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UNIVERSIDAD NACIONAL AMAZONICA DE MADRE DE DIOS

CONTABILIDAD Y FINANZAS

FUNCIONES DE DISTRIBUCION

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DE PROBABILIDAD

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FUNCION DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

1.-DEFINICIÓN En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos y cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria. También se dice que tiene una relación estrecha con las distribuciones de frecuencia. De hecho, se puede entender que una distribución de probabilidades sería una frecuencia teórica, ya que ésta última es aquella que describe cómo se espera que varíen los resultados. La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x. 2.- TIPOS DE VARIABLES a) Variable aleatoria: Es aquella cuyo valor es el resultado de un evento aleatorio. Lo que quiere decir que son los resultados que se presentan al azar en cualquier evento o experimento. b) Variable aleatoria discreta: Es aquella que sólo toma ciertos valores (frecuentemente enteros) y que resulta principalmente del conteo realizado. c) Variable aleatoria continua: Es aquella que resulta generalmente de la medición y puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado. 3.- DIVISIÓN DE DISTRIBUCIONES Esta división se realiza dependiendo del tipo de variable a estudiar, esto significa que: a) Si la variable es una variable discreta (valores enteros), corresponderá una distribución discreta, de las cuales existen:

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

Distribución binomial (eventos independientes).



Distribución de Poisson (eventos independientes).



Distribución hipergeométrica (eventos dependientes).

b) Si la variable es continua, esto significa que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, la distribución que se generará será una distribución continua, también llamada "distribución normal". Además, se puede utilizar la "distribución de Poisson como una aproximación de la distribución binomial" cuando la muestra por estudiar es grande y la probabilidad de éxito es pequeña. De la combinación de los dos tipos de distribuciones anteriores (a y b), surge una conocida como "distribución normal como una aproximación de la distribución binomial y de Poisson".

VARIABLE ALEATORIA Y DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD El concepto de una variable que es aleatoria se asocia directamente con los conceptos de probabilidad, revisados en el capítulo anterior; así que ampliaremos un poco esos conceptos en este capítulo.

1. Variable aleatoria Una variable aleatoria es aquella variable que toma diferentes valores numéricos, mediante un proceso de contar o medir, como producto de un experimento aleatorio. Esta variable es un valor o magnitud que cambia de una ocurrencia a otra sin seguir una secuencia predecible, es decir, en forma aleatoria. Recordemos que un experimento aleatorio es aquel del cual conocemos sus resultados (espacio muestral), pero no sabemos cuál de ellos (qué punto muestra) es el que sucederá; es decir, el resultado del experimento ésta libre de una determinación, es aleatorio.

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Por ejemplo, considere como experimento un partido de fútbol entre el equipo “A” y “B”, y la variable aleatoria asociada con este experimento mostrará los posibles resultados de este juego. Los posibles resultados del experimento son: gana “A”, gana “B”, hay empate. Sin embargo, no sabemos cuál de estos tres resultados se dará. La variable aleatoria tiene tres 2 gana “B”

1 gana “B”

3

empate Valores numéricos de probabilidad de ocurrencia. Por ejemplo, suponga que la variable aleatoria referida toma los valores de ocurrencia siguientes: Entonces, la variable aleatoria de este juego de fútbol tiene tres resultados posibles: Espacio muestral (juego de fútbol) = ⦃gana “A”, gana “B”, empate⦄. La variable aleatoria del juego puede definirse como: VA (juego de fútbol) = ⦃1, 2, 3⦄ Formalmente, Hildebrand y Lyman proponen la siguiente definición de variable aleatoria: “Dado un espacio muestral S, una variable aleatoria es una regla (función) que asigna un valor numérico a cada resultado de “S ”. Por otro lado, dado que una variable aleatoria toma valores numéricos producto de un proceso de contar o bien de proceso de medir, entonces, con base en ello estas variables se clasifican en variables aleatorias discretas o continúas. 2. variables aleatorias discretas

