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• Ricardo Flores

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INTRODUCCIÓN: Las transformaciones lineales dentro del álgebra lineal no solo juegan un papel importante por ser casos especiales de funciones definidas sobre espacios vectoriales si no porque aparecen en diversas áreas de la matemática tanto a nivel teórico como aplicado. El estudio de éste concepto aparece en el temario de los primeros cursos de álgebra lineal de las carreras de ingeniería y de matemáticas en donde los alumnos se enfrentan con los distintos lenguajes abstractos propios del álgebra lineal se aborda al álgebra lineal de modo expositivo, el cual puede no dar el tiempo suficiente para que los alumnos construyan sus conocimientos de forma adecuada. Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa. Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas,

tienen

una

gran

variedad

de

aplicaciones

importantes. Las

transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática. Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.

1

Transformaciones Lineales 5.1.- Introducción a Las Transformaciones Lineales La transformación lineal es una función utilizada para la asignación de un espacio vectorial a otro espacio vectorial con la ayuda de los escalares, la cual satisface la expresión f(a*x+b*y) =a*f(x)+b*f(y). En otras palabras, se consideran 2 espacios vectoriales, V y W. Una transformación lineal es una gráfica T: V→ W que satisface dos condiciones: 1). T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) donde v1 y v2 son vectores en V. 2). T (xV) = x T (v) donde x es una escala Una transformación lineal puede ser sobreyectiva o inyectiva. En el caso que, W y V tengan dimensiones idénticas, entonces T puede llegar a ser invertible, esto es, se encuentra T-1 el cual satisface la condición TT-1 = I. Asimismo, T (0) será siempre 0.

Fig. 1 Ejemplo: Transformacion lineal

2

La teoría de la matriz entra en la teoría de las transformaciones lineales porque es posible representar cada transformación lineal como matriz. La multiplicación de matrices puede considerarse como el ejemplo principal que puede demostrar el concepto de transformación lineal. Una matriz A de dimensión n x m define que T (v) = Av y aquí v es representado como un vector columna. Veamos un ejemplo: Aquí, la transformación lineal t es definida como T (x, y) = (y, −2x + 2y, x). En el caso que, V y W sean de dimensión finita, la transformación lineal está mejor representada con la multiplicación de matrices en lugar de estableciendo la base del espacio vectorial, tanto para W y V. En el caso que, W y V incluyan un producto escalar y también los espacios vectoriales correspondientes y que W y V sean orto normales, será simple representar la matriz correspondiente como. Mientras que w y v son de dimensión infinita, la transformación lineal puede ser continua. Por ejemplo, considera que un espacio polinómico de 1 variable sea v y T una derivada. Entonces, T (xn) = nxn-1, una no continua como xn/n = 0 mientras que T (xn)/n no converge. El resultado de la suma de 2 o más transformaciones lineales, la multiplicación de una transformación lineal por número particular, y la multiplicación de 2 transformaciones

lineales,

son

siempre

transformaciones

lineales.

Una

transformación lineal en la cual su identidad es descrita en el espacio euclidiano siempre es auto-adjunta en el caso de que la matriz A correspondiente sea simétrica en cualquier base orto normal. Una transformación lineal que es auto-adjunta y se describa en una dimensión finita unitaria, el espacio (euclidiano) contiene una base orto normal en la cual su matriz lleva una forma diagonal. Existen

dos

espacios

fundamentales

que

están

asociados

a

una

transformación lineal: su kernel ker(T) y su imagen im(T). El kernel y la imagen de una transformación lineal T corresponden con el espacio nulo y el espacio de la columna de cualquier matriz que represente a T.

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En un sistema lineal, el número de variables es igual al número de variables libres más el número de variables angulares, quedando una transformación lineal final T: V→ W en la identidad dim V = dim ker(T) dim im(T). Si dim ker(T) = 0 y dim im(T) = dimW, entonces t esta sobre y uno a uno. En este caso, esto se denomina un isomorfismo. Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función T: V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c: a) T (u + v) = T (u) + T (v) b) T (c u) = c T (u) Demuestre que la transformación T : R2 →R2 definida por

T

[ xy] ¿[ xx +3+2 yy ]

Es lineal. Solución Sean u

[]

¿ x1 y1

Entonces: T ( u+ v )=T

[

([ ] [ ]) [ ]

x + x +3 y + y ¿ ( 1 2) ( 1 2) ( x 1 + x 2) + 2 ( y 1 + y 2 )

x1 + x 2 =T x 1 + x 2 y1 y2 y1 + y2

] 4

[]

