Algebra 5
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Colegios
TRILCE
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Índice Semana 1 Leyes de exponentes .............................................................................................
5
Semana 2 Operaciones con polinomios ................................................................................
9
Semana 3 Multiplicación de polinomios................................................................................
15
Semana 4 Operaciones con polinomios – división de polinomios .........................................
19
Semana 5 Factorización de polinomios .................................................................................
25
Semana 6 Expresiones algebraicas racionales........................................................................
31
Semana 7 Radicación
............................................................................................................
35
Semana 8 Teoría de ecuaciones: ecuaciones de primer grado...............................................
41
Semana 9 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita ..................................................
45
Semana 10 Sistema de ecuaciones ..........................................................................................
51
Semana 11 Planteamiento de ecuaciones I..............................................................................
59
Semana 12 Planteamiento de ecuaciones II ............................................................................
65
Semana 13 Teoría de ecuaciones: planteamiento de ecuaciones III ........................................
69
Semana 14 Desigualdades e inecuaciones ...............................................................................
75
Semana 15 Inecuaciones de segundo grado ............................................................................
81
Semana 16 Funciones I............................................................................................................
87
Semana 17 Funciones II .......................................................................................................... 93
ÁLGEBRA Semana 18 Funciones III ..................................................................................................... .... 103 Semana 19 Leyes de exponentes – polinomios – grados – polinomios especiales ................... 109 Semana 20 Operaciones con polinomios II ............................................................................. 113 Semana 21 Factorización – expresiones algebraicas racionales .............................................. 117 Semana 22 Repaso de ecuaciones de segundo grado .............................................................. 121 Semana 23 Planteo de ecuaciones I ........................................................................................
123
Semana 24 Sistema de ecuaciones lineales y no lineales y planteamiento de ecuaciones II ....
127
Semana 25 Desigualdad e inecuaciones ..................................................................................
131
Semana 26 Funciones I: notación funcional ............................................................................ 137 Semana 27 Funciones II: dominio y rango de una función ...................................................... 143 Semana 29 Funciones III: función lineal y cuadrática .............................................................
149
Semana 29 Funciones IV: biyectiva .........................................................................................
155
Semana 30 Repaso I ................................................................................................................ 159 Semana 31 Repaso II ............................................................................................................... 163 Semana 32 Repaso III.............................................................................................................. 169 Semana 33 Repaso IV.............................................................................................................. 175 Semana 34 Repaso general ......................................................................................................
181
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 1 Quinto Católica
LEYES DE EXPONENTES LEYES DE EXPONENTES
4.
Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los exponentes a través de las operaciones de potenciación y radicación.
Potencia de una multiplicación. (ab)n = anbn
5.
Potencia de una división.
Potenciación a n an ; b 0 b = bn
Es una operación matemática que consiste en hallar una expresión llamada potencia, partiendo de otras expresiones llamadas base y exponente.
nota: * Si "b" es un número real y "m", "n", "p" son enteros, entonces:
notación:
bm
a: Base n: Exponente P: Potencia
an = P
mx
=b
= by = z
Se efectúa las potencias de arriba hacia abajo. radicación en ir:
DEfiNiciONES:
Es una operación matemática que consiste en hacer corresponder dos números llamados índice y radicando con un tercer número llamado raíz, el cual es único, según:
exPonente natural
an =
np
; Si: n = 1 a a . a ... . a ; Si: n 2
n
b = r rn = b
"n" veces n: Índice (n 2 ; n IN) b: Radicando r : Raíz n–ésima principal de "b"
exPonente cero Si: a 0, se define:
a0 = 1
TEOrEmaS
nota: 00 no está definido
Si:
n
ay
n
b existen, entonces se cumple:
exPonente negativo 1. Si: a 0 n lN se define:
a–n =
1 an
=
Raíz de una multiplicación.
1n a
nota: 0–n no existe
n
2.
n n
Sean "a" y "b" números reales y "m" y "n" números enteros positivos, entonces se cumple: 3.
n
a = b
ab
a ; si: b 0 b
n
Raíz de una radicación. m n
m
bm bn
=
b=
m.n
b
nota:
División de bases iguales.
3.
n
Multiplicación de bases iguales. am . a n = am + n
2.
b=
Raíz de una división.
teoremas:
1.
a.
bm – n
Potencia de potencia. (bm)n = bm . n = (bn)m
m
a
n
n
p
b
c
a a =
=
m.n
am ×
bmn ×
cmnp
a n +
exPonente fraccionario m
m n
Si: a n , existe en lR se define: a n = am m
nota: bn bn.m
TRILCE Católica
5
Ciclo Católica Problemas para la clase
10. Reducir: P = 64–9
nivel i 1.
A.
Efectuar: 5 . 5 . 5 . … . 5 –
–1 –4–2
1
25
B.
4 1
C.
2
(–5)54 .
D.
1
4
56 factores A. B. 2.
556 0
nivel ii
1056 512
C. D.
Efectuar: 7 . 7 . 7 . … . 7 – 726 . (–7)24
11.
3.
4.
1 0
C. D.
2 . 750 750
43
56 21
Reducir: E = (– 3)0 – 50 + 20 A. B.
4 5
+2
C. D. 0
–4–2
4
Reducir: (–2)10 + 50 –
3
05
A.
1 25
B.
25 135 7–13
5.
–2 1
6 7
1 2
A. B. 6.
–3
1 + –7
– 48 – 66
10
–2
C. D.
5
3
C.
B.
1
D.
7.
Efectuar: Q = 2 + 2 + A. B.
8.
A. B.
+ (–3)2
– 50 50
A. B.
4
–
C. D.
0 20
Efectuar: P = 4–1 + 5 +
7
x9 – x6
D.
2x + 2 . 4x + 2a 8x – 2 . 16a + 2
2
C.
B.
4
D. 25x + y . 5x –
B.
6
3
14
1 8– 125x – 2 . 5 2–1
A.
1
B.
5
17. Hallar: T =
2y
1 C. D.
5 25
C. D.
15 21
(7)(14)2(15)2 (352)(12)
7 14
18. Reducir: E =
3a + 5 – 3(3a + 2) 3 . 3a + 4
1 9 1
1 1 4
A. B.
1 1 2– 2 6 Reducir: 14 12 2+ 6– 6 2 A.
2 3
5
2
6+
9.
2
–x(–3)
x–9 – x9
C. D.
25
1 4
2
8m – 1 . 16n + 1
A.
C.3 5
2
2m + 1 . 4m + 2n
0 1
16. Simplificar: N =
24
1
B.
2
3(–5)0
– 2(–60)
3
9
C. D.
4 A.
1 3
15. Simplificar: P =
–3 2
1 3(2–1)
5
A.
14. Simplificar: E = C. D.
1 –4
D.
13. Efectuar: M = (–x2) (–x–3) x3 x–3
0 2
–2 1 –2 + – 1 – 1 –40 Efectuar: K = 3 16 2
A. B.
625
+ 21
C. D.
Efectuar: M = –
C.
12. Reducir: M = 37
3
A. B.
–1
125
50 veces A. B.
1
Reducir: M =
–27–9
C.
1
A. B.
D.
9
1 3 6
C. D.
8 9 4 3
Trilce Católica
Álgebra 19. Calcular: M =
A. B.
3x + 4 –
3(3x)
1
C.
3 1
A.
1
D.
B.
8 –1 – 12
1 20. Calcular: M = 4
– 1 3
– 1 4
–1
C. D.
21. Reducir:
1
–3
+
20 40 2
5
29. Efectuar:
7 9
A. B.
3
4.
3
4.….
3
4 + (–22)
C. D.
22. Calcular: K =
2
2.
2.
C. D.
y x–2. 2 y– 23. Reducir: T = 2y (2 ) –y (y2 –) x (2 . y )
2
.
2 32
C.
24. Reducir: K =
D.
x
2
2
.
2
1.
4
0 1
x
1
2 3
D.
0 2 . 650 0
2.
2 2y
Reducir: (–15) A. B.
3
2 26
;x>0;y>0 C.
B.
1
D.
1 3
Reducir: P = A. B.
4.
1 4
–2
+ 1 3
9 10
4
xy
B.
5. C. D.
2 2 2
1 2
Trilce Católica
+ 20100
C. D.
–2 2
– 14
1 – 40
–
C. D.
Reducir: M = 64–27 A.
xy
8
x
50
0
–9
2
8
1 8
–4–2
1
C.
2 1
2 4
x
92 + 138 x x 69 + 46
C. D.
6.
3 4
Reducir: N = –81 A. B.
A. B.
–16
54 45
D.
4
C. D.
3 – 3–1
1 – –8 3
–3 –1
Reducir: M =
1 4
2 2 2
x
1 650
+ 23 – 41
8
27. Simplificar: A =
C. D.
–70
x+y
8
5 4 3 4
100 veces
3.
A.
26. Efectuar: A =
x x
–1
C. D.
x–4 + y–4
x . C.
2 3 2
x4 + y4
A. B.
C. D.
5
2 . 16
Efectuar: 6 . 6 . 6 . … . 6 – 3625 . (–6)50
A. B.
13x + 2x 13–x + 2–x
26x 13
25. Reducir: T = 4
A. B.
a
Tarea domiciliaria
x
y
B.
A. B.
B.
2
16 8
y2
D. 4
3
16 64 2.
y
ab
2 . 32
5
A.
0 1
A.
C.
30. Hallar el exponente de “x” luego de efectuar:
15 factores
A. B.
am . b–n ; a ≠ 0 ; b ≠ 0 a–n . bm
a
0,5
– –
5
5 6
1 b
nivel iii
A. B.
m+ n
1
27
A. B.
–1 .
28. Reducir: M = a b
78(3x + 3)
3x – 1 – 3 x + 3 x +
1
3x – 3 C. D.
63 1
7
Ciclo Católica
7.
Reducir: K = 10 A. B.
8.
n+3
– 10 n+2 10
n+2
–2 (52 – 32)
C. D.
3 6
. 49 4
14. Calcular:
16–4
–2–1
–2–1
9
3 9
4 . 8 343
A. B.
1,31 1,32
15. Efectuar: P =
C. D.
3
.
a+b
7a . 3–b 7–b . 3a
A.
2
C.
1
A.
7
C.
B.
7
D.
1 7
B.
1
D.
Reducir: E =
A. B.
363 . (2163)–x 36 . (36–1)x
1 36
10. Reducir: N =
C. D.
216 6
a–x + b–x ; a ; b 0 ax + b x
x
ab
B.
x
C.
1 + 2x
Reducir: P = x
11.
1+ A. B.
5 2
12. Reducir: M = n
A. B.
8
0,5 2,0
b aa
b
a bb
1 + 3y 1+
3–y
C. D.
3 6
8n +
C.
b
B.
a
D.
a
C. D.
3 4
b
C. D.
4 16
–9–4–0,5
20n + 4n A. B.
1 2 a b
18. Simplificar: P = A. B.
A. B.
0,75 0,25
A. B.
b a
x + x ; para: a + b = ab xa + xb
x–1 x
C. D.
6 7
1 xa
72a + 1 . 5a . 7ab – 1 352b . 7a . 7ab + 1 C. D.
1 5
20. Si: xy–1 = 8; calcular: C. D.
a
80n + 16n
19. Simplificar: R = a – 2b
32n
; ab ≠ 0
a
64n + 162n
8 2
13. Reducir: 8–27 A. B.
2–x
+y
b
a
1
1
1 D. ab
ab
7
A.
17. Simplificar: 2n A.
3 3
16. Simplificar: S =
2
1,35 1,34
–1
7
4
9.
+ 25–4
9–4
1
Simplificar: T = 2 7
–2–1
–1
2x y
+ C. D.
7 35 x 2y 2 1
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 2 Quinto Católica
OPEraciONES cON POLiNOmiOS En Matemática, generalmente usamos símbolos para representar elementos arbitrarios de un conjunto. Por tanto la notación “x lR”, significa que “x” es un número real, aunque no especifique un número real en particular. Un símbolo literal que se usa para representar cualquier elemento de un conjunto dado, se llama variable. Las últimas letras del alfabeto tales como: “x”, “y”, “z”, “w”, ..., se emplean a menudo como variables. En cambio, el numeral que se utiliza para indicar un elemento fijo de un conjunto numérico se llama constante. En una expresión matemática, las variables y constantes se diferencian al usar la notación matemática, lo cual consiste en indicar los símbolos que representan a las variables dentro de un paréntesis.
Polinomio Son expresiones algebraicas racionales enteras en las cuales las variables están afectadas solo de exponentes enteros positivos.
O
F(x) = 3 – 5x +
a.
Ejemplo: Sea: P(x;y;z) =
3x2
(trinomio)
5 x5y3z
GR(x) = GR(y) = GR(z) =
Es un conjunto de letras y números donde las variables están relacionadas con cualquiera de las seis operaciones
Ejemplos:
(binomio)
grado relativo (g.r.) Es el grado respecto de una de sus variables y el valor es el exponente que afecta a dicha variable.
EXPrESiÓN aLGEBraica
n
grado de un monomio
Las variables son: Las constantes son:
aritméticas (+; –; ; x; ( )n;
(monomio)
R(x;z) = 2x2z + 5z5
Ejemplo: E (x; y; z) = 5x + 3ay2 + 2bz3 O
Ejemplos: P(x;y) = 5x3y7
B.
); en un número limitado de veces.
E(x) = x3 – 2x +
grado absoluto (g.a.) Es la suma de los grados relativos. Ejemplo: Sea:
3
x 2xy + 3x E(x;y) = y–1 Q(x) = x4 – sen y P(x) = x2 + x2 + sen x R(x) = 1 + x + x2 + x3 + ... G(x) = x2 + 2x
R(x;y;z) = 2x4y5z3 GA =
grado de un Polinomio a.
grado relativo Es el grado del polinomio respecto de una de sus variables y el valor es el mayor de los grados relativos de la variable en cada término.
tÉrmino algeBraico Ejemplo: Sea: Es una expresión algebraica donde no están presente las operaciones de adición y sustracción. Ejemplo:
GR(x) = GR(y) = B.
Exponentes M(x; y) = – 4x5y3 Coeficiente Variables
P(x;y) = 3x3y5 – 7x2y9 + 5x7
grado absoluto (grado del polinomio) Es el mayor de los grados absolutos de cada término. Ejemplo: Si: F(x;y) = 2x2y3 – 7x6y + 4x4y4 Polinomio en una variaBle
tÉrminos semeJantes Dos o más términos serán semejantes si los exponentes de las respectivas variables son iguales. Ejemplos: P(x;y) = 4x2y7 y Q(x;y) = –2x2y7 P(x;y) = 5x2y3 y S(x;y) = 2xy7 M(x;y) = –
TRILCE Católica
2x3
4x3 y2
y N(x) =
y2
Un polinomio en una sola variable tiene la siguiente forma general: P(x) = b0xn + b1xn – 1 + … + bn – 1x +bn x : Variable de “P” b0, b1; ...; bn: Coeficientes b0: Coeficiente principal (C.P.) bn: Término independiente (T.I.)
9
Ciclo Católica Ejemplo: P(x; y) = 3x3y12 + 23x8y7 – 15x15 – 13y15 15 15 15 15
nota: O
Término independiente: (T. I.)
R(x) = 7xy3 + 8x2y2 T.I.(P) = bn = P(0) O
4
Suma de coeficientes (coef.) coef.(P) = b0 + b1 + … + bn = P(1) valor numÉrico (v. n.)
nota: Un polinomio en dos variables, si está ordenado decrecientemente respecto a una de ellas y si es homogéneo estará ordenado crecientemente respecto a la otra variable. Polinomio idÉnticamente nulo:
Es el valor que se obtiene de una expresión al realizar las operaciones que en ella se indica, luego de haber asignado a sus variables, valores determinados.
Es aquel polinomio cuyos coeficientes son todos ceros. Ejemplo: P(x) = (n – m)x2 + (p – q) x, si es idénticamente
2x2 + 2 nulo:
Ejemplo: Sea: P(x) = x + 1
n–m=0m=n p–q=0p=q
Hallar el V. N.: de: P(2) P(2) =
POLiNOmiOS ESPEciaLES Polinomio mónico:
Polinomios idÉnticos: Dos polinomios son idénticos si sus términos semejantes tienen coeficientes iguales.
Un polinomio de una variable que tiene coeficiente principal uno se le denomina mónico. Ejemplos:
A(x) = 1 + x2 + 3x B(x) = 7 – 2x2 + x3 C(x) = x
Ejemplo:
Nivel i
Con respecto a una variable es aquel que presenta a los exponentes de dicha variable colocados en forma ascendente o descendente.
1.
Es un polinomio ordenado descendentemente respecto a “x”. P(x;y;z) =
+
A. B. 2.
41x7y4
C. D.
20 25
Sea el polinomio:
es 27. Calcular: G.R.(x) + G.R.(y) A. B.
Polinomio comPleto:
Ejemplos:
22 26
F(x; y) = xm + 8.ym – 4 + xm + 7.ym + x2m + 1.y8 ; cuyo grado
Es un polinomio ordenado ascendentemente respecto a “x” e “y”, además es ordenado descendentemente respecto a “z”.
Es aquel polinomio que presenta todos sus exponentes desde el mayor hasta el de grado cero.
Hallar el grado del siguiente monomio: M(x; y; z) = – 3 5(x2y3)4 . z2
Ejemplos: P(x) = 4x4 + 12x2 – 3x + 7
34x5y2z
p(x) = ax2 + bx + c q(x) = dx2 + ex + f p(x) = q(x); si se cumple: a = d ; b = e ; c = f
Problemas para la clase
Polinomio ordenado:
21xz4 –
4
3.
C. D.
26 25
El polinomio: P(x) = axa + 2 + 3axa + 4 – 4xa; es de grado 8. Calcular la suma de sus coeficientes. A. B.
3 – 7x2 + 16 A(x) = =4xx3 ++ 12x 3x2y + 3xy2 + y3 B
28 30
16 12
C. D.
14 18
(x;y)
nota:
4.
n
P(x) = 2x n – 13 + 3x2 – x15 – n
Si un polinomio tiene una sola variable y además es completo, entonces el número de términos será igual a su grado aumentado en una unidad. Polinomio HomogÉneo: Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto, al cual se le llama grado de homogeneidad.
10
Hallar el grado del siguiente polinomio:
A. B. 5.
9 7
C. D.
14 n – 13
Si: P(x) = x2 + x – 2; calcular: P(8) + P(2) A. B.
56 49
C. D.
54 74
Trilce Católica
Álgebra 6.
Calcular la suma de los coeficientes del polinomio:
P(x – 3) = x20 – (3x + 4)10 + x3 + 2x2 – 43
1 P(x) = (2x + 6)(1 + 3x)2(x – 2) 4
7.
A.
3 4
C.
12
B.
–32
D.
–16
8.
1 2
C. D.
C. D.
– 12 –6
S/. (x2 + 24x – 4) (x2 + 24x + 6)
C. D.
4 0
C. D.
16 60
x2 + x + 1 x2 – x
C. D.
x2 – x + 1 x2 – 2x
(x2 + 30x + 6) (17x2 + 30x + 6)
49 25
Nivel ii
4x2 + 20x + 6 2x2 + 10x + 3
C. D.
4x2 – x 4x2 + 10x + 6
19. Si: P(3x – 2) = 6x – 5 ; hallar: P(x + 2) A. B.
3
9 81
A. B.
A. B.
10. Dado el polinomio: P(x) = (2n – 1)2 . xn + 1 , calcular su coeficiente, si dicho polinomio es de segundo grado. A. B.
C. D.
18. Si: F(x + 1) = x2 + 5x + 6 ; hallar: F(2x + 1)
3 5
Juanito tiene (7x2 + 6x + 3) soles, recibe de propina (8x2 + 6x + 4) nuevos soles de su padre y (5x – 2) nuevos soles de cada uno de sus tres tíos. Si gasta (8x2 – 3x – 5) nuevos soles, ¿cuánto le queda? A. B.
32 64
17. Si: F(x + 2) = x2 + 7x + 12 ; hallar: F(x – 2)
Si: F(2x – 1) = x2 – 3x – 4 ; calcular: F(3) – F(1) A. B.
9.
A. B.
Sea: P(x) = (x + 1)n + (x – 1)n + 2 , si la suma de coeficientes más el término independiente suman 36, halle “n”. A. B.
16. Hallar la suma de coeficientes del polinomio:
2x 2x – 3
C. D.
20. Si el polinomio: P(x)
=
4
2x + 3 2x + 6
x5n – 3 (xn + 1)2
; es de primer grado,
calcular “n”. A. B.
17 12
C. D.
35 15
Nivel iii Preguntas nº 21 y 22 Cuando se venden “x” unidades de un producto, la utilidad está dada por: U(x) = 60x + b. Si se venden 30 artículos, la utilidad es S/. 2800, entonces: 21. Hallar “b”:
11. Sea el polinomio: P(x; y) = (3mnx2y2m)n; donde: G.R.(x) = 4 G.R.(y) = 8. Calcular el coeficiente. A. B.
144 324
C. D.
256 400
12. En el monomio: M(x; y) = 2abx3a + b . ya–b, donde: G.R.(x) = 14 G.R.(y) = 2 , calcular el coeficiente. A. B.
64 32
C. D.
50 18
13. Si: F(x + 2) = x + F(x); F(3) = 5; hallar: F(1) + F(5) A. B.
10 6
14. Si: P( A. B.
x + 1)
C. D.
12 11
= (x + 1)(x2 + 1) – 2; calcular: P(1) + P(3)
80 81
C. D.
84 82
15. ¿Qué valor de “p” hace que el término independiente de: 5x – 2 (x + 3)(x – 5)2 (x – p)3, sea: – 400? 3 A. B.
1 –2
Trilce Católica
C. D.
2 3
A. B.
800 1800
C. D.
2600 1000
22. Si se espera obtener una utilidad de S/. 3700, ¿cuántos artículos deben venderse? A. B.
45 60
23. Si: P(x2 + A. B.
C. D. x)
= 3(x2 +
9 4
35 40 3
x)2 + 5(x2 + C. D.
x + 1); hallar: P(2)
3 3
5
24. Sean los polinomios idénticos: P(x) = ax3 + (b – 2)x2 + cx + d; Q(x) = (x + 2)3 Calcular: a + b + c + d A. B.
30 29
C. D.
26 28
25. Si el polinomio: P(x) = (a – 2)x2 + (a + b – 5)x + (a + b + c – 8) es idénticamente nulo, calcular: a × b × c A. B.
15 21
C. D.
18 24
11
Ciclo Católica Preguntas nº 26 y 27
3.
Si: A(x; y) = nxm – 1y4 B(x; y) = (7 – m) x5 yn+2
En un cultivo, el número de bacterias presentes se puede calcular por la expresión: 2x + 3 + 904, donde “x” es el número de días que han transcurrido desde el inicio del cultivo.
son términos semejantes, hallar: E = nm – 1 A.
26. Si se da la alarma de peligro cuando hay 5000 bacterias, ¿a los cuántos días de iniciado el cultivo debe darse la alarma de peligro?
1 16
B. 1
C.
32
D.
64 n
A. B.
9 12
C. D.
10 13
4.
27. ¿Cuántas bacterias estarán presentes a los cinco días de iniciado el cultivo? A. B.
1160 2320
C. D.
6 8
C. D.
C. D.
A. B.
–2 –1
7.
8.
a3
C. D.
2.
C.
12
3(x + 3) + 4 6
4 10
C. D.
5 6 4
625 361
C. D.
961 169 xa – 2 .
Dado el polinomio: M(x; y) =
D.
C. D.
A. B.
32 –
30 31
H(x; y) =
3
Tengo 32 cartas: retiro (x + 3) cartas; luego, retiro el doble de la cantidad que retiré inicialmente, aumentado en cuatro cartas. ¿Cuántas cartas me queda? A. B.
18 12
4
yb + 3
C. D.
35 33
10. Calcular el grado absoluto del polinomio:
1
3
C. D.
donde: G.A.(M) = 13 G.R.(y) = 5, hallar “a + b”.
2
–
22 20
Dado el polinomio: P(x) = (3n – 5)2 . xn + 2 , calcular su coeficiente, si dicho polinomio es de tercer grado. A. B.
0 1
x
B.
3 2
a–1
Dada la expresión algebraica: E (x) = 8(x – 30)x–6 , hallar: E(3)
31
C. D.
5 4
El siguiente monomio es de grado 66. Calcular “a”.
A. B.
Tarea domiciliaria
A.
3
P(x; y) = – 7(x3a – 1 . ya + 3)3
9.
1.
4 5
Hallar el grado del siguiente monomio:
A. B.
5 15
P(2x + 3) = 4x2 + 2x – 1; x IR, si: P(a + 3) = 0, calcular:
+
2 24 8 N(x; y; z) = – (xy ) . z 3
30. Si P(x) es un polinomio que cumple:
a4 +
C. D.
+ 6x
7x2 .
Calcular “a + b”, si los siguientes términos son semejantes:
A. B. 6.
20 10
5x
n –3
t2 (x; y) = xby2b
10 16
29. En cierta área, el número de larvas de polillas consumidas por un solo escarabajo depredador en un periodo 1,4x determinado, está dado por: P(x) = 1 + 0,09x , en donde “x” es la densidad de larvas de polillas.¿Cuántas larvas de polillas en un periodo dado consumirá el escarabajo si existe una densidad de larvas de polillas de 20? A. B.
2 3
t1 (x; y) = nxa + 1yb +
28. Hallar el valor de “m.n” en el siguiente polinomio homon m m –n géneo: P(x; y; z) = 2xm + myn – 3zm A. B.
Dado el polinomio: P(x) = Hallar “n”. A. B.
5.
1060 1032
4– n
19 – 3x 45 – 3x
A. B. 11.
6 10
2x3y3z4 – 3(x2y4)2 – 4x6y8z4 C. D.
14 12
Sea el polinomio: P(x,y) = xa + 2ya + 3 – xa + 1ya – 1 + x2a + 1y4 de grado 15. Hallar: GR(x) + GR(y) A. B.
19 17
C. D.
16 15
Trilce Católica
Álgebra 12.
Hallar la suma de coeficientes en:
P(x, y) = (4a – b)xa+3y3b – (5a – 2b)xa+by2b + (a – 3b)xay5b+3
16. Si: P(x) = A. B.
x2 +
3x – 10; hallar: P(x + 3)
x2 + 10x + 8 x2 + 9x + 8
C. D.
x2 + 9x x2 + 8
Si: GR(x) = 7 GA(P) = 12 A. B. 13.
–2 2
C. D.
4 –4
Hallar el grado del siguiente polinomio: P(x) = A. B.
n 3
2 2xn – 17 – x – x19 – n 3
6 n – 17
C. D.
10 0
C. D.
19 – n 2
8 – 10
Trilce Católica
x + 1) – 2
A. B.
14 16
C. D.
12 18
A. B.
x2 + 6x – 7 x2 + 6x
19. Si: F(x) =
C. D.
x2 – 7 x2 + 5x + 7
C. D.
11 13
x2 + 1; x 1 x + 1; x 1
calcular: F(–3) + F(4) 15 9
F(x) – F(x + 2) 2 ;x0 20. Si: F(x) = (x – 1) + a; hallar: x
calcular: P(3) + Q(–3) 32 0
x)2 + 2(x3 –
hallar: P(–2) + P(0)
A. B.
15. Si: P(x) = x2 + 2x + 1 Q(x) = x2 – 2x + 1
A. B.
3 x) = 5(x –
18. Si: F(x + 3) = x2 + 2x – 15; hallar: F(x + 5)
14. Si: P(x) = x4 – 13x2 + 36 ; calcular: P(–2) + P(2) + P(–3) + P(3) A. B.
17. Si: P(x3 –
C. D.
16 64
A. B.
4 –4
C. D.
2 –2
13
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 3 Quinto Católica
mULTiPLicaciÓN DE POLiNOmiOS
desarrollo de un trinomio al cuBo:
Para multiplicar polinomios utilizaremos la propiedad distributiva.
(a+b+c) 3=a 3+b 3+c 3+3(a+b)(b+c)(a+c) (a+ b+ c)3= a 3+ b 3+ c 3+ 3(a+ b+ c)(ab+ bc+ ac)– 3abc
Ejemplo:
identidad trinómica (argand):
(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD
(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1 xy + y2)(x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4
(x2 +
PrODUcTOS NOTaBLES Son aquellas multiplicaciones cuyos productos se obtienen de forma directa sin necesidad de realizar operación alguna. O
iGUaLDaDES cONDiciONaLES: Si: a + b + c = 0 , se cumple:
Binomio al cuadrado:
I. II. III.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
a3 + b3 + c3 = 3abc a2 + b2 + c2 = –2(ab + ac + bc) (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2
nota: Sean: a; b; c lR y m; n lN O
identidades de legendre: a2n + b2m = 0 a = b = 0 (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab recuerda: (a – b)2 = (b – a)2
O
a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac a = b = c 1.
Si: x +
2.
Si: x –
Binomio al cuBo: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
O
suma Por diferencia de Binomios: (Diferencia de cuadrados) (a + b)(a – b) = a2 – b2
3.
1
= n ; entonces: x 1 x2 + = n2 – 2 x2 1 x3 + 3 = n3 – 3n x 1
= m ; entonces: x 1 x2 + = m2 + 2 x2 1 x3 – = m3 + 3m x3 x+
12
– x–
x O
=4
x
Producto de dos Binomios con tÉrmino comÚn: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
O
12
Problemas para la clase Nivel i
multiPlicación de un Binomio Por un trinomio: 1. (a +
b)(a2 –
ab +
b2)
=
a3 +
b3
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
Simplificar: (x + 1)2 – (x + 2)2 – (x + 3)2 + (x + 4)2
Suma de cubos A. B.
Diferencia de cubos
PriNciPaLES iDENTiDaDES:
2.
1 2
C. D.
3 4
C. D.
3 4
2 2 Simplificar: (x + y) – (x – y) xy
desarrollo de un trinomio al cuadrado: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
TRILCE Católica
A. B.
1 2
15
Ciclo Católica 3.
Efectuar: (4x + 3)(2x + 1) – 8(x + 1)2 + 6(x + 2) A. B.
4.
– 14 – 16
7 9
3)2 +
11.
(x –
3)2 –
(x – 4)(x – 5) 12.
– 18 – 20
C. D.
x+4 x+3
C. D.
x+2 x–1
– y2 y2
Si:
a+b=6
x2 – y10 .
5
x–
x2 – y10
C. D.
xy x+y
20 54
C. D.
30 45
13. Si: (a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d); calcular: A. B.
1 2
C. D.
14. Si: a =
2+1
b=
2–1
–14x2 + 9x – 4 – 8x2 + 5x + 1
C. D.
x+
A. B.
A. B.
P = (2x + 3)(x – 2) Q = (3x – 2)(x + 1) R = (5x – 1)(x – 1) – 6x2 + 4x – 5 5x2 + 3x – 2
5
a2 b2 hallar: b + a
¿Cuánto le falta a “Q” para que sumado con “R” se obtenga como resultado “P” ?
A. B.
Efectuar:
a2 + b2 = 30
Efectuar: (x + 4)3 – (x + 3)(x + 4)(x + 5) A. B.
6.
C. D.
Efectuar: (x + 1)(x + 2) – (x + A. B.
5.
3 5
nivel ii
2(a + b) c + d 4
3 4
calcular el valor de: a2 + b2 + 3ab 7.
Hallar el área de la siguiente figura: A. B.
3 5
C. D.
7 9
15. Hallar el área de la siguiente figura: 5x + 3 x–1
x 3
x 3x + 5 A. B. 8.
–2 –1
C. D.
0 1
2 4
C. D.
A.
C. D.
2x2 + 3x – 2 2 6x2 + 3x – 7 2
1
8 16
x+1
x+2
x
x+8
1 x+2
x+1 A. B.
x+3
6x2 + 6x – 7 2 2x2 + 6x – 2 2
16. Hallar el área sombreada:
10. Hallar el área sombreada: x
3–x 3x + 4
B.
Reducir: (x2 + 8x + 11)2 – (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) A. B.
2x + 7
15x2 + 34x + 45 15x2 + 30x + 15
C. D.
Efectuar: (x + y + 1)3 – (x + y)3 – 3(x + y)(x + y + 1) A. B.
9.
10x2 + 30x + 45 10x2 + 34x + 15
x+2
2x2 + 17x + 20 2x2 + 4x + 12
C. D.
2x2 + 19x + 12 2x2 + 16x – 1
17. Reducir: 1 (x + y + 5z)2 + (x + y + 4z)2 – 2(x + y + z)(x + y + 8z)
A. B.
16
2x2 + 3x – 1 3x2 + 8x + 4
C. D.
3x2 + 2x + 6 2x2 + 8x + 5
A. B.
z2 4z2
C. D.
9z2 25z2
Trilce Católica
Álgebra 18. Siendo: x ; y IR, que verifica: x2 + y2 + 5 = 2(x + 2y), calcular: x + y + 1
27. Hallar el área de la siguiente figura: 4
A. B.
1 2
C. D.
3 4 2x2 + 32
19. Si: a + b + c = 0 ; reducir: (2a + b + c)3 + (a + 2b + c)3 + (a + b + 2c)3 –3 3abc
A. B.
– 3abc 3
C. D.
x A.
20. Si: x + y + z = 0 , calcular:
B.
x2 + 8x + 16 2 x2 + 6x + 10
(x + y – 2z)3 + (y + z – 2x)3 + (z + x – 2y)3 R= xyz
D.
x2 + 8x + 10 2 x2 – 6x + 16
2
2
28. Hallar el área total del paralelepípedo.
siendo: xyz 0 A. B.
C.
27 – 27
C. D.
81 – 81
nivel iii
x–1
21. Si: x – y = 8 ; evaluar la siguiente expresión:
x+1
(x – 3y)2 – 4y(2y – x) + 8 A. B. 22. Si:
32 40 1
+
x
x+3 C. D.
1
=
y
72 64
8x2 + 5x – 2 C. 4x2 + 10x – 3 2 6x + 12x – 2 D. 7x2 + 10x – 2 2 2 2 b +c –a 29. Si: 2M = 1 + ; calcular el valor de “M”, saA. B.
4
; x+y
¿cuál es el valor de la expresión:
2bc biendo que: a + b + c = 2p
x2013 + y2013 x2000y13
?
p(p – c) A.
A. B.
1 2013
C. D.
2 2007
23. Si: a = 13; b = 17 y c = 30; hallar el valor de: K= A. B.
(a3 +
b3 –
c3)2
3a2b2 2900 2600
C. D. 3
–3
B.
A. B. C. D.
2700 2500 2
24. Si: x + = 3; calcular: x + x + 3 x2 + x–2 + 2 x 3 5
C. D.
7 9
y=2+
3+
26. Simplificar: A. B.
C. D. 10
Trilce Católica
C. D.
2.
34 36
(x + 1)3(x – 1)3(x2 – 1)5(x2 + 1)8(x4 – 1)2
x4 + 1 x4 – 1
(S + p)2 – (S – p)2 0,25S4 – pS2 + p2 S44 + 2pS2 – 3p2S3+ 2p4 S – pS(1 – S) + p 2
Reducir: (x + 5)(5 – x) + (x + 3)(x – 3) A. B.
3– 5
23 25
p(p – a) bc
5
evaluar: N = (x + 1)2 + (y + 1)2 + 2xy – 1 A. B.
D.
Tarea domiciliaria 1.
25. Si: x = 2 –
p(p – b) p–c
30. Si se tiene la suma “S” y el producto “p” de dos cantidades x2 + y2 2 “x” e “y ”; entonces es igual a: 2
1
A. B.
ac p(p – a) 2bc
C.
x2 – 1 (x – 1)4
C. D.
2x2 – 34 2x2 – 16
Reducir: (x + 5)2 + (x – 5)2 – 2(x2 + 12) A. B.
3.
16 12
1 26
C. D.
x2 + 25 25
Efectuar: (x + 1)(x + 2) – (x + 3)2 + (x – 3)2 – (x – 4)(x – 5) A. B.
– 14 – 16
C. D.
– 18 – 20
17
Ciclo Católica 4.
Efectuar: (4x + 3)(2x + 1) – 8(x + 1)2 + 6(x + 2) A. B.
3 5 6+
5.
Calcular: K =
2
5+
3
2 2
–
C. D.
7 9
6–
2
5–
+
3
3(a + b)
K= 2
A. B.
2 3
A. B.
D.
Si: m + n =
5 mn = 1 ; calcular: (m2 – n2)2
A. B. 7.
C.
25 5
C. D.
Simplificar:
5 5 5
(x + y)2 – (x – y)2
8.
