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• Luis Enrique Nuñez Vergara

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Independencia De La Trayectoria

A una curva regular parte por parte con extremos A y B se le llama a veces trayectoria de A a B. a continuación se obtienen condiciones bajo las cuales una integral de línea es independiente de la trayectoria en una región, en el sentido de que si A y B son puntos arbitrarios, entonces se obtiene el mismo valor para todas las trayectorias de A a B en esa región. Los resultados se demostrarán para integrales de línea en dos dimensiones. Las demostraciones para el caso de tres dimensiones son similares y se omiten.

Si la integral de línea ∫c f (x, y) ds es independiente de la trayectoria, se denota a veces por ∫BA f (x, y)ds porque el valor de la integral depende sólo de los extremos A y B de la curva C. una anotación similar se usa para ∫c f (x, y)dx y ∫c f (x, y)dy y para las integrales de línea en tres dimensiones.

El siguiente teorema, que es el resultado fundamental, dice que si un campo F es continuo, entonces la integral de línea ∫c F . dr es independiente de la trayectoria si y sólo si F es conservativo. Teorema (18.13)

Si F (x, y) = M (x, y)i + N (x, y)j es continuo en una región D abierta y conexa, entonces la integral ∫c F . dr es independiente de la trayectoria si y sólo si F (x, y) = s f (x, y) para alguna función escalar f. Teorema (18.14)

Sea F (x, y) = M (x, y)i + N (x, y)j continuo en una región abierta y conexa D, y sea C una curva regular parte por parte en D con extremos A (x1, y1) y B (x2, y2). Si F(x,y) = s f (x, y), entonces ∫c M(x, y)dx + N(x, y)dy = ∫ F . dx = f(x2, y2) – f (x1, y1) = f (x, y)]

Integral de línea de un campo vectorial. Sea C una curva parametrizada regular a trozos en el plano con parametrización c(t) con t ∈ [a, b] . Sea el campo vectorial F : U ⊆ R2 → R2 de forma que C ⊂ U y F = (P,Q) es

continuo en C. La integral de línea de F (o circulación de F) a lo largo de la curva C se define como el número

El valor de la integral de línea depende de la orientación de la parametrización tomada para C, es decir, es independiente salvo por la orientación. Igualmente se puede definir para campos vectoriales en el espacio. Si C es una curva cerrada entonces se denota la integral de línea como

Propiedades de la integral de línea para campos vectoriales. Sean dos campos vectoriales F, G : U ⊆ R2 → R2 continuos en U y C ⊂ U una curva parametrizada regular a trozos.

1. Si α, β ∈ R entonces 2. Si −C representa la misma curva C parametrizada con orientación opuesta a la dada inicialmente entonces

3. Si C = C1 ∪ C2, con las orientaciones dadas por C, entonces