferencia. Rpta.

3. Hallar la suma de los complementos aritméticos de los siguientes números: 29, 794, 812, 1750 Rpta. Alexander Graham Bell construyó este prototipo de teléfono en 1875. El aparato consistía en una bobina, un brazo magnético y una membrana tensada. Cualquier sonido producía una vibración en la membrana y, por consiguiente, del brazo magnético. El movimiento del imán inducía en la bobina una corriente eléctrica variable. Esta señal eléctrica se convertía de nuevo en sonido mediante un aparato idéntico en el otro extremo del circuito.

48

MATEMATICA

4. Si el C. A. de a 8b es 5c4, hallar a + b + c Rpta.

5. Si: abc − cba = 5mn , hallar “m + n” Rpta.

6. Hallar “m + n + p”, si abc − cba = mpn Rpta.

7. Hallar “m . p”; si cdu − udc = 4mp Rpta.

8. Si se cumple que: abc = cba + xy 8 además: abc + cba = CA (8264) hallar: “a + b + c” Rpta.

9. Calcular: 4123(5) – 2042(5) Rpta.

49 MATEMATICA

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10. Dar a +b + c en: 6236(7) – 5664(7)

= abc ( 7 )

13. Hallar: “a + b + m” Si CA ( a 3b ) = 7m 2 Rpta.

Rpta.

Hallar:tel + ele + ttl Rpta.

Rpta.

12. Hallar el complemento aritmético del menor número impar de 3 cifras diferentes Rpta.

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. En

una

minuendo

es

sustracción, el

triple

el

de

la

diferencia. Si el sustraendo es m  Si: CA (345) =   np 2 Hallar: “m + n + p”

11. Si: pqr − rqp = tel

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14.

15. Si CA (465) = x y z Hallar “x + y + z” Siendo: xyz + xy + zxy Rpta.

igual a 38. Hallar la diferencia. Dar como respuesta la suma de sus

hallar “a + b + c” A) 13 D) 66

B) 22 E) 7

C) 16

cifras A) 3 D) 9

B) 8 E) 10

C) 11

2. La suma de los tres términos

5. Si: abc = cba + 2mn . Hallar C.A. ( nm ) A) 24 D) 54

B) 79 E) 97

C) 21

de una sustracción es 320. Si el sustraendo es la cuarta parte del minuendo. Hallar el C. A. de la diferencia. A) 120 D) 640

3. Hallar

B) 160 E) 880

la

suma

C) 200

de

los

complementos aritméticos de los siguientes números: 986; A) 28 D) 6

50 MATEMATICA

4. Si: el C.A. de 7ab es m35 ;

72;

1 B) 42 E) 50

C) 51

6. Calcular la suma de cifras de abc , si abc − cba 2xy, además abc + cba = 1535 A) 10 D) 14

B) 16 E) 21

C) 20

7. La suma de los términos de una resta es 480. La diferencia es la mitad del sustraendo. Dar la diferencia. A) 80 D) 160

B) 150 E) 70

C) 180

51

MATEMATICA

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8. Hallar el complemento aritmético del mayor número impar de 3 cifras diferentes A) 10 D) 13

B) 11 E) 14

10. Si se cumple: C.A. (a 2b 7) = 6m 2n . Hallar: a + b + m + n

C) 12

A) 10 D) 17

B) 102(8) E) 100(8)

TEMA: MULTIPLICACIÓN

C) 20

Es una operación directa, donde dados dos números “M” “m” llamados multiplicando y multiplicador respectivamente, se halla un tercer número “P” llamado producto.

A + A + .......... +  A O sea: P = A . B =  B"Veces "

9. Calcular: 10101(8) – 7777(8) A) 222(8) D) 444(8)

B) 15 E) 14

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C) 312(8)

Donde: M : multiplicando

Factores

m : multiplicador P : producto

CLAVES

Ejemplo: Multiplicar: 235 . 25

1. E

6. B

2. E

7. A

3. C

8. D

4. A

9. B

5. C

10.C

Procedimiento: Multiplicando

→ 275 *

Factores

Multiplicador

→

Producto Parciales

Producto parcial

→ 1375

2do producto parcial → 825 Producto total

OBSERVACIONES: CUANDO EL ENUNCIADO

35

→ 9625

DE UN PROBLEMA NOS DIGA:

“HALLAR

LA SUMA DE LOS

PRODUCTOS PARCIALES”, SE PROCEDE DE LA SIGUIENTE MANERA:

1375 → 1ER 825 → 2DO

PRODUCTO PARCIAL PRODUCTO PARCIAL

2200

MATEMATICA 52

53 MATEMATICA

TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

1. Si : abc . 7 = ...........6

PROBLEMAS PARA LA CLASE

Entonces c = 8

2. Si: abc . 4 = .............2 3

Entonces c =

8

1. Si se cumple que: abc .a = 1916 abc .b = 3353 Hallar la suma de cifras del producto abc . ab

3. Se cumple: (# impar) (........5) = ..........5 (# par) (..........5) = ...............0 4. Se cumple: n(n + 1) = 1

TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

................ 0 ................. 2 ................. 6

5. Escribiendo

un

cero

a

la

derecha de un número entero, se ha aumentado este número en 648. ¿Cuál es este número? Rpta.

Rpta.

2. Determinar un número que multiplicado por 11 aumente en 880

6. El producto de dos números que

se

diferencian

en

5

unidades es 150. Hallar la suma de las cifras del mayor

Rpta.

de dichos números. Rpta.

3. Calcular a + b + c + d, si: abc . 7 = d 422

7. El producto de tres enteros

Rpta.

consecutivos es 720, hallar la suma de dichos números

4. En una multiplicación, si multiplicando aumenta en unidades el producto aumenta 420 unidades. Calcular multiplicador inicial.

el 15 en el

Rpta.

8. Si: abc . 63 = ......746 Hallar: “a + b + c”

Rpta. Rpta.

MATEMATICA 54

55 MATEMATICA

TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

9. Si: abc . a = 2618

12. Si abc . 9 = ...... 384

PROBLEMAS PARA LA CASA

Hallar: “a + 2b + 3c”

abc . c = 1496 Hallar: abc x a0c

Rpta.

Rpta.

13. Hallar el C.A de abc sabiendo 10. José multiplica un número por 50, pero al hacerlo se olvida de poner el cero a la derecha, hallándose así un producto que se diferencia de verdadero en 11610. ¿Cuál es el número? Rpta.

11. Calcular a + b + c + d, si: abcd . 27 se obtiene como suma de sus productos parciales en número que termina en 2662

que: .......... abc . 7 = ......... 461

Rpta.

los del

B) 13 E) 27

C) 18

2. Determinar un número multiplicado por 7 aumente en 66 A) 11 D) 17

B) 14 E) 9

que

C) 10

5. Jessica, multiplica un número por 30, pero al hacerlo se olvida de poner el cero a la derecha, hallándose así un producto que se diferencie del verdadero en 216 ¿Cuál es el número? A) 5 D) 9

B) 8 E) 7

C) 6

6. El producto de res enteros consecutivos es 6, hallar la suma de dichos números:

15. Si abc . 4 = ............... 8 y mnc . 5 = ............... 0 Hallar el valor de “C”

Rpta.

1. Si se cumple que: abc . 2 = 836 y abc . 7 = 2926 Hallar la suma de cifras del producto: abc . 27 A) 10 D) 21

Rpta.

14. Hallar la suma de productos parciales siguiente producto C.A (27) . C.A. (874)

TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

Rpta.

3. Calcular: a + b + c + d Si: abc . 7 = d 192 A) 15 D) 18

B) 16 E) 19

C) 17

A) 7 D) 15

B) 9 E) 20

C) 12

7. Si: C.A. ( ac ) + b .......... .abc . 3 = ................ 245

NO POR

SE MIDE EL AMOR POR EL NÚMERO DE CARICIAS, SINO LA

FRECUENCIA

CON

QUE

UNO

Y

EL

OTRO

SE

COMPRENDEN

H. SPENCER

MATEMATICA 56

4. En un multiplicación, si el multiplicador aumenta 6 unidades el producto se incrementa en 1644. Calcular el multiplicando A) 274 D) 216

B) 254 E) 374

A) 1 D) 55

B) 50 E) 14

C) 56

C) 264

57 MATEMATICA

TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

8. Determinar un número que al multiplicarlo por 47. comete el error de colocar los productos parciales uno exactamente debajo de otro obteniendo así 4235. dar como respuesta la suma de sus cifras A) 14 D) 15

B) 16 E) 17

10. Calcular: a + b + c + d Si: abc1 = 3 × 2abc A) 10 D) 20

DPTO.