¿ x2 yv y2

[

][

¿ x 1+ 3 y 1 + x2 +3 y 2 x 1+ 2 y 1 x2 +2 y 2

]

[] [ ]

¿ T x 1 +T x 2 =T (u)+ T (v) y1 y2

Por otro lado, para todo escalar c,

[ ]

T (c u)=T c x 1 c y1

[

¿ c x1 +3 c y 1 c x1 +2 c y 1

[

¿ c x1 +3 y 1 x1 +2 y 1

]

]

[]

¿ c T x1 y1

¿ c T (u)

Como se cumplen las dos condiciones:

T ( u+ v )=T ( u ) +T ( v ) T ( c u )=cT ( u ) T es lineal. Una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una transformación lineal queda unívoca-mente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio.

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Ejemplo. Hallar, si es posible, una transformación lineal verifique

2→

R

2

que

f ( 1,1 )=( 0,1 ) y f ( 1,0 )= ( 2,3 ) .

Dado f

f :R

( x 1 , x 2 ) ϵ R2 se tiene que ( x 1, x 2 ) =x2 ( 1,1 ) + ( x 1−x 2)

( 1,0 ) . Entonces si

verifica lo pedido, debe ser f ( x 1, x 2) =x 2 f (1,1 ) + ( x 1−x 2 ) f ( 1,0 ) =x2 ( 0,1 ) + ( x 1−x 2 ) . ¿ ( 2 x 1−2 x 2 , 3 x1−2 x 2 )

( 2,3 )

.

Además, es fácil ver que esta función es una transformacion lineal y que vale f ( 1,1 )=( 0,1 ) Luego,

y f ( 1,0 ) =( 2,3 ) . f ( x 1, x 2) =( 2 x 1−2 x 2 , 3 x 1−2 x 2 )

es la unica transformación lineal que

satisface lo pedido. Teniendo en cuenta que las transformaciones lineales son funciones entre conjuntos, tiene sentido estudiar la validez de las propiedades usuales de funciones: inyectividad, suryectividad y biyectividad. Las transformaciones lineales que verifican alguna de estas propiedades reciben nombres particulares: Definición 3.6 Sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f : V → W una transformación lineal. Se dice que: 1. f es un monomorfismo si f es inyectiva. 2. f es un epimorfismo si f es suryectiva. 3. f es un isomorfismo si f es biyectiva.

En algunos casos, consideraremos transformaciones lineales de un K-espacio vectorial en s ı mismo: 6

Sea V un K-espacio vectorial. Una transformación lineal f : V → V se llama un endomorfismo de V . Si f es un endomorfismo que es además un isomorfismo, entonces se dice que es un automorfismo.

5.2.- Nucleo e Imagen De Una Transformacion Lineal Objetivos. Definir el núcleo y la imagen de una transformación lineal, probar que son subespacios (del dominio y del contradominio respectivamente), ver la relación con las propiedades inyectiva y suprayectiva, conocer algunos ejemplos. Luego en otras clases vamos a estudiar, cómo construir bases en el núcleo y en la imagen, y cómo están relacionadas sus dimensiones. Requisitos. Transformación lineal, imagen de un conjunto bajo una aplicación, pre imagen de un conjunto bajo una aplicación, funciones inyectivas, funciones suprayectivas. 1. Definición (la imagen de una transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). La imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de la aplicación T: im(T) := w ∈ W : ∃v ∈ V tal que w = T(v) . 2. Definición (el núcleo de una transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). El núcleo (kernel, espacio nulo) de T se define como la pre imagen completa del vector nulo: ker(T) := x ∈ V : T(x) = 0W . 3. Proposición (el núcleo de una transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). Entonces ker(T) es un subespacio de V . 4. Proposición (la imagen de una transformación lineal es un subespacio vectorial del condominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). Entonces im(T) es un subespacio de W.

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Parte de demostración. Se aplica el criterio de subespacio. Se demuestra que el conjunto im(T) es cerrado bajo la adición y bajo la multiplicación por escalares, además contiene al vector cero. Mostremos que el conjunto im(T) es cerrado bajo la adición. Sean w1, w2 ∈ im(T). Por la definición de la imagen, existen v1, v2 ∈ V tales que w1 = T(v1), w2 = T(v2). Por la linealidad de T, T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = w1 + w2. Logramos encontrar un vector x = v1 + v2 tal que T(x) = w1 + w2. Por la definición de la imagen, esto implica que w1 + w2 ∈ im(T).