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Son aquellas que toman un número limitado de valores, generalmente números enteros que son producto de un conteo. Ejemplo: Considere que en una oficina de la Tesorería del Gobierno del Distrito Federal (GDF) se ésta analizando el número de contribuyentes que son atendidos diariamente. Los registros de los últimos 80 días indican que el número de contribuyentes atendidos está entre 120 y 130, como se muestra en el cuadro 4.1. Cuadro 4.1. Número de

Días observados

contribuyentes

en este nivel

120

2

121

4

122

7

123

9

124

11

125

14

126

11

127

9

128

7

129

4

130

2

Total

80

Como la variable aleatoria comprende valores numéricos enteros entre 120 y 130 contribuyente, entonces ésta es una VA discreta. 3. Variable aleatoria continúa Es aquella que toma cualquier valor numérico producto de una medición, el cual está referido a un rango o intervalo de valores, es decir, es aquella variable, que puede tomar un valor entero, un entero y una fracción, o bien, una fracción de una unidad. FUNCIONES DE DISTRIBUCION

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Ejemplo: Se realiza la medición de la estatura (m) de 20 empleados d una compañía farmacéutica. Los resultados de estas mediciones se muestran en el cuadro 4.2. Cuadro 4.2. 1.62

1.66

1.55

1.75

1.74

1.65

1.67

1.54

1.72

1.61

1.55

1.73

1.66

1.71

1.69

1.73

1.57

1.58

1.62

1.70

Las estaturas de estos empleados, producto también de una medición. Están entre 1.54 m y 1.75 m, y como observarse toman cualquier valor, es decir, se trata de una variable aleatoria continua.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Una distribución de probabilidades de una variable aleatoria discreta es el conjunto de todos los posibles resultados numéricos de un experimento a los que podemos asignar un valor de ocurrencia o probabilidad. Este conjunto de resultados son mutuamente excluyentes y pueden expresarse mediante fórmula, una gráfica o por medio de un cuadro estadístico (tabla). Matemáticamente hablando, la distribución de probabilidades de una variable aleatoria discreta X es una función 𝑃𝑥 (𝑥) que da un valor de probabilidad a cada valor 𝑥 que forma la variable 𝑋. Esta distribución de probabilidades de una variable aleatoria discreta X tiene las siguientes propiedades: 

La probabilidad 𝑃𝑥 (𝑥) de cada valor que presenta la variable 𝑥 debe tomar un valor numérico en el intervalo 0≤ 𝑃𝑥 (𝑥) ≤ 1



La suma de las probabilidades para todos los valores (𝑥𝑖 )de X es igual a 1 (uno), es decir,

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∑ 𝑃𝑥 (𝑥𝑖 ) = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 𝑖=1



Como cada valor de 𝑋 es un suceso mutuamente excluyente, sus probabilidades son aditivas, es decir:

P(X = 𝑥1 ∪ 𝑋 = 𝑥2 ) = 𝑃𝑥 (𝑥1 ) + 𝑃𝑥 (𝑥2 ) Si retomamos el ejemplo de la Oficina de la Tesorería del Gobierno del Distrito Federal, a cada valor de la variable aleatoria le podemos asignar un valor numérico de ocurrencia (probabilidad) en la siguiente forma: Por ejemplo, la probabilidad de que se presenten 121 contribuyentes es: 4

P(x=121)= 80 = 0.05 Con el mismo procedimiento, se calcula la distribución de probabilidad de los valores numéricos que toma la variable aleatoria discreta. Cuadro 4.3. Número de

Días observados en

Probabilidad de que

Contribuyentes X

este nivel

la variable aleatoria X se presente

120

2

0.0250

121

4

0.0500

122

7

0.0875

123

9

0.1125

124

11

0.1375

125

14

0.1750

126

11

0.1375

127

9

0.1125

128

7

0.0875

129

4

0.0500

130

2

0.0250

Total

80

1

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CONTABILIDAD Y FINANZAS 0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02

0 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

Número de contribuyentes

Como podrá observarse, la variable aleatoria discreta del número de contribuyentes cumple con tres propiedades de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta, que hemos propuesto previamente, es decir: 