DE

PUBLICACIONES

“Manuel Scorza” V.L.E.B.

Es una operación binaria que consiste en que dados dos enteros, el primero llamado dividendo y el segundo llamado divisor, encontrar un tercero llamado cociente. D=d.q

D : dividendo d : divisor; d ≠ 0 q : cociente División Entera: Es un caso particular de la división en la que el dividendo, divisor y cociente son número enteros; en este caso se recurre a un cuarto términos llamado residuo.

C) 8

CLAVES

MATEMATICA 58

C) 15

. D÷ d=q .

Hallar a + b + c B) 9 E) 6

TEMA: DIVISIÓN

C) 18

9. Si: abc . 999 = ......... 784 A) 10 D) 7

B) 12 E) 23

TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

D d r q

r : residuo

45 9 0 5

→ 45 = 9(5)

D 0

→ D = dq

puede ser: 1. Exacta (residuo = 0)

1. C

6. C

Ejemplo:

2. A

7. C

En general

3. D

8. B

4. A

9. B

5. B

10. D

d q

2. Inexacta (residuo > 0) a) Por defecto Ejemplo: 67 4

9 7

→ 67 = 9(7) + 4

59 MATEMATICA

TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

En general D r

d q

→ . D = dq + r . ; d ∈ Z

TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

En general Si:

D d r q

→ Dn rn

dn q

Donde: 0 < r < d q : cociente por defecto r : residuo por defecto b) Por exceso Ejemplo:

EINSTEIN 67 9 5 8

En general:

→ 67 = 9(8) – 5

D d → D = dqe – re d∈Z+ re qe

Donde: 0 < re < d qe : cociente por exceso re : residuo por exceso Propiedades de la división inexacta 1. qe = q + 1

2. rmax = d – 1 3. r +re = d Alteración de la división por multiplicación Ejemplo: D .3 67 9 d.3 201 27 4 7 12 7

Él mismo escribió: «Nuestra experiencia nos justifica en la confianza de que la Naturaleza es concreción de las ideas matemáticas más sencillas.» Cuando tuvo que elegir las ecuaciones tensoriales capaces de dar cuenta de su teoría de la gravitación, entre todos los sistemas capaces de cumplir los requisitos necesarios optó por el más sencillo, y a continuación los publicó, con plena confianza (como en cierta ocasión le dijo al matemático John G. Kemeny) de que «Dios no hubiera dejado escapar una oportunidad así de hacer tan sencilla la Naturaleza». Se ha opinado que los enormes logros de Einstein han sido expresión intelectual de una compulsión psicológica de sencillez, que Henry David Thoreau expuso en Walden como sigue: «¡Sencillez, sencillez, sencillez! Hágame caso, que sus asuntos sean como dos o tres, no como cientos o millares. No haga por contar un millón, sino media docena, y lleve su contabilidad en una uña.» En su biografía de Einstein, Peter Michelmore refiere que «el dormitorio de Einstein parecía la celda de un monje. No había en él cuadros ni alfombras... Se afeitaba sin muchos miramientos, con jabón de fregar. En casa solía ir descalzo. Tan sólo cada dos o tres meses dejaba que Elsa (su esposa) le descargara un poco la pelambrera... Pocas veces encontraba necesaria la ropa interior. También dejó de lado los pijamas. y más tarde los calcetines. "¿Para qué sirven?", solía preguntar. "No producen más que agujeros." Elsa llegó a perder la paciencia un día en que lo pilló cortando de codo abajo las mangas de una camisa nueva. Su explicación fue que los puños requieren botones o gemelos y es necesario lavarlos con frecuencia, total, una pérdida de tiempo». «Toda posesión», decía Einstein, «es una piedra atada al tobillo.» Las ecuaciones de Newton tuvieron que ser, a su vez, modificadas por Einstein; y en nuestros días hay físicos—Robert Dicke entre ellos—que consideran insuficientes las ecuaciones de gravitación einstenianas y creen que habrán de ser modificadas y transformadas en otras más complejas.

x3

MATEMATICA 60

MATEMATICA 61

TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Al dividir 427 entre 4; hallar la suma del cociente por exceso, el residuo máximo y el residuo por defecto. Rpta.