9.
1 2
C. D.
6x 6x2
C. D.
A. B.
C. D.
0 1
A. B. 18. Si:
2x + 1
C.
B.
x+1 2
D.
a A. B.
+
1 b
=
11. Sea:
a3b3
a +b C. D.
x= y=
2+1 + 2+1 –
64 62
2–1 2–1
–4 –2
x2 + y9
x+
mn 1
3 4 x – y3
C. D.
C. D.
3
A. B.
3
+ 2–
C. D.
m 2 + n2 +
m2 + n2 –
A. B.
+
x
= a; hallar: M =
3 –9
x3 y3
C. D.
a 3
n2 2
y
1 3
4 3
C. D.
y
x3 – 3x + 23
m 2 – n2
3
19. Siendo:
3
m 2 – n2 = n2
2n2 2m2 x
A. B.
0 8 mn
3 ; hallar:
1 2
20. Si: R =
hallar el valor de: x2 – y2 – 22 A. B.
3
4 8
C. D.
x +2
2x + 1 2 4 (a + b)6 – a6 – b6 ; hallar: N =
31 32
x2 + y9 .
y3 0
hallar: K = A.
1
x–
17. Si: x = 3 2 +
H + 16,25
10. Si se cumple:
(a + b)4 – (a – b)4 4ab(a2 + b2)
2 1 3
5
(m + n + p)(m + n – p) + (p – n + m)(p + n – m) – 4mn
3 4
Si: H = (x – 5)(x + 6)(x – 1)(x + 2) + 196; hallar:
3
16. Simplificar:
Reducir: (x + 1)3 + (x – 1)3 – 2x3 A. B.
5
C. D.
15. Efectuar: A. B.
xy A. B.
25 5
14. Reducir: E =
1
B. 6.
3
125(c + d)
2
3 A.
13. Si: (a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d), hallar:
y3 +
x3
+ 3a
a3 a
3
4 + 2 ; calcular: K = R(R + 6 )(R – 6 ) C. D.
–6 6
0 2
12. Si el volumen del paralelepípedo mostrado es: (64x3 – 64) m3, hallar su altura “h”.
h
x–1 x2 + x + 1 A. B.
18
64 m 2
C. D.
4 8
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 4 Quinto Católica
OPEraciONES cON POLiNOmiOS – DiViSiÓN DE POLiNOmiOS Operación definida para polinomios de una sola variable y ordenados en forma descendente. Dado dos polinomios no nulos llamado dividendo y divisor hallar otros dos polinomios llamado cociente y residuo. forma aritmética
forma algebraica
D d
D(x) d(x) r(x) q(x)
r
q
D = dq + r
1.
Ejemplo:
4 8 –2 –9 7 1 – 1 – 2 4 2 2 1 –2 1 –2 2 –1 –1 6 –1
D(x) = d(x) . q(x) + r(x)
2° grado
Si la división algebraica es exacta: r(x) = 0
Luego: Q(x) =
PrOPiEDaDES DE La DiViSiÓN
R(x) = 6x – 1 B.
Para el grado del cociente:
x18 – x12 + 4x5 – x – 1 x7 – x + 1
2x2 –
x–1
Solo para divisores de la forma: ax + b
[q0] = 18 – 7 = 11
1
Para el grado del resto: 2
[R]0 < [d]0 x12 – x + 1 x3 + x + 1 Siendo el divisor de 3º grado el resto podría ser: De 2º grado: R(x) =
ax2 +
3
4
1 Se colocan los coeficientes del dividendo. Se coloca el valor despejado 2 de la variable luego de haber igualado el divisor a cero. 3 Se colocan los coeficientes del cociente obtenidos luego de sumar 4 Se coloca el valor del resto
c.
bx + c
De 1º grado: R(x) = ax + b
teorema del residuo o resto Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la división, se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma ax + b y en algunos casos especiales.
División exacta: R(x) = 0
regla: Para calcular el resto, se iguala el divisor a cero, se calcula el valor de la variable (siempre que el divisor sea de primer grado) y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo. El resultado obtenido es el resto.
DiViSiÓN ENTrE POLiNOmiOS
Ejemplo: Calcular el resto:
De grado cero: R(x) = a ; donde: a 0
A.
1° grado
Método de Paolo Ruffini:
[q0] = [D]0 – [d]0
2.
8x4 – 2x3 – 9x2 + 7x + 1 4x2 + x – 2
Dividir:
Método de Guillermo Horner:
1
2
3
4
TRILCE Católica
1 Se colocan los coeficientes del dividendo con su signo. 2 Se colocan los coeficientes del divisor todos cambiados de signo menos el primero que lo conserva. 3 Se colocan los coeficientes del cociente. Se calcula c/u dividiendo la suma de la columna respectiva entre el primer coeficiente del divisor. 4 Se colocan los coeficientes del resto. El número de columnas estará dado por el grado del divisor.
x5 + 3x – 5 x–2
resolución: T. Resto: x – 2 = 0 x = 2 R = 25 + 3(5) – 5 R = 42
cOciENTES NOTaBLES definición: Es el cociente que se obtiene de divisiones exactas entre binomios de la forma: xn ± an x±a condiciones: O O
Resto = 0 n entero y positivo
19
Ciclo Católica caSOS DE cOciENTES NOTaBLES
regla Para el signo: Cuando el divisor es de la forma (x – a) el signo de cualquier término es positivo. O Cuando el divisor es de la forma (x + a) el signo de los términos que ocupan un lugar par son negativos y los que ocupan un lugar impar son positivos.
1er. caso:
O
xn – an ; donde “n” es par o impar x–a xn – an x–a
= xn – 1 + xn – 2a + xn – 3a2 + ... + xan – 2 + an –
1
Problemas para la clase 1.
2do. caso: xn + an ; donde “n” es impar x+a xn + an
= xn – 1 – xn – 2a + xn – 3a2 – ... – xan – 2 + an –
Dividir:
A. B. 1
2.
x4 + 4x3 + 6x2 – 7x + 2 x2 + 2x + 1
– 10x + 1 11x + 1
indicando el resto. – 11x + 1 10x – 2
C. D.
x4 + 2x3 – 7x2 + ax + b
Calcular “a – b” en la división:
x2 – 3x + 5
x+a exacta.
Los signos se intercalan (+, –)
A. B.
3er. caso: xn – an ; donde “n” es par x+a xn – an
=xn – 1 – xn – 2a + xn – 3a2 – ... + xan – 2 – an –
3.
x+a Los signos se intercalan (+, –)
4.
4to. caso: xn + an ; x–a
5. ProPiedades
O
Si:
p
=
xm ± an xp ± aq
n
C. D.
6.
= Número de términos
2x4 + 5x3 + mx + m
–1 8
C. D.
En la siguiente división:
7. Esta fórmula nos permite calcular un término cualquiera del cociente en función al lugar que ocupa. Se representa por: tk que leeremos como término de lugar “k”.
10 14
Al dividir:
C. D. 6x4 + 13x3 + 6x2 + Ax + B 2x2 + 3x + 2
Para el caso:
, señale su cociente.
A.
3x2 – 2x + 3
C.
3x2 – 2x – 3
B.
3x2 + 2x – 3
D.
2x2 + 3x – 2
En la siguiente división exacta:
A. B. tk = xn – k . ak – 1
18 22
6x4 + 11x3 + Ax2 – 7x – 3A 3x2 + 4x + 5
Determine el valor de “A”.
Para el caso:
1 2
C. D.
3 5
x4 – 5x3 + 15x2 – Ax + B 8.
En la siguiente división exacta:
x2 – 3x + 5
Entonces “A” y “B” son: xn + an xn – an ó x+a x+a
tendremos: tk = (–1)ak – 1xn – k
20
2 –3
3x4 – x3 + 2x2 + ax + a el residuo x ,2 + x – 1
fórmula del tÉrmino general:
x–a
4 36
, se obtiene como resto x2 – x + 1 un valor constante. Indique su valor.
A. B.
q
xn – an , tendremos:
5 2
no es de primer grado. Indique su valor.
Origina un cociente notable entonces se cumple: m
9 18
En la división:
A. B.
“n” es par o impar No es cociente notable
C. D.
Calcular “ab” si el polinomio: 20x4 + 3x3 + ax2 + b, es divisible por (4x2 + 3x + 2). A. B.
1
1 –3
A. B. C. D.
Primos entre sí Pares Impares consecutivos Consecutivos
Trilce Católica
Álgebra 9.
Señale el cociente, al dividir:
17. Halle el resto en la división:
ax4 – (a + b)x3 + (2a + b)x2 – bx – a ax2 – bx + a A. B.
x2 + x + 1 x2 – x + 1
x2 + x – 1 x2 – x – 1
C. D. 4
10. Hallar “ab” si la división:
A. B.
3
3x2 + 5x + 8
18. Calcular “a” en la división: no
114 56
C. D.
2 9
132 84
x–a–3
, si su
residuo es: 7a + 2
deja residuo. A. B.
C. D.
1 6
(3 2 – 2 2+6 x– 2 +1 2)x3 +
x3 – a(x + 1)2 – a2 + a
2
ax + bx + 52x + 59x + 56
x5 +
A. B.
–3 –4
C. D.
–5 –6
7 )x2 + (2 7 – 15)x + 15 7 + m se x– 7 obtuvo como resto: 3m – 8, determinar “m”.
18x4 – 5x3 + 6x2 + 2ax + 14 ; 2x – 1 sabiendo que la suma de coeficientes del cociente es 31, determinar el resto.
A. B.
A. B.
19. En la siguiente división: 11. Al dividir:
x3 + (–2 –
1 2
C. D.
3 4
12. Determinar el valor de “k” para que el coeficiente del término lineal del cociente entero sea igual a – 21 en la división: 3x5 – 15x3 + kx2 + 5 x–2 A. B.
– 12 – 15
– 18 – 21
C. D.
13. Señale la suma de coeficientes del cociente, al dividir: 4x4 + 4x3 – 11x2 – 6x – 6 2x – 1 –2
C.
B.
–3
D.
3 2 –4 –
14. Proporcione el resto, al dividir:
A. B.
2 3
C. D.
29 30
2x4 + 17x3 – 68x2 – 32 1 x– 2 A. B.
63,75 32
C. D.
– 63,75 – 32
x3 + x2 + 3x + a 21. Hallar “a” si el resto es 9 en: 2 3
x–1 C. D.
4 5
6x3 – 5x2 + mx – 1 22. Determine el residuo en:
, sabiendo 2x + 1 que su cociente toma el valor numérico 2, para: x = 1.
A. B.
x3 – 2x2 + (2 – m2 – 2m)x – 2m – 2 x–m–2
C. D.
20. Calcular el residuo en la siguiente división:
A. B.
A.
27 28
4 2
C. D.
1 –3
23. Si el resto en la siguiente división es 3, hallar “A”: 6 9
3 x4 – (1 – 3 )x3 – 2 3 x2 – 2x + A – 2 3 x– 3 +1
15. Hallar el valor positivo de “n” si en la división: A. B.
nx4 + (n2 – 1)x3 – n2x2 – x + n nx – 1 la suma de los coeficientes del cociente es igual al resto. A. B.
1 3
C. D.
5 2
3 6
C. D.
9 12
24. ¿Qué relación deben guardar los coeficientes del polinomio: ax4 + bx3 + cx + d, para que sea divisible entre: (x2 – 2x + 1)? A. B.
d = 2a + b d = 2a + 3b
C. D.
d = 3a + 2b d = a + 2b
16. Hallar la suma de coeficientes del cociente al dividir: 25. Halle el resto de:
6x4 – 13x3 – x2 – 2x – 17 2x – 5 A. B.
10 12
Trilce Católica
C. D.
13 20
A. B.
–4 –5
(2x – 3)11(x + 3)(x – 3) (2x – 3)(2x – 4) C. D.
10x + 15 – 10x + 15
21
Ciclo Católica (x – 1)9 + (x – 2)5 – 3 26. Halle el resto de la división: (x – 1)(x – 2) A. B.
x+3 2x – 6
C. D. (x + 1)2
27. Halle el residuo en: A. B.
+3 , n ZZ+
x2 + 2x + 2
2 4
28. Hallar el resto en: A. B.
n+1
x+6 2x – 3
A. B.
A. B.
x2 –
5x x2 – 6x
(x – 6)2008 + x + 19 29. Halle el residuo al dividir: (x – 5)(x – 7) A. B.
x + 14 x + 16
C. D.
38 43
C. D.
31. Si el siguiente cociente:
39 53 6n + 3 x + a6n – 22 x
n–6 2 +
a
, es notable,
24 12
C. D.
16 18
32. Determinar el número de términos del siguiente C.N. xn – 1 – yn + 4 xn – 5 – yn – 4 A. B.
C. D.
4 6
x129m – a86n x3m – a2n ; es x270 a288 . 11 13
C. D.
8 7
34. Encuentra el término de lugar quince del cociente notable. x72 – y54 x4 – y3 A.
– x42y12
B.
x12y42
35. En el cociente notable:
22
6 32
x3n – yn
24 23
C. D.
22 25
18 48
C. D.
38 20
39. Calcula el grado relativo a “x” del término 22 del desarrollo del cociente notable. x155 + a93 x5 + a3 A. B.
9 22
C. D.
31 45
40. Dado el siguiente cociente notable:
x3n + 2 – y5n – 1 x2 – yn – 5
entonces el grado absoluto del término 11 en el cociente notable es: A. B.
25 32
C. D.
28 34
41. Si al dividir un polinomio “P(x)” de 3er grado separadamente entre (x – 3) y (x – 2) se obtiene el mismo resto 4. El término independiente y la suma de coeficientes son respectivamente 10 y 8. Halle P(4). A. B.
C. D. x3n + 9 +
x42y12 x38y12
y3n
C. D.
64 256
8 30
C. D.
32 14
42. Calcule el resto de dividir “P(x)” entre (x – 6) sabiendo que el término independiente del cociente es 5 y el término independiente del polinomio P(x) es 10. A. B.
, calcula el valor nux3 + y2 mérico del término central para: x = 1; y = 2. A. B.
40 60
EJErciciOS aDiciONaLES
8 5
33. Hallar “m + n” si el “t25” del desarrollo del siguiente C.N.:
A. B.
C. D.
n–8 2
calcular el valor de “n”. A. B.
42 38
38. Calcular “a + b” si el término de lugar 10 contando a partir x60 – yn del extremo final del C.N. que origina: 2 ; es xayb. x –y A. B.
x + 18 x + 20
30. Halle la suma de los coeficientes del cociente al dividir: 8x3 + 4bx2 + 6bx + 13 ; si el residuo de la división es – 8. 2x + 1 A. B.
A. B.
, el término de x3 – y lugar 8 contando a partir del extremo final tiene por grado absoluto 38, el número de términos del desarrollo es:
6 8
C. D.
x155 + y93
existe un x5 + y3 término cuyo grado absoluto es 122. La diferencia de los exponentes de “x” e “y” en ese término es:
37. Si el desarrollo del siguiente C.N.
x20 + x10 + x4 + 5x + 2 x4 + 1
5x x2 + 5x
36. En el desarrollo del siguiente C.N.
30 – 30
C. D.
40 – 40
43. Un polinomio “P(x) ” de tercer grado es divisible entre (x + 3) y (x – 2). Si la suma de sus coeficientes es – 20 y su término independiente es – 12, calcular el residuo de dividir P(x) entre (– 4x + 12). A. B.
64 66
C. D.
1 0
Trilce Católica
Álgebra 44. Un polinomio “P(x)” al dividirse entre (x – 3) se obtiene como resto 22 y al dividirse entre (x – 4) su resto es 29. Halle el resto de dividir “P(x)” entre el producto (x – 3)(x – 4) A. B.
3x + 4 7x + 1
45. Halle el resto de la división:
A. B.
C. D.
4x – 3 x+7
Al dividir:
3x 2 + 3x + 1 residuo (x + 2). Determine “A + B” A. B.
6 8
C. D.
x2n + 2 – x2n 4.
(x + 1)2(x –1)
1 x+1
C. D.
x–1 x2 – 1
13 11
C. D.
En la siguiente división:
, se obtiene como
10 12
4x4 + 23x3 + 24x2 + Ax + B x2 + 5x + 2
Determine el valor de “A – B”, si tiene como residuo 3x + 10.
46. Al dividir “P(x)” separadamente entre (x + 2) y (x – 3) se obtiene el mismo resto 7. Si el término principal del polinomio es (3x3) y su término independiente es 25, entonces el resto de dividir “P(x)” entre (x – 1) es: A. B.
3.
6x4 – 5x3 + 8x2 + Ax + B
A. B. 5.
9 7
2 6
C. D.
10 12
¿Cuánto se le debe restar al dividendo de manera, que la siguiente división sea exacta? x4 + x3 – 5x2 + 15x + 2 x2 – 2x + 3
47. Calcular el valor numérico del polinomio: A. B.
P(x) = 4x5 – 10x4 + 6x3 + 5x2 – 16x + 13 para: x = 2 A. B.
1762 176
C. D.
1 2
C. D.
7.
3 4
C. D.
Hallar “a + b” si la división: A. B.
2x4 + 3x2 – ax + b 2x2 + 2x + 3
48. Calcular “ab” si la división es exacta: A. B.
6.
17 181
x+4 x–4
2x + 8 2x – 8
6x4 – 13x2 + ax – b
38 48
2x2 – 4x + 5 C. D.
es exacta.
28 18
Hallar la suma de coeficientes del cociente: x5 + (a + 1)x4 + (a + b)x3 + (b + 1)x2 + ax + b x2 + ax + b
49. Si el residuo que resulta de dividir: A. B.
x4 – 3x3 + ax2 + bx + c + 2 (x – 1)3 es (bx + c), hallar el mínimo valor de: E = 9a + 3b + c A. B.
30 26
C. D.
8.
25 24
2x5 + 3x4 + bx3 + 6bx2 + x + a 50. En la siguiente división: x2 – x + b Se sabe que el resto es (2x + 3); además la suma de coeficientes del cociente es mayor que 15. Calcular “ab”. A. B.
4 7
C. D.
Calcular “ab” si el polinomio: divisible por: 4x2 + 3x + 2 A. B.
2.
9 18
33 16
Trilce Católica
–1 3
8x5 + 4x3 + ax2 + bx + c 2x3 + x2 + 3
es: 5x2 + 11x + 7; hallar: E =
abc
A. B.
C. D.
9.
20 30
40 50
Hallar “m ÷ n” si la división:
3x2 + x – 2
es exacta. A. B.
1 2
C. D.
3 4
10. Si la siguiente división no tiene residuo, hallar “m – n”. 20x4 +
C. D.
3x3 +
ax2 +
C. D.
3x4 – 13x3 – 5x2 + mx + n 3x2 + 4x + 5
b, es
A. B.
4 36
12x4 – 12x3 + 13x2 + ax – b Calcular “a – b” si la división: 2x2 – 3x + 5 deja como resto: 4x + 5 A. B.
El residuo al dividir:
C. D.
mx4 – 8x3 – nx2 + 14x – 8
8 9
Tarea domiciliaria 1.
1 0
15 10
11.
7 9
C. D.
11 13
Hallar “ab” en la siguiente división exacta: 3x4 + x3 – 2x2 + ax + b 3x2 + 4x + 5 A. B.
45 36
C. D.
42 56
23
Ciclo Católica 17. Si “Q(x)” es el cociente obtenido al efectuar:
12. Determine el residuo de la división:
3x4 + 7x3 – 3x2 + 10x – 19 3x – 2
x6 + 2x5 – 2 3 x4 – 2 3 x3 – 2x2 + 1 x– 3 A. B.
0 1
13. Dividir:
C. D. x6 +
6x5 +
8x4 +
–3 4
10x2 –
17x3 +
2x + 3
1 2
14. Hallar el resto:
A. B.
C. D.
3 4
x60 + x80 + x90 + x20 + 4
2 4
x10 + 1 C. D.
6 8
15. Hallar “a” si el resto de la división es 7. 4x20 + 2x + a x+1 A. B.
3 4
16. Hallar el resto en:
24
7 –2
6
B.
7
C. D.
8 9
18. Halle la suma de coeficientes del cociente, luego de efectuar la división: 15x5 – 14x4 + 9x3 – 5x2 + 4x + 1 3x – 1 A. B.
C. D.
5 7
(x – 3)(x + 7)90 + 7
C. D.
4 6
C. D.
12 –4
C. D.
2 10
19. Halle el resto de la división: x5 + (3 2 – 2)x3 + 2 2 + 7 x– 2 +1 A. B.
x+6 A. B.
A. x+5
Indicar el coeficiente del término cuadrático del cociente. A. B.
Calcular: Q(1)
5 7
20. Hallar el resto en:
A. B.
2x + 1 2x – 1
(x – 3)80 + (x – 4)15 + 6 (x – 3)(x – 4) C. D.
2x – 3 2x + 3
2 4
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 5 Quinto Católica
facTOriZaciÓN DE POLiNOmiOS factor algeBraico
c)
Es aquel polinomio de grado no nulo que divide o se encuentra contenido en forma exacta en otro polinomio. Ejemplos: O
P(x) = (x + 2)(x + 1)
agrupación Consiste en agrupar términos convenientemente tratando que aparezca algún factor común.
Son factores algebraicos de "P(x)"
Aplicaciones:
O
(x + 2)
ii.
O
(x + 1)
O
(x + 2)(x + 1)
agrupación
factor Primo
a)
Es aquel polinomio de grado no nulo que tiene como único divisor a sí mismo.
P(x;y) = (x + y)(a + b)
Son factores primos de "P(x)":
O
(x + 2)
O
(x + 1)
O
agrupación
(x + 5) b)
P(x) = (x)(x + 3)6(x – 1)2
(x)
O
(x + 3)
O
P(x; y) = (x2 + 2xy + y2) + (x + y)
(x – 1)
P(x; y) = (x + y)2 + (x + y)
factoriZación
factor común
Es el proceso inverso a la multiplicación algebraica, consiste descomponer el polinomio en la multiplicación indicada de sus factores primos. Multiplicación P(x) = x2 + 3x + 2 (x + 1)(x + 2) Factorización criterios Para factoriZar Polinomios i.
factor común Consiste en buscar factores (monomios o polinomios) comunes a todos los términos de un polinomio para luego extraerlos con su menor exponente. Aplicaciones: a)
P(x, y) = x2 + x + 2xy + y + y2 (5 términos) agrupación
Son factores primos de "P(x)" O
(4 términos)
P(x;y) = a(x + y) + b(x + y) Factor común (x + y)
P(x) = (x + 2)3(x + 1)2(x + 5)6
O
P(x, y) = ax + ay + bx + by agrupación
Ejemplos: O
P(x, y) = ax2 + bx3 – cx5 P(x, y) = x2(a + bx – cx3) Factor común de menor exponente (x2)
P(x, y) = ax + bx + xy P(x; y) = (x)(a + b + y) Factor común monomio (x)
b) P(x, y) = (x – 1)m + (x – 1)n P(x, y) = (x – 1)(m + n) Factor común polinomio (x – 1) Polinomio Producto notaBle factoriZado
P(x; y) = (x + y)(x + y+ 1) iii.
identidades Consiste en identificar algunos productos notables en la formación del polinomio a factorizar tratando que aparezca un factor común. A continuación tenemos los productos notables más utilizados: Diferencia de cuadrados a2 – b2
(a – b)(a + b)
Trinomio cuadrado perfecto a2 2ab + b2
(a b)2
Suma y diferencia de cubos a3 b3
(a b)(a2 ab + b2)
Ciclo
= (5x)2 – (2y)2
Ilustraciones: a)
P(x; y) = 25x2 – 4y2
TRILCE Católica
26
(Diferencia de cuadrados)
P(x; y) = (5x – 2y)(5x + 2y) (Buscando la forma) P(x; y)
25
Trilce Católica
Ciclo Católica b)
P(x; y) = 9x2 + 12xy + 4y2
Factorizar: x3 + 4x2 + x – 6
(Buscando la forma)
P(x; y) = (3x)2 + 2(3x)(2y) + (2y)2 (T.C.P.) P(x; y) = (3x+2y)2 c)
P(x; y) = 64x3 – 125y3 P(x; y) =
(4x)3
–
(5y)3
(Buscando la forma)
Factorizar: x3 + 5x2 – 2x – 24
(Diferencia de cubos)
P(x; y) = (4x – 5y)(16x2 + 20xy + 25y2) iv.
aspa simple Forma general del polinomio a factorizar: m, n lN
P(x; y) = Ax2n + Bxnym + Cy2m
vi.
método del quita y pon
1.
Factorizar:
Ilustraciones: a)
x2 + 1
+
= 2x2
2 (
Factorizar: P(x;y) = x2 + 5xy + 6y2
2 P(x; y) = xx2 + 5xy + 6y 2y 2xy +
3y 3xy 5xy
x
)(
)
x4 + x2 + 1 =
Descomponemos los extremos.
Verificamos el
2.
Factorizar:
+ 4n4 2n2
1 1
término central
= 4n2
2
Los factores se eligen en forma horizontal. P(x; y) = (x + 2y)(x + 3y) Expresión factorizada. b)
x4
(
)(
(
) )
1 + 4n4 =
Factorizar: P(x; y) = (x + 3)2 + 3(x + 3)y – 4y2 Hacemos un cambio de variable: Sea: x + 3 = m (Para reconocer que método utilizar) así tenemos que reemplazarlo en el polinomio, se tiene:
(
)2 –
vii.
cambio de variable
1. Factorizar: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1 Agrupando convenientemente, tenemos:
P = m2 + 3my – 4y2 (Se reconoce un aspa simple) (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) + 1 P = m2 + 3my – 4y2 m 4y 4my + –y –my 3my
m
Verificamos el
Efectuando por parejas de factores:
término central
(x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) + 1
Los factores se eligen en forma horizontal:
Hacemos cambio de variable: x2 + 5x = m
P = (m + 4y)(m – y)
Así tenemos: (m + 4)(m + 6) + 1 = (m2 + 10m + 24) + 1 = m2 + 10m + 25 m 5 m 5
P(x; y) = (x + 3 + 4y)(x + 3 – y) Expresión factorizada teorema Sean "A(x)" y "B(x)" polinomios primos y primos entre sí, m
a factores, tenemos: (m + 5)2
n
tal que: P(x) = A(x) . B(x) reemplazando por su equivalencia: (x2 + 5x + 5)2 a) b) v.
Números de factores primos = 2 Números de factores algebraicos = (m + 1)(n + 1) – 1
método de los divisores binomios Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado que aceptan factores de primer grado.
26
O
factorizar e indicar el número de factores primos.
1.
x(x + 1) (x + 2) (x + 3) + 1
2.
(x – 1) (x2 – 4) (x + 3) + 3
Trilce Católica
Álgebra Ejemplos de la clase 1.
c)
=
M(x) = x2a + x2b – x2c d)
M(x) = b)
d)
= e)
M(a) = 10a9 – 5a10
E = x2 + 10x + 25
M(a) =
=
A(x; y) = 5 (x – y) – m (y – x)
= 4.
A(x; y) = e)
D = p36q12 – 27 =
T(x) = x3 – xy – 5x T(x) =
c)
1
=
Factor común: a)
C=
a3b3 –
Aspa simple a)
R(x; y; z) = (x + y + 2)z + (x + 2 + y) x
T(m) = 6m2 – 7m + 2
R(x; y; z) = 2.
Agrupación: a)
P = xy – zy + xa – za
T(m) =
=
b)
S(b) = 3b4 + 7b2 + 4
= b)
Q = a2b + a2c + d2b + d2c =
S(b) =
= c)
c)
M(a, b, c) = 3a2b4 – 8ab2c + 5c2
R = x5 + x3 + x2 + 1 = M(a, b, c) =
= d)
S = a5 + a3 – 2a2 – 2
5.
=
a) b) c) d) e)
= e)
T = a2 – 3 + a2b – 3b =
Nivel i
Identidades: a)
F(x;y) = 4x2 + 4xy – 3y2 – 6x – y + 2 P(x;y) = x2 + 3xy – 5x – 21y – 14 P(y) = y4 + 13y3 + 45y2 + 20y + 2 M(x) = x4 + 2x3 + 6x2 + 5x + 6 Q(x) = 2x4 + 7x3 + 9x2 + 5x + 1
Problemas para la clase
= 3.
Factorizar:
A = m4 – 1
1.
Factorizar: x5 – ax4 + bx4 – abx3 A. B.
=
x(x + a + b + 1) x(x + a3)(x – b3)
C. D.
x3(x – a)(x + b) x3(x – a)(x – b)
= 2. b)
B=
p6 –
Factorizar: (x + 1)7 (x2 + 1)10 – (x + 1)5 (x2 + 1)11
q8 Indicar como respuesta uno de los factores.
= =
Trilce Católica
A. B.
x+2 x–1
C. D.
x x2 + 2
27
Ciclo Católica 3.
Factorizar: R(x) = xn + 2 + xn + x3 – x2 + x – 1 A. B.
4.
(x2n + 1)(x2 – n – 1) (x + 1)(x2n – x + 1)
C. D.
(x + 1)(x2n + x + 1) (x2 + 1)(xn + x – 1)
14. Factorizar: P(x) = abx2 + (2a + 3b)x + 6 , indicar un factor primo. A. B.
ax + 3 bx2 + 24
C. D.
ax – 3 bx – 2
Factorizar: am + n + bm + n + (a . b)m + (b . a)n 15. Factorizar: 25x4 – 109x2y2 + 36y4 Indicar un factor primo. A. B.
5.
an – bn an + bm
C. D.
am + an bm + bn
A. B. C. D.
(5x + 3y)(5x – 3y)(x + 2y)(x – 2y) (25x + 9y)(25x – 9y)(x + 4y)(x – 4y) (5x + 2y)(5x – 2y)(x + 3y)(x – 3y) (5x + y)(5x – y)(x + y)(x – y)
Indicar la suma de factores primos de: (2x2 + 7x)(x + 5) + (6x + 15)(x + 5)
16. Indica cuál de los siguientes no es un factor de: 18x4y2 + 51x3y3 – 42x2y4
A. B. 6.
4x + 13 3x + 8
C. D.
4x + 8 3x + 13
A. B.
C. D.
b–c+a+d b+c–a–d
(x + 7)(x – 9)2 (x + 7)(x + 9)2
C. D.
(x + 7)(x – 3)2 (x + 7)(x + 3)2
Factorizar: R(x) = x3(x + m) + 2x2(x + m) A. B.
9.
b+c+a–d b–c+a–d
Factorizar: P(x) = x2(x + 7) + 6x(x + 7) + 9x + 63 A. B.
8.
3x – 2y x
C. D.
y 2x – 7y
Uno de los factores luego de factorizar es: E = b2 + c2 – a2 – d2 + 2ad + 2bc
7.
A. B.
x(x + m)(x + 2) x2(x + m)(x + 2)
C. D.
x2(x + 2m)(x + 2) x2(x – m)(x – 2)
Señalar uno de los factores del polinomio: x(y2 + z2) + y(z2 + x2) A. B.
x–y x + 2y
C. D.
x+y y+1
10. Factorizar: x(x + 4) – yx – 4y + 7x + 28 A. B.
(x + 4)(x + y – 7) (x + 4)(x – y + 7)
C. D.
(x – 4)(x – y + 7) (x + 4)(x + y)
nivel ii
(a + 2b)(a – 2b)(a2 – 2ab + 4b2)(a2 + 2ab + 4b2) (a + b)(a – b)(a2 – ab + b2)(a2 + ab + b2) (a + 2b)(a – 2b)(a2 – ab + 2b2) (a + b)(a – b)(a2 – ab – b2)(a2 + ab + b2)
12. Uno de los factores del polinomio:
x – 5y x–y+2
C. D.
x + 5y x – 5y – 2
13. Factorizar: P(x) = x14 – x2 – 6x – 9 A. B.
28
(x7 – x – 3)2 (x7 + x + 3)(x7 – x – 3)
8x 8x + 14y
C. D.
10x2 – 29y 10x2 – 21y
18. Factoriza: 25a2 – 4b2 + 20a + 4; uno de sus factores primos es: A. B.
5a – 2b – 2 5a + 2b + 2
C. D.
5a + 2b 5a – 2b
19. Uno de los factores de: E = 8x6 + 7x3 – 1, es: A. B.
x2 + x + 1 4x2 + 2x + 1
C. D.
x–1 4x2 – 2x + 1
20. Factorizar: x2 + (2a + 7)x + a2 + 7a + 10, señalar un factor primo. A. B.
x+a+5 x–a–5
C. D.
x+a–2 x+a+7
nivel iii 21. Factorizar: x3 – 8x2 + 13x – 6; indicando el factor primo que más se repite. x–6 x–1
C. D.
x+2 x–3
22. Factorizar: x3 – 11x2 + 31x – 21, indicando la suma de sus factores primos. A. B.
3x + 11 2x + 10
C. D.
2x – 11 3x – 11
23. Factorizar: 6x3 + 11x2 + 6x + 1, indicando un factor primo.
F(x) = x2 – 4x – 25y2 + 4 es: A. B.
A. B.
A. B.
11. Factorizar: a6 – 64b6 A. B. C. D.
17. Descomponer: 9x4 – 61x2y2 + 100y4; en el máximo número de factores y dar como respuesta la suma de sus factores.
C. D.
(x7 + x + 3)(x7 – x + 3) (x14 + x + 3)(x14 – x – 3)
A. B.
3x – 1 4x + 1
C. D.
x–1 2x + 1
24. Factorizar: P(x) = x3 – x2 – 2x – 12 A. B.
(x – 3)(x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 2)2
C. D.
(x – 3)(x + 2)2 (x – 3)(x2 + 2x + 4)
Trilce Católica
Álgebra 25. Luego de factorizar, indicar la suma de sus factores primos: f(x) = x3 – 5x2 + 2x + 8 A. B.
3x – 2 3x + 5
C. D.
3x + 2y 3x + y
C. D.
res primos cuadráticos tiene.
3x + 2 3x + 4
26. Factorizar: x3 + x2y – x – y3 – xy2 + y; e indica la suma de sus factores. A. B.
5.
A. B. 6.
6x + y x + 6y
27. Al factorizar el polinomio:
7.
x2 + x – 1 x2 + 1
C. D.
x2 + x + 1 x+1
8.
28. Factorizar: a2 + b2x2 – (c2y2 – 2abx)
A. B.
ac + bxy a + bx – cy
C. D.
a – bx + cy a – bx – cy
E = ax2 – bx2 – axz + bxz + axy – bxy – ayz + byz , es: a+b x+y
C. D.
x–y y+z
30. Si al factorizar: x3 + 8x2 – x– 8; se obtiene: (x+ a)(x + b)(x + c), donde: ab > 0; hallar: (a + b)c A. B.
–8 –9
C. D.
9 8
1.
Factorizar: y2 + xy + xz + yz, indicando un factor primo. A. B.
2.
2x + y x + 2z
x+2 x+5
C. D.
x+3 x+4
Factorizar: x6(x + a) – 9x4(x + a), indicando un factor primo. A. B.
4.
C. D.
Factorizar: x2(x + 5) + 6x(x + 5) + 9x + 45, indicando el factor primo que más se repite. A. B.
3.
y+z x+z
x+6 x–a
C. D.
x 2x – 6
Factorizar: (x – 3)(x – 2) – (x – 2)(1 – x) + 2 – x, indicando un factor primo. A. B.
x+2 x–1
Trilce Católica
C. D.
2x + 5 2x – 5
C. D.
5 4
3 2
C. D.
4 5
x+a x+b
C. D.
ax + 3 bx + 3
8x + 3y 9y – 4x
C. D.
4x + 12y x+y
10. Calcular uno de los factores primos de: ac(a + c) + ab(a – b) – bc(b + c) A. B.
a–c a+b
C. D.
a–b a+b+c
11. Factorizar: x3 – x2 – 2x – 12, indicando la suma de los términos independientes de sus factores primos. A. B.
Tarea domiciliaria
7 6
Al factorizar: 4(x + 3y)2 – 9(2x – y)2, indicar la suma de sus factores primos. A. B.
29. Uno de los factores de:
A. B.
9.
0 3
Factorizar: abx2 + (2a + 3b)x + 6; indicando un factor primo. A. B.
Uno de los factores primos es:
C. D.
Factorizar: xa + 6 + xa + x8 – x6 + x2 – 1, indicando el número de sus factores primos. A. B.
Uno de los factores primos es:
2 1
Factorizar: (25x2 – 16y2)(x2 – 4y2)(x4 – y4); indicando el número de factores primos. A. B.