La probabilidad Px (121) de que la variable X tome el valor numérico de 121 contribuyentes está en el intervalo 0 ≤ 𝑃𝑥 (121) ≤ 1



La suma de las probabilidades para todos los valores (x) de X es igual a 1, es decir,

𝑛

∑ 𝑃𝑥(120,121,122, … ,130) = 1 𝑖=1



Como cada valor de X es un suceso mutuamente excluyente, sus probabilidades son aditivas, es decir , 𝑃(𝑋 = 120 ∪ 𝑋 = 121) = 𝑃𝑥 (120) + 𝑃𝑥 (121) = 0.075

Ejemplo: El administrador de una clínica del Instituto de Seguro Social al Servicio de os Trabajadores del Estado (ISSSTE) analiza el número de consultas médicas del FUNCIONES DE DISTRIBUCION

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servicio geriátrico que se proporcionan semanalmente. Los resultados de las últimas 40 semanas se muestran en el cuadro 4.6. Numero de servicios

Numero de semanas

Geriátricos por semanas 70

5

71

7

72

9

73

8

74

6

75

5

total

40

Se calcula la distribución de probabilidades para esta variable aleatoria discreta y se elabora la gráfica de la distribución correspondiente. Solución: Numero de servicios

Numero de semanas

Geriátricos por semanas

Probabilidad de que la variable aleatoria X se presente

70

5

0.125

71

7

0.175

72

9

0.225

73

8

0.200

74

6

0.150

75

5

0.125

total

40

1.0

Valor esperado en la toma de decisiones Si el administrador de la oficina de tesorería del gobierno del distrito federal (GDF) pregunto, ¿Cuántos contribuyentes espero recibir en los próximos días?; responder a su pregunta le permitirá determinar el número de empleados que requerirá para seguir prestando un servicio de calidad entonces este analista, FUNCIONES DE DISTRIBUCION

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deberá obtener un número estimado de contribuyentes para estos días (un promedio) y tomar una decisión. La herramienta requerida en este caso recibe el nombre de medida o valor esperado de una distribución de probabilidad discreta. El valor esperado de una variable aleatoria discreta es una media ponderada de todos los resultados posibles que presenta esta variable aleatoria. en esta media ponderada, los ponderados o pesos son as probabilidades que están relacionadas, como ya se dijo, con cada uno de los valores numéricos de la variable. Matemáticamente, este valor esperado se puede expresar como: 𝑛

𝜇 = 𝑉𝐸(𝑋) = 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑋𝑖 𝑃(𝑋𝑖 ),

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑖 = 1,2,3 … , 𝑛

𝑖=0

Donde: 𝑋𝑖 = I-esimo valor numérico de la variable aleatoria discreta X. 𝑃(𝑋𝑖 ) = Probabilidad de ocurrencia del i-esimo resultado de la variable aleatoria discreta X. De la expresión matemática se observa que para obtener el valor esperado de una VA discreta X se debe multiplicar cada valor de la variable toma por la probabilidad de ocurrencia de ese valor u luego se suman los productos. Por ejemplo, si queremos obtener el valor esperado de contribuyentes que llegaran a la oficina de la tesorería del GDF, lo obtendríamos en la siguiente forma: 𝑋𝑖 𝑃(𝑋𝑖 )