5. El residuo de la división de cierto número entre 13 es 11, pero si dicho número se divide entre 11, el cociente aumenta en 1 y el resto disminuye en 1. hallar el número Rpta.

2. Hallar la suma de cifras del dividendo si el divisor es 15 y el cociente 7. Además el resto es máximo Rpta.

3. Si el divisor es igual a 19, el cociente por exceso igual a 8 y el residuo el menor valor posible. Hallar la suma de cifras del dividendo Rpta.

4. Luego de dividir 47 entre 3. hallar la suma de los términos de la división Rpta.

MATEMATICA 62

6. Si el divisor es 7 y el resto por exceso es 4. ¿Cuál es el resto por defecto? Rpta.

7. La suma de dos números es 110, si se divide el mayor entre el menor, el cociente es 12 y el residuo 6. hallar la diferencia de dichos números. Rpta.

8. Al dividir 62 entre 8, hallar la suma del cociente por defecto más el cociente por exceso más el residuo por exceso. Rpta.

TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

9. Si 124 es dividido entre cierto número se obtiene 17 de cociente y 5 de resto. Hallar dicho número Rpta.

13. El resto por defecto, es resto por exceso, el cociente por defecto y el divisor de una división están en progresión aritmética de razón 5. calcular el dividendo Rpta.

10. En una división inexacta, el resto es mínimo, el divisor es igual al cociente y el dividendo es 785. Hallar el cociente Rpta.

11. En una división de números enteros, el resto es 45, hallar el dividendo sabiendo que es mínimo y que el cociente vale 2 Rpta.

12. Al efectuar una división entera por defecto y por exceso, se observó que el residuo por defecto, el residuo por exceso, el cociente por defecto y el divisor, en ese orden, eran números consecutivos. Determinar el dividendo. Rpta.

14. Al dividir un número entre 5 el residuo es 3 y al dividirlo entre 8 el residuo es 6. Si los cocientes se diferencian en 9. ¿Qué residuo se obtendría al dividir el número entre 7? Rpta.

15. Cuál es el mayor entero tal que al dividendo entre 50 da un residuo que es igual al triple del cociente. Rpta.

16. Al dividir 511 entre N se obtuvo 31 de cociente y un residuo máximo. Hallar la suma cifras de “N” Rpta.

63 MATEMATICA

TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. El cociente por exceso es 25, el divisor 15 y el residuo por defecto 6. hallar el dividendo A) 360 D) 354

B) 366 E) 371

C) 371

B) 1552 E) 1452

C) 1352

B) 817 E) 848

C) 742

B) 12 E) 16

Hallar

la

suma de cifras de “N”

6. Al

B) 11 E) 15

efectuar

entera

se

una

división

observó

que

el

dividendo es 348, el cociente es 8 y el residuo la mitad del

A) 37 D) 43

7. La

suma

B) 45 E) 48

de

dos

C) 32

números

C) 14

cociente es 19 y el resto, el mayor posible. ¿Cuál es la diferencia de dichos números? A) 816 D) 826

8. La diferencia de dos números es 64 y la división del mayor entre el menor da cociente 3 y por residuo 18. ¿cuál es el mayor ? A) 23 D) 87

B) 41 E) 91

10. Luego de dividir 110 entre 7. hallar la suma del cociente por exceso, residuo máximo y el residuo por exceso

C) 59

A) 24 D) 11

B) 15 E) 9

C) 7

C) 12

enteros positivos es 902, su

4. Si el dividendo es 62, el cociente y residuo por defecto son 5 y 2 respectivamente. ¿Cuál es el divisor? A) 12 D) 15

máximo.

cociente. Hallar el divisor

3. Al dividir “N” entre 48 se obtiene 17 de cociente y un residuo mínimo. Hallar “N” A) 812 D) 852

obtiene 21 de cociente y un

A) 10 D) 14

2. En una división exacta, al dividir P entre 121 el cociente es el triple de la suma de cifras del divisor. ¿Qué número es P? A) 1442 D) 1453

5. Al dividir “N” entre 73 se residuo

TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

B) 859 E) 815

C) 749

9. El resto por defecto, el resto por exceso el cociente por defecto y el divisor de una división están en progresión aritmética de razón 7. Calcular el dividendo A) 112 D) 90

B) 110 E) 80

DPTO.