P(x) = (x4 – 1) (x4 – x2 + 1) + 2x3(x2 – 1)
A. B.
Factorizar: x6 – x4y2 – x2y4 + y6; indicando cuántos facto–
2 3
C. D.
–2 1
12. Factorizar: B(x) = (2x2 – 3x)2 – 14(2x2 – 3x) + 45, e indicar un factor primo. A. B.
2x – 1 2x – 3
C. D.
2x + 3 2x + 1
13. Factorizar: P(x) = x3 + 3x2 – 10x – 24 A. B.
(x + 2)(x – 3)(x + 4) (x + 2)(x – 3)(x – 4)
C. D.
(x – 2)(x – 3)(x – 4) (x – 2)(x + 3)(x + 4)
14. Factorizar: P(x) = 8x2 – 2x – 3 , e indicar un factor primo. A. B.
x+1 2x – 3
C. D.
2x + 1 2x + 3
15. Factorizar: (x + 1)7(x2 + 1)10 – (x + 1)5(x2 + 1)11 Dar como respuesta el factor que más se repite. A. B.
x+1 x
C. D.
x2 + 1 x2 + 2
29
Ciclo Católica 16. Factorizar: P(x; y) = [(x + z) (x – z) + 1]2 – 4x2 e indicar el número de factores primos. A. B.
2 4
C. D.
5 3
17. Factorizar: x3 + 2 + x(2x + 1) y dar como respuesta la suma de sus factores. A. B.
x2 + x + 3 x2 + 1
C. D.
x+2 x2 + 3
19. Al factorizar: 6x2n + 1 + 5xn + 1 – 6x; indicar un factor primo. A. B.
3xn – 2 xn + 3
C. D.
xn – 2 4xn – 1
20. Factorizar: P(x) = (x2 – 8x)2 – 13(x2 – 8x) + 36 e indicar un factor primo. A. B.
x2 – 8x + 9 x2 – 8x + 4
C. D.
x2 – 8x – 4 x+9
18. Uno de los factores de: E = (5a + 3)3 – 8a3 , es: A. B.
30
3a – 1 19a2 + 8a + 1
C. D.
39a2 + 12a + 1 13a2 + 12a + 3
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 6 Quinto Católica
EXPrESiONES aLGEBraicaS raciONaLES A.
FRACCIÓN ALGEBRAICA
2.
Si:
Una fracción algebraica se define como la relación que existe entre dos polinomios, en la cual el denominador es un polinomio de grado no nulo y diferente de cero.
B.
;Q 0 Q(x) (x)
c) C.
Se factoriza el numerador "P(x)" y el denominador "Q(x)" Se eliminan los factores iguales del numerador con los del denominador. El resultado es una fracción irreductible.
4.
1 4
D.
1
A.
1
C.
0
B.
–1
D.
x x+1
Hallar el número de factores primos del MCM de: P = x3 + x2 y Q = x2 – y2 R = x2 – 2xy + y2
MÍNIMO COMÚN MULTIPLO (M.C.M.) Para determinar el “mcm” se factorizan las expresiones y se toman los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.
A. B. 5.
D.
C.
(x – 1)(x – 2)(1 + x) Reducir: (x + 1)(1 – x)(2 – x)
3.
Para simplificar fracciones algebraicas se realiza el siguiente procedimiento:
b)
1 3 2 3
B.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
a)
2 a+1 = ; ¿cuánto valdría: ? b 3 2b + 3
A.
P(x) Denotado:
a
2 3
C. D.
4 5
C. D.
x–3 x–1
Hallar el MCD de:
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) Para determinar el “MCD” se factorizan las expresiones y se toman los factores comunes con su menor exponente.
P = 5x3 – 5x2 + 2x – 2 Q = 2x3 + 2x2 –2x – 2 R = x4 + x3 – x2 – x
OPEraciONES cON fracciONES aLGEBraicaS
A. B. 6.
adición y sustracción:
x2 – 1 x–2
La suma de dos números es 15 y su producto 54. Calcular la suma de sus recíprocas.
P R PS QR ± = Q S QS
1 A.
multiPlicación:
B.
P R PR × = Q S QS
1 C.
10 5 18 x
Efectuar: 1 –
7.
D.
18 2 9
C. D.
a 1
x
a+x
1+
a
DiviSiÓN: P PS P R Q = ÷ = R Q S QR S
A. B. 8.
Problemas para la clase 1.
Reducir:
2 x 1 – a– 1 Simplificar: a A.
3a – b
B.
b – 3a 9.
A.
1
C.
B.
–1
D.
TRILCE Católica
a b
x2 x x–2
A. B.
– (1 – a–1)–1
a–1 a a a–1
Reducir:
0
1
x+1 x–1
C. D. –
x –1 –2 + x
+
a a a +1
x+3 2–x C. D.
x 1
31
Ciclo Católica 10. Efectuar:
x+z
+
y – 3z
x–y A. B.
+
y–z
z+y
z+ y – y–x z–y
1 –1
C. D.
2 3
19. Efectuar:
a2 + A. B.
20. Efectuar:
Indique la suma del numerador y el denominador de la fracción resultante.
A. B.
A. B.
2x + 2y 2x
a2 –
b2
a2 + 3b2 a2 + 2 2 2 a +b b – a2
a2 – b2
a2 – ab +
1 2 a–b
+
ab – b2
a
ab2 – a2b
–
ab
1 ab –1
C.
b b
a2 – 1
D.
a
2x – y x + 2y
C. D.
+
b2
C. D.
b2 – a2
(x2 – y2)x + y(x2 – y2)
b2
+
a–b a+b
(x + y)xy + x2(x + y)
11. Reducir:
a2 – b2
21. Descomponiendo en fracciones parciales, hallar "M . N" 12.
Determinar el equivalente de la fracción: x3 – x2y + x2 – xy x4 – x2y2 + x3 – xy2 A. B.
1 x 1 x +1
x C.x + y 1x D. + y
1 13. Si:
n2 – 1
A =
n+1
B +
n–1
, hallar "A ÷ B"
6x – N M N = + x2 – 4 x–2 x+2 A. B.
B.
–1 1
C.
2
D.
14. Efectuar: A. B.
0 B.
2x2 + x – 3 x2 + 3x – 4
C. D.
3 1
(x2 – 3x)2 – (x + 1)2 15. Efectuar: 2 (x – 4x)2 – (2x + 1)2
1 x +1 22
23. Efectuar:
16. Efectuar:
– 2x ±x
C. D. a3 – a2b (a – b)2
A. B.
a2
A. B.
b2
+
b + ab
–
2
a + ab
A.
a
–
b a
C.
1
D.
–1
a
b A.
32
a–b
a3 B.
– a +
b2
x2y
4xy
C. D.
B.
x + 2y + 4 x + 2y – 4
2
4x + 8x – 5 x – x – 20 + 2 2 x – 2x – 15 2x + 5x – 3 C.
1
2
D.
3
+
b3 b
x+3 6 x–1+ x+6
Indicar la diferencia de los elementos de la fracción resultante. A. B.
3 –3
C. D. 2
26. Efectuar: –
xy + 1
1 3 1
a b
b
b b a2
–
6
a
18. Efectuar:
2y + 1
x+2–
C. D. 2
+
3y + 4 3x + 4
a2 – b2
–a –b
17. Efectuar:
x+1
Indicar el numerador de la fracción resultante.
25. Efectuar: A. B.
x +1 x–1 x2 + 1
a3 + b 3
–
2
D.
2
Señalar la diferencia de los elementos de la fracción resultante. 2x ± 2x
3
C.
2x2
24. Efectuar:
A. B.
1 x+1 1 x+1
2
x2 + 5x + 4
–3 –2
0 4
x +1
1
x2 + 10x + 9 +
C. D.
1 – 22. Efectuar: x – 1 x – x–1 A.
A.
–4 –2
ab + b2
x2 +
4x + 3
±3 2
1 +
x2 +
1 x
+
x2 +
3x
ab + a2
a C.
ab + 1
Trilce Católica
D.
ab – 1
Indi car el C. nu D. mer ado r fina l. A.
x +
B.
2 x + 1
4x + 2 4
Ciclo Álgebra 1
x+
x–
27. Reducir:
x–1+ A. B.
1
1
x+1 x x+1 1 2 x +x
C. D.
2
x –x 3 1+
A. B.
1
+ –1 +
1
1 1+ x
x 2x + 1
29. Al efectuar:
1 x2 – 1
A. B.
A. B.
2 4x + 1
1 x – 1 , se obtiene:
B.
x–1 x+1
31. Simplificar: A. B.
32. Simplificar:
A. B.
33. Simplificar:
D.
0
B.
C. D.
a + b + 2c 1
–
B.
3 –3
D.
a–b
a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b) (a – b)3 + (b – c) 3+ (c – a) 3 1
C.
3 3
D.
ak SK =
(a + b)2
D.
1
A.
6x + 2 6x – 1 3x – 2 3x – 1
C.
Además: a b c 0
x+3 x–1
C.
3x + 1 3x – 2 2x + 3 2x – 1
40. Siendo “k” un entero no negativo:
(a – b)(a – c)
bk +
ck
(b – c)(b – a)
+
(c – a)(c – b)
S + S3 Determine el equivalente de: 0 S1 + S2 A. B.
1 a
C. D.
a+b+c c
x2 – x – 2
x2 + 5x + 6 x – 4 . x – 12 x2 + 3x + 2 x – 2 .
C. D.
x+3 1
Tarea domiciliaria 1.
3x2 + 11 + 6
x+3 x+2
a–b–c a+b+c
39. Reducir:
2 2 a4 – a 3c – a b + ab 2c
x2 –
3
x–1 x –2 – x+2 x+1 C. D.
2. x–2 –x–3
(a + b)3 – (a – b)3 – 2b3 35. Reducir: (a + b)3 + (a – b) 3– 2a 3 A.
1
C.
B.
–1
D.
34
A.
a5 – a4c – ab4 + b4c
x+2 x–1
34. Efectuar:
A. B.
x+1 x+2
C. D.
x2 – A. B.
C.
x4 + x 2+ 1
a+b b2 a+ a
inde-
Si admite como divisor común a: x2 + mx – 6
x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1
x+1 x+2
(ab)–1 ab
C. D.
x 1
3x3 – 2x2 – (a + 2)x – 6 38. Reducir: 3x3 – 5x 2– (a – 1)x + 6
–x+1
–x – 1 C. x + 1 D. 1 –1 x+1 B. x + 1 x2 + 1 x +1 30. Efectuar: x–1 + 4x – – 2 2x – 2 2x + 2 x2 – 1 x –1 x+1
x (a + b + x)
(bc – a2)x + (ac – b)2 (b + c)x + (a + c)
1 1– x
A.
A.
–
37. Calcular el valor constante que toma la fracción pendiente de “x”:
3
C. D. x2 – 1 –
1
36. Simplificar: a b ab 1 1 2 x2 + + – 2 2 ab a b a2 b2
x1
x x–1 1
28. Efectuar:
+
b a a b
Reducir:
4x – 1 x + 6 2x + 14 – – x–3 3–x –3 + x
A.
2
C.
3
B.
1
D.
0
Hallar el mcm de: P = x2 – 4x + 3 Q = x2 + 4x + 3 R = x4 – 10x2 + 9 S = x3 – 9x + x2 – 9 y dar como respuesta la suma de sus factores primos A. B.
2x 3x
C.
4x D.
5x
Trilce Católica
Trilce Católica
33
Ciclo Católica 3.
Hallar el MCD de los polinomios: x3 –
12. Efectuar:
4.
5.
x2 – 1 x2 + 1
C. D.
a+c
+
b – 3c
a–b A. B.
A.
x–1 x+1
Efectuar:
+
1 –1
B.
c+ b – b–a c–b
C. D. x2
Reducir: R =
2x3
–
A. B.
A. B. 7.
0 x x2 – 1
+
x2 + x – 2
A. B.
x2 + x – 2
x2
A.
x+1
B.
2a + 2
xy (xy)–1
a+c a+b a+b
D.
c+b a3 – 2a3 –
2x + 5 2x – 3
A.
–
4
B.
4a – 4
C. D.
a–b
C. D. 1
–
0 2
C.
x2 + 3x + 2
3
Simplificar: B =
C. D.
c(a + c) + b(a – b)
a–b b+c b–c
Señalar el numerador de la fracción resultante.
8.
x2 + 7x + 12 x2 + 7x + 9
1 – (xy)–1
15. Simplificar:
x 2+ 5x + 4
x+1 2x + 3
+
–2 –1
16. Simplificar:
A. B.
1
D.
a(a + c) + b(c – b)
x–1 C. D.
Reducir:
b
x2
+
a
C.
1 1 1 1 x y 14. Simplifica: x – y x + y y – x
xy 12
x2 – 1
x+1
–
a
x2 + 2x – 3
(2x + 3y)2 – (2x – 3y)2
6.
ab – a2
b b
13. Reducir:
C. 2 D. 3 (3x + 2y)2 – (3x – 2y)2
1 24
–
ab – b2
a
c+b
b–c
Hallar el valor de:
A. B.
+
ab
5x2 –
P= x+5 Q = x4 + 4x3 – 4x – 1 A. B.
ab + b2
8 – 8a
2
25a
8a2 – 10a
a–5 2(a + 1) a+5 2(a – 1)
a+5 a+1 a+5
C. D.
2(a + 1)
17. Descomponiendo en fracciones parciales, hallar: M – N A. B. 9.
Si:
4 7(a + 1) 5 4(a + 1)
+ 26 A B = + x + 7x + 10 x + 2 x+5 A2 +
B.
1 5
C. D.
11. Reducir:
3 2
x+4 x+2 x–2 x+1
y2
A. B.
B.
34
135 – 36
20. Simplificar:
(1 + xy)2 – (x + y)2
1–x 1 1– x
C. D.
ab (ab)2
–1
(ab)–1 (ab)–2
a(x – y) + 12xy + b(x + y)
es independiente de “x” e “y”.
D. x–
A. B.
A. A.
0 4
3x + 4xy + 5y
C.
1–
C. D.
19. Calcular “ab” si la fracción:
x+1 x+2 x+2 x+1 xy2 +
–4 –2
–2 –2 a–1 – b–1 18. Reducir: Q = a – b a–1 + b–1 a–2 . b–2
B2
3x + 7 x+1– x+2 10. Efectuar: x+3 x+3– x+4 A.
6x – N M N = + x2 – 4 x – 2 x + 2 A. B.
2 7x
hallar: A. B.
4a + 1 C. 2(a – 1) 3a D. a + 1
C.
x–1
D.
11 –x
B.
C. D. –a + –a + –b
48 – 48
–b –a – –b
1 a–b
C.
a–b a+b
1 a +b
D.
a+b a–b
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 7 Quinto Católica
raDicaciÓN Se llama radicación a la operación matemática a través de la cual, dada una variable real “x” y un número natural “n”, existe un tercer número “r” llamado raíz, siempre que: rn = x. Es decir:
Ejemplo:
O
Si:
n
x = r → x = rn
O
3 5
3
27 = 3 → 27 = 3 –32 = –2 → –32 = (–2)5 1 1 1 1 = ( )4 4 = → 81 3 81 3
10
3
3
2.33.5 =
5 10 15 2 a b c
=
5
3
3
2.
5 = 2 .3 . 3
3
5 =6 5 3
33 . 5 = 2 . 3 . 5 = 3 10 5
2 3 2 5 a10 . b15 . 5 c2 = a b c
Ejemplo:
Ejemplos:
O
270 =
32 .
Para introducir un factor en un radical de índice ‘‘n’’, se elevará el factor a la potencia n–ésima y se multiplicará por el radicando.
n: Índice (n IN; n 2) x: Radicando o cantidad subradical. r: Raíz n–ésima de “x”.
O
3
22 .
introducir un factor en un radical
Donde:
O O
180 = 22 . 32 . 5 =
O
1024 = 2 → 1024 = 2
10
O
2 5 = (2)2 × 5 =
O
6 2=
O
x2.5 y = 5 (x2)5y = 5 x10y
3
3
20 3
(6)3 × 2 = 432
cLaSificaciÓN DE LOS raDicaLES 2
n =
n Se omite el índice radicales HeterogÉneos
recuerda
Son aquellos radicales tales que sus índices son diferentes.
ley de signos 2n 2n
Ejemplo:
# Positivo = + O
# Negativo = en IR; número imaginario
2n + 1
2n + 1
O
3 5
# Positivo = + O
# Negativo = –
2;
43
xy ;
7
3x ;
3
a 2y
radicales HomogÉneos teoremas: Son aquellos radicales que tienen igual índice. Siendo {a; b}
+ R 0;
n lN {1} entonces:
i.
raíz de un producto
ii.
raíz de un cociente
n
ab =
n
a.
n
Ejemplo: 2; 3;
O
b
x;
xy → Son homogéneos
Índice 2
iii.
raíz de una raíz
n
m n
a = na b nb a =
mn
(b 0)
3
extraer un factor de un radical Para extraer un factor del radical, se descompone el radicando en la multiplicación de otras cantidades, uno de los cuales tiene por exponente el mayor múltiplo del índice y se divide este exponente entre el índice de dicha raíz.
3
3
→ Son homogéneos
5
→ Son homogéneos
Índice 3
a O
TRILCE Católica
3
3 ; 2 x; 5x y; 7x x2
O
5
5
5
7 ; 3 2; x x2; xy xy Índice 5
radicales semeJantes Son aquellos radicales que además de tener el mismo índice, poseen la misma cantidad subradical.
35
Ciclo Católica Ejemplo:
multiPlicación y división
a ; b a ; m a ; 3 a Son semejantes
O
Para multiplicar dos radicales primero se reducen al mismo índice, en caso de que sea necesario.
Índice: 2 Ejemplo: Cantidad subradical: a 5
O
5
5
5
2 xy; 3 xy; y xy; mn xy Son semejantes
Multiplicar 3 2 por
3
resolución: Índice: 5 El M.C.M. de los índices 3 y 2 es 6; por tanto, convertiremos cada radical al índice 6. Así resulta:
Cantidad subradical: xy Escribe tres radicales semejantes a cada uno de los siguientes radicales:
1 3
2
2 = 23 = 26 =
M = 25 a; 3=
1 32 =
6
4
3 6 36 = 27
3
A = x x2y;
De donde: 3
HomogeniZación de radicales Para dos o más radicales heterogéneos que quisiéramos expresarlos con un índice común, bastará con que encuentres el m.c.m de los índices que será el nuevo índice.
3
2;
5;
3=
6
6
4 27
3
2
6
3 = 108
La multiplicación de expresiones de dos o más términos, ya sea que algunos o todos contengan radicales, se efectúa al igual que con expresiones algebraicas ordinarias. Ejemplo:
Ejemplo: O
2
6
3
Luego:
El M.C.M de (3; 2; 6) = 6
Multiplicar: 3 x + 2 y por 2 x
3×2
resolución:
6
22;
3×2
6
4; 125;
6
53;
6
3
3 y
Se ordenan las expresiones y se procede como en la multiplicación ordinaria, la operación se dispone como sigue:
3
OPEraciONES cON raDicaLES 3 x + 2 y adición y sustracción
2 x – 3 y
La suma o sustracción algebraica de radicales semejantes se efectúa como la de términos semejantes, es decir, se multiplica la suma de sus coeficientes por el radical común.
6x + 4 xy – 9 xy – 6y 6x – 5 xy – 6y
Ejemplo:
Para dividir un radical entre otro, estos deben tener el mismo índice.
Calcular la suma indicada: M = 4 2 – 2 18 + 3 32 –
50
Ejemplo: Efectuar las divisiones indicadas:
resolución: Primero simplificaremos los términos, en caso de que sea posible. Así tenemos: M=4 2
2 18 + 3 32 –
M=4 2
2 9 × 2 + 3 16 × 2 –
a)
b)
50 25 × 2
c) M = 4 2 – 2 ×3 2 + 3× 4 2 – 5 2
10 = 2 3
10 = 2
5
6
3
= 27 = 6 3 6 3 9
5 2 x 7
x
=
35 14 x 35 5 x
=
35 9 x
radicales doBles M = 4 2 – 6 2 + 12 2 – 5 2 M = (4 – 6 + 12 – 5) 2 M=5 2
36
Son aquellos radicales que se caracterizan porque dentro de un radical, se encuentran contenidos uno o más radicales con otras expresiones a través de operaciones de adición y sustracción.
Trilce Católica
Álgebra Ejemplo:
Ejemplo:
O
A
B
O
A
B
A
B
3 O
C
D
1 caso. radicales de la forma: A O
=A
B
B
5 + 24 =
3+2+2 3×2 =
3+
2
O
7 – 40 =
5+2–2 5×2 =
5–
2
O
28 + 5 12 =
yx ; (x > 0 y > 0, x > y)
facTOr raciONaLiZaNTE (f.r.)
De donde: x+y=A 4xy = B A
á
x2 – Ax +
B
Se llama factor racionalizante a aquella expresión algebraica irracional que multiplicada por el numerador y denominador de una fracción permite que uno de estos se transforme en una expresión algebraica racional.
=0
4
A2 – B
M F.R. M × F.R. × = I F.R. Racional
2 A
Luego:
3
Por lo general, se emplea para eliminar la irracionalidad de los denominadores.
B = x + y 2 xy
x =
25 + 3 + 2 25 × 3 = 5 +
Es el procedimiento por el cual se transforma uno de los componentes de una fracción (numerador o denominador) que se encuentra en forma irracional en otra equivalente racional.
Elevando al cuadrado: A
O
A
B=
A2 – B 2
A–
A2 – B 2
Expresión irracional
Por lo tanto:
Casos que presentan: A
B=
A C 2
caso i
A–C 2
N n
A2 – B
Donde: C =
Además: A2 – B es cuadrado perfecto
Se tiene: 11 8 × 32 11 3 8 2 – 8 × 32 11 C= =7 11 7 11 – 7 11 3 8 = + =3+ 2 2 2 7– c)
7– 3+
C=
40 40 5
3+
2
2
C= 32 = + 2
=
5 5
–
2 O
5
5 =2 3–2 5 = 2 2 +
1 2
( a
n
an – m a 5 3
2
2 ×
3 2 2 3 2
2
3
5 4 =
2
Ejemplo:
9 2
a>b
( a
7 3 2 3
.62
3
×
3
3
6
3
6 3 . 25 = 7 3 . 32 = 7 3 .
3.
6 5 2
3×2
6
32
6
El denominador es 6.
b)2 = a + b 2 ab
a + b 2 ab =
Trilce Católica
7 3
resolución:
caso ii
Lo aplicaremos de la siguiente manera: B=
N×
Indicar el denominador, luego de racionalizar:
También se puede transformar A B a radicales simples formando un trinomio cuadrado perfecto para lo cual debemos recordar lo siguiente:
A
an – m
=
32 –
regla Práctica
O
am
an – m
n
an – m
resolución:
3
7–3 –
×
n
Ejemplo: Racionalizar el denominador de:
72 – 40 = 3
73 =
O
n
N n
Transformar a radicales simples:
b)
; n > m; m, n IN; a R+
El factor racionalizante es:
Ejemplo:
a)
am
b)2 =
a
b
N ; f(x), g(x) IR+ f(x) g(x)
37
Ciclo Católica factor racionalizante
expresión
Problemas para la clase
Producto
f(x) + g(x)
f(x) – g(x)
f(x) – g(x)
f(x) – g(x)
f(x) + g(x)
f(x) – g(x)
Nivel i
7 O
Ejemplo: Racionalizar el denominador de:
5+
2. 2
5 – 2 7( 5 – 2) 5– 2 = 3
×
2
5 – O
2
3.
2
5
resolución:
4. 5
×
5+1
=
5+1 2
5 –1
5( 5 + 1)
El denominador es 4.
4–2 3
Ejemplo: Racionalizar el denominador de:
x2 + 1 + x
6.
x2 + 1 – x 2 x2 + 1 – x
= 219(
2
x2 +
1 – x) 7.
b) c) d) 2.
28 – 6 3 +
b) c) d)
3+ 2
A. B. 8.
8 20 1
Reducir:
11 – 3
1
A. B.
1 3
15 12
+ 6
1 6–2
4
3
3
–
7 + 2 10
2 –1
+
1
–
2+ C. D.
9
1
2
2
2 –2
4
resulta: 3a + 2 . Hallar: “a” C. D.
2 5
Nivel ii =
11. Reducir: A. B.
38
0 3
8 + 2 15
1 0
10. Al reducir:
71– 5 = 2+1 2
7–4 3
C. D.
8+ A. B.
=
5 10
2 +
1 0
9.
=
48
C. D.
Efectuar:
2
2
C. D.
Racionalizar: a)
0
12 – 6 3
13 – 4 3 +
1 2
8 + 2 15
Indicar la suma de las cuartas potencias de los radicales simples que se obtienen al descomponer:
A. B.
1
4
1 2
C. D.
5+2 6
= 3 2 = 3 2 3 = 4 3 2 = 5 2
3
7–
12 + 6 3 +
1 3
5 a)
3+1
3 3+2 6
EJErciciOS BáSicOS Racionaliza las siguientes expresiones:
2 –2
C. D.
3
Simplificar:
El denominador es 1.
1.
C. D.
5–2 6 –
7 + 2 10 +
1
Reducir:
A. B.
x2 + 1 – x
219 × 1+x
2 1
C. D.
resolución:
x2 +
.3
2 4
Reducir:
A. B.
219 O
3
6
2
5.
75 C. D.
1 0
3
A. B.
4
–2 3
Efectuar: A. B.
5–1
2 8+5 3–
50
Efectuar: ( 5 + 2)( 5 + 3) – ( 5 + 7)( 5 – 2) – 6 9 A. B.
Ejemplo: Indicar el denominador racionalizado de:
5–1
Simplificar: A. B.
2
resolución: 7 5+
32 –
13 2 + 1.
1 0
6+4 7+2 6 – C. D.
7–2 6 –1 3
Trilce Católica
Álgebra 12. Reducir:
50 +
10 +
50 –
5+1
A.
2
C.
6
B.
4
D.
5
13. Simplificar: A. B.
5+
1 2
A. B.
5 2 3 3
16. Reducir: M =
A. B.
A. B.
3
1 0
C. D.
4 5
C. D.
8
C.
15
B.
20
D.
12
8 3
A. B.
C. D.
A. B.
4
m+2 m+1
1 3+
49 – 20 6 –
1 0 3+
13 –
7
1 2
A. B.
2
C. D.
20. Efectuar: A. B.
C. D.
x–y
C. D.
C. D. 1 x+2 x–1
5–
7
A.
4 3
B.
resulta: A. B.
a–
3
1
+
5+
4
1 20 +
+…+
resulta: 19
C. D.
2
D.
a+
b–
x+1 x–2
2
c–
2+
3+
6
d
Si: a; b; c; d Q; hallar: a + b + c + d
b. Hallar: a – b
2 20
;
1
C.
1+ 1 4+
y y
x–2 x–1
29. Luego de racionalizar:
+
x+ x– 1
+
2 x+2 2 2–x
21. Al reducir: 2
(x + y) – 2 xy
donde: 1 < x < 2
nivel iii
1 3+
x–y
+
2 y 2 x
28. Simplificar:
2 3
7–
3
2 –1
(x + y) + 2 xy
2m m+3
3
se reduce a: a + b + c
0 1
27. Simplificar:
2m – 1 + 2 m2 – m – 6
19. Reducir:
3
3
5 + 3
siendo: a < b < c; hallar: a + c – b
3 2
18. Luego de transformar, indicar un radical simple en:
A. B.
6 8
A.
26. Si la expresión:
4 81 6
3
–
cx – a
ax + b +
3 3+2 6
4 2–7 5 12 2 + 3 5 2
2–
3 +
2+
A. B.
18 4
10 15
C. D.
12 17
4
22. Reducir:
2 2+
A. B.
1 8
Trilce Católica
3
–
2 2–
3 3 C. D.
+
2+ 2 4
19
5+ 2 5–2 2
C. D.
2
5+ 8 C. D.
5– 2 2 5– 2
1 20 +
4+ … +
25. Indicar la suma de las cuartas potencias de los radicales simples que se obtienen al descomponer:
3+ 3 6
+
16 2 – 3 5 6 2–7 5
17. Efectuar:
A. B.
3
5 2–2 5
1 5+
3+
Calcular: a + b + c
3 3+ 2
C. D. 60
23
3 –2
1 1 + + 2 3
15. Reducir: E = 6 +
1 4+
2+
5x – 2 + 2 6x2 – 7x – 3 =
23 –
C. D.
1 3+
24. Si se cumple:
3 4
11 –
23 .
23. Reduce:
A. B.
2
2 3 3 3 3 3 3+ 2 9– 6+ 4 C. D.
5+1
E=
3–
2 +
1 2
14. Efectuar: A. B.
2
3+
10 –
+ 3
6
3 2–
30. Simplificar:
3 A. B.
6 8
7 113 + 72 2 2 2–1
–4 2 C. D.
9 0
39
Ciclo Católica Tarea domiciliaria 1.
Reducir: ( 15 + 1)2 – ( 5 + A. B.
2.
11. Reducir:
4 7
A. B.
3)2
C. D.
8 0
12.
Reducir: ( 7 + 3)( 7 – 2) + ( 7 + 4)( 7 – 4) – A. B.
–1 –8
4
49
13. 3.
4.
3
1 2
4 3
C. D.
Efectuar:
9 – 80 –
12 + 2 35 – 8+2 7 –
1 2
3
2 + 1)
7 – 40 + 1 2– 3–
A. B.
3+
5
C. D. x–3 –
C. D.
5–2 6+
A. B.
3 1
26
37 – 1 1
10. Reducir: A. B.
1 3
2 5 + 21 –
x+2
1–
3 1 1 3– 3
3–
3
A. B.
C. D.
1 4
3+
13 –
7
2 –1
2 4
C. D.
2
–1
+
1 3–1
5–
7
–1 0
7 –
18. Racionalizar:
–1 0
0 –
7 5
4 1
6
1
9 – 2 20 + …
A. B.
5+
15 2
19. Si la expresión:
8
e indicar el denominador.
C. D.
5 3
3
3
4 3 3 18 + 12 + 8 3
se reduce a: 3 m – n; hallar: mn
10 + 2 21 C. D.
5
– 27 5+2 3 C. D.
x–1
7 – 2 12 +
C. D.
3 1
7+
C. D.
0 –2
17. Reducir:
2
sabiendo que la expresión tiene 36 términos. A. B.
+
7
3
7 + 40 4+2 5
Efectuar: 3–2 2+
3+
0
3+ 9.
2
–
4
16. Efectuar:
2x – 1 + 2 x2 – x – 6 +
0 x
5
8 + 2 12 3
C. D.
2 3
61 + 4 15 –
0
Reducir: A. B.
7+
2
5–2 6 C. D.
2+
1
7+2 6 A. B.
4 6
5–3 6–
2+
8–2 3.
0 –1
b ; a > b > 0; hallar: a – b 2
a 2+
=
6 5
C. D.
15. Reducir:
Transformar a un solo radical doble:
6 + 40 7 – 2 10
5
2 3
14. Reducir: A. B.
3 2
11 + 2 30
C. D.
Reducir:
3+
Efectuar: A. B.
3 C. D.
1
C. D.
Efectuar:
A. B.
8.
2
+ 1)( 4 –
4 – 12 –
0 1
8 + 2 15 –
7.
3
A. B.
A. B. 6.
3
3
A. B. 5.
3
Reducir: ( 2 + 1)( 2 – 1)( 4 +
2–
3+
3 2
Siendo: A. B.
–4 0
C. D.
2+
A. B.
18 12
C. D.
20 24 2
7
20. Hallar el denominador racionalizado en: 2+ A. B.
40
3 2
C. D.
2 –42
6 9
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 8 Quinto Católica
TEOrÍa DE EcUaciONES: EcUaciONES DE PrimEr GraDO EcUaciÓN
Problemas para la clase
Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas de por lo menos una variable y que se verifica para un determinado conjunto de valores asignados a sus variables.
1.
Hallar “x” en: 3x – 4 (x + 3) = 8x + 6 A. B.
–2 –1
Ejemplo: O
2x – 6 = 10
O
x2 – x – 6 = 0
2.
A. B.
Es aquella ecuación polinomial de la forma: 3.
ax + b = 0
3x + 9 = 0
O
7x – 5 = 0 4.
34 32
Resuelve:
x–3
–
A. B.
Ejemplo: 5.
+
10
Hallar “x”: 10 –
3x + 5
=3
6
cLaSificaciÓN DE LaS EcUaciONES según sus soluciones
6.
3
=
4
{–1} {1}
}
Las ecuaciones se clasifican de acuerdo a sus características, siendo las principales:
7x – 1
5
Es la reunión de todas las soluciones particulares que presenta la ecuación.
x3 = x C.S. = {
C. D.
1 2
conJunto solución de una ecuación (c.s.)
O
x–1 –1 –1 –1=0
30 24
Resolver: 5x – 2 = x – 1 7x – 1 + 3 2 6 A. B.
Ejemplos: O
1 1 1 1
–3 2
2 2 22
ecuación lineal (ecuación de primer grado)
;a0
Resolver:
C. D.
A.
15
B.
7
–
12
3 Infinitas soluciones
8
x
–
3
2
C. D.
{3} φ
x 2 4 C. D.
1
Resolver: 1+
ecuación comPatiBle
11
C. D.
1 x+
Es aquella que tiene un elemento en su conjunto solución
1
= 1 2
11 4 4 25
1+
1 1 1+
3
¿Qué se puede afirmar de la inversa de la solución? i.
determinada: Tiene un número finito de soluciones. (a 0 y b 0) O
2x + 8 = x – 7 x = –15
O
x2 – 1 = 0 x =
A. B. C. D.
;x= 7.
ii.
indeterminada: Tiene un número infinito de soluciones. (a = 0 y b = 0) O
Es un número comprendido entre 0 y 1 Es un número mayor que 1 Es un número entero Es un número comprendido entre –1 y 0
Hallar el valor de “a” en: 2ax + 5 – a = – 8x + 3a 8x – 5 2(2 – x) 4–x B. 8x – 3
A.
5x – 4 = 2x – 1 + 3x – 3
ecuación incomPatiBles: Son aquellas que no tienen solución. (a = 0 y b ≠ 0) x O
O
2
x +
3
8.
En: F = G
B. D.
M 2 – N , despejar “N”.
5x =
6
+1
1 =0 x+2
TRILCE Católica
A. B.
8x + 5 2(2 – x) 8 – 5x 2x
MG + 2F 2G MG – 2F G
C. D.
MG – 2F 2G 2M – FG 2
41
Ciclo Católica 9.
Hallar el conjunto solución de: 8 7 8 x – 4 – x – 3 = x2 – 7x + 12
A. B.
A. B.
{4} {3}
10. Resolver:
–
5 – 2x
3 A. B. 11.
=
4x – 3
2x
+
4x2 + 1
4
1 2
C. D.
C. D.
5 3 3
12. Resolver:
–
A. B.
3x Indeterminado Absurdo
A. B.
C. D. 2x
–
x+6
–
=
x–3
x+2
x–5
–9 –17
Incompatible Indeterminado
–
x
1 3
D.
–
a
+
b a
=
za b
+
B.
100 101
D.
1 101
A. B.
A. B.
A. B.
C. D.
A. B.
1
42
9 1
C. D.
a–b a+b
C. D.
a+b a–b
x–b +
a
=2
a b x+1
=
x–1
a+b+1 a+b–1
a b
a b
a–b a+b
C. D. 2mx – 3 x–1
+
3mx – 2
= 2m + 3
x+1
se reduce a una ecuación de primer grado en “x”, ¿qué valor asume el parámetro “m”?
1 2
A. B.
AL –R 2R AL R+ 2R
C. D.
5 8
A.
6 4
29.
C. D.
Incompatible Indeterminado
C. D.
3 2 2 3
C. D.
a b
30. Resolver:
C. D.
5 2 2 5
a+b a–b
2x + a x – b 3ax + (a – b)2 – = b a ab
indicar: 1 +
x2 – 6x + 9 + x = 3
1 –2
Resolver: a 1 – a + b 1 – b = 1 b x a x A. B.
x2 – 32 = 8
–1 2
28. Con respecto al problema anterior, ¿cuál es la solución de la ecuación?
x–4+1=5
10 4
3 4
C. D.
b
AL –R 2 AL –R 2R
19. Resolver:
x–a
27. Si la ecuación:
C. D.
18. Resolver: x +
x–2 =7
x+5 +
11 7
25. Resolver:
B.