Numero de

Días observados Probabilidad de que la

contribuyentes X

en

variable aleatoria X se

Este nivel

presente

120

2

0.0250

3.000

121

4

0.0500

6.050

122

7

0.0875

10.675

123

9

0.1125

13.838

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124

11

0.1375

17.050

125

14

0.1750

21.875

126

11

0.1375

17.325

127

9

0.1125

14.288

128

7

0.0875

11.200

129

4

0.0500

6.450

130

2

0.0250

3.250

total

80

1

125

𝑉𝐸(𝑋) 𝑜 𝐸(𝑋) = 125 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑦𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 Es decir, el analista estaría, esperando en los próximos días un promedio de 125 contribuyentes, lo cual le permite tomar una decisión acerca del número de empleados que se requerirán para atenderlos y ofrecer con ello un servicio de calidad. Varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta La dispersión el comportamiento de una variable aleatoria discreta puede medirse, también mediante dos estadísticos de dispersión ya conocidos: la varianza y la desviación estándar. La varianza (𝜎 2 ) de una variable aleatoria discreta puede definirse como la media ponderada de los cuadros de la diferencia entre cada valor numérico que toma la variable aleatoria (𝑋𝑖 ) y su valor esperado [E(X)]. En donde los ponderados de esta diferencia son precisamente los valores de probabilidad asociados con cada valor numérico de la variable aleatoria. Matemáticamente, la varianza de una variable aleatoria discreta puede expresarse como: 𝜎 2 = ∑𝑛𝑖=1[𝑋𝑖 − 𝐸(𝑋)]2 𝑃(𝑋𝑖 ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑖 = 1,2,3, … 𝑛 Donde: 𝑋𝑖 = I-esimo valor numérico de la variable aleatoria discreta X. E(X) = media o valor esperado de la variable aleatoria discreta X.

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𝑃(𝑋𝑖 ) = Probabilidad de ocurrencia del i-esemo resultado de la variable aleatoria discreta X. Como ya se indicó en los primeros capítulos de este libro, la varianza es un estadístico que mide la dispersión en unidades al cuadrado; por lo que para obtener una dispersión en las mismas unidades en que se mide la media o valor esperado de la variable aleatoria discreta, se debe obtener la raíz cuadrada de ella; con ello, se calcula la desviación estándar de la variable aleatoria discreta. Matemáticamente, la desviación estándar (𝜎) de una variable aleatoria discreta se define como: 𝑛

𝜎 = √∑[𝑋𝑖 − 𝐸(𝑋)]2 𝑃(𝑋𝑖 ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑖 = 1,2,3, … 𝑛 𝑖=1

Donde: 𝑋𝑖 =I-esimo valor numérico de la variable aleatoria discreta X. E(X) = media o valor esperado de la variable aleatoria discreta X. 𝑃(𝑋𝑖 ) = Probabilidad de ocurrencia del i-esimo resultado de la variable aleatoria discreta X. Por ejemplo, si retomamos el ejemplo de la franquicia de la ciudad de puebla, en México, referente a las ventas de su helado de mandarina, obtendríamos una varianza d una desviación estándar de esta variable aleatoria discreta en la siguiente forma. Numero

de Número

de Probabilidad

helados

de días en que de

mandarina

se

por días 𝑋𝑖

esta ventana

que

𝑋𝑖 𝑃(𝑋𝑖 )

[𝑋𝑖 𝐸(𝑋)]2 𝑃(𝑋𝑖 )

la

observó variable aleatoria X se presente

30

6

0.120

3.60

0.726192

31

8

0.160

4.96

0.341056

32

12

0.240

7.68

0.050784

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33

11

0.220

7.26

0.064152

34

7

0.140

4.76

0.332024

35

6

0.120

4.20

0.774192

total

50

1.0

32.5

2.2884

La varianza es: 𝜎 2 . = 2.2884 helados, y la desviación estándar: 𝜎 = 1.5 helados. Es decir, el administrador de esta franquicia esperaría vender un promedio de 32.5 helados de mandarina por día con una nueva variación aproximada de este promedio de 1.5 helados; esto es, entre 31 y 34 helados de este sabor por día. Distribución de probabilidad binomial Es una distribución de probabilidad de una gran cantidad de variables aleatorias discreta cuyos experimentales son generados mediante un proceso conocido como de Bernoulli. Su nombre se establece en honor del matemático suizo Jacob Bernoulli (1654-1705) Esta distribución de probabilidad se ocupa de experimentos en donde su resultado solo puede tomar un solo valor de dos posibles, porque estos resultados son mutuamente excluyentes. Por ejemplo, considere usted la siguiente pregunta en una entrevista: ¿trabajo usted la semana pasada? Sus posibles respuestas son: si, o bien, no. Dos posibles resultados, es una binomial y, por tanto, un entrevistado solo puedo responder a una de ellas; es decir, las respuestas se excluyen mutuamente. Cálculo de probabilidades en una distribución binomial Si se conoce la probabilidad de que en un experimento determinado se producirá un éxito, entonces es posible determinar cuántos éxitos habrá en un número determinado de experimentos. Matemáticamente, un experimento que presenta un proceso de Bernoulli puede definirse mediante los siguientes símbolos: 𝑃 = La probabilidad de tener un éxito. 𝑞 = (1 − 𝑝) =La probabilidad de tener un fracaso. 𝑟 = El número éxitos deseados al realizar un proceso de Bernoulli FUNCIONES DE DISTRIBUCION