DE

PUBLICACIONES

“Manuel Scorza” V.L.E.B.

C) 100

CLAVES

1. B

6. D

2. E

7. A

3. B

8. D

4. A

9. A

5. C

10. A

TEMA: RELACIONES BINARIAS 65

MATEMATICA 64

MATEMATICA

TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

PAR ORDENADO Conjunto de dos elementos y denotado por (a; b), siendo “a” la 1era componente y “b” la segunda componente.

Resolución

Teorema Dos pares ordenados son iguales si y sólo si sus respectivas componentes son iguales. Así tenemos:

Observamos que:

. (a; b) = (c; b) ⇔ a = c ∧ b = d . !ATENCIÓN!

(a; b) ≠ (b; a)

Ejemplo: Si los pares ordenados (3m + 1; 9), (7; n + 2) son iguales, hallar “m + n” Resolución (2m + 1; 9) = (7; n + 2) ⇔ 2m + 1 = 7 ∧9 = n + 2 m=3 n=7 ∴ m + n = 10 PRODUCTO CARTESIANO Sean los conjuntos no vacíos A y B se llama producto cartesiano de A con B denotado por A . B al conjunto de pares ordenados, tal que la primera componente pertenece al conjunto A y la segunda componente pertenece al conjunto B. Así: A x B {(a; b)/a ε A ∧b ε B} Ejemplo: A = (3, 5,7) ; B = {2, 3} Hallar AxB y BxA 66

MATEMATICA

TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

A x B {(3; 2), (3; 3), (5; 2), (5; 3), (7; 2), (7; 3)} B x A {(2; 3), (2; 5), (2; 7), (3; 3), (3; 5), (3; 7)} A.B ≠ B.A (no es conmutativo) Propiedades 1. El número de elementos de A . B es igual al producto del número de elementos de A por el número de elementos de A por el número de elemento de B. n(A x B) ⇔ n(A) x n(B) 2. Si: A x B = B x A ⇔ A = B 3. Notación: A x A = A2 Grafica de un producto Cartesiano Sea: A = {1; 2; 3} ∧ B = {a; b} Hallar: . A x B y graficar . Resolución A x B = {1; 2; 3} . {a; b}

⇒ A x B = {(1; a), (1; b), (2; a),(2; a),(3;a),(3;b)}

67

MATEMATICA

TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

COLEGIO DORA MAYER

TERCER AÑO

Así tenemos: . R = {(x; y) ε A x B / x ε A ∧ x ε B} . En la relación R de A en B denotado por R: A → B. es el conjunto de partida y B el conjunto de llegada, sus elementos x e y se llaman pre imagen e imagen respectivamente y R se encarga de la correspondencia entre ellos. Así: x R y dice que “x” se relaciona con “y” mediante R se puede reemplazar por: >; =; ≤ , es el doble de, etc. Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {3, 6, 2} B = {4, 7} Hallar: AxB= R1 = {(x; y)} ε A x B / x < y} R2 = {(a; b) ε A x B / a + b es par} R3 = {(m, n) ε A x B / m . n es múltiplo de 3}

RELACIONES Una idea de relación es: Sean los conjuntos: A = {Lima; Bogota; Montevideo} B = {Colombia; Perú; Uruguay} Y la regla de correspondencia: “........ Es capital de ...........” Entonces podemos establecer el siguiente esquema ⇒ Otra manera de escribir el esquema anterior es con Pares ordenados (Lima; Perú), (Bogotá; Colombia), (Montevideo; Uruguay) Una relación es una correspondencia entre dos conjuntos que asocia elementos de un conjunto con algún elemento de otro conjunto. Si tenemos los conjuntos no vacíos A y B la relación R de A en B la podemos obtener como un subconjunto de producto Cartesiano.

MATEMATICA 68

Resolución A x B = {(3; 4), (3; 7), (6; 4), (6; 7), (2; 4), (2; 7)} R1 = {(3, 4), (3; 7), (2; 4), (2; 7)} R2 = {(2; 4), (6; 4), (3; 7)} R3 = {(3, 4); (3; 7), (6; 4), (6; 7)} Notación: R : A → B : donde A : Conjunto de partida B : Conjunto de llegada

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN Dominio Es el conjunto cuyos elementos son todos los primeros componentes de los pares ordenados de la relación.