A. B.
5 – x = 10 5–x
26. Resolver: a(x – b) – b(x – a) = a2 – b2; a ≠ b
a
–1 –2
17. Resolver: 2
8 4
B.
b
16. El área lateral del cilindro es: AL = 2πR(R + g); hallar “g”. A.
C. D.
5 101
24. Resolver:
3 zb
2
C.
A. B.
x+4 C.
D.
10 101
A. B.
C. D. x–1
1 2 1 – 2
15. Hallar “z”:
A. B.
x+1
1 4
x2 + 2x – 3
1 2
14. Hallar “x”:
B.
=
5
A.
2x2 – 3x – 18
x–1
x+3
A.
4
C.
x+1
5 + x+ 5+x –
22. Hallar “1 – x” en:
3 x + x – 2 x2 – 4
–1 –5
13. Resolver:
A. B.
=
x–4 =
6 13
23. Resolver:
5 2
x –4
x+2
2 1
21. Resolver: 1 +
3 6x – 5 5 Resolver: – = 2 x – 2 4 – 2x A. B.
x=1
1
4
φ lR
C. D. 7x – 1
x+2 –
20. Resolver:
b
x
a C. D.
5 6
A. B.
b 2a
C. D.
2b b
Trilce Católica
Álgebra 31. Resolver:
x–a
+
b+c
x–b a+c
x–c + = 3 , siendo “a”, “b” y a+b
37. Si la ecuación de primer grado: (x – a)(2x + 1) + bx2 + 8x + 5 + a = 0
“c” lR+. Luego indicar el equivalente de: E=
no tiene solución real, hallar: a + b.
(a + b – x)2 c
A. B.
a b
C. D. 1
32. Resolver en “a”:
c 4abc
A.
5 2
C.
5 4
B.
5
D.
–
1
2a + x = x2 + x2
38. La ecuación:
x+1
+
x–3 A. B.
x 2x
C. D.
33. En: 2h =L L A. B.
2
4x 3x
A. B. C. D.
3 – L 3 , despejar “h”. 6
3
L C. D.
2 L 3 6
+x
4p B.
C.
2 x – (y – k) 4p
D.
(y – k)2 4p + x
2
x – (y – k) 4p
A. B.
1.
O
O O
2. despejar “H”.
A2k2 – m2g2 2mgk
D.
2mgk Ak – mg
m+1 m–1
– (m + 1) 1–m
30 – 22x + 16 – 12x = 24 – 20x + 38 2x + 5 = x +1 3 2 x + 5 2x + 3 1 – 5x – 8 = 12 6 (x – 3)(x – 2) – (2x + 1)(x – 2) = –x(x + 3) + 5
Ak – mg 2mgk
3.
Es un número impar Es un número par Es un cuadrado perfecto Es un número positivo
Resolver:
(P – P )y – P y C.
1
P2y1 – (P2 – P1)yc P1
D.
P2y1 – (P1 – P2)yc P2
2 c
x+3 2
A. B.
1 –2
1
Trilce Católica
C. D.
Resolver para “x”: x(a + b) – 3 – a(a – 2) = 2(x – 1) – x(a – b)
A. B. C. D.
y P y – (P – P )y P –P 1 1 2 1 c A. P2 B.
a 2a
Siendo “a” y “b” números impares positivos; ¿qué podemos afirmar siempre de la solución?
36. Un cuerpo homogéneo y compacto colocado en un líquido con peso específico “y1” pesa “P1”; y colocado en un líquido con peso específico “y2” pesa “P2”. El peso específico “yc” del cuerpo está dado por la siguiente fórmula: P2y1 – P1y2 yc = ; hallar: 2 2
C. D.
Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado:
H
B.
1 2
Tarea domiciliaria
O
C.
Admite como solución: x = 3 Admite como solución: x = 1 Admite como solución: x = 2 No admite solución
40. Calcular el valor de “x” para que se cumpla:
m
2mgk A2k2 – m2g2
x2 – 5x + 6
x x– m 1 – 1 m + 1 = 4m 1+ (m – 1) 1 – m m x
35. Un cuerpo de masa “m” cayó a uno de los platillos de una balanza de resorte desde una altura “H”. El cuerpo se adhiere al platillo y comienza a oscilar armónicamente en dirección vertical. La amplitud de dichas oscilaciones mg está dado por la siguiente fórmula: A = 2Hk 1 + mg k
A.
x–2
2x2 – x – 11
se obtiene para “x” el valor:
3 L 6 3
34. La ecuación de la parábola con vértice V = (h, k) y eje paralelo al eje “x” es: (y – k)2 = 4p(x – h). Hallar el valor de “h”. y–k
=
39. Resolviendo: (a + 1)(x – a[(1 – a)x + a] – 1) = (a2 – 1) (a – 1)
2
A. B.
A.
x+5
5 2
4.
Resolver:
A. B.
23 24
x–1 4
=
x+6 3 C. D.
x–2 4
2 1
P1
–
2 –3
1 + 3x – 5 = 3(x + 1) – , señale “2x”. 2 C. D.
25 26
43
Ciclo Católica 5.
Resolver:
2x + 7
2x – 1
=
B.
13 14 14 13
Resolver:
–
C.
–
D. 2x + 1
+
4 – 3x
7.
6x + 1
13 A.
14 14
B.
C.
B.
24
D.
2x + 1 A.
–
B.
3 5
1
–
A.
24
+
B.
– 24
2x + 3 5 = x+1 2
Resolver: A. B.
9.
–1
Se obtiene:
D.
5 3
A.
C. D.
4x – 3 +
A.
C. D. 3
11. Hallar “x” en:
3
x+1+
3
B.
1413 – 14
12. Hallar “a” en función de “x”:
A. B.
A. B.
3
x – 1)
14 C. D.
1314 – 13
5x + a + 6x =4 5x + a – 6x
3x 40 3x – 40
C. D.
a–b
=
b+ 1
a–x
x+b
35x 3 3x 4
D. (5 + a)x
+
1
=
5+a
2 2
a – 25
C.
x=a a+1 x= a
D.
x–q –1= +1 q p x – m x – n m2 + n2 – = mn n m m(x – m) n(x – n) =x– m n x x–m x–n + m+n + =3 n m
a+b a a+b 2a
C. D.
2(S + an) n–1 2(S + an)
C.
n(n – 1)
D.
19. En: q =
A. B.
n2 + pn p–n
O O
44
x=
1 (5 – a)x + a–5 5+a
a–1 10a a–1
a+b a+1 a–b a+1
2(S – an) n(n – 1) S – an 2(n – 1)
, despejar “p”
n2 + qn q+n
C. D.
qn + n2 q–n
n2 – nq q–n n2 + nq n+q
20. Se tiene un cajón cuya fuerza de gravedad “W” reposa sobre un plano horizontal. Si la fuerza mínima (F) que se necesita para moverlo con un ángulo de inclinación W constante: “θ” es: F = , despejar “µ” 2 + 1 F
x+p
O
x=
–
20
13. Resolver las siguientes ecuaciones literales de primer grado:
O
a+b a–b a–b 2
C.
n 18. En: S = [2a + (n – 1)r] , despejar “r” 2
7 8
x – 1 = 2( x + 1 –
13 A.
B.
5 6
x + 2 = 9x + 1
5 6
b2 a –b 2 2b b–a
a +1 a+1 a+1 17. Resolver en “x”: x+ = + a+1 x (a + b) 2 (a – b)2 a2 – b2 (a – b)2
25 4
x2 – 6x + 9 + x = 3 C. D.
–
a–b a+b a+b 2
C.
x=3
3 4
10. Resolver: A. B.
13 + 7 +
1 36
Resolver: A. B.
5+
a+1
5–a
3 5
ab
D.
16. Al resolver:
B. 8.
b
x+b
–1
a2 + b2
=
C.
9x – 3
x+1
x–a
b2 b –a 2 b a +b
15. Resolver en “x”:
=0
A.
Resolver:
–
a
13 6.
x–b
5x – 4
5x + 2 A.
14. Resolver en “x”:
F A.
F F2
C.
W–F F
F2 – W 2
D.
F–W
W2 – F
B.
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 9 Quinto Católica
EcUaciONES DE SEGUNDO GraDO cON UNa iNcÓGNiTa Sea la ecuación cuadrática: P(x) = ax2 + bx + c = 0; con a ≠ 0. Si el polinomio “P(x)” no es factorizable por los métodos usados anteriormente, entonces podemos usar la siguiente fórmula:
Ejemplo O
Calcular el valor de “k” en la ecuación: (k + 1)x2 – (k + 8)x + 10 = 0,
x1; 2 = – b b2 – 4ac 2a
(1)
para que la suma de las raíces sea 9/2. resolución:
donde: b2 – 4ac = ∆: discriminante de la ecuación cuadrática.
Identificando: a = k + 1; b = – (k + 8); c = 10 Entonces:
C.S. =
b 9 k+8 De la propiedad: x1 + x2 = – ; entonces: = ; de a 2 k+1 aquí: k = 1
– b + – b – ; 2a 2a
oBservaciones: Ejemplo Sea: P(x) = ax2 + bx + c = 0, cuyo C.S. = {x1; x2}
Resolver: 2x2 + 3x – 4 = 0
O
1. resolución: Identificando coeficientes:
a = 2; b = 3; c = – 4
Calculando el discriminante: ∆=
b2 –
4ac =
(3)2 –
(x1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 4x1x2 2.
4(2)(–4) = 41
– 3 + 41 – 3 – 41 ; 4 4
x1 + x2 = 0 b = 0 3.
análisis de las raíces
3.
Si: > 0; entonces las raíces son reales y diferentes. Si: = 0; entonces las raíces son reales e iguales (solución única). Si: < 0; entonces las raíces son no reales (imaginarias conjugadas).
Raíces recíprocas: Llamamos así a las raíces cuyo producto es la unidad. Si “x1” y “x2” son recíprocas (inversas) entonces:
El tipo de raíces de la ecuación: P(x) = ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0, se puede determinar calculando el valor del discriminante. 1. 2.
Raíces simétricas: Llamamos así a las raíces cuya suma es cero. Si “x1” y “x2” son simétricas (opuestas) entonces:
Reemplazando en (1) obtenemos: C.S. =
Para hallar la diferencia de raíces también podemos utilizar la identidad de Legendre:
x1 . x2 = 1 a = c 4.
La ecuación: ax2 + a = 0; tiene raíces simétricas y recíprocas a la vez.
PrOBLEmaS rESUELTOS 1.
Resolver: 2x2 – x – 2 = 0
ProPiedades de las raíces En la ecuación: P(x) = ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0, de raíces: “x1” y “x2” se cumple: 1.
Suma de raíces:
b x1 + x2 = – a
resolución: Identificamos: a = 2; b = – 1; c = – 2 Reemplazamos en la fórmula: x=
2.
Producto de raíces:
x1 . x2 c =a x=
3.
Diferencia de raíces:
TRILCE Católica
x1 – x2 =
a
x1 > x2
– b b2 – 4ac – (–1) = 2a 1
(–1)2 – 4(2)(– 2) 2(2)
1 + 16 17 = 1 4 4
Entonces: C.S. =
1 + 17 –1 ; 4
17 4
45
Ciclo Católica 2.
Calcular el discriminante de: x2 + 5x – 1 = 0
2.
resolución:
A. B.
El valor del discriminante está dado por: = b2 – 4ac 3.
Luego: = (5)2 – 4(1)(– 1) = 25 + 4 Entonces: = 29 3.
¿Qué tipo de raíces tiene la ecuación:
x2 –
Resolver: (x – 2)2 – 4(x – 2) + 3 = 0
4.
C. D.
C.S. = {1; 3} C.S. = {– 3; 5}
Resolver: (x + 1)2 = 2(1 – x) y dar como respuesta la mayor de sus raíces. A. B.
x + 6 = 0?
C.S. = {3; 5} C.S. = {– 5; – 3}
5 2
2+ 1+
–2+ –1+
C. D.
¿Cuántas soluciones reales existen en:
resolución: A. B.
Calculemos el discriminante: = b2 – 4ac = (–1)2 – 4(1)(6) = 1 – 24 = – 23 5. Como el valor del discriminante es negativo, las raíces serán complejas y conjugadas. 4.
resolución:
6.
Aplicamos las fórmulas para la suma y producto de raíces: b c Suma = – ; Producto: a a
18 12 x
=
3 Producto de raíces =
1
Dada la ecuación:
Calcule: G =
+
x1
8.
–5 – 10
C. D.
1
Hallar:
1 r
x2 A.
resolución: 1 x1 b c Pero: x + x = – ; x x = 1 2 a 1 2 a
1 +
x2
B.
x +x = 1
13 11 12
+
1 1+
1 s 11 13 25
C. D.
25
2
x1x2
5 1
Dada la ecuación: x2 – 13x – 1 = 0, con raíces “r” y “s”.
1+
9.
13
¿Para qué valores de “k”, la ecuación: (2k + 1)x2 + 3(k – 1)x – k + 1 = 0, tiene raíces iguales?
–b a –b Luego: c = c a
A. B. – (–5)
1 5
A. B.
1
Reemplazando: G =
=
3
7
Operamos lo pedido: G =
1 102x – 1
Hallar la suma de los valores de “x”.
Si: 2x2 – 5x + 1 = 0; tiene C.S. = {x1; x2}. 1
+
36 4
1
3 5.
x –1
C. D.
Reemplazando: (–1)
= 0?
20 16
– 3 42) = 7
1 9 10x
Suma de raíces = –
x2 + 6x – 5
4 5
C. D.
Calcular “x” en: 72(7 A. B.
7.
C. D.
x2 + x + 1
Resolver: (x – 5)4 + 36 = 13(x – 5)2 y dar como respuesta la suma de las soluciones. A. B.
Calcular la suma y el producto de raíces de: 3x2 – x + 7 = 0
2 0
5 2
5 17 5 ;1 17
17
C.
1;
D.
5 5 –1; 17
nivel ii
= 5
1 10. Si una de las raíces de la ecuación: x2 + (a – b)x + c = 0 es el inverso aditivo de la otra, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
Problemas para la clase nivel i 1.
A. B.
Resolver: x(4x – 3) = 3x(x – 2) + 4 Dar como respuesta la suma de las raíces. A. B.
46
3 –3
C. D.
4 1
a=c b=0
C. D.
a=b b=c
11. Si las raíces de la ecuación: x2 – Bx + C = 0, son iguales a 3, calcula las raíces de: x2 – Bx + C = 25. A. B.
– 8; – 2 – 2; 8
C. D.
– 8; 2 2; 8
Trilce Católica
Álgebra 12. Hallar la suma de raíces de la siguiente ecuación de variable “x”: (2k + 2)x2 + (4 – 2k)x + (k – 2) = 0, sabiendo que el producto de sus raíces es 1. –2 –1
A. B.
C. D.
13. Si al resolver:
2kx + 2
=
x
Calcular: E = m – –
x+1
x–1
A. B.
4
3 C.
3 2 3
B.
D.
2 6 5
m2 – 1
x2 = m –
m2 –
C. D.
2x2 – 2mx + 1 = 0 2x2 – 2mx + 2 = 0
15. Sea “A” la suma de las raíces de: + bx + c = 0 y “B” la suma de las raíces de: a(x + 1)2 + b(x + 1) + c = 0, entonces “B – A”, es: –2 –1
C. D.
A. B.
(x1 A. B.
x
x2
x 1)(x
1
1+
3 2
C. 5 D.2
23. Si (a; b) son las raíces de la ecuación: 4x2 – 2mx + n = 0, entonces el valor de: (a – a3)(b – b3) , será: (1 – ab)2 – (a – b)2
0 1
m
16. Si “x1” y “x2” son raíces de: x2 – 3x + 1 = 0; calcular: 2+
B.
x 2)
n
2
C.
– 2m
D.
C. D.
24. Si la ecuación: abx2 + bax + ab . ba = 0; tiene raíces iguaa2b les, calcular: E = a b
20 21
17. Formar la ecuación de segundo grado cuyas raíces son: a a–1
A. (a + – 2ax + a = 0 B. (a – 1)x2 + 2ax – a = 0 C. (a – 1)x2 – 2ax + a = 0 D. ax2 – 2ax + a = 0 1)x2
19. Sean “a”, “b” y “c” números reales tales que las raíces de la ecuación: x2 + ax + b = 0; son “r1”r y “rr2” y las raícesa2de la ecuación: x2 + 3x + 3c = 0; son: 1 y 2. Calcular: bc r r 2
A.
–
B.
3 –3
Trilce Católica
4
B.
2
1 C. D.
2 1 4
A. B.
]5; + ∞[ ]– ∞; – 5[ ]5; + ∞[
C. D.
[5; + ∞[ lR – {5}
26. Hallar la suma de los valores de “k” de modo que las raíces de la ecuación: 4x2 – 16x + k 2 = 0, sean iguales.
Reales iguales Racionales e iguales Racionales y desiguales Irracionales y desiguales
1
A.
25. Determinar el conjunto solución al cual pertenece “k”, si la ecuación cuadrática: x2 + (1 – k)x + 2(k – 3) = 0 tiene dos raíces reales diferentes.
18. Si el discriminante de una ecuación cuadrática de coeficientes enteros es un cuadrado perfecto, podemos afirmar que las raíces son: A. B. C. D.
4 2m n
x2
12 18
a ; a+1
1 0
22. Calcular la suma de raíces de la ecuación:
A. x
C. D.
1
ax2
A. B.
2 3
x2 – x + = 0; > 0 ( discriminante)
2x2 – mx + 2 = 0 2x2 – 4mx + 2 = 0
A. B.
2 –2
21. Sea la ecuación cuadrática: x2 – mx + m – 1 = 0; (m > 1). Indique la diferencia entre el mayor y menor valor de “x”, si el discriminante es igual a la suma de raíces. A. B.
14. Forma la ecuación de segundo grado cuyas raíces son: x1 = m +
20. Sea la ecuación cuadrática: (mm + 2 – 1)x2 + 30x + 15 = 0, de raíces recíprocas “” y “”.
1 2
Se obtiene que una raíz es el doble de la otra. Indicar la mayor raíz de la ecuación. A.
nivel iii
C. D.
1
A. B.
–3 –2
C. D.
–4 0
27. Formar la ecuación de segundo grado con raíces:
1
x1 = 6 –
3 1
A. B.
13 x2 = 6 + 13
x2 – 12x + 23 = 0 x2 + 12x – 23 = 0
C. D.
x2 – 23x + 12 = 0 x2 + 23x – 12 = 0
47
Ciclo Católica 28. De: 2x2 + mx + 30 = 0; hallar “m” (m < 0), si se cumple:
7.
x1
3 = ; donde “x1” y “x2” son raíces de la ecuación. x2 5 –9 – 16
A. B.
C. D. 1
29. Resolver: x + 3a
+
8.
9
x + 4b
A. B.
– 25 –4
1 (2x + 3a + 4b) =
2
4b – 6a 6a – 4b
C. D.
2a – 3b 3a2 – 3b2
B. 9.
Tarea domiciliaria 1.
En la ecuación: x2 + 6x – m = 0; hallar “m”, si es – 2. –4 –6
A. B.
C. D.
una raíz
2. Sea la ecuación: 2x2 – mx + (m + 1) = 0; la suma de raíces es 4. Indicar el producto de dichas raíces multiplicado por cuatro. A. B. 3.
12 14
C. D.
15 18
7
5 6 5
C.
5 6 5
D.
7
(2n – 7)x2 – (2n + 1)x + 10n + 40 = 0 82 40
C. D.
41 6
10. Hallar el valor de “m” en la ecuación: x2 + (2m + 5)x + m = 0, si una raíz excede a la otra en tres unidades. C.2 D.3
A. 1 B.1
Si “x1“ y “x2“ son las raíces de la siguiente ecuación:
b2 = 9ac 2b2 = 3ac
C. D.
Hallar “n” para que el producto de raíces sea 6 en la ecuación:
A. B.
–8 2
b2 = 3ac 2b2 = 9ac
La suma de las raíces de: mx2 – (2m – 3)x + m + 3 = 0, es 9/5. Hallar el producto de raíces. A.
Indicar una solución. A. B.
¿Qué relación debe haber entre los coeficientes de la ecuación: ax2 + bx + c = 0; para que una raíz sea el doble de la otra?
11. Dado el conjunto:
x2 – (m – 1)x + m + 1 = 0, A = {x IR / x2 – 2(1 + 3m)x + 7(3 + 2m) = 0}
3
calcular el valor de: m + 3; si se verifica: 1 x1 A. B. 4.
+
1 x2
=
3
1 2
C. D.
A.
3 3
7
Formar la ecuación de segundo grado, sus raíces son: x1 = 5 + A. B.
5.
Hallar los valores de “m” para que “A” sea un conjunto unitario. (m IR)
2
11; x2 = 5 –
x2 – 5x = 0 x2 – 10x + 11 = 0
B.
x2 – 2x + 7 = 0 x2 – 10x + 14 = 0
6.
C. D.
48
C. 2 10 5
1 2
C. D.
4 8
13. Hallar “m”, si las raíces de la ecuación:
de segundo
D.
6 4
C. D. –1
3 2
–1
14. Hallar: x2 + x 1 ; si “x 1” y “x 2” son las raíces de:
A.
3
–
9
x2 – 2x + 3 = 0
(2n – 3)x2 – (15n + 10)x + n – 2 = 0
B.
A. B.
A. B.
8 9
Hallar “n” para que la siguiente ecuación grado tenga como suma de raíces 8:
A.
9 10
x2 – (m + 7)x + 25 = 0; son iguales. (m > 0)
x2 – 2x + (a – 7) = 0 1 2
1y –
10
12. Siendo “x1” y “x2” raíces de: mx2 – (m + 1)x + m + 2 = 0, hallar “m” si se cumple: (x1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 8
Hallar “a”, si la ecuación tiene raíces iguales:
A. B.
D.
2y–
sabiendo que
11 C. D.
C.
3 y 10 9 2 3y– 9
34 1 – 3
B.
2
C.
3 2 – 3
D.
3 2 3 – 2
Trilce Católica
Álgebra 15. Dada la ecuación: (n – afirmar que: I. II. III. A. B.
2)x2 +
(n + 1)x + 4 = 0; podemos
Si: n = 0; la suma de raíces es 1/2. Las raíces son recíprocas si: n = 6 Tiene solución única solo para: n = 3 ó n = 11 VVV VVF
C. D.
VFF FFV 2
16. Si “a” y “b” son raíces de la ecuación: x – 2013x – 2011 = 0, calcular: K = a2 + b2 + a2b2 + 2ab(a + b + 1) A. B.
1 4000
C. D.
400 000 4
17. Dada la ecuación: 2x2 + mx + 30 = 0; para qué valor de “m” (m < 0) la relación de las raíces es: x1 3 = x2 5 A.9 B.
18. Calcular los valores de “p” e indicar su suma en la ecuación: 2px2 + 3x + p = 0, si una raíz es el doble de la otra. A. B.
Trilce Católica
C. D.
4 16
C. D.
10 0
19. Sabiendo que “x1” y “x2” son raíces de: 2x2 – 2x + 1 = 0, hallar: x2 x1
x1 x2
A.
–1
C.
B.
–2
D.
–
x2 x1
x1 x2
M=
0 1 2
20. Formar la ecuación de segundo grado cuyas raíces son:
1
3 3 ;x = 3+ 3–m 2
A. B.
mx2 – x – 13 = 0 mx2 – 18x + 27 = 0
x =
25
4 8
3 3 3–
3–m C. D.
mx2 – 9x + 27 = 0 mx2 – 9x + 3 = 0
49
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 10 Quinto Católica
SiSTEma DE EcUaciONES sistema de ecuaciones. Es el conjunto de ecuaciones que verifican simultáneamente para los mismos valores de sus incógnitas.
La forma en que se lleva a cabo dicha eliminación genera cuatro procedimientos: A. B.
solución de un sistema. Conjunto de valores de todas sus incógnitas que al ser sustituido en las ecuaciones las convierte en identidades.
Sustitución Igualación
C. D.
Reducción Gráfico
SiSTEma DE PrimEr GraDO cON DOS iNcÓGNiTaS
sistemas equivalentes. Son aquellos que a pesar de tener ecuaciones diferentes aceptan las mismas soluciones.
Forma normal:
cLaSificaciÓN DE LOS SiSTEmaS i.
atendiendo sus soluciones
1.
sistema compatible: Cuando existe solución. Ejemplo: El sistema:
donde: “a1”, “a2”, “b1”, “b2”, “c1” y “c2”; son números reales. i.
x+y=6 x–y=2
es compatible, su solución es: x = 4; y = 2 2.
a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2
mÉtodo de sustitución Se resume en los siguientes pasos: a) b)
sistema incompatible: Cuando no existe solución. c) Ejemplo: x + 3y = 10 El sistema:
x + 3y = 10
d) e)
Reducir el sistema a su forma normal. En una ecuación, suponiendo conocida una incógnita, hallar el valor de la otra (esta operación se llama despejar una incógnita). Sustituir la incógnita despejada en la otra ecuación del sistema, obteniendo así una ecuación con una incógnita. Resolver la ecuación obtenida. Sustituir la solución obtenida en la expresión de la otra incógnita.
es incompatible, por que no hay ningún par de valores de “x” e “y” que verifique ambas.
Ejemplo
ii.
atendiendo al nÚmero de ecuaciones con el nÚmero de incógnitas
Resolver:
1.
sistema determinado. Cuando el número de ecuaciones independientes es igual al número de incógnitas.
resolución
2.
sistema indeterminado. Cuando el número de ecuaciones independientes es menor que el número de incógnitas, estos sistemas se caracterizan por tener infinidad de soluciones.
3.
sistema incompatible, imposible, absurdo o inconsistente. Cuando el número de ecuaciones independientes es mayor que el número de incógnitas. oBservación: Se denomina ecuaciones independientes, si los coeficientes de una misma incógnita no son proporcionales. resolución de sistemas de Primer grado
El método que mayormente se utiliza es el denominado método algebraico que consiste en realizar transformaciones lineales con las ecuaciones del sistema para eliminar progresivamente las incógnitas.
5x – 2y = 4 ............ (I) 3x + y = 9 ............ (II)
Si en la segunda ecuación suponemos conocida la incógnita “x”, obtenemos: y = 9 – 3x; y la solución general de esta ecuación está dada por el par: {x; 9 – 3x}. Si esta fuera también solución del sistema, sustituida en la primera ecuación tendrá que verificarse la igualdad: 5x – 2(9 – 3x) = 4 Obtenemos así una ecuación de primer grado con una incógnita, que podemos resolver fácilmente: 5x – 18 + 6x = 4 11x = 22 x=2 Si ahora sustituimos el valor de “x” en [II], podemos hallar el correspondiente valor de “y”. y = 9 – 3 [2] = 9 – 6 = 3 La solución del sistema vendrá dada por el par (2; 3).
TRILCE Católica
51
Ciclo Católica ii.
mÉtodo de igualdad
iii.
mÉtodo de reducción
Podríamos resumir este método de igualación con los siguientes pasos:
Este método llamado también de eliminación, se resume en los siguientes pasos:
a) b) c) d) e)
a) b)
Reducir el sistema a su forma normal. Despejar en las ecuaciones la misma variable. Igualar las dos expresiones de la variable despejada. Resolver la ecuación obtenida. Sustituir la solución obtenida en cualquiera de las expresiones de la otra incógnita.
c) d) e)
ejemplo: x + 3y = 10........... (1) 5 2x + y = 1............. (2) 4
Resolver el siguiente sistema:
Reducir el sistema a su forma normal. Multiplicar los dos miembros de las dos ecuaciones por ciertos números, de tal forma que los coeficientes de una incógnita sean opuestos. Sumar las dos ecuaciones miembro a miembro. Resolver la ecuación obtenida. Sustituir la solución obtenida en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales y hallar la otra incógnita.
ejemplo: 2x – 3y = 5 3x + 4y = 7
resolución:
Resolver:
Al aplicar este método también conviene observar cuál es la incógnita que más fácilmente se despeja en las dos ecuaciones, en este caso es “x”. Se tiene así:
resolución:
x = 10 – 3y..................
De (1): 5
De (2): 2x = 1 – y x = 4
5 1– y 4
...................
Para eliminar “y”, basta multiplicar la primera ecuación por 4 y la segunda por 3, y sumar ordenadamente:
(3)
4 . (2x – 3y = 5) 3 . (3x + 4y = 7)
(4)
8x – 12y = 20 9x + 12y = 21 17x = 41
á
2
Igualamos los segundos miembros de (3) y (4); es decir:
10 – 3y =
41 x = 17
5 1– y 4
Para eliminar “x”, podemos multiplicar la primera ecuación por – 3 y la segunda por 2, y como tiene igual signo, cambiamos de signo a todos los términos de la primera:
2 Se resuelve la ecuación en “y”, que hemos obtenido quitando el denominador 2, se tiene:
–3 . (2x – 3y = 5) 2 . (3x + 4y = 7)
5 (10 – 3y)2 = 1 – y 4 efectuando la operación indicada en el 1er. término:
Entonces la solución es:
5
Es decir:
O sea: de donde:
20 – 6y = 1 – y 4 5 – 6y + y = 1 – 20 4 –
19 y = – 19 4 (–19)4 –y= 19 –y=–4
Luego:
–6x + 9y = –15 6x + 8y = 14 1 17y = –1 y = – 17 41
;–
17 iv.
1 17
mÉtodo gráfico Consiste en trazar, en un sistema de coordenadas dado, las dos rectas que representan las ecuaciones. La solución del sistema viene dada por las coordenadas (x, y) del punto de intersección de ambas. De la Fig. (a) se deduce que la solución del sistema formado por (1) 2x – y = 4 (2) x + 2y = – 3 es: x = 1, y = – 2, ó bien (1; – 2). y
y=4
Sustituimos “y” por su valor 4, en la expresión (3) o en la (4).
x
En nuestro caso es más cómodo en la (3). Así resulta: Es decir:
x = 10 – 3(4)
O sea:
x = 10 – 12 x=–2
Luego la solución es: (– 2; 4)
52
(1; –2)
Figura (a)
Si las rectas son paralelas, el sistema de ecuaciones es incompatible, es decir, no tiene solución. Por ejemplo, el sistema formado por (3) x + y = 2 (4) x + y = 4 es incompatible, como indica la Fig.(b). Obsérvese que si se
Trilce Católica
Álgebra multiplica la ecuación (3) por 2 se obtiene: 2x + 2y = 4 que evidentemente, es incompatible con (4).
Resolvemos este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: –9(a) 171y + 99z = 117 19(b) – 171y – 133z = 19 – 34z = 136 z=–4
y 2x + 2y = 8
x+y=2
x
–7(a) 133y + 77z = 91 11(b) – 99y – 77z = 11 34y = 102 y=3
Figura (b)
Sustituimos los valores de “y” de “z” en la expresión de “x”.
Las ecuaciones dependientes están representadas por una misma recta. Por consiguiente, todos los puntos de la recta constituyen una solución y, en definitiva, el sistema tendrá infinitas soluciones. Por ejemplo, (5) x + y = 1 (6) 4x + 4y = 4 son ecuaciones dependientes; obsérvese que si se multiplica por 4 la ecuación (5) se obtiene la ecuación (6). y
x = 5 – 5(3) – 3( – 4) = 2 La solución del sistema será: {x, y, z} = {2; 3; – 4} ProBlemas resueltos 1.
Hallar “x + y + z”, si “x”, “y”, “z” son las soluciones positivas del sistema: x + y = 12 .................... (1) y + z = 8 ...................... (2) xz = 21 .................... (3)
x Ecuaciones dependientes (5) x + y = 1 Figura (c)
resolución Multiplicamos (1) por “z”:
sistema de Primer grado con tres o más incógnitas
(por (3)) xz + yz = 12z 21 + yz = 12z yz = 12z – 21 ............. ()
Un sistema de primer grado de tres ecuaciones con tres incógnitas se presenta bajo su forma normal:
Multiplicamos (2) por “z”:
a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3
(ver ()) yz + z2 = 8z 6 4 4 4478 12z – 21 + z2 = 8z
En una de las tres ecuaciones podremos despejar una incógnita y sustituirla en las otras dos: se obtiene de esta forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que podemos resolver. Las soluciones obtenidas se sustituyen en la expresión de la primera incógnita despejada, hallando así su valor.
Así obtenemos una ecuación de segundo grado:
Ejemplo:
Luego:
Resolver el sistema:
z2 + 4z – 21 = 0 “Aplicando: aspa simple” z +7 z 3
3x – 4y – 2z = 2 ........... (1) x + 5y + 3z = 5 ........... (2) 2x + y – z = 11 ......... (3)
z = –7 ; z =3 1 243 2 14 Esta solución es descartada, pues las soluciones son positivas.
resolución:
En () reemplazamos: z2 = 3: 3y = 36 – 21 y = 5
En la segunda ecuación, despejamos “x”: x = 5 – 5y – 3z
3(5 – 5y – 3z) – 4y – 2z = 2 – 19y – 11z = – 13 2(5 – 5y – 3z) + y – z = 11 – 9y – 7z = 1
Trilce Católica
Luego: x + y + z = 15 2.
(a)
x + 5 = 12 x = 7
Reemplazando en (1):
Sustituimos el valor de esta incógnita en las otras dos ecuaciones:
Resolver el sistema: x 2
y =
3
z
2
2
2
= ;x +y +z =1 6
(b)
57
Ciclo Católica resolución Por dato tenemos:
64
O
Si: y = 16
O
Si: y = 4 x =
x y z = = 2 3 6
Luego:
x
=
y
x= = 4; descartado pues: x > 10 16 64
16
4
= 16
=4
4
así tenemos x y = 2 3
y z = 3 6
5.
x2 + y2 – 6x + 4y + 5 = 0 ............. (1) x – 2y + 2 = 0 ............. (2)
6y
2y x= 3
3
= z
z = 2y Se concluye sobre sus raíces que:
Estos resultados los aplicamos en el otro dato: x2
2y
y2
+ 2
+
y2
+
y2
z2
+
4y2
+
=
resolución
1
De (2) tenemos: x = 2(y – 1) Reemplazamos en (1):
3 4y2 9
+
(2y)2 =
[2(y – 1)]2 + y2 – 6[2(y – 1)] + 4y + 5 = 0
1
4y2 – 8y + 4
49y2 = 9 3 9 y = ± y2 =49 7 2
+ y2 – 12y + 12 + 4y + 5 = 0
6
Así tenemos: x = ± ; z = ± 7 7
3.
Resolviendo el sistema:
5y2 – 16y + 21 = 0
Esta ecuación podríamos intentar resolverla por aspa simple, sin embargo, veamos que ocurre con su discriminante:
2 3 6 Luego la respuesta es: x = ± ; y = ± z = ± 7 7; 7
= [– 16]2 – 4(5)(21) = – 164 < 0
En el siguiente sistema de ecuaciones:
¡¡ajá!!! el discriminante es negativo. Luego se concluye que las raíces de ese sistema son complejas.
xy(x + y) = 420....... (1) x3 + y3 = 468....... (2)
Problemas para la clase
Hallar “2x + 2y”. resolución
nivel i
Multiplicamos (1) por (3): 3xy(x + y) = 1260 1.
Resolver:
x + 2y = 13 x – 2y = –7 .
Ahora sumamos con (2): 3xy(x + y) = 1260 x3 + y 3= 468 –––––––––––––––– –––– 3 3 x + y + 3xy(x + y) = 1728 (x + y)3 = (12)3 x + y = 12
Señalar “x + y”.
+
A. B.
3 4
C. D.
5 8
5x – 7y = 49 2.
Resolver:
2x + 3y = 8
Luego la respuesta es: 2(x + y) = 2(12) = 24 4.
Si:
x–
Entonces:
Hallar “xy”
y = 2; x + y = 20; x > 10 x
A. B.
es …
y
14 7x – 4y = 12
resolución
3.
Se tiene del dato:( x – x – 2 xy + y = 4 20 – 2 xy = 4 64 xy = 8 xy = 64 x = y y)2 =
54
C.7 D. 14
7
(2)2
Resolver:
5x – 3y = 6
Determinar “y – x” A. B.
6 –6
C. D.
12 – 12
Trilce Católica
Álgebra 37x + 13y = 137 4.
Resolver:
13x + 37y = 113
13. Halla el valor de “x” en:
x+3 y–2=5 3x – (y – 2) = x + 12
Determinar “x + y” A. B.
5 50
C. D. 2x + 7y + 1 + 2x + 7y + 1 –
5. Resolver:
250 10
2x – 7y + 16 = 9 2x – 7y + 16 = 3
6.
7.