5.2.1 Representación matricial de una transformación lineal

Fig.2 Transformación reflexión sobre el eje x.

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Proposición: Sea L : V → W, una transformación lineal, entonces nulidad(L) + rango(L) = dim(V ). Proposición: Sea L : V → W, una transformación lineal, entonces 1. Si L es uno a uno, entonces es sobre. 2. Si L es sobre, entonces es uno a uno.

5.2.2 Inyectividad y suprayectividad de una transformación lineal en términos de su núcleo e imagen 5. Definición de función suprayectiva (repaso). Una función f : X → Y se llama suprayectiva o sobreyectiva si para cualquier y ∈ Y existe un x ∈ X tal que f(x) = y. 4 6. Observación (criterio de la suprayectividad de una función en términos de su imagen). Según la definición, f se llama suprayectiva si Y ⊂ im(f). Pero la contención im(f) ⊂ Y es válida cualquier función f : X → Y . Por lo tanto, f es suprayectiva ⇐⇒ im(f) = Y. 7. Definición de función inyectiva (repaso). Una función f : X → Y se llama inyectiva si para cualesquiera x1, x2 ∈ X tales que f(x1) = f(x2), se cumple la igualdad x1 = x2. 8. Proposición (criterio de la inyectividad de una transformación lineal en términos de su núcleo). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). Entonces: T es inyectiva ⇐⇒ ker(T) = {0V }. Demostración. =⇒. Supongamos que T es inyectiva. Tenemos por demostrar la igualdad ker(T) = {0V }. Sabemos que la contención {0V } ⊂ ker(T) se cumple para cualquier transformación lineal. Vamos a demostrar que ker(T) ⊂ {0V }. Para ello, consideremos un vector arbitrario v ∈ ker(T) y demostremos que v = 0V . Por la

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definición del núcleo tenemos que T(v) = 0W . Por otro lado, sabemos que T(0V ) = 0W . De las últimas dos igualdades sigue que T(v) = T(0V ). Como T es inyectiva, podemos concluir que v = 0V . ⇐=. Supongamos que ker(T) = {0}. Sean u, v ∈ V tales que T(u) = T(v), demostremos que u = v. Por la linealidad de T, T(u − v) = T(u + (−1)v) = T(u) + (−1)T(v) = T(u) − T(v) = 0. Esto significa que T(u − v) ∈ ker(T). Luego u − v = 0 y u = v.

Ejemplo 9. Ejemplo (el núcleo y la imagen de la transformación nula). La transformación nula 0V →W : V → W está definida mediante la fórmula ∀v ∈ V 0V →W (v) := 0W . Es fácil ver que ker(0V →W ) = V , im(0V →W ) = {0W }. 10. Ejercicio (el núcleo y la imagen de la transformación identidad). Determine ker(I) y im(I) de la transformación identidad I : V → V definida mediante la fórmula ∀v ∈ V I(v) := v. 11. Ejemplo (el núcleo y la imagen de la transformación D). Consideremos el operador D : Pn(R) → Pn(R), Df = f 0 . Entonces im(A) = Pn−1(F), ker(A) = P0(F). 12. Ejemplo (el núcleo y la imagen de una proyección en V 2 (O)). Sea P el operador de proyección sobre `1 paralelamente a `2. Entonces ker(P) = `2, im(P) = `1.

13. Ejemplo. Transformada lineal en R 2 asociada con la matriz:

T:R

2→

R

2

[ ] [ ][ ] [ ]

T x1 = 1 0 x1 = x1 0 0 x2 x2 0

,

10

[ ] 1 0 0 0

Es facil ver que

{[ ] }

ker ( T )={ x ∈R 2 : x 1=0 }= 0 : x 2 ∈R x2

ℑ ( T )={ y ∈R : y 2 =0 }= 2

{[ ] } y1 : y 1 ∈R 0

14. Problema adicional. Sean V, W, X espacios vectoriales sobre un campo F y sean T ∈ L(V, W), U ∈ L(W, X). Demuestre que im(UT) ⊂ im(U), ker(T) ⊂ ker(UT). 15. Problema adicional. En este problema se trata de funciones generales, no necesariamente de transformaciones lineales. Sean f : X → Y , g : Y → Z. Demuestre que: 1. Si la composición gf es suprayectiva, entonces g es suprayectiva. 2. Si la composición gf es inyectiva, entonces f es inyectiva.