MATEMATICA 69

TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

Rango Es el conjunto cuyos elementos son todas las segundas componentes de los pares ordenados de la relación.

Donde R: A → B, si lee: “R es una relación de A en B” R ⊂ A x B; se lee “R esta incluido en A x B” o “R es un subconjunto de A x B”

En toda relación hay: a) Un conjunto de partida b) Un conjunto de llegada c) Una regla de correspondencia

Ejemplo: Dado: A = {1, 2, 3,} ∧ B = {1, 2} Hallar: R = {(x; y) ε A x B / x ≥ 2}

Ejemplo: Dados los conjuntos A = {7, 9, 11} ; B = {4, 7, 12} Se define la relación R1 de la siguiente manera: R1 = {(x; y) ε A . B / x < y} Hallar su dominio y rango de R1 Resolución A . B = {(7; 4), (7; 7), (7; 12), (9; 4),(9; 7), (9; 12), (11; 4), (11; 7)(11; 12)} Luego se escoge los pares ordenados que cumplan con la condición x < y (la 1ra componente sea menor que la 2da componente) Así tenemos: R1 = {(7; 12), (9, 12); (11; 12)} Luego Dominio de R1 = Dom(R1) = {7, 9, 11} Rango de R1 = Rang (R1) = {12} RELACIÓN BINARIA Dados los conjuntos A y B, decimos que R es una relación de A en B si es un subconjunto del producto cartesiano A x B Notación: R: A → B ⇔ R ⊂ A x B 70 MATEMATICA

Resolución A x B = {(1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2), (3; 1), (3; 2)} Luego: R = = {(2; 1), (2; 2), (3; 1), (3; 2)} Propiedades de las Relaciones Definidas en un Conjunto A continuación, veamos tres propiedades muy importantes en las relaciones definidas en un conjunto.

1. Propiedad reflexiva. Se dice que en una relación es reflexiva cuando cada elemento del conjunto dado está relacionado consigo mismo. Notación R es Reflexiva en A si ∀ a ε A, aRa dicho de otra manera una relación es reflexiva en A cuando en su diagrama de flechas todos los elementos de A tiene un lazo como el que se indica: Ejemplo: ∴Qué relación definida

en A

A = {1, 2, 3, 4} es reflexiva R1 = {(1;1), (2;2), (3; 4), (3;3), (4; 4), (1; 4), (1; 2)} R2 = {(1, 3),(1;1),(1;2), (2; 2), (3; 3), (1; 4)} R3 = {(1;1), (2; 2),(3;3), (4;4)} 71 MATEMATICA

COLEGIO DORA MAYER

TERCER AÑO

R1

R2

TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

Ejemplo: Sea el conjunto A = {1, 2, 3} y R = {(x; y) ε A . A / x + y es par} Resolución A.A= {(1; 1); (1; 2); (1; 3) (2; 1); (2; 2); (2; 3) (3; 1); (3; 2); (3;3)} Los marcados son los que cumplen la condición, luego R es: R = {(1; 1), (1;3), (2;2),(3;1), (3; 3)}

R3

Resolución R1 y R3 son reflexiva pues todos sus elementos del conjunto “A” están relacionados consigo mismo. R2 ni es reflexivo porque no hay (4,4), el elemento 4 del conjunto A no esta relacionado consigo mismo. 2. Propiedad Simétrica Una relación es simétrica cuando cada vez que a está relacionado en b, entonces b está relacionado con a. Notación R es simétrica en A, si ∀ a ∈ A; b ε A a R b →b R a

MATEMATICA 72

3. Propiedad Transitiva Una relación es transitiva si cada vez que a esta relacionado con b y b esta relacionado con c, entonces a está relacionado con c. Notación: R transitiva en A, si ∀ a, ∀b, ∀ c ε A, a R b ∧ b R c →a R c Ejemplo: Si A = {1, 2, 3} y la relación R se define así: R = {(x; y) ε A2 / x + y = Par} Resolución R = {(1; 1), (1; 3), (2; 2), (3; 1), (3; 3)} 73 MATEMATICA

COLEGIO DORA MAYER

TERCER AÑO

TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Hallar la suma de los elementos del dominio de la relación: R = {(1; 0), (2; 3), (7; 9), (2;5)} 4. Relación de Equivalencia Una relación de equivalencia si cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva, Ejemplo: A = {5, 6, 7}, y R es una relación definida de la siguiente manera: R = {(x; y) ε A2 / x + y es par}

Rpta.