C. D.
7 3
2 2
2+ 1+
10 4
(x + 2)(y + 2) = 6 + 2 2 (x – 2)(y – 2) = 2 + 6 2
Calcular “xy” en el sistema: A. B.
4 2 8 2
C. D.
2x + y = 5 x + 2y = 8
Si:
Hallar: 3x + 3y A. B. 8.
7 9
9.
C. D.
11 13
3 x + 2 y = 26 5 x – 3 y = 18
Hallar “x + y”, si:
A. B.
52 61
C. D.
Hallar “xy”, si:
3 4
41 45
3 x–2 y= 5
A. B.
5 3
15. Si:
Hallar “m + n + p” A.
25
B.
27
Calcular el valor de:
A. B.
x
–
2
x
= 1; 4y –
3
y
y2 + 2
+ (x – y)
1
= 2;
1 b+2
= 3;
3 4
1
= 6 c+3
1
5x + by = 53
10 1 B. – 5
a+b+c 1
C.
2 5
D.
–
13 6
18. Resuelve, en el conjunto de los números reales, el siguiente sistema: x(y + z) = 35 y(x + z) = 27 z(x + y) = 32
nivel ii 11. Si:
27 2
C. D.
A.
4 6
D.
1 2
ax + 3y = 22,5
C. D.
25 2
x+1
Hallar:
5 7
C.
16. Sean “x” e “y” números reales tales que: x2 = y + 2; y2 = x3 – 1
a+1
tiene como solución a: x = 7 e y = 4
1 D.1
m+n=5 n+p=9 m + p = 11
17. Sean:
C. D.
10. Hallar “a + b”, si el sistema:
C.
64 36
9 4
A. B.
5 7
14. Si el sistema tiene por conjunto solución (2; 3), calcular “a + b”
9x – 4y = 65 A. B.
C. D.
ax – by = –4 (2 – a)x + (3 – b)y = 5
Señale “x + y” A. B.
A. B.
= 3, hallar “x + y”.
2 Da como respuesta “x + y + z”
A. B.
C.
6 6
D.
7 12. Resuelve:
36 7 48 7
A. B.
6 9
C. D.
12 15
19. Hallar la suma de todos los valores reales que puede tomar “x” en la siguiente ecuación:
7x – 5y = 42 4x + 9y = 107
x3 + x2 33 + 32 = x+1 3+1
y dar como respuesta “y – x” A. B.
4 –4
Trilce Católica
C. D.
5 6
A. B.
1 3
C. D.
0 –1
55
Ciclo Católica 27. Si el siguiente sistema admite como solución: x = 2; y = 3.
x y z 3 = 4= 6
20. Si:
mx – y = 1 mx – y = 4
x + y + z = 39 Hallar: (x + y)z A. B.
Calcular “m + n” C. D.
42 270
324 378
A. B.
3 –2
C. D.
5 7
C. D.
8 6
nivel iii 21. Dado el sistema:
28. Resolver:
(k + 1)x + y = 3 2x + (k – 1)y = 1
Hallar “y – 1”.
Hallar “k” para que sea incompatible; siendo: k > 0 A. B.
2 3
22. Al resolver el sistema:
– –
C. D.
A. B.
3 2
3 4
5x – 4y = –14 2x + 3y = k
29. Resolver:
15 2
C. D.
Hallar “y”
22 18
A.
23. Cómo debe ser la dependencia entre “a” y “b” para que el sistema:
B. x+y=3 ax + by = 5b 5x – 3y = 7
3a = 5b a=b
C. D.
b = 2a a = 2b
(a – 1)x + 4y = 10 2x + (p + 1)y = 5
1.
5 7
a+b a–b
B.
a+b
C. D.
8 6
Resolver:
(2k – 1)x + y = k x + ky = 2k – 1
B.
tiene infinitas soluciones?
B.
2. C. –
2 D.
D.
a–b a+b
7
4 5 11 5
Resolver:
A. B. 3.
C.
5 1
D. 3x + 5y = 7 2x – y = – 4
–1 2
Resolver:
C.2 D. 6 8x – 5 = 7y – 9 6x + 2 = 3y + 8
e indicar “x + y”
sea inconsistente.
56
a–b
e indicar “x”
1
3x + (m – 1)y = 12 (m + 6)x + 6y = 2m
1; 3 2; 6
C.
2x + 3y = 5 –x+y=3
–
1
26. Dar el valor o valores de “m” que hacen que el sistema:
A. B.
a(x + y – b(x – y) = 2a a(x – y) – b(x + y) = 2b
y señalar: x + y A.
0
D.
A.
25. ¿Para qué valor del parámetro “k”, el sistema:
–5
3b
74b 33 6b 7
Tarea domiciliaria
tenga infinitas soluciones.
A.
C.
Señalar el valor de “y”
24. Determine “a + p” de modo que el sistema:
A. B.
74b 33
30. Resolver:
tenga solución única. A. B.
x y 1 4a – 4b = 6 x y 14 + = 6a 5b 15
se halla que “y” es el triple de “x” entonces “k” es: A. B.
x + y + 2z = 21 x + 2y + z = 26 2x + y + z = 21
C. D.
3 3; – 8
A. B.
3 4
C. D.
7 6
Trilce Católica
Álgebra 11x – 5y = 2 4.
Resolver:
12. Resolver:
12x + 15y = 129
hallar “x – y”
5.
A.
5
C.
B.
1
D.
Resolver:
–
16 5
16
x–2 x+1 = y+2 y x – 3y = –2
6.
4 3 9 16
C.
16 9 16 – 9
D.
Resolver el sistema:
6(x + y) = 13 – x 5(x – y) = 1 – y
luego hallar “n” en: (n – 1)(x + y) + (n + 1) ( x – y) = 12 A. B. 7.
A.
2
C.
8
B.
4
D.
16
4x + 5y = p – x + 2y = p
–
B.
indicar “y2”
13. Calcular el valor de “p” si al resolver el sistema:
indicar “x2” . A.
3 4
C. D.
7 6
resulta que “y” excede en 8 unidades al valor de “x”. A.
12
C.
15
B.
13
D.
18
14. Dado el sistema:
Hallar el producto de soluciones del sistema: 1 1 + =a x y x+y=b a
C.
B.
b
D.
a
13 C.
13 11 12
5 22 13
D.
15. Hallar el valor de “x” (no nulo) al resolver el sistema:
b b 8(x + y) = 5xy ................. (1) 3(x + z) = 2xz ................. (2) 24(y + z) = 7yz ................. (3)
a
Resolver el sistema:
3x – 3y = 2a – 1
14
B.
A.
3x + 2y = a + 2
calcular “a”, si “x” es el doble de “y”.
A.
8.
x–y+3 3 = 2x + y – 3 2 3x – 2y + 4 5 = 2x – 2y + 3 2
5x + 3 2 – y = 17 y + (5 – x)3 = 2
Dar “x” A. B. 9.
1 2
C. D.
3 4
A.
1
C.
4
B.
2
D.
6
16. Resolver:
ax + (a – 1)y = 2a – 1........ (b + 1)x + (b + 1)y = 2b+ 2.........
(1) (2)
Del sistema anterior, dar el valor de “x – y”. A. B.
hallar “x + y”
–3 2
10. Resolver:
C. D.
9 4
4(2x + y) + 5(2x – y) = 17 3(2x + y) – (2x – y) = 8
2 1
11. Resolver:
1
C.
0
B.
2
D.
a+b
17. Calcular
e indicar el valor de: x2 – y2 A. B.
A.
C. D.
0 3
2x – 2y + 5 = 3 x–y+4
x – y si:
A.
1
C.
3
B.
2
D.
4
18. Hallar “xy”
x + 2y = 2
5 x – 3 – xy = 9 3 x – 3 + 5 xy = 39
bx – ay = b2 .................. x – y = a....................
(1) (2)
e indicar “xy” A. B.
– 12 – 11
Trilce Católica
C. D.
– 10 –9
A.
ab + b2
C.
a2 + b2
B.
a2 + ab
D.
a2 – b2
57
Ciclo Católica 19. ¿Qué valor debe tener “a” para que “x” sea igual a “y” en
20. Calcular “xy” del sistema:
el siguiente sistema? ax + 4y = 119 5x – ay = 34 A.
1
C.
3
B.
2
D.
4
58
(x + 2)(y + 2) = 6 + 2 2 (x – 2)(y – 2) = 2 + 6 2
A.
2+
2
C.
4 2
B.
1+
2
D.
8 2
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 11
PLaNTEamiENTO DE EcUaciONES i FoRmA vERBAL
TRAducción
¿QuÉ es una ecuación? Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas que tienen como mínimo una incógnita. Esta igualdad puede verificarse o no, en el primer caso si al menos hay una solución y en el segundo caso si no presenta solución. ¿cómo Plantear una ecuación? Para plantear una ecuación es recomendable los siguientes pasos:
1.
O
5. 6.
FoRmA SimBóLicA
Leer el problema dos veces O
2. 3. 4.
Quinto Católica
la primera para saber de que se trata la segunda de manera más lenta para poder analizar profundamente.
Identifique qué representa la incógnita y separe los datos. Relacionar los datos con la incógnita. Buscar dos expresiones con la participación de la incógnita, en uno de ellos o en los dos, que presenten lo mismo e igualar (ecuación formada). Resolver la ecuación. Comprobar los resultados.
Para un mejor trabajo nos ejercitaremos en la parte de traducción de expresiones verbales a lenguaje simbólico. n°
EnunciAdo
vARiABLE
EXPRESión mATEmÁTicA
1
El doble de un número
El número: x
2x
2
La mitad del triple de mi dinero
Mi dinero: x
(3x) 2
3
El doble más el triple de mi peso
Mi peso: x
2x + 3x
4
La mitad de mi dinero más el triple de mi dinero
Mi dinero: x
5
La mitad de mi dinero más el triple de mi dinero
Mi dinero: 2x
6
Una cantidad es aumentada en 40 nuevos soles
Cantidad:
7
El doble de la suma de un número y 60
Número:
8
La mitad de un número sumado con la tercera parte del mismo
Número:
9
El exceso de un número sobre 60
Número:
10 El exceso de 40 sobre un número
Número:
11 Un número excede en 30 a la mitad del mismo número
Número:
12
Juan tiene 20 nuevos soles más que Sandra y la suma de lo que tienen ambos es 140 nuevos soles
Sandra tiene: x Juan tiene:
13
Pedro tiene el triple de lo que tiene Amelia y juntos tienen 400 nuevos soles
Amelia tiene: x Pedro tiene:
14 Matilde tiene 60 nuevos soles más que la tercera parte de su dinero
Matilde tiene: 3x
Cada día gano 12 nuevos soles más que el día anterior y en cuatro 15 días he ganado 152 nuevos soles
Dinero que gano el primer día: x Segundo día: Tercer día: Cuarto día:
16
Mi mamá pesa 40 kg más que mi hermana y mi hermana, 30 kg más que yo.
Mi peso: x Peso de mi hermana: Peso de mi mamá:
17 El doble de mi peso excede a la tercera parte de mi peso en 50 kg
Mi peso: x
18 Mi edad hace 8 años y mi edad dentro de 4 años suman 76 años
Mi edad hace 8 años: Mi edad dentro de 4 años:
19 Dos números son proporcionales a 3 y 7; además, suman 350.
Uno de los números es: El otro número es:
20
Una canasta con manzanas pesa 50 kg y el peso de la canasta El peso de la canasta es: x + 10 excede al peso de las frutas en 10 kg. El peso de las frutas es: x
TRILCE Católica
59
Ciclo Católica PrOBLEmaS rESUELTOS 1.
4.
El triple de un número es aumentado en 6, lo cual es igual al cuádruplo de su diferencia con 8. Hallar la mitad del número, aumentado en 10.
Una pieza de tela tiene 40 metros de longitud. En una 2 segunda compra que se hizo, se adquirió los del resto 3 que había quedado después de la primera compra. Sabiendo que en las dos compras se adquirió la misma longitud, ¿cuántos metros se compraron la primera vez?
resolución: resolución: Sea “x” el número
Primera compra: “x” metros; queda: (40 – x)m 2 Segunda compra: (40 – x) m 3 2 Por condición: x = (40 – x) 5x = 80 3 x = 16
Del enunciado tenemos: 3x + 6 = 4(x – 8) 3x + 6 = 4x – 32 38 = x el número es 38 Nos piden:
38
+ 10 = 29
2 2.
La primera vez se compró 16 m.
En una granja hay 20 pollos más que patos. Si se vendiesen 25 pollos y se compraran 20 patos, resultaría que el número de patos sería el doble del número de pollos. ¿Cuántos pollos hay en la granja?
5.
resolución:
En una reunión hay cinco hombres más que mujeres, luego, llegaron un grupo de personas cuyo número era igual al de los hombres inicialmente presentes, de modo que en la reunión todos están en pareja y hay 50 hombres en total. Hallar el número de hombres inicialmente presentes. resolución:
Pollos = x + 20; Patos = x Si se vendiese 25 pollos, quedarían: (x – 5) pollos Si se compraron 20 patos, quedarían: (x + 20) patos
Número de hombres = x + 5 Número de mujeres = x
Luego: Si llegan (x + 5) personas y al final hay 50 hombres y todos están en pareja, quiere decir que al final hay 100 personas.
El número de patos = 2(núm ero de pollos) 144424443 144424443 x + 20 = 2(x – 5) x = 30
Total de personas = x + 5 + x + x + 5 = 100 x = 30
En la granja hay: 30 + 20 = 50 pollos 3.
El largo de un rectángulo es el triple del ancho. Si el largo disminuiría 12 m y el ancho se duplicara, su área seguiría siendo la misma. ¿Cuál es el perímetro de dicho rectángulo?
Número de hombres al inicio: 35
Problemas para la clase nivel i
resolución: 1. Graficando ambos casos: real
supuesto x
A. B.
2x 2.
3x 3x – 12 Área = (3x – 12)(2x)
Área = 3x2 Por condición:(áreas iguales)
3.
3x
24 x
8
3x
24 2p = 64 m
60
4. 8
C. D.
3 5
13 15
C. D.
17 19
Gasté los 2/3 de lo que no gasté y aún me queda $20 más de lo que gasté. ¿Cuánto tenía? A. B.
El perímetro de dicho rectángulo es:
–3 –2
Si las edades de mis cuatro hijos son números impares consecutivos y los tres menores suman 45 años, ¿cuántos años tiene el mayor de mis hijos? A. B.
3x2 = 2x(3x – 12) 3x = 2(3x – 12) 3x = 6x – 24 x=8
x
Un número aumentado en siete, excede en ocho al producto de tres con la mitad del número original. Hallar el número.
$100 120
C. D.
80 90
Compré un auto en $3600. Si al venderlo, gané los 2/5 del precio de venta más $300, ¿cuánto gané? A. B.
$1500 1800
C. D.
2200 2900
Trilce Católica
Álgebra 5.
Una máquina fotocopiadora cuesta $350. Si cada copia cuesta S/. 0,1 y el papel S/. 3 el ciento, ¿cuántas copias debe sacarse para recuperar la inversión? ($1 = S/. 3,4) A. B.
6.
15 000 17 000
C. D.
16 000 18 000
Se compra manzanas a S/. 2 el kilo. ¿Cuál debe ser el precio de venta de cada kilo, si luego de la rebaja de este, en su sexta parte, debe quedar una ganancia igual a la cuarta parte del costo? A. B.
S/. 2,4 2,8
C. D.
3,0 3,2
7. A una hoja de papel de 20 cm por 32 cm se le recorta un pedazo en forma de triángulo rectángulo isósceles, cuyo cateto es igual al lado menor de la hoja. ¿Cuál es el área de la figura resultante? A. B.
540 cm2 500
C. D.
360 440
8. Las edades de dos primas, Alejandra y Rosa Herminia suman 80 años. Si Alejandra tuviera cinco años menos y Rosa Herminia, 15 años más, ambas tendrían la misma edad, ¿qué edad tiene Rosa Herminia? A. B.
30 años 60
C. D.
75 50
9. Trescientos empleados deben cobrar S/. 25 200, pero como algunos de ellos se retiran, el resto tiene que cobrar S/. 140 cada uno. ¿Cuántos se retiraron? A. B.
90 100
C. D.
110 120
10. Se compra “A” kilos de pollo a S/. 7 el kilo. Si se vende la cuarta parte del peso total a S/. 8 el kilo, ¿a cómo debe venderse cada kilo de lo que queda para ganar en total S/. 450 ? A. B.
S/. 20A + 600A 3 20 + 600A 3A
C. D.
20 + 600A 3 20 600 + A 3
del helado de coco es de 60 céntimos y el de vainilla, 50 céntimos, hallar el número de helados de coco. A. B.
30 40
C. D.
50 60
14. La suma de las edades actuales de dos personas es 40 años. Si dentro de cuatro años, el cuadrado de la edad del menor será igual a la edad que tendrá el mayor dentro de 12 años, hallar la diferencia de las edades actuales de ambas personas. A. B.
15 años 19
C. D.
34 41
15. Mario tiene el cuádruplo de la edad que tenía César cuando él tenía la edad que César tiene; pero, cuando César tenga la edad que Mario tiene, ambas edades sumarán 95 años. ¿Qué edad tiene Mario? A. B.
25 años 30
C. D.
40 45
16. Jorge toma un trabajo en el que le pagan S/. 50 por cada día trabajado, y cada día que no trabaja, le descuentan S/. 25. Si al cabo de 30 días recibe S/. 1 050, ¿cuántos días trabajó? A. B.
24 14
C. D.
7 8
17. Un padre reparte su fortuna entre sus hijos, dándoles S/. 480 a cada uno. Debido a que dos de ellos renunciaron a su parte, a cada uno de los restantes le tocó S/. 720, ¿cuántos hijos tiene el padre? A. B.
5 6
C. D.
7 8
18. Dos personas tienen $164 000 y $248 000, respecti – vamente. Cada una de ellas, compra un terreno, luego de lo cual, les queda la misma cantidad de dinero. Los terrenos tienen un costo de $400 por m2, hallar el área de uno de los terrenos, sabiendo que el área de uno es el doble del otro. A. B.
100 m2 105
C. D.
210 125
nivel ii 11. Una mujer compró cierto número de paltas por S/. 18. Al día siguiente, le hubieran dado seis paltas más por el mismo dinero, con lo cual cada una hubiera resultado 10 céntimos más barata. ¿Cuántas paltas compró? A. B.
24 30
C. D.
32 36
12. Mi enamorada es 22 años menor que yo, dice cierto hombre solterón, y el producto de nuestras edades excede en 662 a la suma de las edades. ¿Qué edad tiene mi enamorada? A. B.
18 años 19
C. D.
20 15
13. Gasto S/. 56 en comprar helados de coco y vainilla y compró 100 helados en total. Sabiendo que el precio
Trilce Católica
19. Una padre de familia plantea a su hijo el siguiente problema: “En mi bolsillo derecho, tengo 48 soles más que en el izquierdo. Si a la sexta parte de lo que tengo en el derecho, le aumento ocho soles, obtengo una suma que es igual a la cuarta parte de lo que tengo en el izquierdo, disminuida en S/. 34, ¿cuánto tengo en el bolsillo izquierdo?”. A. B.
S/. 800 500
C. D.
600 700
20. Un comerciante compra tantos polos como soles le costó cada uno. Si se le perdió la cuarta parte y vendió cada uno de los restantes a dos nuevos soles menos que el doble de lo que le costó cada uno, obteniendo una ganancia de S/. 104, ¿cuántos polos perdió? A. B.
8 4
C. D.
3 2
61
Ciclo Católica nivel iii 21. Tres socios forman un negocio en el que se requiere una inversión de $23 000. Si el tercero aportó $1000 más que el segundo y este los 4/3 del primero, ¿cuánto aportó el que aportó más? A. B.
$6000 7000
C. D.
8000 9000
22. En una familia con tres hijos: “A”, “B” y “C”, se sabe que “A” es 8 cm más alto que “B” y “C” es 2 cm más bajo que “B”. Si las estaturas de los tres hermanos suman 4,86 m, ¿cuál es la estatura de “B” ? A. B.
1,50 m 1,60
C. D.
28 y 38 25 y 35
C. D.
30 y 40 20 y 30
24. Una carpintería tiene un pedido de marcos de ventana: El marco debe ser rectangular y de igual ancho en todos sus lados. Los lados del rectángulo interior medirán 6 cm y 9 cm y el área de la superficie del rectángulo interior al marco es la mitad que la del rectángulo exterior. Hallar el ancho del marco. A. B.
2 cm 3
C. D.
2,5 1,5
25. El costo total de producción de “x” pantalones es S/. (2x2 – 6x). Si todos los “x” pantalones que se producen se venden a un precio unitario de S/. (x – 2), ¿cuántos pantalones se deben producir y vender para no perder ni ganar? A. B.
2 3
C. D.
a+b 2
C.
B.
a
D.
12a + 5b 2 5b – 12 a 2
27. Un comerciante llevaba camisas para vender y decía para sí: “Si vendo cada una a S/. “K”, podré comprar un televisor y me quedarían S/. “P”, pero si vendo cada camisa a S/. “Q”, al comprar el televisor me quedaría solo S/. “R”. ¿Cuántas camisas tenía? A. B.
62
P+R K+Q P–R K–Q
C. D.
O
P–R K+Q P+R K–Q
$7 8
C. D.
5 6
Una empresa vende computadoras tipo “A”, “B” y “C”. Se sabe que cada computadora tipo “A” siempre cuesta 1,5 veces lo que cuesta la de tipo “B”. Un comerciante compra 20; 30 y 40 computadoras de cada tipo, respectivamente, pagando un total de S/. 92 000. Al siguiente mes, las computadoras tipo “B” suben en 20% y el comerciante compra 30; 40 y 50 computadoras, respectivamente, pagando S/. 133 000.
29. Determinar el costo de cada computadora tipo “C”. A. B.
S/. 1000 800
C. D.
1500 2000
30. Determinar el costo de cada computadora tipo “B” en el segundo mes. A. B.
S/. 1000 1400
C. D.
1500 1200
Tarea domiciliaria 1.
Si Juan recibe S/. 5 tendría el doble que si hubiera gastado S/. 5, ¿cuánto tiene Juan? A. B.
2.
4 5
26. Una señora va al mercado a comprar tomates; para comprar cinco kilos le falta S/. “a”, pero si hubiera llevado S/. “b” más habría comprado dos kilos más y aún le hubiera sobrado S/. “a”. ¿Cuánto dinero llevó al mercado dicha señora? A.
A. B.
1,62 1,64
23. Dos obreros trabajando juntos pueden cumplir una tarea dada en 12 horas. El primer obrero por separado puede realizar el mismo trabajo, 10 horas más rápido que el segundo, ¿en cuántas horas cada obrero por separado puede realizar la tarea? A. B.
28. Cada consultorio de la clínica Mi Salud Sac, atiende 100 clientes a la semana y les cobra $3 por consulta. Estudios de mercado han determinado que por cada incremento de $0,5 en el costo de la consulta, cada consultorio perdería 10 clientes a la semana, ¿qué precio como máximo deberá fijar la clínica, de modo que los ingresos semanales por consultorio sean iguales a $300 ?
8 años 10
C. D.
12 9
5 6
C. D.
9 2
Dos personas tienen 200 y 250 dólares. Si hacen un gasto igual, la relación de los saldos es de 5 a 3; indicar cuánto tienen de saldo entre los dos. A. B.
5.
9 10
Siete veces la novena parte de la edad de José, excede en tres al doble de la tercera parte de dicha edad. ¿Dentro de cuántos años tendrá 32 años? A. B.
4.
C. D.
Rafael tiene el doble de la edad de Bertha. Dentro de cuatro años, Rafael tendrá el triple de la edad que tenía Bertha hace dos años. ¿Cuál es la edad de Bertha? A. B.
3.
S/. 18 15
$ 300 200
C. D.
180 210
Las edades de dos esposos se diferencian en tres (esposo mayor que esposa). Cuando la esposa tenía 20 años nació su único hijo, hoy el hijo tiene 13 años. ¿Cuál será la edad del padre? A. B.
30 años 33
C. D.
36 34
Trilce Católica
Álgebra 6.
Tengo S/. 120 y gasto los 2/3 de lo que no gasto. Si hubiese gastado 5/7 de lo que no gastaría, ¿cuánto más hubiese gastado? A. B.
6 3
C. D.
2 9
14. El denominador de una fracción es cuatro unidades mayor que el numerador. Si se aumenta el numerador en uno, el valor de la fracción es 2/3, halla la fracción. A. B.
7.
Descomponer el número 15 en dos partes de manera que la suma de sus valores inversos sea igual a 5/12. Dar la diferencia de dichos números. A. B.
8.
C. D.
11 12
Una vendedora lleva al mercado una cesta de huevos, si cuando vende los 2/9 menos cinco huevos, añadiese 37 huevos a los que le quedan entonces el número de huevos que llevó al mercado quedaría aumentado en 1/6. ¿Cuántos huevos llevaba en la cesta? A. B.
9.
9 10
66 136
C. D.
96 108
“A”, “B” y “C” tienen en total 126 limones; si “C” le diera la cuarta parte a “A” tendrían la misma cantidad, pero, si “A” le diera la mitad a “B”, entonces “B” tendría la misma cantidad que “C”. ¿Cuántos limones tiene “B”? A. B.
28 56
C. D.
42 48
10. En un rebaño el número de ovejas más bueyes es 30; el de bueyes más vacas es 50; el de vacas más cabras es 70 y el de vacas más ovejas es 40. ¿Cuánto suman el número de los bueyes y cabras?
11.
70 50
33 63
C. D.
40 50
Dos ejércitos tienen el mismo número de efectivos. Si en la batalla mueren 200 hombres de un ejército y 50 hombres del otro, entonces el número de sobrevivientes del segundo es el doble del primero. ¿Cuántos soldados tenía cada ejército inicialmente? A. B.
13.
C. D.
En un corral el número de gallos es el cuádruple del número de gallinas. Si se venden cuatro gallos y cuatro gallinas, entonces el número de gallos es seis veces el número de gallinas, ¿cuántas aves habían inicialmente? A. B.
12.
60 40
450 600
C. D.
350 750
El dinero que tiene Lourdes excede en S/. 5 a la mitad del dinero de Maruja. Si entre ambas tienen S/. 65, ¿cuánto tiene Maruja? A. B.
S/. 40 28
Trilce Católica
C. D.
25 50
11 9 13
C. D.
5 9 3 7
15. Un hombre gasta 3/8 de su sueldo en alimentos y 2/5 en otros gastos. Si ahorra S/. 450 cada mes; ¿a cuánto asciende su sueldo? A. B.
S/. 1600 2400
C. D.
1800 2000
16. Tres hermanos tienen una hacienda. El primero tiene 1/3 de ella más 80 hectáreas; el segundo 1/4 de la hacienda y el tercero 20 hectáreas. ¿Cuántas hectáreas tiene la hacienda? A. B.
280 250
C. D.
240 300
17. El jardinero “A” planta rosas más rápidamente que el jardinero “B” en la proporción de 4 a 3. Cuando “B” planta “x” rosas en una hora, “A” planta “x + 2” rosas. ¿Cuántas rosas planta “B” en 4 horas? A. B.
20 16
C. D.
24 28
18. Tres terrenos cuadrados son tales que: O O
A. B.
7
O
El lado del mayor es el doble del lado del menor. El lado del mediano es cinco metros más que el lado del menor. 36 veces la suma de las áreas de los menores es igual a 25 veces el área del mayor.
Calcular el lado del terreno mediano. A. B.
30 m 15
C. D.
20 60
19. Tres niños se han repartido una bolsa de caramelos, tomando el primero la mitad de los caramelos y uno más; el segundo, la tercera parte de lo que quedó y el tercero el resto. ¿Cuántos caramelos hubieron en la bolsa? A. B. C. D.
26 32 No puede ser determinado 14
20. Se compra cajones de naranjas a S/. 100 cada uno y cada cajón contiene 20 kg. Primero se vende la mitad a S/. 20 el kg; después la cuarta parte a S/.15 el kg; y por último, el resto se remata a S/.10 el kg, ganando 11 250 en total. ¿Cuántos cajones de naranjas habían comprado? A. B.
65 70
C. D.
55 50
63
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 12 Quinto Católica
PLaNTEamiENTO DE EcUaciONES ii En esta semana repasaremos planteamiento de ecuaciones, teniendo en cuenta principalmente el uso de sistemas de ecuaciones. Recuerda las recomendaciones para plantear un problema: O Leer y comprender el enunciado. O Seleccionar los datos. O Establecer la ecuación o ecuaciones para luego resolver el sistema de ecuaciones o la ecuación descrita por el enunciado.
Problemas para la clase
7.
Un volquete lleno de piedras pesa 27 toneladas. Cuando están llenos los 3/5 de su capacidad, el peso equivale a los 7/4 de cuando está vacío. ¿Cuántas toneladas de piedra es la carga del volquete? A. B.
8.
15 12
C. D.
27 36
En un campeonato de tiro, un aspirante gana dos puntos por cada disparo acertado y pierde medio punto por cada desacierto. Si al hacer 120 disparos obtuvo 130 puntos, el número de disparos acertados fue:
nivel i 1.
La diferencia de dos números es 14 y 1/4 de su suma es 13. Hallar el mayor de los números. A. B.
2.
C. D.
89 90
S/. 4 3
C. D.
2 1,5
19 26
C. D.
24 21
Una madre de familia plantea a su hija el siguiente problema: En mi bolsillo derecho tengo S/. 48 más que en el izquierdo. Si a la sexta parte de lo que tengo en el derecho le aumento S/. 8 obtengo una suma que es igual a la cuarta parte de lo que tengo en el izquierdo, disminuido en S/. 34. ¿Cuánto tengo en el bolsillo derecho? A. B.
6.
S/. 67 82
Un granjero tiene un total de 56 aves entre pollos, patos y pavos. Si tuviera tres pollos más, siete patos menos y cinco pavos más; tendría la misma cantidad de cada tipo de aves. Hallar el número de patos. A. B.
5.
33 29
Si compro dos revistas gastaría S/. 2 más que si comprara tres periódicos. Pero si comprara cinco periódicos gastaría S/. 2 más que si comprara dos revistas. ¿Cuánto cuesta cada periódico? A. B.
4.
C. D.
Por siete camisas y ocho pantalones pagué S/. 514. Para comprar diez camisas y siete pantalones tendría que agregar S/. 21 al monto anterior. ¿Cuánto cuestan dos camisas y un pantalón? A. B.
3.
30 19
S/. 800 648
C. D.
600 700
Una canasta llena de huevos pesa 100 kg, cuando la canasta lleva 1/5 de su capacidad, el peso es 60 kg. Averiguar el peso de la canasta. A. B.
55 kg 57
TRILCE Católica
C. D.
50 60
A. B.
76 77
C. D.
78 79
9. En una granja hay 92 patas y 31 cabezas. Si solo hay patos y conejos ¿cuál es la diferencia entre el número de estos animales? A. B.
1 2
C. D.
3 4
10. En un salón de clases existe cierta cantidad de carpetas bipersonales, cuando se sienta un alumno por carpeta, faltan cuatro carpetas, pero cuando se sientan dos por cada carpeta, sobra una de ellas, ¿cuántos alumnos tiene dicho salón? A. B.
5 6
C. D.
10 12
nivel ii 11. Carla vendió 12 relojes de plata y siete de oro por $ 5000. ¿Cuánto vale cada reloj de oro si el precio de uno de oro es cuatro veces el precio de uno de plata? A. B.
$ 100 125
C. D.
400 500
12. Si compro 18 libros, me sobra S/. 40 y si compro 21 libros, me falta S/. 20. ¿Cuánto tengo? A. B.
S/. 400 300
C. D.
360 480
13. Hallar un número entero de dos cifras sabiendo que estas suman 12, que si al número le suman 10 unidades, resulta menor que el doble de dicho número invertido y que la raíz cuadrada del número es mayor que 9. A. B.
57 39
C. D.
93 84
14. En un colegio los alumnos del turno mañana pagan S/.80 mensuales y los de la tarde S/. 65 mensuales. Si el director ha recibido en total de la pensión del
65
Ciclo Católica segundo mes de clases S/. 4080 y los alumnos de la tarde son siete más que los del turno mañana, halle el total de alumnos. A. B.
25 32
C. D.
57 56
15. Un comerciante compró café por S/. 1600 y té por S/. 1800, obteniendo 40 kg más de café que de té. ¿Cuánto pagó por el kg de café, si un kg de té costó 50 soles más que un kg de café? A. B.
S/. 21 22
C. D.
25 24
16. Se envasan botellas de dos litros y tres litros. Si la cantidad de botellas de tres litros es el doble que las otras y se ha empleado en total 136 litros, ¿cuántas botellas de dos litros se envasarán? A. B.
15 21
C. D.
34 17
17. En un salón de la academia TRILCE, el día de hoy faltaron cinco alumnos por problema de salud. Si los asistentes se sientan cuatro alumnos en cada carpeta, faltarían tres alumnos para que todas las carpetas estén llenas. Pero si se sientan tres alumnos por carpeta se quedarían nueve alumnos de pie. Hallar el número total de alumnos del salón. A. B.
12 50
C. D.
45 40
18. Una señora quiso comprar cierto número de limones con cierta suma de dinero, pero al ver que el precio de cada limón había bajado en S/. 2, compró cuatro limones más por la misma suma. Si el número de soles que pagó por cada limón y el número de limones que compró suman 16, ¿cuánto gastó en la compra de limones? A. B.
S/. 10 60
C. D.
64 48
19. Un genio está indeciso entre comprar con todo su capital 72 borradores o por el mismo precio nueve libros y 9 lapiceros. Decide comprar con dicho capital el mismo número de útiles de cada clase. ¿Cuántos útiles compra en total? A. B.
18 20
C. D.
22 24
20. Carla vendió doce relojes de plata y siete de oro por $5000. ¿Cuánto vale cada reloj de oro si el precio de uno de oro es cuatro veces el precio de uno de plata? A. B.
100 125
C. D.
400 500
nivel iii 21. Averiguar para qué número de tres cifras se verifica que la cifra de las centenas, sumada con la de las unidades, es igual a 9; que la diferencia de estas cifras da las cifras de las unidades y que la diferencia entre las cifras de las centenas y decenas es el doble de esta última. A. B.
66
263 623
C. D.
362 632
22. Un poste de “a” metros de longitud está pintado de rojo y blanco. Si se pinta “b” metros más de blanco, la mitad del poste estaría pintado de rojo. ¿Cuántos metros de poste están pintados de blanco? A. B.
a – 2b 2 a–b 2
C. D.
2a – b 2 a 2–b
23. Un grupo de personas desea comprar bolsas de leche. Si cada persona compra una bolsa, sobrarían “n” bolsas. Si cada persona quisiera comprar “n” bolsas, entonces faltaría para “n” personas. ¿Cuántas personas conforman el grupo? A. B.
n(n – 1) n+1 n(n – 2) n–1
C. D.
2n n–1 n(n + 1) n–1
24. Se compran dos piezas de tela: una a “x” nuevos soles el metro y otra que tiene “x” metros más a “y” nuevos soles el metro. Si por cada pieza se paga lo mismo, ¿cuántos metros se compraron en total? A. B.
2x(x + y) x–y x+y x–y
C. D.
x(x + y) x–y x–y x+y
25. En una reunión el número de caballeros es dos veces más que el número de damas, después que se retiran ocho parejas, el número de caballeros que ahora queda es cuatro veces más el número de damas. ¿Cuántos caballeros habían inicialmente? A. B.
16 32
C. D.
48 72
26. Óscar le da a José tantas veces cinco céntimos como nuevos soles tiene en su bolsillo, sabiendo que aún le quedan S/. 76. ¿Cuánto tenía Óscar inicialmente? A. B.
S/. 95 80
C. D.
75 70
27. En una conferencia el número de varones es al de damas como 7 es a 5; si el exceso del número de varones respecto al de damas es un número de dos cifras consecutivas, hallar el máximo número de damas que pudieron asistir a la conferencia. A. B.
85 140
C. D.
170 245
28. Con billetes de S/. 100 y de S/. 50 se pagó una deuda de S/. 2800. El número de billetes de S/. 50 excede en 8 al número de billetes de S/. 100. Si los billetes que tenemos de S/. 100, los contaremos como billetes de S/. 50 y viceversa, ¿qué cantidad de dinero tendríamos? A. B.
S/. 4500 2900
C. D.
3200 3800
29. Un obrero trabajó durante dos meses con su hijo en una misma obra. El primer mes, por 14 días del padre y 24 del hijo recibieron S/. 118; el segundo mes por 21 días
Trilce Católica
Álgebra del padre y 19 del hijo recibieron S/. 143. ¿Cuál es la diferencia de jornales diarios del padre y del hijo? A. B.