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𝑛 = El número total de ensayos o intento utilizados (este número es fijo durante el experimento). Y calcularse con la relación: 𝑛!

𝑃𝑛, 𝑟 = 𝑟!(𝑛−𝑟)! 𝑝𝑟 𝑞 𝑛−𝑟

(4.1)

Recordemos que el símbolo n!, significa n factorial. Por ejemplo, 3! = 3x2x1=6, y que 0! = 1. Ejemplo: En un cuestionario acerca del empleo se pregunta: ¿usted trabajo actualmente? Se ha considerado que el 65% de los entrevistados responderá que “si”. Se hicieron ocho cuestionarios del estudio. ¿Qué probabilidad hay de que en cinco de ellos respondan afirmativamente? Solución:

𝑃8.5 =

8! 5!(8−5)

0.655 0.358−5

𝑛 = 8, 𝑟 = 5, 𝑝 = 0.65 𝑞 = 1 − 𝑝 = 0.35

𝑃8.5 = 56(0.116029)(0.042875) 𝑃8.5 = 0.2786

La probabilidad de que en cinco de ellos respondan afirmativa es: 0.2786 En la hoja electrónica de cálculo Excel podemos utilizar la función que permite calcular la probabilidad de una distribución binomial =DISTRI.BINOM(r, n, p,), para nuestro ejemplo, la probabilidad buscada se calcula con la función: = DISTR. BINOM (5, 8,0.65), cuyo valor en la celda de la hoja es: 𝑃8.5 = 0.278585779. Medida de desviación estándar en una distribución binomial Como ya se indicó en el tema anterior, se cuenta con las fórmulas de cálculo de la media y la desviación estándar de la distribución de probabilidad de una

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variable aleatoria, por lo que, en el caso de una distribución binomial, este cálculo se simplifica considerablemente dado que solo tenemos dos posibles resultados. La medida de una distribución binomial se calcula mediante (4.2): 𝜇 = 𝑉𝐸(𝑋) = 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝

(4.2)

Donde: n= número total de ensayos o intentos utilizados en el experimento. P= la probabilidad de tener un éxito. Y la desviación estándar de una distribución binomial (4.3) se calcula como: 𝜎 = √𝑛 𝑝(1 − 𝑝) 𝜎 = √𝑛 𝑝 𝑞 (4.3) Donde: n = número total de ensayos o intentos utilizados en el experimento. P = la probabilidad de tener un éxito. q = la probabilidad de tener un fracaso. Ejemplo: En la zona norte del distrito federal se ha realizado un estudio que muestra que un 70% de los hogares en la zona tienen servicio de internet. Si seleccionamos 50 hogares aleatoriamente. ¿Qué promedio de hogares en la muestra contara con el servicio de internet? Solución: n = 50 hogares seleccionados p = 0.70 de contar con servicio de internet q = 0.30 de contar con servicio de internet Por tanto: µ= 50(0.70) =35 hogares en promedio en la zona cuentan con servicio de internet, con una desviación estándar de:

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𝜎 = √50(0.70)(0.30) =3.24 hogares. Distribución de probabilidad hipergeometrica Una de las características de la distribución binomial es que la probabilidad de éxito debe ser la misma para cada ensayo sucesivo, esto se debe a que se trata de un proceso en el que el número de ensayos es finito y con reemplazo de los elementos que forman el experimento. Por ejemplo, en un examen, la probabilidad de que un individuo adivine la respuesta correcta para una pregunta con dos opciones, “a” y “b”, es 0.50.