Rpta. 2. El gráfico adjunto, indica la relación “R” definida en A x A.

Rpta.

Calcular la suma de los elementos del rango de la relación Rpta.

∴ R es una relación de equivalencia

3. Hallar los valores de “x” e “y” para que exista la igualdad de los siguientes pares ordenados. (3x; 10) = (18; y - 3) (5; 3 – 2x) = (5y; 5) Rpta.

MATEMATICA 74

5. Hallar el dominio de R1 en:

A = {2; 3; 5; 6} ∧B = {3; 4; 6} R1 = {(x; y) ε A x B / x < y}

Resolución R = {(5; 5), (5;7), (6; 6), (7; 7), (7;5)} Si es Reflexiva Si es Simétrica

Si es transitiva

4. Hallar la mayor suma de elementos de algún par ordenado de N x M. Si M = {x ε N / 3 < x < 6} N = {x ε z / -2 < x 1}

6. Hallar el rango de R2 en: A = {3; 5; 7; 9} ∧B = {1, 2} R2 = {(x; y) ε A x B / x + y > 6} Rpta.

7. Dada las siguientes relaciones, definidas en A = {1; 2; 3}, indicar la relación que es reflexiva justifique su respuesta. R1 = {(1; 2), (2; 3), (3; 3)} R2 = {(1;1), (2;2), (3;3), (3;1)} Rpta.

MATEMATICA 75

TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

8. Dadas las siguientes relaciones, definidas en M = {3, 5; 7} indicar la relación que es simétrica. Justifique su respuesta. R1 = {(3; 3), (3; 7), (7; 5)} R2 = {(5; 3), (3; 5), (5; 5), (7;5)} R3 = {(7;7),(3;5),(5;3),(7;5),(5;7)}

11. Hallar la suma de los elementos del dominio de la relación “R” de “A en “A” A = {4; 5; 6; 7; 8; 9} R = {(a; b) ∈ A x A / b = a + 2} Rpta.

Rpta.

9. Dadas la siguientes relaciones, definidas en B = {a, b, c, d} indicar la relación que es transitiva. Justifique su respuesta. R1 = {(a; b), (b; a), (b; c), (a; c)} R2 = {(b;c),(b;a),(c;a),(a;c),(a;a)} R3={(a;a),(b;b),(a;b),(b;a),(b;c), a;c)} Rpta.

10. Dadas las siguientes relaciones definidas en A = {1; 2; 3} indicar la relación que es de equivalencia. Justifique su respuesta R1 = {(1;1),(1;2),(2;1),(2;2),(3;3)} R2 = {(1;1),(2;2),(3;3),(1;3),(3;2)} R3={(1;3),(3;1),(1;2),(2;1),(2;2)} Rpta.

TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

14. Dado el conjunto: A = {x/x ∈N; 5 < 2x < 15} Hallar el rango de la relación R = {(a; b) ∈ A x A / a + b < 9} Rpta.

15. Dados los conjuntos: A = {1; 3; 6} B = {2; 4; 7} C = {3; 4; 5; 6} Cuántos conjuntos tendrá (A - B) x (B - C) Rpta.

12. Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4} B = {4; 5; 7; 8} ¿Cuál de los siguientes conjuntos son relaciones de “A” en “B” R1 = {(1; 5), (2; 7), (2; 8)} R2 = {(2; 5), (2; 8), (4; 4)} R3={(3; 5),(4; 2),(4; 8)} Rpta.

13. Dados los conjuntos A = {2; 4; 6} B = {1; 2; 3} Se tiene una relación “R” de “A” en “B”. R={(2;1) (2;2) (2;a) (4;1) (4;b) (4;3)} Si ningún par ordenado de “R” está repetido, hallar “a + b” Rpta.

MATEMATICA 76

MATEMATICA 77

TERCER AÑO

COLEGIO DORA MAYER

PROBLEMAS PARA LA CASA

7. Dado el conjunto A = {4; 6; 7;

1. Hallar la suma de los elementos del 4. Dados los conjuntos: dominio de la relación A = {x + 3 / x ∈ N ∧ 5