3 1
C. D.
4 5
30. Un patio tiene forma rectangular, si tuviera tres metros más de largo y cuatro metros más de ancho, sería 192 m2 más grande. Si tuviera cuatro metros menos de largo y tres metros menos de ancho, sería 158 m2 más pequeño. Hallar las dimensiones del patio, A. B.
15 y 45 10 y 40
C. D.
30 y 20 20 y 50
37. Un deportista apuesta a tirar al blanco con la condición de que por cada tiro que acierta recibirá “a” nuevos soles y pagará “b” por cada uno de los que falle. Si después de “n” tiros ha recibido “c” nuevos soles, ¿cuántos tiros dio en el blanco? A. B.
A. B.
4 6
C. D.
A. B.
S/. 30 32
C. D.
A. B.
25 28
A. B.
1 2
C. D.
3 4
34. Dos señoras llevan al mercado 100 manzanas. Una de ellas tenía mayor número de manzanas que la otra; no obstante, ambas obtuvieron iguales sumas de dinero. Una de ellas le dice a la otra: “Si yo hubiese tenido la cantidad de manzanas que tú tuviste y tú la cantidad que yo tuve, hubiésemos recibido respectivamente 15 y 20/3 nuevos soles”. ¿Cuántas manzanas tenía cada una? A. B.
30 y 70 45 y 55
C. D.
A. B.
3m 4
C. D.
30 h 15
Trilce Católica
C. D.
60 10
C. D.
243 253
2,5 cm 12
C. D.
1,5 3
6:07 p.m. 6:04 p.m.
C. D.
6:13 p.m. 6:11 p.m.
Tarea domiciliaria 1.
Si tú me dieras dos de tus canicas, tendríamos la misma cantidad; en cambio, si yo te diera tres de las mías, tú tendrías el doble de los que a mí me quedaría. ¿Cuántas canicas tenemos entre los dos? A. B.
2.
3.
C. D.
35 60
$ 0,32 0,07
C. D.
32 7
Enrique cancela una deuda con 28 billetes de S/. 10 y S/. 5. ¿Cuánto dinero pagó con billetes de S/. 10, si el monto de la deuda fue de S/. 200? A. B.
4.
40 30
Seis kg de café y 5 kg de azúcar costaron $ 2,27 y, 5 kg de café y 4 kg de azúcar a los mismos precios costaron $ 1,88. Halla el precio del kg de café. A. B.
1 2
36. Una cierta tarea puede ser hecha por Aldo y Paúl en 12 horas; por Aldo y Ernesto en 20 horas y por Paúl y Ernesto en 15 horas. Encontrar el tiempo que tardaría en hacer la tarea trabajando los tres juntos. A. B.
A. B.
20 y 80 40 y 60
35. El perímetro de un rectángulo es 90 m y su área es superior a 504 m2. Si sus lados son números enteros, ¿en cuánto excede el largo al ancho?
223 233
40. Tres amigos acuerdan encontrarse a las seis de la tarde en la PUCP, pero por diferentes causas ninguno llegó a la hora indicada. El primero llegó tres minutos antes que el segundo y el tercero seis minutos después que el segundo, pero si al promedio de los tres tiempos empleados por cada uno se le resta ocho minutos, el resultado será igual a la hora indicada para encontrarse. ¿A qué hora llegó el tercero?
33. Se lanza tres dados simultáneamente. El triple del resultado del primer dado, más el doble del resultado del segundo dado, más el resultado del tercer dado suman diez. ¿Cuántos posibles resultados pudieron darse? A. B.
D.
bn + c a+b an + c a+b
39. A una hoja de papel de 30 cm × 18 cm se le recortan cuadrados iguales en cada esquina, de modo que el área del papel recortado medida en cm2 excede a su perímetro medido en centímetros en 408. Halla el lado del cuadrado.
8 9
32. Un comerciante compró 2500 botellas a S/. 20 el ciento. En el camino se le rompieron 190 botellas y luego regala cinco botellas por cada 100 que vendía. ¿En cuánto vendió el ciento si en total ganó S/. 116?
C.
38. Se quiere colocar cierto número de fichas de modo que formen un cuadrado completo. En la primera disposición sobran ocho fichas; formando el cuadrado con una ficha más por lado faltan 23. ¿Cuántas son las fichas?
EJErciciOS aDiciONaLES 31. Se tienen cajas que contienen lapiceros. Si la cantidad de cajas se duplica, se tendrían 72 lapiceros más. Si la cantidad de cajas se aumenta en 2 y la cantidad de lapiceros por caja disminuye en 3, se obtendrían 90 lapiceros. ¿Cuántas cajas había originalmente?
an + c a–b bn + c a–c
S/. 75 80
C. D.
100 120
Con 12 monedas en total, unas de 50 céntimos y otras de 20 céntimos, se quiere pagar una deuda de S/. 3,60. ¿Cuántas monedas de cada clase se utilizarán? A. B.
3y9 4y8
C. D.
5y7 10 y 2
67
Ciclo Católica 5.
Una tela tiene un largo igual al doble del ancho. Al lavarse por primera vez su ancho se reduce en la décima parte y su largo en la novena parte. ¿Cuál es el perímetro original de la tela, si su área final es de 12 960 cm2?
13. Ricardo tiene “a” animalitos entre loritos y perritos. Si entre los animalitos que tiene puede contar “p” patas, ¿cuántos perritos tiene? A.
A. B.
500 cm 540
C. D.
482 520
6. Una motosierra consume nueve litros de gasolina combinada con dos litros de aceite para trabajar durante tres horas. ¿Cuántas horas habrá trabajado cuando ha consumido 35 litros de gasolina más que aceite? A. B. 7.
3 4
3h 3,5
C. D.
2,5 4
Si al colocar 24 libros de Aritmética uno a continuación del otro y 16 libros de Álgebra de igual manera que los anteriores el espacio que ocupan todos ellos es de 2,8 m; hallar el espacio que ocupan 10 libros de Álgebra sabiendo que cada uno de estos ocupan 5 cm más que uno de Aritmética. A. B.
9.
C. D.
El tiempo que estudio diariamente es la mitad del tiempo que duermo. El tiempo que veo televisión es la mitad del tiempo que estudio o duermo. Si el resto del día es 10,5 horas, ¿qué tiempo estudio? A. B.
8.
2h 5
1m 1,2
C. D.
1,1 0,9
La cabeza de un pescado mide 20 cm, la cola mide tanto como la cabeza más medio cuerpo y el cuerpo tanto como la cabeza y la cola juntos. ¿Cuál es la longitud del pescado en centímetros? A. B.
200 20
C. D.
140 160
10. A un empleado le prometen por un año de trabajo 8000 dólares, un televisor y un equipo de sonido; pero por ocioso lo despiden a los diez meses recibiendo 6000 dólares más los dos artefactos. Si se le hubiera despedido a los ocho meses habría recibido 5800 dólares y el equipo de sonido. ¿Cuál es el precio del televisor? A. B.
$ 1500 350
C. D.
1800 1250
11. Cuatro hermanos tienen 450 dólares. Si el dinero del primero se aumenta en 20 dólares, el del segundo se reduce en 20 dólares, se duplica el del tercero y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrían la misma cantidad de dinero. Indicar la suma de las cifras del dinero que tiene el segundo hermano. A. B.
3 8
C. D.
2 5
12. Un litro de leche pura pesa 1030 gramos. Si se compran nueve litros de leche adulterada que pesa 9210 gramos, ¿cuántos litros de agua contiene? (1 L de agua pesa 1000 gramos). A. B.
68
1 3
C. D.
5 7
B.
a+p 2 p – 2a 2
C.
a–p 2
D.
a–p
14. Un matrimonio que tiene dos hijos acordó pesarse y lo hicieron del modo siguiente: se pesaron los padres y resultó 126 kg después el papá con el hijo mayor y resultó 106 kg y por último la mamá con el hijo menor y resultó 83 kg. Se sabe que el hijo mayor pesa 9 kg más que el menor. Determine cuánto pesa el hijo mayor. A. B.
35 kg 38
C. D.
36 30
15. Ernesto decide entrar al mundo de los negocios y compra un lote de camisas a $ 7,5 c/u, regalándole cuatro por cada 19 que compre y recibiendo en total 391 camisas. Él, a su vez, decide venderlas a $ 10 c/u, ofreciendo regalar tres por cada 14 camisas que le compren. Si al final no le quedó ninguna camisa, ¿cuál fue su ganancia en esta, su primera experiencia como negociante? A. B.
$ 977,5 797,5
C. D.
799,5 77,5
16. La suma de tres números es 160. Un cuarto de la suma del mayor y el mediano equivale al menor disminuido en 20, y si la mitad de la diferencia entre el mayor y el menor se le suma el número medio el resultado es 57. Halla la diferencia entre el mayor y el menor. A. B.
15 12
C. D.
13 14
17. Un almacenista compró a un fabricante cierto número de lapiceros a razón de 8,40 dólares la docena y los vendió después a un comerciante a razón de 9 dólares la decena. Luego el comerciante vendió dichos lapiceros al público a 2,8 dólares el par, ganando 720 dólares más que lo que ganó el almacenista. ¿Cuánto cobró el fabricante por todos los lapiceros? A. B.
$ 20 160 21 600
C. D.
2 160 1 680
18. A un alambre de 122 cm de longitud se le ha hecho dos cortes. La longitud de cada trozo es igual a la del inmediato anterior más 1/4 de esta longitud ¿Cuál es la longitud del trozo más grande? A. B.
50 cm 60
C. D.
62 54
19. Se compraron dos piezas de alambre que juntas miden 120 m. Cada metro de cada pieza de alambre costó tantos soles como metros tiene la pieza. Una de ellas costó S/. 240 más que la otra. ¿Cuál es la longitud de la pieza más grande? A. B.
58 m 60
C. D.
61 62
20. Un grupo de niños está formado de modo que hay tantos niños por columnas como filas. Para formar con un niño más por columna y un niño más por fila, harían falta 13 niños ¿Cuántos son los niños? A. B.
9 16
C. D.
25 36
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 13 Quinto Católica
TEOrÍa DE EcUaciONES: PLaNTEamiENTO DE EcUaciONES iii EDaDES
mÓViLES
Según el número de sujetos cuyas edades intervienen, los problemas de edades se pueden tipificar en dos: tiPo i (cuando interviene un solo sujeto): –y
e = Espacio total recorrido v = Velocidad (rapidez) t = tiempo
e v
t
e=v×t
+x
E–y
E
E+x
Hace “y” años
Edad Actual
Dentro de “x” años
i.
tiemPo de encuentro va
vB A
B
Ejemplo:
e
Dentro de 20 años, José tendrá el doble de la edad que tuvo hace 10 años. ¿Cuántos años tiene actualmente?
te =
tiPo ii (cuando intervienen dos o más sujetos): ii.
tiemPo de alcance
En este caso es recomendable usar el siguiente cuadro: Pasado (tuve)
Presente (tengo)
futuro (tendré)
Persona 1
A1
A2
A3
Persona 2
B1
B2
B3
va A
O O
Conclusiones A2 – A1 = B2 – B1 A2 + B1 = A1 + B2 A3 – A1 = B3 – B1 A3 + B1 = A1 + B3 A3 – A2 = B3 – B2 A3 + B2 = A2 + B3
Si: va > vb
A las 9:00 parten de un mismo punto y en la misma dirección dos autos con velocidades constantes de 75 y 52 km/h. ¿Después de cuánto tiempo la distancia que hay entre ellos es de 46 km?
Tengo el doble de la edad que tuviste, cuando tuve la tercera parte de tu edad actual y cuando tengas el doble de mi edad actual nuestras edades sumarán 155 años. ¿Cuál es tu edad actual? Presente (tengo)
ta = Ejemplo:
ejemplo:
Pasado (tuve)
B e
Relaciones que puedes utilizar para plantear ecuaciones en el cuadro:
O
vB
Problemas para la clase 1.
futuro (tendré)
A. B.
yo 2.
tú
Dentro de 30 años tendré el triple de la edad que tuve hace 20 años. ¿Cuántos años tengo? 40 45
C. D.
La edad de Eduardo es a la de Carlos como 1 a 5. Si hace 5 años era de 1 a 7, ¿cómo será dentro de cinco años?
otro tiPo de ProBlemas A. Hay que tener presente:
50 55
B.
2 3 1 2
1
C.
4 3 4
D.
Año de nacimiento + Edad = Año de la edad 3. Ejemplo: En 1980, una persona observó que su edad era igual a las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿En qué año nació la persona?
TRILCE Católica
La edad de un hijo es los 2/5 de la de su padre, y hace ocho años la edad del hijo era los 2/7 de la edad del padre. Hallar las edades actuales. A. B.
30 y 75 18 y 45
C. D.
28 y 70 20 y 50
69
Ciclo Católica 4.
5.
La edad de "A" es el triple de la de "B" y hace 4 años la suma de ambas edades era igual a la que tendrá "B" dentro de 16 años. Hallar la edad de "A".
Rocío se resta el cuadrado de la edad de Robinson, la diferencia es cuatro años menos que los 17/5 de la edad de Andrés, hallar la edad de Rocío.
A. B.
A. B.
21 años 33
C. D.
24 8
Él tiene la edad que ella tenía, cuando él tenía la tercera parte de la edad que ella tiene. Si ella tiene 18 años más de lo que él tiene, ¿cuántos años tiene ella? A. B.
32 48
C. D.
54 35
6. Tengo 23 años menos que mi padre pero 22 años más que mi hijo. Si las tres edades suman 100 años, ¿qué edad tiene mi padre? A. B. 7.
C. D.
50 60
5 años 10
C. D.
15 3
64 años 32
C. D.
16 8
La edad de Pedro es los 3/5 de la edad de Juan. Si hace 10 años era solo la mitad, ¿cuál será la suma de las edades de Juan y Pedro dentro de cinco años? A. B.
11.
30 años 40
Rosa tiene 60 años. Su edad es el triple de la edad que tenía Elena cuando Rosa tenía la cuarta parte de la edad que tiene Elena. ¿Cuál es la edad actual de Elena? A. B.
10.
56 64
¿Dentro de cuántos años tendrás la edad que yo tendré cuando tú tengas 20 años, si ahora tengo 20 años y tú 15 años? A. B.
9.
C. D.
María le dice a Estrella: "Yo tengo el cuádruplo de la edad que tú tenías, cuando yo tenía 17 años." Si Estrella tiene hoy 33 años, ¿qué edad tiene María? A. B.
8.
45 años 54
60 70
C. D.
80 90
Hace siete años mi edad era el doble de la que tú tenías, pero dentro de 13 años la relación será de 5 a 3. ¿Qué edad tuve yo cuando tu naciste? A. B.
20 años 40
C. D.
35 45
12. Dos personas tienen actualmente 28 y 21 años por lo tanto sus edades están en la relación de 4/3. El número de años que deben transcurrir para que la relación de sus edades sea 9/8 es: A. B.
35 37
C. D.
40 41
13. Andrés tiene un año menos que Robinson y Robinson un año menos que Rocío. Si del cuadrado de la edad de
70
4 7
C. D.
9 13
14. Si a la edad de Carlos se le duplica resulta menor que 84. Si a la mitad de dicha edad se le resta 7 resulta mayor que 12. Hallar la suma de las cifras de la edad de Carlos, si dicha suma es mayor que 5. A. B.
6 12
C. D.
39 42
15. La razón entre las edades de Luis y Diego es de "m" a 1 (m > 1). Si "E" es la menor edad, ¿dentro de cuántos años la relación será de "n" a 1? A.
E(n + m) m+1
C.
B.
E(n + m) m–1
D.
E(n – m) 1–n E–m n–1
16. La edad de un padre es tres veces la edad de su hijo, hace seis años la edad del padre fue cinco veces la edad del hijo. ¿Qué tiempo tiene que transcurrir para que la edad del padre sea dos veces la edad del hijo? A. B.
6 años 8
C. D.
10 12
17. La edad que tendrá Sonia dentro de un cierto número de años y la edad que tenía Sonia hace ese mismo número de años suman 34. ¿Dentro de cuántos años tendrá el doble de la edad que tenía hace dos años? A. B.
10 6
C. D.
7 13
18. En cierto año, Rosa se preguntaba y meditaba sobre su edad: “Si el año en que cumplí los 16 años le suman el año en que cumplí los 20 años y si a este resultado le restan la suma del año en que nací con el año actual obtendría 10 años”. Hallar la edad que en aquel momento tenía Rosa. A. B.
16 años 21
C. D.
26 29
19. La edad de un hombre es “m” veces la edad “b” de su hijo. ¿Hace cuántos años la edad del padre fue “3m” veces la de su hijo? A.
mb 3m – 1
C.
B.
2mb 3m – 1
D.
mb 3m + 1 3mb m+1
20. Mario le dice a José yo tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 126 años. ¿Cuál es la edad de Mario? A. B.
63 28
C. D.
70 42
Trilce Católica
Álgebra 21. Faltan para las 3 p.m. la mitad del tiempo transcurrido. ¿Qué hora es? A. B.
9 a.m. 10 a.m.
C. D.
8 a.m. 10 p.m.
22. El tiempo que estudio diariamente es la mitad del tiempo que duermo. El tiempo que veo televisión es la mitad del tiempo que estudio o duermo. Si el resto del día es 10,5 horas, ¿qué tiempo estudio? A. B.
3h 3,5
C. D.
2,5 4
23. Si la tercera parte del tiempo que ha pasado desde las 10 a.m. es la mitad del tiempo que falta para las 7 p.m. del mismo día, ¿qué hora es? A. B.
(1 h 24 min) p.m. (2 h 24 min) p.m.
C. D.
(3 h 24 min) p.m. (5 h 24 min) p.m.
24. Si no se trata de un año bisiesto, ¿qué día del año el número de días transcurridos excede en dos a los 3/8 del número de días que faltan para terminar el año? A. B.
10 de abril 11 de abril
C. D.
12 de abril 13 de abril
25. El producto de las horas transcurridas y las que faltan por transcurrir en el día es 140. Si se sabe que ya es más del mediodía, ¿cuánto falta para las 11 p.m.? A. B.
7 horas 8
C. D.
9 12
26. Preguntándole a Scarlet por la fecha, esta respondió: el mes es octubre y quedan del mes 215 horas menos que las transcurridas, ¿a qué hora se le hizo la pregunta? A. B.
10:00 p.m. Imposible
C. D.
11:00 p.m. 11:30 p.m.
27. Newton nació en el siglo XVII y murió en el XVIII. Se pregunta el año de su nacimiento y el de su muerte, sabiendo que el número formado por las dos últimas cifras de la época de su nacimiento, aumentado en 12, es el doble del número formado por las dos últimas cifras de la época de su muerte, y este último número de dos cifras, aumentado en una unidad, es los 2/3 del primero. A. B.
1638; 1725 1647; 1734
C. D.
1628; 1715 1642; 1727
28. En un día faltan tantas horas como minutos han transcurrido de la hora en que estamos, además el número de minutos que faltan para la hora siguiente son el cuádruple del número de horas que faltan. ¿Qué hora es? A. B.
10:12 10:15
C. D.
11:10 11:12
29. ¿Qué día del año marcará la hoja de un almanaque cuando el número de hojas arrancadas exceda en ocho a los 4/47 del número de hojas que quedan? A. B.
5 de febrero 6 de febrero
Trilce Católica
C. D.
7 de febrero 4 de febrero
30. En el mes de noviembre, cumplió años Cecilia; si el triple del día en que nació ella es menor que el día en que nació Alfredo, y además el día en que nació Cecilia supera al mes en que nació Alfredo. Si Alfredo nació después del mes de mayo y un día que tiene la particularidad de tener sus cifras iguales, ¿en qué fechas cumplieron años Cecilia y Alfredo? A. B. C. D.
7 de noviembre 7 de noviembre 6 de junio 6 de noviembre
– 11 de – 22 de – 11 de – 22 de
junio junio noviembre junio
31. Un hombre demora ocho horas en recorrer los 2/3 de su recorrido a 30 km/h. Halla cuánto demora en recorrer 3/5 de su recorrido a 12 km/h. A. B.
16 h 15
C. D.
18 20
32. Dos depósitos contienen 2587 y 1850 litros de agua y con una bomba se traslada del primero al segundo cuatro litros por segundo. ¿Después de cuánto tiempo uno contendrá el doble de litros que el otro? A. B.
4 min 37 s 3 min 21 s
C. D.
4 min 38 s 5 min 24 s
33. Dos móviles parten simultáneamente de un mismo punto con velocidades de 30 y 50 km/h, uno llega a las 9:40 a.m. y el otro llega 9:20 a.m. Hallar la hora de partida. A. B.
8:05 a.m. 8:15 a.m.
C. D.
8:50 a.m. 8:35 a.m.
34. La distancia del Sol a la Tierra es aproximadamente 150 millones de kilómetros. ¿qué tiempo tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra, si la rapidez de la luz es de 300 000 km por segundo? A. B.
6'20" 7'20"
C. D.
8'20" 9'20"
35. La velocidad de un auto es 10 km/h mayor que la de una moto. ¿Cuál es la velocidad de la moto, si en igual tiempo el auto recorre 200 000 metros y la moto 160 000 metros? A. B.
4 km/h 40
C. D.
30 180
36. José y Manuel se proponen viajar a una ciudad que se encuentra a 126 km de Lima. José viaja 14 km cada día y Manuel el primer día 2 km, el segundo día el doble del día anterior y así sucesivamente. ¿Quién llegará primero y en cuántos días? A. B.
José, en 6 días Manuel, en 9 días
C. D.
José, en 9 días Manuel, en 6 días
37. Un remero navega hacia un lugar que dista 48 km del punto de partida y regresa en 14 horas. Él observa que puede remar 4 km, siguiendo la corriente en el mismo tiempo que 3 km en contra de la corriente. Hallar la velocidad del remero. A. B.
1 3,5
C. D.
4 7
71
Ciclo Católica 38. Un camino se puede recorrer en cinco horas con cierta velocidad en kilómetros por hora. El mismo camino se puede hacer en una hora menos, aumentando en un kilómetro por hora la velocidad. Determinar la distancia del camino. A. B.
16 km 18
C. D.
20 25
39. Dos corredores Pedro y Juan parten simultáneamente en viaje de una ciudad a otra distantes de 60 km. La velocidad de Pedro es 4 km/h menor que la de Juan; después de llegar Juan a la segunda ciudad emprende inmediatamente el viaje de regreso y se encuentra con Pedro después de recorrer 12 km. ¿Cuál es la velocidad de Pedro? A. B.
6 km/h 8
C. D.
10 12
40. Un excursionista parte en su auto a las 8 a.m. hacia un lugar distante 504 km. Tres horas después hace una parada en la cual se percata que la fracción transcurrida del día, es idéntica a la fracción de camino que aún le falta recorrer. ¿Qué velocidad tiene? A. B.
67 91
C. D.
1. ¿Dentro de cuántos años tendrás la edad que yo tendré cuando tú tengas 20 años, si ahora tengo 20 años y tú 15 años?
2.
4.
8 10
15 años 16
C. D.
17 18
La señora Viviana tuvo a los 17 años dos hijos mellizos. Hoy las edades de los tres suman 53 años. ¿Qué edad tendrán los mellizos dentro de cinco años? A. 12 C. 15 B. 17 D. 18 Juana tuvo su primer hijo a los 20 años y ocho años después tuvo a su segundo hijo. Si en 1992, las edades de los tres suman 42 años, ¿en qué año nació Ana? A. B.
5.
C. D.
María tiene 24 años, su edad es el doble de lo que tenía Flor cuando María tenía la edad que ahora tiene Flor. ¿Qué edad tiene Flor? A. B.
3.
4 5
1980 1969
C. D.
1968 1962
La suma de las edades de un hijo con la de su padre es 50 años, dentro de cinco años sus edades estarán en la relación de 1 a 2. ¿En qué relación están actualmente? A. B.
72
1a2 5a3
C. D.
3a7 2a5
El cuadrado de la edad de Juan menos tres es mayor que 165. En cambio el doble de su edad más tres da un número menor que 30. ¿Cuántos años tiene Juan? A. B.
7.
11 12
C. D.
13 14
Dentro de ocho años, la edad de Pedro será la que Juan tiene. Dentro de 15 años Pedro tendrá 4/5 de la edad que entonces tendrá Juan. ¿Cuál era la suma de las edades de Pedro y Juan, cuando Juan tenía el doble de la edad de Pedro? A. B.
17 25
C. D.
9 24
8. La edad en años de una tortuga es mayor en 20 que el cuadrado de un número "N"; y menor en cinco que el cuadrado del número siguiente a "N". ¿Cuántos años tiene la tortuga? A. B. 9.
100 120
Tarea domiciliaria
A. B.
6.
276 245
C. D.
120 164
La edad de María es el triple de la de Rosa más 15 años y ambos suman 59 años. Dar como respuesta la suma de las cifras de la edad de Rosa. A. B.
1 2
C. D.
12 15
10. Luis nació 14 años antes que Rosa. Hace “4m” años sus edades estaban en la relación de 10 a 3 y hace “4n” años estaban en la relación de 12 a 5; dentro de “6m” años sus edades serán como 20 es a 13 y dentro de “10n” años serán como 19 es a 12. ¿Cuánto suman sus edades actualmente? A. B. 11.
42 años 32
C. D.
36 38
Dos ciclistas salen simultáneamente de un cierto punto hacia un lugar distante 90 km. El primero recorre 1 km más que el segundo por hora, llega una hora antes. ¿Qué velocidad lleva al segundo? A. B.
7 km/h 8
C. D.
9 10
12. Si a la mitad de los días transcurridos del año se le agrega la tercera parte de los que faltan para acabar el año se obtiene el número de días transcurridos. ¿Qué fecha es si no se trata de un año bisiesto? A. B.
26 de mayo 27 de mayo
C. D.
26 de junio 27 de junio
13. Dos ciclistas salen de una ciudad al mismo tiempo, en la misma dirección y sentido. El primero con una velocidad de 27 km/h y el segundo con 18 km/h. Después de 5 horas de recorrido el primero se pone a descansar y se queda dormido durante cinco horas. Al despertar reinicia su carrera con la misma velocidad y alcanza al segundo a una distancia del punto de partida igual a: A. B.
250 km 225
C. D.
360 270
Trilce Católica
Álgebra 14. Un móvil cubre una distancia de “x” km en “t” horas, llegando retrasado en dos horas ¿Cuál sería la velocidad (en km/h) que permitiría el móvil llegar a su hora? A.
x
C.
t B.
x t–2
D.
x t+2 xt t +2
15. Si al año que cumplí los 12 años le sumas el año cuando cumplí los 20 años y a dicha suma le restas la suma del año en que nací y el año actual obtendremos seis. ¿Qué edad tengo? A. B.
15 12
C. D.
20 26
16. Jaimito ha recorrido los 3/5 del camino que une a "A" con "B". Si aún le falta recorrer “n” km y lleva caminando siete horas, ¿cuál es la velocidad de Jaimito en km/h? A. B.
6n 7 3n 7
2n 7 3n 14
C. D.
18. Una liebre que va a una rapidez de 5 m/s persigue a un ciclista cuya rapidez es de 3 m/s y lo alcanza después que el ciclista. Ha recorrido un tramo que excede en 10 metros a la distancia que los separaba inicialmente. ¿Qué distancia recorrió la liebre? A. B.
30 m 50
C. D.
20 40
19. Las edades actuales de "A"; "B" y "C" son entre sí como a los números 6; 8 y 11, respectivamente. Si hace seis años la edad de "A" era la mitad de la edad que tendrá "B" dentro de cuatro años, entonces "C" es mayor que "B" en: A. B.
16 años 5
C. D.
12 10
20. Se ha recorrido una distancia de 400 km en auto y a caballo; primero en auto a razón de 45 km/h; luego a caballo a razón de 8 km/h habiendo empleado en total 13 horas. ¿Qué distancia se recorrió en auto y qué distancia a caballo? A. B.
320; 80 km 280; 120
C. D.
340; 60 360; 40
17. A un matemático le preguntan la hora y este contesta: “Los 2/3 de lo que falta para terminar el día, es igual al tiempo transcurrido de esta”. ¿Qué hora es? A. B.
9 h 36 min 8 h 18 min
Trilce Católica
C. D.
8 h 36 min 7 h 42 min
73
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 14 Quinto Católica
DESiGUaLDaDES E iNEcUaciONES DESiGUaLDaD
x –
Es la comparación que se establece entre dos números reales, mediante los símbolos de desigualdad:
OPEraciONES cON iNTErVaLOS
iNTErVaLO
Sean “A” y “B” intervalos, se definen y se denotan: A B = {x lR / x A x B} A B = {x lR / x A x B} A – B = {x lR / x A x B} CA = AC = A´ = {x lR / x A} A' = Complemento de “A” respecto a lR A' = lR – A
Es un conjunto de infinitos elementos que representa a todos los números reales comprendido entre dos extremos.
cLaSES DE iNTErVaLOS intervalo acotado:
TEOrEmaS DE LaS DESiGUaLDaDES
Si los extremos son números reales (finitos) que a su vez serán: a.
Sean “a”, “b”, “c”, “d” números reales, luego:
intervalo abierto. Es un intervalo en el cual no se considera a sus extremos. Ejemplo:
–3
7
+
Luego: x – 3; 7 ó – 3 < x < 7 B.
intervalo cerrado. Es un intervalo acotado en el cual se consideran a los extremos. Ejemplo:
–
– 10
3
+
Luego: x [ – 10; 3] ó – 10 x 3 c.
1.
a bc
5.
a–b
6.
a lR: a2 ≥ 0
7.
Suma:
x –
a < b (+) c 0) (a < 0 b < 0)
10. ab < 0 (a > 0 b < 0) (a < 0 b > 0)
x –3
4 1
9.
–
+
Luego: x – ; 10 ó x < 10
: “mayor o igual que” : “menor o igual que”
>: “mayor que” 0 > 0 a
75
Ciclo Católica 1 12. b < 0 < 0 b
Son verdaderas: A. B.
13. Si “a” y “b” tienen el mismo signo, entonces: a
1 ,
es decir:
6.
a b 1 1 00 a b 1 1 a a b
Solo I Solo II
a 0 (a + b)2 2ab 11.
2 1
4.
Solo I Solo II
C. D.
II. III.
1 1 x y Si: x < 0 x2 > x3 Si: x lR– x > x – 1
A. B.
VVV FVV
I.
12x – 8 2x – 3 6x – 8 8x – 4 + > + 3 4 3 6
Solo III Todas
Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
0 –1
¿Cuál es el menor número par que verifica?
Son verdaderas: A. B.
C. D.
A. B.
2 4
C. D.
6 8
12. Resolver: 2x + 4 ≤ 3x + 6 ≤ 5x – 10
Si: x < y
A. B.
[– 2; [ [– 8; [
[8; [
C. D.
5.
Para los números reales: I. II. III.
76
Si: x < y x + z < y + z Si: x < 0 – x > 0 x+y x>0y>0 2x – 5 ................. 4
(I) (II)
A. B.
es: A. B.
– 21 – 36
C. D.
– 18 – 30
16. Dados los conjuntos:
B.
C.
lR
D.
3 4 – ; 8 27 1 ; + 24
17. Hallar un número de dos cifras, si se sabe que la suma de ellas es mayor que 9 y que la diferencia entre la cifra de las decenas y el duplo de la que ocupa el lugar de las unidades es mayor que 6. A. B.
19 91
C. D.
C. D.
147 141
12 24
C. D.
25 26
24. Se desea saber el menor número de postulantes que rinden un examen conociendo que su doble disminuido en 23 no llega a 95 y que al retirarse 13 quedaron más de las tres cuartas partes del número inicial, siendo estos últimos los que ingresaron. Indicar la suma de cifras del número.
Hallar: M – N
145 157
23. Si al doble de la edad de cierta persona se resta 17 años resulta menor que 35; pero si a la mitad de la edad se suma 3 el resultado es mayor que 15. ¿Cuál es dicha edad? A. B.
1 1 M = {x lR / – x + – 3x + } 4 x 1 3 N = {x lR / + 2x x – } 3 2
A.
22. Un carpintero hizo un cierto número de mesas. Vende 70 y le quedan por vender más de la mitad. Hace después 6 mesas y vende 36, quedándose menos de 42 mesas por vender. ¿Cuántas mesas hizo?
81 41
A. B.
7 11
C. D.
25. Si: x ]2; 8[ A. B.
7 x–1
10 8
]m; n[, hallar “m.n”
1 2
C. D.
7 14
26. Dada la expresión: K = a2 + 5 ¿Entre qué valores varía “K” si: a – 3; 8]?
18. Un comerciante vendió en un año la tercera parte del total de artículos que tenía; al año siguiente vendió la quinta parte de los que inicialmente tenía y cinco más, y al año siguiente, vendió la cuarta parte de los que tenía inicialmente y tres más. En el primer año vendió menos artículos que en el segundo año y más que el tercero. ¿Cuántos artículos tenía? A. B.
51 37
C. D.
29 33
19. El perímetro de un rectángulo es 90 m y su área es superior a 504 m2. Si sus lados son números enteros, ¿en cuánto excede el largo al ancho? A. B.
3m 4
C. D.
1 2
20. Tres individuos cuentan el número de piezas que por minuto fabrica una máquina. El primero contó la mitad menos tres, el segundo contó la sexta parte y 12 piezas y el tercero contó la cuarta parte y 10 piezas. Si el primero contó más piezas que el segundo pero menos que el tercero, ¿qué número de ellos arroja la máquina? A. B.
46 48
C. D.
50 52
21. Se tiene cierta cantidad de vasos cuyo costo total fue de 9200. Si se vendiera cada uno a 400, se produciría cierta pérdida, pero si se vendiera a 420 cada uno, se produciría cierta ganancia. ¿Cuánto se ganaría, si se
A. B.
Trilce Católica
C. D.
1800 1200
[5; 69] [0; 64[ 8
A. B.
2 [ ; 16 3 2 ; 16] 3
C. D.
x–2
5 ; 16] 3 4 ; 16] 3
28. Hallar la suma de los enteros que adopta: N=
A. B.
3x – 5 x–2
; si: x – 2; 1]
4 2
C. D.
0 1
29. Si: (2x – 1) [ – 5; 7, entonces, ¿a qué intervalo pertenece “x”? A. B.
x [– 2; 4] x – 2; 4]
C. D.
x [– 2; 4 x [– 4; 2
30. Si: x ]2; 4[, ¿a qué intervalo pertenece: A.
B. 1000 800
C. D.
27. Si: (x + 1) [5; 9 , hallar el intervalo para: N =
vendiera a 500 cada uno? A. B.
[0; 64] [0; 69]
1 1 11 7 1 1 5 3
C. D.
1
?
2x + 3
1 1 – 2 6 1 3 12 4
77
Ciclo Católica 31. Si:
A. B.
1 2x + 8
1 1 entonces: x [m; n]; halle: mn 12 6
–8 –2
C. D.
2.
– 15 –6
32. La tercera parte de cierto número entero disminuido en 3 es mayor que 25; pero la cuarta parte del mismo número disminuida en 2 es menor que 24. Dar como respuesta el producto de cifras del número si este número es múltiplo de 12.
Sabiendo que: x [2; 5], determinar el intervalo en que x –1 se encuentra: y = x+3 A. B.
3.
8 40
C. D.
54 45
II. III.
33. Si a un número de dos cifras se le resta el que resulta de invertir sus cifras se obtiene otro mayor que 71. Si la suma de cifras es mayor que 9, ¿cuántos divisores positivos admite dicho número? A. B.
1 2
C. D.
A. B.
5280 5300
C. D.
5250 5260
35. Un padre dispone de S/. 320 para ir a un evento deportivo con sus hijos. Si toma entradas de S/. 50 le falta dinero y si las toma de S/. 40 le sobra dinero. ¿Cuántos hijos tiene el padre? A. B.
5 7
C. D.
A. B.
69 70
C. D.
A. B. 4.
5.
6.
Tarea domiciliaria 1.
Si: x
A. B.
78
20 16
– 16 – 20
C. D.
Si se sabe: – 2 < a ≤ 1; indicar el valor que no puede 2a + 4 tomar: 2a – 3 –5 1 B. – 4
7.
x2 – 6x = – 55 x2 + 6x = – 55
C. D.
C.
–7
D.
–4
Si: – 1 < x ≤ 4; hallar el mínimo valor de: x2 – 4x + 2 A. B.