La distribución de probabilidad hipergeometrica surge al seleccionar una muestra sin reemplazo de una población finita conocida y que presenta una proporción relativa grande de la población, de tal forma que la probabilidad de éxito cambia de una selección a otra. Por lo que la distribución hipergeometrica determina la probabilidad de tener un determinado número de éxitos en una muestra que se obtuvo de una población con un determinado nuero de éxitos. En resumen, puede establecerse que una distribución de probabilidad se puede manejar con una distribución de probabilidad hipergeometrica si: 

Se selecciona una muestra de una población finita sin reposición.



El tamaño de la muestra “n” es mayor que 5% d tamaño de la población (N).

La relación matemáticamente que permite calcular distribución de probabilidad hipergeometrica es: 𝑃(𝑥) =

𝑌 𝐶𝑥

𝑁−𝑦

𝐶𝑛−𝑥

𝑁 𝐶𝑛

Donde: C = símbolo de las combinaciones N = tamaño de la población n = tamaño de la muestra y = número de éxitos en la muestra

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x = número de éxitos en la muestra N-y = número de fracasos en la población N-x = número de fracasos en la muestra Ejemplo: El administrador del estado de santa clara cuenta con diez vacas Holstein de alto rendimiento, pero cuatro de ellas al revisarlas el veterinario, se les detecta una enfermedad contagiosa. ¿Qué probabilidad hay de que, en una muestra de tres vacas, dos de ellas presenten la enfermedad contagiosa? Solución: N = 10

n=3

y=4 𝑃(𝑥) =

𝑃(𝑥) =

𝑃(𝑥) =

x =2 𝑌 𝐶𝑥

𝑁−𝑦

𝐶𝑛−𝑥

𝑁 𝐶𝑛 4 𝐶2

10−4 𝐶3−2 10 𝐶3

(6)(6) = 0.30 120

Media y varianza de la distribución de probabilidad hipergeometrica La media de la distribución de probabilidad hipergeometrica s define como: 𝜇=

𝑛𝑦 𝑁

; Donde y/n = P, la cual tiende al valor de la media en una distribución

binomial (𝜇 = 𝑛𝑝) si el tamaño de la población (N) es muy grande con respecto al tamaño de la muestra(n). La varianza, por otro lado, está definida con la relación: 𝑦 𝑁−𝑦 𝑁−𝑛 𝜎2 = 𝑛 ( ) ( )( ) 𝑁 𝑁 𝑁 Distribución de probabilidad de poisson Es una distribución de probabilidad que se aplica para variables aleatorias discretas, ya que mide la frecuencia relativa de un evento en función a una unidad de tiempo, a una de espacio, o bien, a una de volumen.

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La distribución de poisson permite describir el comportamiento de la probabilidad n problemas como: 

Número de llegadas de clientes por hora a un banco, restaurante o bien, una tienda.



Número de accidentes por semana en una escuela, empresa o carretera.



El número de imperfecciones por centímetro en los toldos de las carrocerías de automóviles nuevos.

Esta distribución de probabilidades de poisson es el resultado de las siguientes hipótesis: 

Los eventos suceden uno a la vez, es decir, la probabilidad d que ocurran dos o más eventos en el mismo instante es cero.



La probabilidad de ocurrencia del evento de interés es constante para dos intervalos distintos de tiempo, espacio o volumen.