5.3.- La Matriz De Una Transformacion Lineal Si A es una matriz de m*n y T: R n-Rm está definida por Tx = Ax, entonces, T es una transformación lineal. Ahora se verá que para toda transformación lineal de R n en Rm existe una matriz A de m*n tal que Tx = Ax para todo x ϵ Rn. Este hecho es de gran utilidad. Si Tx = Ax. Entonces un T = N A e Im T = RA. más aun, v(T) = dim un T = v(A) y p(T) = dim Im T = p(A). Así se puede determinar el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal de R n-Rm determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx = Ax. Se puede evaluar Tx para cualquier x en Rn mediante una simple multiplicación de matrices. Pero esto no es todo. Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz. Teorema 1

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Sea T:Rn -Rm una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m*n, AT tal que Tx=A T x para toda

x ∈Rn

Demostración Sea w1 = Te1,w2 = Te2,….,wn = Ten. Sea AT la matriz cuyas columnas son w 1, w2, …., wn y hagamos que AT denote también ala transformación de R n-Rm, que multiplica un vector en Rn por AT. si

Entonces:

12

De esta forma, ATei = wi para i = 1,2,….n., T y la transformación A T son las mismas porque coinciden en los vectores básicos. Ahora se puede demostrar que AT es única. Suponga que Tx = ATx y que Tx = BTx para todo x ϵ Rn. Entonces ATx = BTx, o estableciendo CT= AT – BT, se tiene que CTx = 0 para todo x ϵ Rn. En particular, CTei es la columna i de CT. Así, cada una de las n columnas de CT es el m-vector cero, la matriz cero de m*n. Esto muestra que AT = BT y el teorema queda demostrado.

Definición 1.- Matriz de transformación La matriz AT en el teorema 1 se denomina matriz de transformación correspondiente a T o representación matricial de T. NOTA. La matriz de transformación AT está definida usando las bases estándar tanto en Rn como en R3. Si se utilizan otras bases, se obtendrá una matriz de transformación diferente. TEOREMA 2

Sea AT la matriz de transformación correspondiente a laa

transformación lineal T. entonces. a) Im T = Im A = CAT b) P(T) = p(AT) c) Un T = NAT d) v(T) = v(AT Ejemplo 1

Representación matricial de una transformación de proyección

Encuentre la matriz de transformación AT correspondiente a la proyección de un vector en R3 sobre el plano xy.

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Solución

Teorema 4 Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V = n. sea T:V-W una transformación lineal y sea AT una representación matricial de T respecto a las bases B1 en V y B2 en W. entonces   

p(T) =p(AT) V(A) = v(AT) V(a) + p(T) = n

Teorema 5 Sea T:Rn-Rm una transformación lineal. Suponga que C es la matriz de transformación de T respecto a las bases estándar S n y Sm en Rn y Rm, respectivamente. Sea A1 la matriz de transición de B2 a base Sm en Rm. Si AT denota la matriz de transformación de T respecto a las bases B 1 y B2, entonces. −1

A T =A 2 C A 1 Geometría de las transformaciones lineales de R 2 en R2.

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Sea T:R2-R2 una transformación lineal con representación matricial AT Ahora de demostrará que si AT es invertible, entonces T se puede escribir como una sucesión de

una

o

más

transformaciones

especiales,

denominadas expansiones,

compresiones, reflexiones y cortes. Expansiones a lo largo de los ejes x o y Una expansión a lo largo del eje x es una transformación lineal que multiplica a la coordenada x de un vector en R2 por una constante C >1. Esto es c T x = x y y

()( )

Entonces

T 1 = c yT 0 = 0 , 0 0 1 1 de manera que si

()() ()()

AT = C 0 01

( )

, se tiene

T x =A x = c 0 x = c x y y 01 y y

( ) ( ) ( )( ) ( )

De manera similar, una expansion a lo largo del eje y es una transformacion lineal que multiplica la coordenada y de todo vector en

R2

por una constante C>1

como antes

Si

c T x = x y y

()( )

Entonces la representación matricial de T es

(10 0c )( xy)=( cx ) y

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A T =¿

(01C0 )

de manera que

Fig.3 Ejemplo: Expansión a lo largo de los ejes (x,y)

a)

Se comienza con este rectángulo.

b)

Expansión en la dirección de x c = 2.

c)

Expansión en la dirección de y con c = 4.

Compresión a lo largo de los ejes x o y. Una compresión a lo largo de los ejes x o y es una transformación lineal que multiplica ala coordenada x o y de un vector en R 2 por una constante positiva 0