2 –2
C. D.
3 –3
Si: – 3 ≤ x < 5; determinar el mayor valor de: x2 – 4x + 7 A. B.
26 12
C. D.
28 36
Si: 0 < x < 5; ¿qué valor no puede adoptar: (x – 5)(x – 1) + 2? A. B.
6 3
–2 –3
C. D.
10. Si: 2 ≤ a ≤ 10 – 1 ≤ b ≤ 3; hallar el mínimo valor de:
1 1 3 , ¿a qué intervalo pertenece: ? 8 5 1 – 2x
[5; 8] [1; 3]
x2 – 6x = 55 x2 + 6x = 55
A.
71 72
0; 3 0; 2
2 3
Si se cumple: – 3 ≤ a < 6; hallar el máximo valor entero de: – 4a + 8 A. B.
9. C. D.
C. D.
Si: – 3 < x < 2; entonces: a ≤ x2 – 2x – 4 < b
A. B.
8.
– 2; 3 – 1; 3
Ninguna 1
hallar la ecuación de segundo grado que tenga raíces “a” y “b”.
37. Los lados de un rectángulo se diferencian en tres unidades, indicar el intervalo de valores para el menor de los lados de modo que el área sea numéricamente menor que el perímetro. A. B.
1 1 < b a b(b – a) > 0 b3 – b2 < 0 a
¿cuántas se cumplen?
6 4
36. A un estudiante le dieron a vender una cierta cantidad de pollitos de los que vendió 35 y le quedaron más de la mitad, luego le devuelven 3 y vende después 18 con lo que le restan menos de 22 politos. ¿Cuántos pollitos le dieron?
D.
a2 < b2
I.
3 4
34. Una persona dispone de cierta cantidad para premiar a sus sobrinos. Pensó darles 500 pesos a cada uno, pero le faltaban más de 200 pesos. Después pensó darles 450 pesos a cada uno y le sobraban más de 300 pesos. Por último decide darles 400 pesos a cada uno y le sobraban menos de 875 pesos. Hallar el número de pesos que tenía sabiendo que es múltiplo de 20.
11 52 11 53
C.
Si: a IR+ y – b IR+ entonces: I.
A. B.
11 65 1 1 75
C. D.
[1; 5] [4; 5]
1 A. B.
11 2 11
a+b a–b
1 C. D.
13 2 13
Trilce Católica
Álgebra 11.
Resolver:
3x – 4
+
5x – 6
2
7x – 8
16. Si: a > 0 b > 0 a > b resolver:
–2
4
–1 2
A. B. –3 0
C. D.
Indicando el menor valor entero de “x” 1 8
C. D.
13. Resolver: (x + 2)(x + 4) +
2
7 9
(x + 3)2 +
x A. B.
x IR x IR+
14. Si al resolver:
3x + 4 2
–
x
8+
A. B. 2 x
x x IR – {0}
C. D.
2x + 1
5
81 100
C. D.
64 121
15. ¿Cuántos números enteros permiten que en la fracción 4x + 6 ( ), el numerador sea menor que el denominador, 6x + 4 si además: x [1; 9[? A. B.
7 1
Trilce Católica
C. D.
a
b
x+
a
a b
x≥1 x≤–1
121 131
C. D.
144 172
18. Hallar un número entero positivo que sumando con 11, resulte mayor que el triple de él, disminuido en siete, y que sumado con cinco, resulte menor que el doble de él, disminuido en dos. A. B.
6 7
C. D.
8 9
3
se obtiene: [n + 1; + [; calcular: n2 A. B.
x≤1 x≥0
b
17. El número de discos contenidos en una caja es tal, que su duplo disminuido en 86, es mayor que 200. De la caja se sacan 17 discos y quedan menos que la diferencia entre 200 y la mitad de los discos que había inicialmente, ¿cuántos discos eran?
12. Resolver: 2(x – 3) + 3(x – 2) > 4(x – 1)
A. B.
x+
b
indicando un valor que la verifica. A. B.
a
C. D.
3 4
19. Resolver el sistema: x + 2 3(x – 6) ............... (1) 3x – 2 < 2(1 – x) + 66..... (2) A.
x [10; 14[
C.
B.
x [– 10; 14[
D.
x ]– 14; 10] 5 x – 1 8
20. Resolver: 2x + 1 ≤ 3x + 2 ≤ – 5x – 3 A.
x [ – 1; 0]
C.
B.
5 x –1; – 8
D.
x [ – 1; 1] 5 x – ; 1 8
79
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 15
iNEcUaciONES DE SEGUNDO GraDO Presenta la siguiente forma general: P(x) = ax2 + bx + c
B.
Quinto Católica
Ubicándolos en la recta numérica: Zonas
0
x incógnita a; b; c coeficientes
–
+ –
–3
+ +
5
resolución:
C. 1.
Se verificará que “a” sea mayor que cero. Si: a < 0 entonces se cambia el signo a todos los términos de la desigualdad, multiplicando por “– 1” a ambos miembros,
x –; –3] [5; +
Ejemplo:
Luego como P(x) 0, el conjunto solución serán las zonas positivas
O
Resolver: – 2x2 + 7x – 3 > 0
Caso II: ∆ = 0 En este caso el trinomio es un cuadrado perfecto y tiene una raíz doble (un solo punto crítico). Dicho trinomio será siempre mayor o igual que cero, recordar que:
Multiplicando por – 1: (– 1) . (– 2x2 + 7x – 3) < 0 2x2 – 7x + 3 < 0 2.
Se calcula el discriminante para ver el tipo de raíces, se pueden presentar los siguientes casos: O
x2 0; x IR ejemplo:
Caso I: ∆ > 0
Resolver: x2 – 6x + 9 > 0
En este caso el trinomio siempre será factorizable en los reales, para su resolución se empleará el método de los puntos críticos.
resolución: A.
Punto crítico: x – 3 = 0 x = 3
Procedimiento: A.
Factorizando: (x – 3)2 > 0
Se descompone el trinomio en dos factores lineales, al igualar cada factor a cero se hallan los puntos críticos, si el trinomio no fuera factorizable en los racionales los puntos críticos se hallarán mediante la fórmula general de la ecuación de segundo grado.
B.
En la recta numérica:
–
+
+
+
3 B.
Se ubican los puntos críticos en la recta numérica dividiéndola en tres intervalos los cuales tendrán signos alternados a partir de la derecha empezando por (+).
C.
Luego, como: P(x) > 0, la solución será: x – ; + – {3} (Observar que: x = 3 no verifica)
C.
Luego se considera cualquiera de los casos mostrados:
P(x) > 0; ó P(x) 0, el conjunto solución serán las zonas positivas. O P(x) < 0; ó P(x) 0, el conjunto solución será la zona negativa. O
ejemplo: Resolver:
O
Caso III: ∆ < 0 En este caso el trinomio no es factorizable en los reales pues posee raíces imaginarias, este trinomio sería siempre positivo y su solución puede ser IR o según sea la forma de la inecuación:
Ejemplo: x2 – 2x – 15 0 1442443 P(x)
Resolver: 9x2 + 6x + 2 ≥ 0 resolución:
resolución: A.
∆ = 62 – 4(9)(2) = – 36 < 0
Factorizando: (x – 5)(x + 3) 0 O
Puntos críticos:
O
x–5=0x=5 x + 3 = 0 x = –3
Entonces el trinomio será siempre (+) Conjunto solución: x IR – ; +
TRILCE Católica
81
Ciclo Católica teorema del trinomio Positivo x= El trinomio: ax2 + bx + c será (+) para todo “x” IR siempre que: a > 0 < 0
x=
– b b2 – 4ac – (–1) = 2a 1
5
(–1)2 – 4(1)(–1) 2(1)
; puntos críticos
2
PrOBLEmaS rESUELTOS 1.
–
+
Resolver: (x – 5)(2x – 3) < 0 resolución: Igualando a cero cada factor:
C.S =
1–
5 +1 ; 2
x–5=0
2x – 3 = 0
3 x= 2
5. x=5
3 2
Resolver: x2 + 8x + 16 < 0 resolución: (x + 4)2 < 0 C.S =
De aquí:
5
Problemas para la clase
3 C.S. ] ; 5[ 2
nivel i 1.
Resolver: x2 – 16 0
2.
x2 – 16 > 0
Factorizando:
Resolver: x2 – 8x + 15 > 0 A. B.
resolución:
puntos críticos: x = – 4; x = 4
3.
–
+ –4
4 4.
C.S. = ]– ; – 4] [4; + [
resolución: Factorizando por diferencia de cuadrados:
5.
(x + 5 + 3)(x + 5 – 3) 0
6.
Puntos críticos: x = – 8; x = – 2 – –8
C. D.
]– 2; 4[ ]– 4; – 2[
[– 2; 5] [1; 5]
C. D.
[– 2; 4] [3; 5]
x ]– 2 ; x ]– 1 – x ]– 1 – x ]– 1 –
C. D.
[0; + [ IR
C. D.
IR IR – {3}
2[ 2;1– 2[ 2;1+ 2[ 2 ; –1 + 2 [
[2; + [ ]– ; 2]
Resolver: x2 – 6x + 9 0 A. B.
+
]– 4; 2[ ]2; 4[
Resolver: x2 + 4x + 4 0 A. B.
(x + 8)(x + 2) 0
]3; 5[ ]– ; 3[ ]5; + [
Resolver: x2 + 2x – 1 < 0 A. B. C. D.
Resolver: (x + 5)2 – 32 0
C. D.
Resolver: (x – 1)(x – 2) 12 A. B.
+
]– ; 5[ ]5; + [
Resolver: x2 – 2x – 8 < 0 A. B.
(x + 4)(x – 4) > 0
3.
5
+
Luego:
2.
1+ 5 2
2
Factorizando tenemos:
–
+
+
1– 5 2
[3; + [ ]– ; 3]
+ –2
7.
Resolver: (5 – x) (x + 2) 6. Indicar la suma de enteros que verifica.
C.S = [– 8; – 2] 4.
A. B.
Resolver: x2 – x – 1 ≤ 0 resolución: Utilizamos la fórmula general para hallar las raíces de: x2 – x – 1
82
8.
2 4
C. D.
6 10
C. D.
x IR x {6}
Resolver: x(x – 12) – 36 A. B.
x [6; + [ x ]– ; 6[
Trilce Católica
Álgebra 9.
Resolver: A. B.
x2 ≤
20. La inecuación cuadrática: + ax + b > 0; {a; b} ZZ, tiene como conjunto solución: IR – [1 – 5 ; 1 + 5 ]. 2 3 Hallar: a – b
9. Indicar el intervalo solución.
[0; 3] [– ; 3]
C. D.
x2
[– 3; + [ [– 3; 3]
A. B.
10. Resolver: x3 – 1 < (x – 1)3 A. B.
x ]0; 1[ x ]– ; 1]
C. D.
x [– 1; 0] x [– 1; + [
A. B.
]– ; +[ ]0; + [
C. D.
IR – {5}
]– ; + [ ]0; + [
C. D.
{4}
13. Hallar el menor número entero “n” tal que x cumpla que: x2 + 2x + n 0 A. B.
1 –1
C. D.
A. B.
IR se
A. B.
–4 3
A. B.
C. D.
x x – ; +
C. D.
3 –4
A.
16. Resolver: x(x – 5) + A. B.
x–3
x ]2; 4[ x IR
C. D.
I. 4x2 – 4x + 1 > 0 II. (7x – 1) ≤ 0 III. 2x2 ≥ x IV. (x – 1)2 ≥ 0 V. x2 – 2x + 1 < 0 A. B.
x ]2; 4[ – {3} x IR – {3}
x IR – {2–1} x x IR x IR x
1 2
C. D.
3 4
2 –4
19. Resolver: x2 +
C. D. 3
C. D.
]1; 7[ [1; 7[
1;
1
C.
1;
– 1; 1
D.
–
3 2 3
;–1
2
A. B.
1 2
C. D.
3 –3
26. ¿Cuál es el valor apropiado para “a” de tal manera que el siguiente sistema: 2x2 + 3x – 9 < 0 2x2 – 3x – 5 0 x>a admita solución única en Z + ?
18. Si: [ ], es el conjunto solución de: x2 + 4x + 1 0. Hallar: P = ( + 1) ( + 1) A. B.
]0; 4[ ]– 1; 3[
25. Hallar todos los valores de “a” para que la inecuación x2 + (x + a)2 + 2x 1; tenga solución única. Indicar el producto de valores.
x– 3
17. De los siguientes enunciados, ¿cuántos son falsos?
]– 7; – 1[ [– 7; 1]
B.
700 0 – 2x2 + 5x > 3
15. Resolver: x(x + 4)(x + 6) + 16 ≤ (x + 1)(x + 2)(x + 6) A. B.
]– –1] [1; + [ ]– ; 1]
24. Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:
8x + 1 2m; x IR
–1 1
C. D.
23. Resolver: 5 < x2 – 8x + 25 < 18
14. El mayor número entero “m” que satisface la desigualdad: 2x2 –
]– – 1] [– 1; 1]
22. En un rectángulo el largo excede al ancho en tres unidades. Indicar a qué intervalo pertenece el menor de los lados, si el área de dicho rectángulo es numéricamente menor que su perímetro.
12. Resolver: x2 – 8x + 19 0 A. B.
68 60
21. Resolver: (ax – b)2 (bx – a)2. Siendo: 0 < a < b
Resolver: x2 + 10x + 27 0 A. B.
C. D.
nivel iii
nivel ii 11.
4 64
–2 8
x 0} B = {x IR / x2 + 2x – 35 < 0} hallar “A B” e indicar el número de elementos enteros que verifica. A. B.
6 7
C. D.
8 9
18. Al resolver: (x – 6)(x + 3)(x + 5) > (x + 3)(x + 4)(x – 6) el conjunto no solución obtenido es: A. B.
IR – [– 3; 6] ]3; 6[
Trilce Católica
C. D.
]– 3; 6[ ]– 3; + ∞[
2 x–7
–
4x – 3 x–7
0
TRILCE Católica
b
x
b –a
a 0; las raíces son reales diferentes. Si: = 0; las raíces son reales iguales. Si: < 0; las raíces son complejas conjugadas.
En resumen: función
características
CUADRÁTICA
V: Vértice de la parábola (h; k)
F(x)= ax2 + bx + c
h=–
gráfica x1 x2 son raíces de: F(x) = 0
b
y
2a
(a 0)
k=–
4a
Donde: = b2 – 4ac
k
V(h; k)
a0
h
RAN(F) = [k; + k: Mínimo valor de la función
casos de la función cuadrática
II.
x
k
V(h; k)
Si: = 0 a > 0 y
Sea: = b2 – 4ac I.
x2
x1
Si: > 0 a > 0 y x2
x1 Raíz
x1 x2
x Raíz
x Raíz
Solución única: x1 = x2 Si: = 0 a < 0 Si: > 0 a < 0
y Raíz
y
x1 x2
Raíz
Raíz x1
x2
x
Las raíces son reales y diferentes. (Dos puntos de corte en el eje ‘‘x’’)
94
Las raíces son reales e iguales (un punto de corte en el eje ‘‘x’’)
Trilce Católica
Álgebra III.
Si: ∆ < 0 a > 0
Ejemplo: y
F(x) = x – 3 G(x) = 7 – x para la intersección: F(x) = G(x) x–3=7–x 2x = 10 x=5
x
(abscisa de la intersección)
en: F(x) = x – 3 F(5) = 5 – 3
Si: < 0 a < 0 y
F(5) = 2 (ordenada de la intersección)
x
El punto de intersección de “F(x)” y “G(x)” es: (5; 2) ProBlemas resueltos 1. Las raíces son complejas conjugadas (ningún punto de corte en el eje ‘‘x’’)
Obtener la pendiente de una función lineal “F”, sabiendo que: F(1) = 3 F(2) = 2F(3) resolución
intersección de la gráfica de una función con los eJes de coordenadas
O
Si “F” es función lineal, entonces: F(x) = ax + b (donde: “a” es la pendiente)
De: y = f(x)
O
Datos: F(1) = 3 a(1) + b = 3 a + b = 3 .................
con el eje x: Se hace y = 0; para obtener las abscisas de los puntos de intersección.
F(2) = 2F(3)
a(2) + b = 2 [a(3) + b]
con el eje y: Se hace x = 0; para obtener la ordenada del punto de intersección.
b = – 4a ............. O
()
Reemplazando () en (): a + (– 4a) = 3
Ejemplo:
– 3a = 3
y = f(x) = x2 – 25 O
()
a=–1
Con el eje x: 2. y = 0 0 = x2 – 25 25 = x2
Encontrar el área de la región encerrada por los ejes de 10 – 2x coordenadas y F(x) = 5
x = – 5 x = 5 (abscisas de los puntos de intersección) resolución
Los puntos de intersección con el eje “x” son: (– 5; 0), (5; 0) O
2 Damos forma a: F(x) = – x + 2 5
Con el eje y: Graficamos:
x = 0 y = 02 – 25
y 2
y = – 25 (ordenada del punto de intersección)
Luego el área:
El punto de intersección con el eje “y” es: (0; – 25)
A= A
b.h (5)(2) A= 2 2
intersección de gráficas de funciones: 0
y F(x) G(x)
P
3.
5
x
A = 5 u2
En el gráfico: y
P (x , y ) 0 0
F(x) = –2x2 + 7x – b
x 0 Si: P F(x) P G(x) F(x) = G(x) en P(x0; y0)
Trilce Católica
(a; 0)
(3; 0)
x
Hallar “a . b”
95
Ciclo Católica resolución
5.
Como (a; 0) F(x) 0 = – 2a2 + 7a – b................... () Como (3; 0) F(x) 0 = – 2(3)2 + 7(3) – b .............. () Luego de (), se tiene: b = 3 a =
1
a=
a.b=
3
ab =
2
resolución
3
2
Cuando nació Ricardito, (mi robusto hijo), pesó 5 kg. Si en los 12 primeros meses su peso aumentó linealmente, ¿cuánto pesó al cumplir un año de edad, si en el cuarto mes pesó 13 kg?
2
9
peso (kg)
2
13
mODELaciÓN
En la recta: P(x) = mx + 5 Pero: m = tan
5 Se conoce como modelación al proceso de relacionar mediante una fórmula las variables independiente y dependiente a partir de una colección de datos. A continuación describiremos el proceso de modelación a partir de la obtención de la forma de la función lineal y cuadrática.
0
Identifica las variables: Lee y analiza la situación propuesta para identificar a la variable dependiente, a la independiente y a las cantidades constantes.
O
introduce una notación: Asigna una variable a la cantidad buscada.
O
ejecuta el plan: Resuelve el modelo matemático obtenido y analiza si la solución es real.
O
Verifica: Sustituye la solución obtenida, con los datos del problema. Se va a cercar un terreno rectangular con un alambre de longitud 8 m, sabiendo que uno de sus lados quedará limitado por un muro. ¿Cuál será la longitud del alambrado paralelo al muro, si se desea tener la mayor área posible?
y
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x –2 –3 –4 –5
1.
A. B. 2.
Longitud del alambre: 8 m 3.
4 –6
C. D.
10 –2
¿Cuántas intersecciones tiene la gráfica de “f” con los ejes coordenados? 4 3
C. D.
2 1
Indica cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s).
alambre
x 8–x 2
8–x 2 muro
8–x 2
1 Ordenando: A = – (x2 – 8x) 2
4. 1
Luego: Amáx = 8 m2 La longitud del alambrado (x) para tener la mayor área: longitud máxima de “x” es 4 m.
I. II.
f(6) + f(0) < 0 f( – 4) – f( – 3) = 0
III.
f(8) = f( – 8)
A. B.
VVV VVF
5.
C. D.
VFF FVF
C. D.
[– 8; + [ [– 6; 4[
C. D.
[– 6; 4[ [– 6; + [
Determinar el dominio de “f”. A. B.
(x – 4)2 + 8
2
96
Determina: f(– 2) + f(– 8).
A. B.
x: Longitud del alambrado paralelo al muro.
4 f
resolución
Completando cuadrados: A = –
P(x) = 2x + 5
En las preguntas del 1 al 9 utiliza la gráfica de la función “f”, dada en la figura:
relaciona datos: Emplea la información proporcionada para obtener ecuaciones que las relacionen, se sugiere realizar un esquema, dibujo o diagrama que te permita visualizar la información de la situación propuesta.
Área = A = x
meses
analiZando una gráfica
O
4.
4
Si: x = 12 meses (1 año) P(12) = 29 kg
Para ello sigue el siguiente proceso:
O
13 – 5 m = 2 4
m=
[– 8; 5] [– 6; 4]
Determinar el rango de “f”. A. B.
[– 6; 4] [– 8; + [
Trilce Católica
Álgebra 6.
¿Para qué números “x” se cumple que: f(x) > 0? A. B.
[3; + [ ]3; + [
C. D.
4.
Graficar: F(x) =
]– 6; – 1[ ]3; + [ [– 6; – 1] [3; + [
x2 +
4x + 6
y
y
A. 7.
A. B. 8.
[– 8; 0[ [– 8; – 6] [– 1; 3]
C. D.
x
]– 8; – 6[ ]– 1; 3[ [– 8; – 6[ ]– 1; 3[
{– 5; 2} {– 2; – 3; – 4; – 5}
C. D.
3 11
C. D.
B.
D. x
5.
x
Graficar: F(x) = 3x2 – 6x + 1 y
5 –4
y
A.
C. x
Problemas para la clase
x
y
nivel i 1.
y
{– 5; – 2} {– 6; 1; 3}
¿Cuál es la suma de las abscisas de los puntos de intersección de la gráfica de “f” con el eje “x”? A. B.
x
y
¿Para qué números “x” se cumple que “f(x)” es constante? A. B.
9.
C.
¿Para qué números “x” se cumple que: f(x) 0
sucede
y
70 80
f
27. En un triángulo de diez unidades de base y altura seis unidades, está inscrito un rectángulo (ver figura) expresar la superficie “S” de dicho rectángulo en términos de su base.
3
A. B.
x
6
[3; 6] ]– ; 3[ ]6; + [
C. D.
]– ; 3] [6; + [ ]– ; + [
6 3.
S 10 A. B.
0,4x(10 – x) 0,5x(10 – x)
Indica el dominio para la siguiente gráfica:
x
y C. D.
0,2x(10 – x) 0,6x(10 – x) 4
28. El gerente de una fábrica de muebles establece que cuesta $ 220 fabricar 100 sillas por día y $ 480 fabricar 300 sillas también por día. Asumiendo que la relación entre el costo (C) y el número de sillas (x) es lineal. Halle una función que relacione el costo de producción y el número de sillas fabricadas. A. B.
10 x + 45 13 13 C(x) = x + 90 10 C(x) =
C.
C(x) = 2x + 75
D.
C(x) = 13x + 85
2
A. B. 4.
29. Una compañía de teléfonos calcula los cargos por instalación de teléfono con la ecuación: C(x) = 15 + 0,7x, donde “C” es el cargo por instalación en dólares y “x” es el tiempo gastado en minutos al realizar la instalación. ¿Cuál es el cargo de instalación si el tiempo empleado fue de 65 minutos? A. B.
$ 71,4 83,2
C. D.
60,5 73,5
5 10
C. D.
6.
3
7
10
C. D.
y = 3x + 1 y=x+7
7 2 1
C.
5 2
D.
–
5 2
A. B.
F(x) = 2x – 1 F(x) = 3x – 7
C. D.
F(x) = 3x F(x) = – x + 7
Hallar el área encerrada por las gráficas de las siguientes funciones: F(x) = x; G(x) = – x; H(x) = 4; T(x) = – 4
f
1 x 2
Trilce Católica
2
4
Si los pares ordenados: (2; – 1); (3; 2) pertenecen a una función lineal, hallar dicha función.
A. B.
[2; 3] [4; 6] [2; 6]
1
–5
2
7.
A. B.
–2
y
Calcular la pendiente de la gráfica de la función lineal, dos de cuyos puntos tienen por coordenadas (2; 6) y (4; – 1)
B. –
En la gráfica siguiente, indica el dominio de “f”. y 3
]– ; 5] – {2; 4} ]– ; 5[– {2; 4}
x
y = 4x – 1 y=x+3
A. –
Tarea domiciliaria 1.
C. D.
Dado el siguiente diagrama, tabular:
A. B. 5.
15 20
]– ; 5] – {2} ]– ; 5] – {4}
x
la regla de correspondencia de la función lineal es:
30. De un cartón de forma rectangular de dimensiones: 30 × 50 cm2; se deben cortar cuadrados de manera que doblando la hoja a lo largo de las líneas punteadas, se obtenga una caja de superficie lateral máxima. Hallar el lado de los cuadrados cortados. A. B.
5
3
4
6
C. D.
[2; 3[ ]4; 6[ [2; 3[ [4; 6]
8.
16 u2 64
C. D.
32 8
Hallar el vértice de la gráfica correspondiente a la función cuadrática: y = – x2 + 4x + 1 A. B.
V(1; 2) V(2; 5)
C. D.
V(– 1; 2) V(1; – 2)
99
Ciclo Católica 9.
Grafique: f(x) = – 2x2 + 4x – 4 y
13. ¿Cuál es el máximo valor que puede tomar la siguiente función?
y
f(x) = – x2 + 10x – 21; x lR x A.
C.
x
1
–4
A. B.
4 –2 y
y
B.
A. B.
x
–2 –4
D.
C. D.
–4 –5
14. Hallar el área limitada por el eje de las ordenadas y las funciones: f(x) = x y g(x) = – 6
1 x
1
– 21 4
36 m2 12
C. D.
18 24
15. Si “h” es una función lineal de pendiente 3 e intersecto con el eje “y” 5, hallar la regla de correspondencia de la función ”g”(x), si: g(x) – x = h(1) + h(x + 1)
–2 10. Del gráfico:
A. B.
F(x) = – 2x2 + 7x – b
y
(a; 0)
(3; 0)
1 2
C.
B.
3
D.
3 2 3 – 2
A. B.
11. ¿Cuál es la gráfica correspondiente a la función cuadrática: f(x) = 2x2 – 32? y
C. D.
4(x + 4) 3x + 12
16. La empresa FOSFORERA PERUANA INTI sabe por experiencia que si se fija el precio de la docena de cajas de fósforos en: P(x) = (2 – x) nuevos soles, 0 ≤ x ≤ 2, se venderán “x” millones de docenas de cajas de fósforos por semana. Además, el costo total de producir “x” millones de docenas de cajas de fósforo por semana es C(x) = (1 – 0,5x) nuevos soles. Hallar el ingreso semanal total en millones de nuevos soles.
x
hallar “ab”. A.
4(x + 1) 4(x + 3)
x 2 x2 + 2x
x–
x2 +
C. D.
x2 2
x2
17. Si el área del triángulo, cuya región sombreada es 60 µ 2, indicar el valor de “k”; k > 0.
y y
A.
–4
4 x
C.
–4
y = –2x + k
4 x
– 16
– 32
y
y x
y = –5x + k B.
– 16
16 x
32
D.
–32
x
A. B.
10 15
C. D.
20 25
18. Se definen las funciones “f” y “g” en lR, tal que:
12. La gráfica de la función cuadrática:
f(x) = 2x + 3 g(x) = 3x + 2
f(x) = 2mx2 + (n – 1)x – 2m, es: y
Afirmamos: Q(–1; 5)
x
hallar “n” A. B.
100
4 6
I. II. III.
f(1) + g(1) = 5 f(0) – g(0) = 0 x lR, f(x) < g(x) IV. x lR, f(g(x)) < g(f(x)) ¿Cuáles son verdaderas?
C. D.
–4 12
A. B.
III y IV I y IV
C. D.
I y III IV
Trilce Católica
Álgebra 20. En la gráfica de: y = f(x), hallar: f(1) + f(2) + f(3)
19. En la gráfica de: y = f(x), hallar: f(3) + f(4) + f(5) y 5
y
4
4
3
3
2
2
1
1 1
A. B.
9 10
Trilce Católica
2
3
4
5 C. D.
6 11 12
7
x
1 A. B.
6 8
2
x
3 C. D.
7 9
101
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 18 Quinto Católica
fUNciONES iii Definición
función suryectiva, sobreyectiva o epiyectiva
Una función “F” se llama inyectiva, univalente o uno a uno; cuando cada elemento del rango es imagen de un solo elemento del dominio.
Dada la función “f”, donde: F = A → B, A lR B lR, se dice que “F” es suryectiva si el rango o imagen de “F” coincide con el conjunto de llegada, es decir:
Por ejemplo:
“F” es suryectiva RF = B
F1 = {(1; 2), (3; 5), (7; – 1), (5; 2)} No es inyectiva
función Biyectiva Dada la función “f”, donde: F = A → B, A lR B lR, se dice que “F” es biyectiva si y solo si “F” es inyectiva y suryectiva a la vez.
F2 = {(3; 5), (4; 7), (5; 6), (9; – 1)} Sí es inyectiva No es inyectiva
F3 = {(1; 4), (5; 6), (6; 3), (9; 6)}
Ahora bien, para que una función “f” tenga inversa, esta debe ser previamente una función inyectiva. Gráficamente, una función es inyectiva cuando toda recta horizontal (paralela al eje “x”) corta a la curva que representa a la función en un solo punto. Por ejemplo: y
EJErciciOS rESUELTOS 1.
Hallar el valor de “m + n”, sabiendo que la función es inyectiva. f = {(5; – 1), (– 3; 2), (2m – n; – 1), (n – m; 2)} A. B.
y
1 5
C. D.
2 –1
resolución: Como es inyectiva se cumple: f(x1) = f(x2) x1 = x2 x
x
Luego: O
y = f(x)
O
y = f(x)
Sí es inyectiva
No es inyectiva
(5; – 1) = (2m – n; – 1) 2m – n = 5 ... () (– 3; 2) = (n – m; 2) n – m = – 3 ... ()
Resolviendo el sistema:
y m + n = 2 + ( – 1) = 1 x
y = f(x)
2.
m=2 n=–1 Clave A
Si tenemos la función: f: ]– 3; – 1[ ]0; 8[ / f(x) = x2 – 1 podemos afirmar:
No es inyectiva Algunas funciones no son inyectivas en todo su dominio, pero sí lo son en algún tramo de ella; por ejemplo:
I. II. III.
Es sobreyectiva Es biyectiva Es univalente
A. B.
VFF VVV
C. D.
FVV VFV
y resolución y = x2
I. x
En – ; 0]: es inyectiva
O
Probemos si es sobreyectiva: En el dominio:
–3 0; y > 0
x+y 1
C. D.
4 xy
xy
C. D.
3 4
92x + 138x 69x + 46x
1 2
2 3
C. D.
24x2 – 7x – 12 5x
C. D.
1
Entonces queda:
5
A. B. C. D.
25
4 8
– 7x 5x – 12
1 – 4
–
4x3 + 58x2 + 108x + 100 – 4x3 – 58x2 – 108x + 100 4x3 – 58x2 – 108x – 100 – 4x3 – 58x2 – 108x – 100 a–2
C.
3 6
2
x–4 + y–4
A = x2 – 2x – 6 B = – 6x2 + 8x – 14 C = x2 + 2x + 2
14. En el polinomio: P(x) = 2x a “ ”, si: GA(P) = 12 2
8
1 –1
x4 + y4
13. Si sumamos el triple de “A” con la mitad de “B” y el resultado lo multiplicamos por el doble de “C”, y
3a + 5 – 3(3a + 2) 3 . 3a + 4
–
4
5
A.
1 Calcular: M = 4
Reducir: T =
2 2y
12. Al multiplicar “3x” aumentado en 2 por “4x – 3” y quitarle el producto “2x + 1” por, “6x” disminuido en 6, se obtiene:
4
1
7.
2 3
25x + y . 5x – 14 Simplificar: N = 1 8 – 2y
B.
D.
A. B.
2
A.
y2
A. B.
8x – 2 . 16a + 2
A.
Reducir: E =
B.
y
11. ¿Cuántas veces hay que restarle “ – x + 2y” al polinomio “8x + 5y – 4” para que sea “12x – 3y – 4”?
4x + 2a
125x – 2 .
6.
4
4m + 2n
0 1 2x + 2 .
C.
A. B.
4 1
Simplificar: E = m – 1 8 . 16n + 1 A. B.
y
10. Simplificar: A = x
Reducir: P = 64–9 A.
x–2. 2 y–x (2y) (y –)x (2–y . y2)
2y
A.
A. B.
3
2.
Reducir: T =
1 –1 3
C. D.
9 4 3 – – 7 9
1 –3 + 20 5
A. B. 40
2
3 9
a –4
+ 4x
C. D.
a–6
+ 6x
. Calcular
6 7
0,5
15. En el polinomio: P(x; y) = axa – 4 + 3xay3 + 2ya. Calcular la suma de sus coeficientes, si: GA(P) = 12 A. B.
10 12
C. D.
14 15
109
Ciclo Católica 16. En el monomio: M(x;y) = (a2 + b3)x3a + by2a +
5b
Calcular el coeficiente si: GR(x) = 10; GR(y) = 11 A. B.
10 8
C. D.
6 4
17. Determine la suma de coeficientes en el siguiente polinomio sabiendo que todos sus términos tienen el mismo GA. P(x) = 2ax7ya + 3 + 3x8y12 – 5aya + 10 A. B.
27 13
C. D.
– 27 10
18. Calcular el grado absoluto del polinomio: P(x; y) = xn – 2y – A. B.
3 4xnyn +
y5 – n
4 8
C. D.
9 10
19. Si los términos del siguiente polinomio tienen el mismo GA, determine su G.A. sabiendo que: GR(y) – GR(x) = 2 P(x; y) = 7xm + nyn + 2xm + 6yn + 4 A. B.
21 22
C. D.
23 24
20. En el monomio: M(x;y) =
xb – 3y – a – 6 El grado relativo a “x” es “a” y el grado relativo a “y” es “b”. Determine el G.A. del monomio. 6 3
C. D.
10 12
21. Calcular el valor de “n” en el siguiente polinomio: n
P(x;y) = A. B.
6x2y3 +
n
C. D.
3 5
C. D. (x;y)
4 5
12 9
= 4xm – 2yn – 1(x7 + 2y2n – 3). Todos
sus términos tienen como grado absoluto 16. Calcular “m – n”. A. B.
6 4
C. D.
3 2
24. Determinar el GA del polinomio: a
P(x; y) = xa – 10y2
a
+1
+
+3
xa – 9y4
+ xa + 1ya – 9
Sabiendo que “9 < GR(x) < 14” A. B.
110
9 13
a+ c
25. Si el GA del monomio M(x;y;z) = abcx (xy) z es y 18, determinar su coeficiente, sabiendo que los grados relativos respecto a “x”; “y”; “z” son consecutivos en ese orden. A. B.
23 24
C. D.
25 26
26. Se tiene el monomio: M(x; y) = xp – 3yp + 2; si: GR(x) = 2. ¿Qué afirmación es correcta? A. B.
GR(x) + 3 = GA(M) GA(M) – 3 > GR(y)
C. D.
GA(M) – 2 < GR(y) GR(y) + 3 > GA(M)
C. D.
3x4y4 – 3x4y4
27. Si los términos: M(x;y) = (a + 1)xb + 2y4 N(x;y) = (b – a)x4ya son semejantes, su suma es: A. B.
8x4y4 3x2y2
A. B.
2x – 1 4x + 2
C. D.
4x 2x
29. Si: P(x) = 5(x7 + x6) – 2(x3 + x + 1); calcular “P(– 1)”. A. B.
1 –1
C. D.
2 –2
30. Si: P(x) = x + 2, indicar “P(P(x)) + P(x – 1)” A. B.
x+5 x–5
C. D.
2x + 5 x
1, siendo: n < 8
6 8
23. En el polinomio: P
1 –c
31. Si: P(x – 2) = 4x + 5, resolver: P(x) + P(x + 2) = 58
2x2y3 +
22. Determine el mayor grado relativo de una de sus variables: P(x;y) = x3m – 1ym + 1 + x2m + 3y2m + 5 + xm + 2y3m – 4. Sabiendo que: GA(P) =16 A. B.
b
28. Si: P(x – 1) = 2x – 3, indicar: P(x) + P(x + 1)
xa + 2y3 – b
A. B.
a
C. D.
16 49
A. B.
1 3
C. D.
2 5
C. D.
4x + 5 2x + 1
32. Si: P(x – 2) = x + 5 P(Q(x)) = 3x + 11 Indicar “Q(x)”. A. B.
x+2 3x + 4
33. Si: P(3x – 1) = x, efectuar: 3P(x) – P(3x) 2 A. 1 C. 3 1 D. – 1 B. 3 34. Dado el polinomio: P(x) = 7xm – 1 + 9xn – 3 – 5xp + 1 + 12xq – 2; es completo y ordenado descendentemente, hallar el valor de: “m + n + p + q”. A. B.