Media y varianza de una distribución de probabilidad de poisson Con base en la definición de la distribución de probabilidades de poisson se establece que la media o valor esperado es igual que lambda (𝜆). 𝐸(x)=𝜆 La varianza para esta distribución de probabilidad también es igual que lambda (𝜆). 𝜎2 = 𝜆 Y la desviación estándar para esta distribución de probabilidad es igual que: 𝜎 = √𝜆 Ejemplo: en una sucursal del banco Aztek ubicada en el centro de la ciudad llega un promedio de seis clientes por minuto. Si se considera una distribución de poisson, ¿Qué desviación estándar de clientes se tiene en esta sucursal? Solución: 𝐸(𝑥) = 𝜆 = 6 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 𝜎 2 = 6 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 𝜎 = √𝜆

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𝜎 = √6 = 2.45 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 Es decir, en promedio tenemos un arribo de seis clientes por minuto con una dispersión de más y menos 2.45 clientes. Esto es en cada minuto se puede esperar la llegada de entre cuatro y ocho clientes. Distribuciones discretas de probabilidad en Excel Las distribuciones discretas de probabilidad, puede tratarse mediante el uso de funcionamiento construidas para ellas en Excel.

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CONSTRUCCION DE UNA TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR ZEN EXCEL Para construir una tabla de distribución normal estándar Z en Excel, es necesario utilizar en la hoja electrónica la función: =DISTR.NORM.ESTAND(valor Z) Siempre será el mismo para todas las columnas.

Por ejemplo:

Z=0.22 es la hoja, = DISTR.NORM.ESTAND(B10 + E7) -0.50

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Figura 5.9. Es la función de la hoja que calcula distribución normal estándar Z acumulada de - ∞ al valor de la Z, por lo que es necesario, para calcular un área determinada, restar 0.50 que corresponde a la primera mitad de la curva. = DISTR.NORM.ESTAND(B10 + E7) -0.50

En este ejemplo de tabla se utilizo una aproximacion a cuatro decimales ,pero puede elaborarse una con los decimales que se requiera. EJEMPLO 8: Una empresa de electrodomesticos tiene una produccion diaria que se distribuye normalmente con una media de 158 unidades y una desviacion estandar de cuatro unidades.Encuentre la probabilidad de uqe el numero de unidades producidas por dia: a) b) c) d)

Sea menor que 163 unidades. Sea mayor que 164 unidades. Este entre 150 y 165 unidaes. Este entre 160 y 168 unidades.

Solucion: µ =158 unidfades σ = 4 unidades × = 163 unidades a) Sea menor que 163 unidades.es conveniente dibujar la grafica para tener una idea clara de lo que se quiere calcular.

158 0

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163 +1.25

21

× z

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Se estandariza el valor de la variable aleatoria Z= 163-158 = 1.25 4 El valor de la Z se utiliza con dos digitos despues del punto decimal ,para luego usar las tablas ;para Z =1.25 la probabilidad es de 0.3944. P(Z ‹ 1.25) = P(x‹ 163) = 0.5 + 0.3944= 0.8944 En la hoja electronica de excel ,esta distribucion de probabilidad puede calcularse con la funcion: = DISTR.NORM(µ ,σ,s,acum ) Donde: µ =media de la pblacion σ =desviacion estandar de la poblacion. × =cualquier valor de la variable aleatoria continua (-∞‹X‹+∞). 1 =valor acumulado de al probabilidad de al distribucion normal. = DISTR.NORM(163 ,158,4,1 )=0.89435023

b) Sea mayor que 164 unidades. Z= 164-158 = 1.25 4

158 0

164 +1.25

× z

Para Z=1.5 la probabilida es 0.4332. P(Z>1.5)=P(x>164)=0.5-0.4332=0.0668 En la hoja electronica de excel ,esta distribucionde probabilidad puede calcularse con la funcion: = 1- DISTR.NORM(164,158,4,1) =0.0668072 P(x>164)=1-0.9331928=0.0668072

FUNCIONES DE DISTRIBUCION

22

DE PROBABILIDAD

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c) Este entre 150 y 165 unidaes.

150 -2

158 165 0 +1.75

× z

Z1 = 150-158 = -2 4

Z2

=

165-158 = 1.75 4

Al buscar en la tabla los valores ,la probabilidad para Z1 =-2 es de 0.4772 , y para Z2 =1.75 es de 0.4599 , por tanto: P(-2< Z