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Parte del Examen de Ecuaciones Diferenciales “TRAYECTORIAS ORTOGONALES Y OBLICUAS” 6 – 719 - 2353

Socimo Carvajal

Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas 𝟐𝐱 𝟐 + 𝐲 𝟐 = 𝟒𝐜𝐱

c es constante

𝟐𝐱 𝟐 + 𝐲 𝟐 =𝐜 𝟒𝐱

C.A:

𝟐𝐱 𝟐 𝐲 𝟐 + =𝐜 𝟒𝐱 𝟒𝐱 𝐱 𝐲𝟐 𝐅(𝐱, 𝐲) = + 𝟐 𝟒𝐱

𝑓𝑥 =

1 𝑦2 2𝑥 2 − 𝑦 2 − 2= 2 4𝑥 4𝑥 2

𝑓𝑦 =

𝑦 2𝑥

Luego la ED asociada es: 𝟐𝐱 𝟐 − 𝐲 𝟐 𝐅𝐱 𝟐𝐱 𝟐 − 𝐲 𝟐 𝟐 𝟒𝐱 ′ 𝐲 =− =− =− 𝐲 𝐅𝐲 𝟐𝐱𝐲 𝟐𝐱 Por lo tanto, la ED asociada a las trayectorias ortogonales es: 𝐝𝐲 𝐟𝐲 𝟐𝐱𝐲 = = 𝟐 𝐝𝐱 𝐟𝐱 𝟐𝐱 − 𝐲 𝟐 Como se observa, esta ED es homogénea y la resolvemos de la siguiente manera: 𝐝𝐲 𝐝𝐱

=

𝟐𝐱𝐲 𝟐𝐱 𝟐 −𝐲 𝟐

Tenemos

=

𝟐𝐲 𝐱 𝐲𝟐 𝐱 𝟐 (𝟐− 𝟐 ) 𝐱

𝐱𝟐( )

=

𝐲 𝐱 𝐲 𝟐 𝟐−( ) 𝐱

𝟐( )

𝐰=

𝐲 𝐝𝐲 𝐝𝐰 => 𝐲 = 𝐱𝐰 => =𝐱 +𝐰 𝐱 𝐝𝐱 𝐝𝐱

Al sustituir en la ED: 𝐱

𝐝𝐰 𝐝𝐱

+𝐰=

𝟐𝐰 𝟐−𝐰 𝟐

=> 𝐱

𝐝𝐰 𝐝𝐱

=

𝟐𝐰 𝟐−𝐰

−𝐰 = 𝟐

𝟐𝐰−𝟐𝐰+𝟑𝐰 𝟑 𝟐−𝐰 𝟐

=

𝐰𝟑 𝟐−𝐰 𝟐

(𝟐 − 𝐰 𝟐 ) 𝐝𝐱 𝐝𝐱 𝟐 − 𝐰𝟐 𝟏 −𝟑 𝐝𝐰 = => ∫ = ∫ 𝐝𝐰 = ∫ − (𝟐𝐰 ) 𝐝𝐰 𝐰𝟑 𝐱 𝐱 𝐰𝟑 𝐰 𝐰 −𝟐 𝟏 𝐥𝐧 𝐱 = 𝟐 ( ) − 𝐥𝐧 𝐰 + 𝐂 = − 𝟐 − 𝐥𝐧 𝐰 + 𝐂 −𝟐 𝐰 𝐥𝐧 𝐱 +

𝟏 + 𝐥𝐧 𝐰 = 𝐂 𝐰𝟐 𝐲

Y debido a que 𝐰 = se tiene que 𝐱

𝐱𝟐 𝐲 𝐱𝟐 𝐥𝐧 𝐱 + 𝟐 + 𝐥𝐧 ( ) = 𝐂 => 𝐥𝐧 𝐱 + 𝟐 + 𝐥𝐧 𝐲 − 𝐥𝐧 𝐱 + 𝐂 𝐲 𝐱 𝐲 𝐱𝟐 => 𝟐 + 𝐥𝐧 𝐲 = 𝐂 => 𝐱 𝟐 + 𝐲 𝟐 𝐥𝐧 𝐲 = 𝐜 𝐲 𝟐 𝐲 Por lo tanto, las trayectorias ortogonales están dadas por la familia de curvas. 𝐱𝟐 𝐲𝟐

+ 𝐥𝐧 𝐲 = 𝐂 𝐲 𝟐 ; Donde C es constante