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• sofía cepeda

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RESUMEN En el presente informe se estudiaron algunas modelaciones matemáticas descritas en el artículo “Uso de la modelación matemática en los procesos de fermentación en estado sólido de sustratos fibrosos destinados a la alimentación animal”. Donde se trataba de buscar una modelación de las ecuaciones diferenciales de primer orden a un proceso de fermentación en condiciones rusticas, tratando de asemejar a modelos de diferentes autores, los cuales estaban realizados con variables controladas. Los productos obtenidos en esta fermentación pueden ser destinados a la alimentación animal. Las ecuaciones tenidas en cuenta fueron, las ecuaciones de balance de masa y energía, además de una ecuación logística para describir el crecimiento microbiano en estos procesos. Ya que estas permiten predecir la cantidad de proteína del producto y el tiempo de volteo del sustrato. Pero con las modelaciones matemáticas utilizadas en este proceso no se llegó a describir el comportamiento de la fermentación en estado sólido en condiciones rusticas. EXPLICACIÓN E IMPORTANCIA DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS. La importancia de los modelos utilizados radica en que permiten obtener los valores de parámetros que explican un proceso particular y ofrecen una idea de cómo se combinan los diversos fenómenos de la fermentación para controlar el rendimiento global. Los modelos son, además, la base para evaluar el proceso y tienen gran importancia en el diseño del equipamiento y los criterios de control (Singhania et al. 2009). Algunas de las aplicaciones que se usaron por diferentes autores para describir el crecimiento poblacional en el artículo esta dada por la ecuación diferencial siguiente: Un modelo más realista que el malthusiano para el estudio de la evolución de una población es el conocido como modelo logístico, dado por la ecuación diferencial dP P =kP (1− ), donde la constante K se conoce como la capacidad de carga del dt k medio ambiente. Una forma de pensar esta ecuación es partir de un modelo dP =αP   y considerar que no existe espacio vital o alimento suficiente malthusiano dt que permita continuar a la población con un crecimiento malthusiano o exponencial. Tomando en consideración estas hipótesis, se dará un enfrentamiento (por el alimento o por el espacio vital) de un individuo de la población con otros, de estos enfrentamientos, se producirá la muerte de una parte proporcional de la población, βP.  Al tomar en cuenta a todos los individuos de la población y todos los posibles encuentros, se producirá la muerte de βP2 elementos de la población. Por lo que, el modelo que toma en cuenta estas consideraciones sobre la restricción de alimento o de espacio vital está dado por dP =αP−β P 2 [1] dt

Los modelos matemáticos utilizados en este proceso son: cinéticos, balance de masa y energía. Los cinéticos relacionan el crecimiento de los microorganismos y su afectación por las condiciones medio ambientales. En el caso del balance de masa y energía vincula las leyes de conservación en la cama de sustrato y de los alrededores de los sistemas. El modelo de balance de masa y energía se obtienen a partir de las ecuaciones de fenómeno de trasporte las cuales enlaza las varias direcciones, por ejemplo, la conservación de energía correspondiente.

El primer término representa la variación de la temperatura debido a la convención. El segundo, los cambios de temperatura producto del mecanismo de conducción, constituye la fuente calorífica por unidad de volumen (Garcell et al. 1984). Como se dijo que el modelo de balance de masa y energía está ligado con la trasferencia de calor en el proceso de las FES incluye además de ecuaciones cinéticas y ecuaciones auxiliares, para que estos modelos tengan validación se realizaron una comparación con la salida del aire, teórica con la medida experimental. Identificando que tiene una semejanza significativa, pero esto solo ocurre con variables controladas. Otros diferentes autores, también tienen modelos con gran valides como son: Sahir (balance energético), Rajagopalan y Modak (trasferencia de oxígeno), Weber (balance de agua), Sangsurasak y Mitchell (evaporación y trasferencia de calor), Dustet e Izquierdo (comportamiento de humedad) han realizado estos modelos en la actualidad. Los modelos anteriores con variables controladas, se querían tratar de ser adaptarlo en condiciones de FES rusticas, pero debido a que las anteriores modelos no presentan estas condiciones rusticas no pueden ser usado debido a sus dinámicas. En los modelos cinéticos para la fermentación de estados solidos son: lineal, exponencial, logístico (más utilizado) y de rápida aceleración/lenta desaceleración (Mitchell et al. 2004). En la tabla 1 se recogen las ecuaciones diferenciales para cada uno de ellos.

Tratando de modelar el modelo logístico se llegó finalmente a la ecuación de cinética, describiendo el crecimiento poblacional mixto en la fermentación rustica

Donde: X es la concentración de biomasa (kg de biomasa/kg de sustrato) Xm y X0 representan la concentración máxima e inicial de biomasa, respectivamente (kg de biomasa/kg de sustrato) µ es la velocidad específica de crecimiento (h-1) t es el tiempo (h). Con su aplicación, se puede determinar también, el contenido de biomasa producto de la fermentación, que es equivalente a un por ciento de proteínas, y se representa por la variable. En el caso del balance de energía se utilizo

Donde: X es la concentración de biomasa (kg de biomasa/ kg de sustrato) t es el tiempo (h) T es la temperatura (ºC) Cpb es la capacidad de calor de la cama de sólidos (kJ/kg ºC) kb es la conductividad térmica de la cama (kJ/mh ºC)

Pb es la densidad de la cama de sólidos (kg/m3 ) Ps es la densidad del sustrato (kg/m3 ) ε es la porosidad x y z representan el largo y la altura de la cama de sólidos, respectivamente (m) ΔH0 es el calor estándar de combustión de moléculas orgánicas (J/kg de oxígeno) Yx/o2 es el coeficiente de rendimiento biomasa/oxígeno (kg de biomasa/kg de oxígeno). El balance de energía permite predecir, en el tiempo y en la posición, la temperatura del sistema, lo que es de gran utilidad, pues esta es una variable que afecta el crecimiento microbiano durante la fermentación. Los perfiles de temperatura están relacionados directamente con la cinética, ya que al crecer la población de células evoluciona el calor metabólico En el balance de masa, las ecuaciones que se tuvieron en cuenta para determinar las velocidades de consumo de sustrato y oxígeno, como también la cantidad de agua que se obtienen por la fermentación fueron

Donde: X es la concentración de biomasa (kg de biomasa/ kg de sustrato) T es el tiempo (h) Cs ,Co2 y CH2O es la concentración de sólido, oxígeno y agua, respectivamente (kg/m3 ) Ps es la densidad del sustrato (kg/m3 ) ε es la porosidad de la cama de sólido Y x/s es el coeficiente de rendimiento biomasa/sustrato (kg de biomasa/kg de sustrato) Yx/o2 es el coeficiente de rendimiento biomasa/ oxígeno (kg de biomasa/kg de oxígeno) es el coeficiente de rendimiento biomasa/agua (kg de biomasa/kg de agua) Los balances de masa permiten estimar la velocidad de consumo de sustrato y oxígeno, así como la velocidad de producción de agua. En el caso del sustrato, es de gran importancia, ya que a medida que ocurre la fermentación existe un gran consumo de este compuesto. Además, el calor metabólico se genera, fundamentalmente, a partir del sustrato que es fuente de energía. Se debe considerar también el balance de

oxígeno, pues este es un nutriente indispensable para las fermentaciones aerobias. Además, porque existe una relación entre la cantidad de calor que se evoluciona y el oxígeno que se consume en el proceso. La relación entre balance de masa y balance de energía esta dado por los rendimientos biomasa/sustrato y biomasa/ oxígeno, los que no son más que las cantidades de las especies señaladas, que se obtienen o consumen en el proceso fermentativo. Todas las ecuaciones anteriores son de vital uso en los modelamientos descritos por diversos autores, se querían ser usadas en la fermentación de algunos residuos agroindustriales, para ser transformando en alimentos para animales sin tener en cuenta el control de variables que pueden alterar el proceso de fermentación en condiciones de rusticidad. CONCLUSIONES En el artículo (FES) se determinó que ningún modelo matemático por el momento describe el comportamiento de la fermentación en estado rustico, aunque la modelación permite medir algunos factores como son la fermentación de concentración de biomasa y como el nivel de proteína verdadera. Los resultados difieren un poco de los modelados con condiciones controladas por ende no hubo un modelo que describiera las condiciones de rusticidad. BIBLIOGRAFIA [1] Dr. Valdez. M.- (Maestría en Ciencias Matemáticas Aplicadas e Industriales, http://mat.izt.uam.mx/mcmai/ ) Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa,México D.F. MÉXICO