10 11
C. D.
14 15
Trilce Católica
Álgebra 35. ¿Cuál es la suma de coeficientes del polinomio:
44. Determinar la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo y ordenado ascendentemente.
P(x; y) = axa + 4 + 3xayb + bxb + 5; si “P(x; y)” es homogéneo? A. B.
12 9
C. D.
P(x) = axa – 4 + bxa + b – 5 + cxc – b + 3
8 11
A. B.
7 4
C. D.
1 5
36. Si los polinomios: 45. Calcular “b” en el siguiente polinomio completo y ordenado en forma ascendente:
P(x) = ax2 + (b – 1)x + c + 1 Q(x) = 3x2 + 6x + 12
P(x) = 3axa – 50 + 6xa – c + 42 + 9xb – c +
son idénticos, hallar “c – a – b” A. B.
–1 1
C. D.
A. B.
4 –4
C. D.
0 1
C. D.
A. B.
2 1
3 38. Si el polinomio: P(x;y) = xm – 2yn – 1(x7 + y2n – 3) es ho7 mogéneo de grado 16; hallar “m – n”. A. B.
10 – 10
35 37
C. D.
A. B.
– 12 12
C. D.
A. B.
64 68
C. D.
32 92
–3 –2
A. B.
44 40
A. B.
A. B.
Trilce Católica
8 10
–1 2
C. D.
43 45
Restar de “A”, lo que queda de quitarle “C” a “B”, si:
P(x) = axa + (a + 2)x2 – (a – 1)x + (a + 3)xa – 3 C. D.
C. D.
Tarea domiciliaria
A = 2x2 + 3x + 6 B = – 5x2 – 6x + 8 C = – 2x2 + 5x – 3
12 11
4 5
P(x; y) = xa + 3y2 + 5xb – 5y + 6x8yc + 4 + x10y9; es homogéneo
1. 43. Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo y ordenado:
C. D.
50. Calcular “a + b + c” si el polinomio:
42. Si el polinomio: P(x) = 18xa – 18 + 32xa – b + 15 + 18xc – b + 16; es completo y ordenado en forma ascendente, calcular “a + b + c”. A. B.
1 3
P(x; y) = axa + 3 – abxa – 1yb + 2 + 2byb + 8, determina la suma de coeficientes.
36 39
–6 6
2 –2
49. En el polinomio homogéneo:
41. Si: P(x) = xa + b + 2xb + c + 3xc + d + 4xd + 4; es completo y ordenado ascendentemente, calcular: abcd. A. B.
C. D.
P(x; y) = (a – 1)(x2 + 5) + (b – 3)(3x2 + 6), es idénticamente nulo, hallar el grado de: Q(x) = xa + b – 1 + xa + 1
40. Calcular la suma de coeficientes del polinomio:
A. B.
0 1
48. Si el siguiente polinomio:
5 –5
P(x; y) = a2xa + 7 – bxayb + abyb + 4; sabiendo que es homogéneo.
7 6
Calcular “ab”. A. B.
C. D.
C. D.
P(x) = a(x + 1)2 + b(x – 2) + 2 Q(x) = (x – 2)(x + 1) + (x + 3)(x + 2)
2 4
P(x) = (2a – b + 18)x2 + (3b + c – 2)x + c – 6, es idénticamente nulo, calcular “a + b + c”.
4 5
47. Si los polinomios: P(x) y Q(x) son idénticos.
39. Si el siguiente polinomio:
A. B.
59 54
P(x) = 4x2 + 3x + 2 Q(x) = (a + b – 1)x2 + (b – c + 2)x + c – a + 4
a(x – 2)(x – 3) + b(x – 1)(x – 3) + c(x – 1)(x – 2) = x2 – 10x + 13 10 11
C. D.
46. Calcular “a + b + c”, si “P(x) = Q(x)”, siendo:
37. Calcular “a + b + c” en la identidad:
A. B.
58 61
32
– 5x2 + 2x + 11 9x2 + 4x + 1
C. D.
– 9x2 – 4x – 1 5x2 + 14x – 5
111
Ciclo Católica 2.
Dado el polinomio: P(x) = 7xm – 1 + 9xn – 3 – 5xp + 1 + 12xq – 2; es completo y ordenado descendentemente, hallar el valor de “ m + n + p + q”. A. B.
3.
10 11
C. D.
14 15
Si los polinomios:
4.
A. B.
4 –4
A. B.
5 –5
1 + cb b + bc
C. D.
b – bc b
12. Si: P(x – 2) = 4x + 5; resolver: P(x) + P(x + 2) = 58 1 3
C. D.
2 5
C. D.
4x + 5 2x + 1
Indicar: Q(x) A. B.
x+2 3x + 4
14. Si: P(3x – 1) = x; efectuar: 3P(x) – P(3x) A. B.
1 1/3
C. D.
2/3 –1
15. Calcular la suma de coeficientes del polinomio: P(x;y) = a2xa + 7 – bxayb + abyb + 4; sabiendo que es homogéneo. A. B.
35 37
C. D.
36 39
16. En el polinomio homogéneo: P(x;y) = axa – 3 – abxa – 1yb + 2 + 2byb + 8, determinar la suma de coeficientes.
son semejantes, su suma es:
A. B.
8x4y4 3x2y2
C. D.
3x4y4 – 3x4y4
Si: P(x – 1) = 2x – 3; indicar: P(x) + P(x + 1) 2x – 1 4x + 2
C. D.
4x 2x
– 31 – 24
– 16 27
C. D.
17. Si el polinomio: P(x) = 18xa – 18 + 32xa – b + 15 + 18xc – b + 16 es completo y ordenado en forma ascendente, calcular “a + b + c”. A. B.
64 68
C. D.
32 92
Dado el siguiente polinomio: P(x;y) = x3m – 1ym – 2x2m – 3 y2m + xm – 3y3m de donde: GA(P)=19. Determine que relación es correcta: A. B.
9.
2x + 5 x
M(x;y) = (a + 1)xb + 2y4 N(x;y) = (b – a)x4ya
A. B. 8.
C. D.
Si los términos:
A. B. 7.
10 – 10
Multiplicar (ax3 + bx2 + cx + d)(bx + 1 – c) y dar como respuesta el coeficiente del término de segundo grado. A. B.
6.
C. D.
Si el siguiente polinomio: P(x) = (2a – b + 18)x2 + (3b + c – 2)x + c – 6; es idénticamente nulo, calcular “a + b + c”.
5.
x+5 x–5
13. Si: P(x – 2) = x + 5 P(Q(x)) = 3x + 11
son idénticos, hallar “c – a – b”. –1 1
A. B.
A. B.
P(x) = ax2 + (b – 1)x + c + 1 Q(x) = 3x2 + 6x + 12
A. B.
11. Si: P(x) = x + 2, indicar: P(P(x)) + P(x – 1)
GR(y) – GR(x) = 2 GR(x) < GR(y)
C. D.
GR(x) = GR(y) GR(x) > GR(y)
¿Cuál es la suma de coeficientes del polinomio: P(x;y) = axa + 4 + 3xayb + bxb + 5; si P(x;y) es homogéneo? A. B.
12 9
C. D.
8 11
18. Si los polinomios: P(x) y Q(x) son idénticos. P(x) = a(x + 1)2 + b(x – 2) + 2 Q(x) = (x – 2)(x + 1) + (x + 3)(x + 2) Calcular: “ab” A. B.
0 1
P(x;y) = (a – 1)(x2 + 5) + (b – 3)(3x2 + 6), es idénticamente nulo, hallar el grado de: Q(x) = xa + b – 1 + xa + 1
a(x – 2)(x – 3) + b(x – 1)(x – 3) + c(x – 1)(x – 2) x2 – 10x + 13
A. B.
112
10 11
C. D.
4 –2
19. Si el siguiente polinomio:
10. Calcula “a + b + c” en la identidad:
A. B.
C. D.
1 3
C. D.
4 5
2 1
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 20 Quinto Católica
OPEraciONES cON POLiNOmiOS ii PrODUcTOS NOTaBLES – DiViSiÓN aLGEBraica A. B. C. D.
Problemas para la clase 1.
Simplificar: K =
[(a + b)2 – 4ab – (a – b)2]4 (a + b)2 11.
A. B. 2.
C. D.
4ab a+b
La expresión:
x3 – 27 x–3
A. B. 3.
4 12
C. D.
(x + 1)2 + 10 (x + 1)2 – 10
x A. B.
–5 5
C. D.
– 28/11 –2
El doble del menor. El cuadrado del mayor. El cuadrado del menor. El cuádruple del menor.
8.
25 16
12. Efectuar:
u2 – 4v u2 + 2v
9.
A. B.
a 5
a– a2 – b2
x+y x–y
C. D.
u2 – 2v u2 – v
A. B.
10 15
a b
C. D.
x4 + 256 x6 – 1 a
C. D.
b
= 2; determinar: a b a
+
para:
A. B.
b4
2k
3 4
8
a= b=
2 +1 2 1
2 2 2
C. D.
5 10
19. Si: 4
a2 – b4 A.
1
B.
3
2
2 +1 3+2 2
17 ; calcular: x3 – 6x + 5 C. D.
(a + b)2 a2 +
x8 – 256 x6 + 16
+ b a
C. D.
3
C. D.
2k
1 2
18. Si: x = 5 + 17 + 3 5 – 3 0
ab 2ab
17. Evaluar la expresión: 2(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4) + b8
A. B.
10. Si el producto de dos números consecutivos se le suma el mayor de estos números, se obtiene como resultado:
TRILCE Católica
C. D.
15. Reducir: E = (x + 2)(x – 2)(x2 + 4)(x4 + 16)
Efectuar: (a1/2 – b)(a1/2 + b)(a + b2) A. B.
3 8
Hallar: E = a2 + b2 – 34
16. Si:
C. D.
C. D.
b2
C. D.
13. Si: a + b = 12 ab = 5
A. B.
9 4
hallar: (2a + 2b)(4b)(2a – 2b) 5 4
3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) + 1
2 4
A. B.
C. D.
x+y x–y
16
4
Si: a + b = 4 a–b=4
A. B.
3 0
14. Si: a; b > 0; simplificar: [(a2 + b2)2 – (a2 – b2)2]2
Si: m + n = u m . n = v, hallar: (m – n)2 A. B.
x3 C. D.
b
7.
1
1 2
A. B.
¿A qué es igual: (x – y)2 + 4xy? A. B.
3 , hallar: x3 +
=
x+4
Efectuar: (2x + 3y – z)2 y dar como respuesta la suma de coeficientes de la expresión obtenida. A. B.
6.
equivale a:
Si al producto de dos números consecutivos se le resta el menor de estos, se obtiene como resultado: A. B. C. D.
5.
x2 – 16
1
Si: x +
0 4a2b2
(x + 8)(x – 6) – (x – 2)(x + 4) Reducir: (x – 3)(x – 5) – (x – 7)(x – 1) A. B.
4.
(x + (x +
1)2 + 1)2 +
–
El doble del menor. El doble del mayor. El cuadrado del menor. El cuadrado del mayor.
= ab; calcular: S =
3
15 20 3a 6
C.
3
D.
3
+ 3b ab 4 9
113
Ciclo Católica 20. Si: A = (p + q)(p – q)(p2 + pq + q2) B = (p2 – pq + q2)(p6 + q6)(p12 + q12)
29. Hallar “ab” si la división:
p12 + q12 p24 – q24
A. B.
p12 – q12 p24 + q24
C. D.
30. Al dividir:
10 5 10,5
C. D.
105 17,5
A. B.
22. Hallar el valor numérico de:
64 27
C. D.
132 84
x3 + (– 2 –
1 2
C. D.
3 4
31. Proporcione el resto, al dividir:
(n – 1)3(n + 1)3(n2 + 1)3(n4 + 1)3, para: n = A. B.
114 56
7 )x2 + (2 7 – 15)x + 15 7 + m x– 7 se obtuvo como resto: 3m – 8, determinar “m”.
(a – b)2 + (b – c)2 + (a – c)2
A. B.
no
mÉtodo de ruffini
21. Si: a – b = b – c = 5; hallar el valor de: R=
3x2 + 5x + 8
deja residuo.
entonces “A.B” es equivalente a: A. B.
ax4 + bx3 + 52x2 + 59x + 56
C. D.
8
3
8 16
x3 – 2x2 + (2 – m2 – 2m)x – 2m – 2 x–m–2 A. B.
2 3
C. D.
6 9
23. Si: x + y + z = 0; hallar el valor numérico de: E= A. B. 24. Si: A. B. 25. Si: A. B.
32. Hallar el valor positivo de “n” si en:
xy + xz + yz
nx4 + (n2 – 1)x3 – n2x2 – x + n2 nx – 1
x2 + y2 + z2 1/2 –2
C. D.
2 – 1/2
La suma de los coeficientes del cociente es igual al resto.
4(a8 + b8) a2 b2 + = – 3(a + b), hallar: K = b a (a2b2)2 4 6
C. D.
a2 b2 + = – 3(a + b), hallar: K = b a 8 6
1 0 b4)
a2b2 4 2
6x4 + 13x3 + 6x2 + Ax + B 26. Al dividir: A. B.
2x + 3 3x2 + 2x – 3
C. D.
3x2 – 2x – 3 2x2 + 3x – 2
A.
1
C.
6
2
D.
9
34. En la siguiente división:
2+1
18x4 – 5x3 + 6x2 + 2ax + 14
2x – 1 sabiendo que la suma de coeficientes del cociente 31. Determinar el resto. A. B.
Primos entre sí. Pares. Impares consecutivos. Consecutivos.
es
27 28
C. D.
29 30
63,75 32
C. D.
– 63,75 – 32
teorema del residuo 36. Si el resto de la división: 3 x4 – (1 – 3 )x3 – 2 3 x2 – 2x + A – 2 3 x– 3+1
28. Señale el cociente, al dividir: ax4 – (a + b)x3 + (2a + b)x2 – bx – a ax2 – bx + a
114
x–
B.
A. B.
Entonces “A” y “B” son:
x2 + x + 1 x2 – x + 1
x5 + (3 2 – 2)x3 + 2 2 + 6
(2x4 + 17x3 – 68x – 32)? 1 x– 2
x4 – 5x3 + 15x2 – Ax + B x2 – 3x + 5
A. B.
5 2
35. ¿Cuál es el residuo de la división:
27. En la siguiente división exacta:
A. B. C. D.
C. D.
señale su cociente.
2x2 + 3x + 2
3x2 –
1 3
33. Halle el resto en la división:
4(a4 +
C. D.
A. B.
C. D.
es 3, ¿cuánto vale “A”? x2 + x – 1 x2 – x – 1
A. B.
3 6
C. D.
9 12
Trilce Católica
Álgebra 37. ¿Qué relación deben guardar los coeficientes del polinomio: (ax4 + bx3 + cx + d) para que sea divisible entre: (x2 – 2x – 1)? A. B.
d = 2a + b + c d = 7a + 3b + c
C. D.
38. Halle el resto de la división:
46. Determine “A” y “B” tal que P(x) = Ax4 + Bx3 + 1; verifique: P(x) – R(x) = (x – 1)2 . q(x). Si: R(k) = 0; k lR.
d = 3a + 2b – c d = a + 2b – c
A. B.
(x – 1)9 + (x – 2)5 – 3 (x – 1)(x – 2)
3; – 4 3; 4
C. D. 6x3 + nx + 1
47. Si el resto de dividir: A. B.
C. D.
x+3 2x – 6
x+6 2x – 3
A. B.
C. D.
5x x2 + 5x
es (– 4x + 1), calcular
x2 + 1
“n6”.
x20 + x10 + x4 + 5x + 2 39. Hallar el resto en: x4 + 1 A. B.
2; – 4 2; 4
8 32
C. D.
35 64
x3 + Ax + B
x2 – 5x x2 – 6x
48. Hallar el cociente exacto de: A. B.
(x – 6)2008 + x + 19 40. Halle el residuo de dividir: (x – 5)(x – 7)
x2 – Ax + B
x –x
C. D.
, siendo: A; B ≠ 0
x+1 –x–1
49. Calcular el valor numérico del polinomio: A. B.
x + 14 x + 16
C. D.
x + 18 x + 20
P(x) = 4x5 – 10x4 + 6x3 + 5x2 – 16x + 13 para: x = 2.
41. Halle la suma de los coeficientes del cociente de dividir: 8x3 + 4bx2 + 6bx + 13 ; si el residuo de la división es – 8. 2x + 1 A. B.
38 37
C. D.
A. B.
A. B.
x5 + 3x4 + x3 + ax2 + bx + c
–1 –2
C. D.
1 2
es exacta.
C. D.
1/3 2/3
x2 –
se
C. D.
45. Al efectuar la división:
3ax4 –
8 9
4dx3 –
2a2 + b2
C. D.
1 –4 –4
5.
3 8
C. D. x–3
(x + 1)2 + 4 (x + 1)2 + 12
–
2(x3 – 8)2 (x2 + 2x + 4)2
– 11 0
x2 – 16 x+4
equivale a: C. D.
(x + 1)2 – 10 (x + 1)2 + 10
¿A qué es igual: (x – y)2 + 4xy ? A. B.
3x2 +
(x)
–9 –3
La expresión: A. B.
2x + 2
se 2x – a obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 30 a y un resto idéntico a (5ax + a + 2), (a ≠ 0). Calcule: , donde “q ” es cociente.
C. D.
x3 – 27 3.
4. 2cx2 +
1 2
Reducir: (x2 – 4x – 1)2 – (x2 – 4x – 2)2 – A. B.
x+b sabe que el resto es (2x + 3); además la suma de coeficientes del coeficiente es mayor que 15. Calcular “ab”. 4 7
2.
3 4
2x5 + 3x4 + bx3 + 6bx2 + x + a
Trilce Católica
C. D.
Si: a– 1 + b– 1 = 4(a + b)– 1; a,b ≠ 0, halle: E =
A. B.
1 2
2x4 + 3x2 – ax + b
44. En la siguiente división:
q(1) – a 1 A. 4 B. 4
3/26 26/3
ab
2x2 + 2x + 3
A. B.
2x4 – 7x3 + ax + 1 . Hallar “a”. x–3
Tarea domiciliaria 1.
43. Calcular (ab) si la división:
A. B.
17 181
(x + 1)2 – 2
Calcular “b + c – a”. A. B.
C. D.
50. Al dividir la división exacta:
43 47
eJercicios adicionales
42. En la siguiente división exacta:
1 762 176
x+y x–y
x+y x–y
C. D.
Siendo: (a + b + c)2 + (a + b – c)2 = 4c(a + b), hallar el a+b c– b valor de: + c a A. B.
0 1
C. D.
2 3
115
Ciclo Católica 6.
¿Cuál es el valor de: r2 – 2r – 2; si: r =
2 + 1?
13. Hallar “m/n” si la división:
mx4 – 8x3 – nx2 + 14x – 8
es
3x2 + x – 2 –1 –2
A. B. 7.
exacta.
0 1
(x2 – 1)(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Si: x = 101; hallar: E = (x2 – 2x + 1)(x6 – 1) 10– 4 102
A. B. 8.
C. D.
Efectuar: A. B.
103 10– 3
C. D.
16
3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) + 1
2 4
C. D.
A. B.
C. D.
3 4
14. Hallar “ab” en la siguiente división exacta: 3x4 + x3 – 2x2 + ax + b 3x2 + 4x + 5 A. B.
3 8
1 2
45 36
C. D.
42 56
15. Determine el residuo de la división: 9.
Si: a + b = 12 x6 + 2x5 – 2 3 x4 – 2 3 x3 – 2x2 + 1 x– 3
ab = 5 Hallar: E = A. B.
a2 + b2 – 34
a 5
C. D.
A. B.
10 15
10. Si se cumple que: (a + b + 2c)2 + (a + b – 2c)2 = 8c(a + b) a+b 3 a–c 5 c–a4 hallar: E = + + 2c c–b c–b A. B.
3 1
–1 0
C. D.
11. ¿Cuánto se le debe restar al dividendo de manera que la división sea exacta: x4 +
x3 –
5x2 +
x2 – A. B.
15x + 2
2x + 3
? C. D.
12. El residuo de dividir:
4x3 +
ax2 +
2x3 +
x2 +
es: 5x2 + 11x + 7. Hallar: E = A. B.
20 30
2x + 8 2x – 8
3
abc C. D.
bx + c
40 50
C.3 D. 4
6 5 4 3 2 16. Dividir: x + 6x + 8x + 17x + 10x – 2x + 3 x+5
Indicar el coeficiente del término cuadrático del cociente. A. B.
1 2
17. Hallar el resto de: A. B.
2 4
18. Hallar el resto en:
x+4 x–4 8x5 +
0 1
C. D.
3 4
x60 + x80 + x90 + x20 + 4 x10 + 1 C. D.
6 8
(x – 3)(x + 7)90 + 7 x+6
A. B.
7 –2
C. D.
2 4
19. Halle la suma de coeficientes del cociente, luego de efectuar la división: 15x5 – 14x4 + 9x3 – 5x2 + 4x + 1 3x – 1 A. B.
4 6
20. Hallar el resto en:
C. D.
12 –4
(x – 3)80 + (x – 4)15 + 6 (x – 3)(x – 4)
A. B.
116
2x + 1 2x – 1
C. D.
2x – 3 2x + 3
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 21 Quinto Católica
oPERAcionES con PoLinomioS iii
facTOriZaciÓN – EXPrESiONES aLGEBraicaS raciONaLES Problemas para la clase 1.
Factorizar: 4x2 – (x + y)2; e indicar el factor primo mayor suma de coeficientes: A. B.
2.
3x – y 3x + y
C. D.
de
5 12
C. D.
A. B.
(x2 – 3x + 1)2 (x2 + 3x + 1)2
C. D.
(x2 + 3x – 1)2 (x2 + 3x – 1)2
C. D.
(x2a – 8)(x2a – 7) (x2a + 5)(x2a + 3)
11. Factorizar: x4a + 8x2a + 15
4x – y 5x + y
Factorizar: 8x6 + 343 e indicar la suma de los coeficientes de uno de sus factores primos. A. B.
3.
10. Factorizar: 1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
39 45
A. B.
(x2a + 9)(x2a + 6) (x2a – 5)(x2a – 3)
12. Factorizar: xp + 2q + 7xp + q + 10xp A. B.
xp(xp + 2)(xq + 5) xp(xq + 2)(xq + 5)
xp(xq + 2)(xp + 5) (xq + 2)(xq + 5)
C. D.
Factorizar: 27x6 – 125 13. Indicar un factor de: m2 – n3 + m3 – n2 A. (3x2 + 5)(9x4 + 15x2 + 25) B. (3x2 – 5)(9x2 + 15x2 + 25) C. (3x2 – 5)(9x4 – 15x2 + 25) D. (3x2 – 5)(9x4 + 15x2 + 25)
4.
m+n 2m + n
A. B.
(x + z + y + w)(x + y – z – w) (x – z – y – w)(x + y + z + w) (x + z + y – w)(x + z – y + w) (x + y)(y + w)
m–n m – 2n
C. D.
14. Factorizar: xyyx + xy + xy + 1 + yx +
Factorizar: (x + z)2 – (y – w)2 A. B. C. D.
5.
A. B.
(x + y)(xy + yx) xy + 1 + yx + 1
1
C. D.
(xy + yx)(x – y) (x + yx)(xy + y)
15. Al factorizar: x5 – x4 – 2x3 + 2x2 + x – 1 se obtuvo una expresión de la forma: (x – 1) . (x + 1). Hallar “ + ”
Factorizar: (4x2)2 – 8(4x2) – 105 A. B.
(4x2 + 15)(4x2 – 7) (x2 – 15)(x2 + 7)
C. D.
(4x2 – (4x2 +
15)(4x2 + 7) 15)(x2 – 7)
A. B.
2 3
C. D.
4 5
16. Indicar uno de los factores de: x(x + 2)(x + 3)(x + 5) + 5 6.
Factorizar: 4m2 – 4m(n – m) + (n – m)2 A. B.
(3m – n)2 (3m + n)2
C. D.
(2m + n)2 (2m – n)2
A. B.
x2 + 5x + 1 x2 + 5x – 1
C. D.
x2 + 5x – 5 x2 – 5x + 5
17. Señalar uno de los factores de: x2 + y2 – z2 – 2xy + 18z – 81 7.
Al factorizar: tores primos. A. B.
8.
1 2
2x2n –
24; indicar el número de facA. B. C. D.
3 4
Factorizar: x2m + n – 9xm + n + 14xn; indicar el factor de mayor suma de coeficientes. A. B.
9.
x4n –
xn xm – 2
C. D.
xm – 7 xm + 2
Indicar el número de factores trinomios luego de factorizar: (x + 2)2(x + 1)(x + 3) – 5x(x + 4) – 27 A. B.
0 1
TRILCE Católica
C. D.
2 3
x+y+z–9 x+y+z+9
C. D.
x–y–z–9 x–y+z–9
18. Factorizar: 32m + 3 – 11 . 3m + 1 – 20 A. B.
(3m + 2 – 4)(3m + 1 – 5) (3m + 1 + 2)(3m – 1 – 2)
C. D.
(3m + 2 + 4)(3m + 1 – 5) (3m + 1 – 4)(3m + 2 – 5)
C. D.
(x – 2)(x2 – 4x + 7) (x + 2)(x2 + 4x + 7)
C. D.
(x – 1)(x – 2)(x + 5) (x + 1)(x + 5)(x + 10)
19. Factorizar: x3 + 6x2 + 15x + 14 A. B.
(x + 1)(x + 2)(x + 3) (x + 2)(x + 3)(x + 4)
20. Factorizar: x3 + 6x2 + 3x – 10 A. B.
(x + 10)(x + 1)(x – 2) (x – 1)(x + 2)(x + 5)
117
Ciclo Católica ticos: x4 + 10x2 + 49 A. B.
32. Efectuar:
0 1
C. D.
2 3
A. B.
22. Factorizar e indicar el término independiente de uno de los factores primos: x4 + x2 + 25 A. B.
–2 –1
C. D.
A. B.
xy + 1 + x2 + y2 xy – 1 + x2 + y2
C. D.
24. Indicar un factor primo: A. B.
abcx2 –
cx – ab bx – ab
x4 –
y4
1 2
C. D.
–
B.
xy – 1 – x2 + y2 xy + 1 + x2 – y2 c2)x
+ abc
cx + ab ax – bc
3 4
26. Factorizar: x(x2 + xy – 1) – y(y2 + xy – 1) e indicar el V.N. de uno de los factores para: x = 3 e y = – 2 3 4
C. D.
C. D.
0 8
28. Al factorizar: 12x5 – 8x4 – 13x3 + 9x2 + x – 1; se obtiene (ax + b)(bx + 1)(x – b)(cx – b)2. Calcular: ab + bc + a. A. B.
– 11 11
C. D.
8 –6
(x2 – 3x)2 – (x + 1)2 29. Efectuar:
+
a2 – ab
A. B.
30. Efectuar: A. B.
–a –b
31. Efectuar: a A. B.
b a
118
(a – b)2
a3 + –
ab
–4 –2
C. D.
0 4
A.
1 x2 + 1 2
C.
x2 + 1
D.
x2 + 1 x–1
x+1 2x2
3
+
2y + 1 4xy
–
x2 + 1
xy + 1 x2y
Indicar el numerador de la fracción resultante. A. B.
3y + 4 3x + 4
37. Efectuar:
C. D.
4x2 + 8x – 5 2x2 +
5x – 3
+
x2 – x – 20 x2 – 2x – 15
1 A.
x + 2y + 4 x + 2y – 4
3 1
C.
1
D.
3
2
C. D. a2b
a2 – 1
ab2 – a2b 1 C. ab D. – 1
b b
2
a3 –
–
1 1 – x – 1 x + 1 35. Efectuar: x 1 – x–1 x+1
(x2 – 4x)2 – (2x + 1)2
± 2x 2x
1 2
a–b
+
b2 – a 2
6x – N = M + N x2 – 4 x–2 x+2
B.
Señalar la diferencia de los elementos de la fracción resultante. A. B.
+
34. Descomponiendo en fracciones parciales, hallar “M – N”.
5 6
27. El polinomio: P(x) = 8x3 + 32x2 – 216x – 720; al ser factorizado se transforma en: a(x – b)(x – c)(x – d); siendo: b > c > d. Calcular: a + d – (c + d) 4 2
C. D.
b2 – a2
36. Efectuar:
A. B.
+ a2 + b2
a
B. A. B.
a2 – b2
a2 – b2 ab – b2
x2y2
25. Factorizar: (x + y)4 – x4 – y4 – 2xy3; e indicar el número de factores primos de primer grado. A. B.
+
a–b a+b
33. Efectuar:
A.
(a2b2 +
C. D.
a2 + b2
a2
a2 + 3b2
a
5 2
23. Indicar uno de los factores: 1 + 2xy –
b2
a2 – b2
21. Factorizar e indicar el número de factores primos cuadrá-
– 2x ±x
b3
38. Efectuar:
x2 + 4x + 3
A. B.
x+2 x+1 1 x–
39. Reducir:
x–1+
b2 –a–b a2 + b2 + ab a2 + ab b a C.
1
D.
–1
x2 + 3x
C. D. x+
a b
x2 + x
1 +
Indicar el numerador final.
a2 – b2 C. D.
1 +
A. B.
x x–1 1 2
x –x
4x + 2 4
1 x1
x+1 C. D.
x x+1 1 2
x +x
Trilce Católica
Álgebra x2 – 1 – 40. Al efectuar:
1 x2 – 1
A. B.
41. Efectuar:
B.
x+1 1 x+1
D. x–1 –
+
x2 – 1
A. B.
x2 + 1
2x + 2
4x –
C. D.
x2 – 1 x+1 x+2
A.
0
x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 x4 + x2 + 1 C. D.
x+3 x–1
1.
B.
x2 – x – 2 44. Simplificar: A. B.
(a +
D.
a–b
. . x2 – x – 12 x2 + 3x + 2 x – 2 C. D.
x2 – x – 1 x+2
3 –
3.
x–2 –x–3
(a + b)3 – (a – b)3 – 2b3
5. a
1
C.
B.
–1
D.
b b a
6.
Trilce Católica
(a2 + b)(d3 + c) (b + c)(a2 + d3)
C. D.
(a3 + b2)(d2 + c) (a2 + c)(d3 + b)
m+3 m+2
C. D.
m+4 m+5
0 2
C. D.
3 4
C. D.
(ab)–1 ab
7.
C. D.
x+y+z x + 2y
b2 + c b+c
C. D.
b–c c–b
a + b + 2c 1
(x + 3) (x – 3)
C. D.
(x – 1) (x – 2)
Indicar la suma de los factores de primer grado que se obtienen al factorizar: 8x6 + 7x3 – 1 A. B.
8.
C. D.
x–y x+y
Indicar el factor primo relativo repetido al factorizar:
A. B.
a2b2
(bc – a2)x + (ac – b2) (b + c)x + (a + c) a–b–c a+b+c
3 3
A(x) = (x – 3)(x – 2)(x – 1) + (x – 2)(x – 1) – (x – 1)
48. Calcular el valor constante que toma la fracción independiente de “x”.
A. B.
D.
Señalar uno de los factores primos obtenidos al factorizar: ac(a + c) + ab(a – b) – bc(b + c) A. B.
1 1 x 47. Simplificar: a + b – ab (a + b + x) 1 + 1 +2 –x 2
x 1
3 –3
1 C.
Señalar un factor primo al factorizar:
A. B.
(a + b)3 + (a – b)3 – 2a3
A.
A. B.
1
x(z + y)2 + y(x + z)2 – 4yxz
x+1
b2 ab
a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3
Hallar el número de factores primos lineales del polinomio: P(x, y) = 5x4y2 + 10x3y3 + 5x2y4 A. B.
4.
C. D.
a2
3x – 1
Al factorizar: 3m3 – 20 + 12m2 – 5m; señalar uno de sus factores primos. A. B.
x+3 1
x–2
x+3 x+2
46. Reducir:
C.
3x2 + 11x + 6
45. Efectuar:
A. B.
2. b)2
x2 + 5x + 6 x – 4
x+2 x–1
–
D.
6x + 2 6x – 1 3x – 2
Factorizar: a2b + a2c + d3b + d3c A. B.
a4 – a3c – a2b2 + ab2c
a+b b2 a+ a
2x – 1
C.
Tarea domiciliaria
a5 – a4c – ab4 + b4c
A.
3x + 1 3x – 2 2x + 3
50. Reducir:
B.
x+1 x+2
43. Simplificar:
3x3 – 2x2 – (a + 2)x – 6 3x3 – 5x2 – (a – 1)x + 6
Si admite como divisor común a: x2 + mx – 6
x+1 x–1 x+1
42. Simplificar: A. B.
–x+1 C.
2x – 2
49. Reducir:
, se obtiene:
–x–1 –1 x+1 x+1
A.
1 x–1
3x – 1 3x
C. D.
2x – 3 4x – 1
Calcular la suma de los factores primos obtenidos al factorizar: R = a3 + b3 – a(b2 + c2) – b(a2 + c2) A. B.
a+b 3a – b
C. D.
2a + b 2a – b
119
Ciclo Católica 9.
Factorizar: f(x) = (x2 – 7)2 – 10x(x2 – 7) + 21x2. La suma de los términos lineales de los factores primos obtenidos es: A. B.
– 10x 10x
C. D.
7x – 7x
A.
10. Factorizar: 9(x + 5)2 – 25(y + 3)2. Indicar la suma de coeficientes de un factor primo. A. B. 11. Si:
A. B.
–2 2
C. D.
3 4
=A +B . Hallar: 2 x + 7x + 10 x + 2 x + 5 C. D.
3 2
x + 1 + 3x + 7 x+2 12. Efectuar: x+3 x+3– x+4
B.
C.
x+2 x+2 x+1
D.
ab
+
. ab – a2
a A.
–
B.
–
C.
b b
D.
14. Reducir:
B.
120
x2 + 2x – 3
+
x2 + 7x + 12 x2 + 6x + 9
–2
C.
–1
D.
2a3 – 8a2 – 10a
a–5 2(a + 1)
C.
a+5 a+1
B.
a+5 2(a – 1)
D.
a+5 2(a + 1)
A2 + B2
17. Descomponiendo en fracciones parciales, hallar “M – N”
A. B.
=
M x–2
+
N x+2
–4 –2
18. Reducir: Q =
C. D. a– 2 – b– 2 a– 1 + b– 1
–1
.
a– 1 – b– 1 a– 2 . b– 2 C. D.
ab 2 (ab)
0 4
(ab)–– 12 (ab)
a(x – y) + 12xy + b(x + y) 3x + 4xy + 5y
es independiente de “x” e “y”.
a x2 + x – 2
A.
b 1
c+b
25a
19. Calcular “ab” si la fracción:
a
a+c a+b a+b
A.
A. B.
ab – b2
ab + b2 13. Efectuar:
x+2 x–2 x+1
D. a3 –
x2 – 4
x+4
C.
a–b
6x – N
x+1 A.
B.
c(a + c) + b(a – b)
a–b b+c b–c
16. Simplificar:
7x + 26
1 5
a(a + c) + b(c – b) 15. Simplificar:
.
A. B.
135 – 36
C. D.
48 – 48
0 2
Trilce Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 22 Quinto Católica
rEPaSO DE EcUaciONES DE SEGUNDO GraDO 1.
Si: px2 – 2x + 3px – 4p + 8 = 0; p > 0; es una ecuación cuadrática y sus raíces son “x1” y “x2” tales que: x1 + x2 = 3/2(x1 x2), entonces el valor de la suma de sus raíces es: A. B.
2.
B.
4.
–3 7 – 15
C. D.
1 – 17 –2 5
Si: “r” y “s” son las raíces de la ecuación: x2 + bx + c = 0, el valor de: r2 + s2 ; es: b2 – 4c b – 4c2
C. D.
2b + c b2 – 2c
Formar una ecuación de segundo grado, cuyas raíces sean las inversas de las raíces de la ecuación: 3x2 + 7x + 5 = 0. A. B.
6.
–1 – 2,4
Si “p” y “q” son las raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0 1 1 el valor de: 2 + , es: p q2 2 b – ac b2 – 4ac C. A. 2ac a b2 – 2ac D. c2(b2 – 2ac) B. c2
A. B. 5.
C. D.
Dada la ecuación: (k + 1)x2 + (5k – 3)x + 2k + 3 = 0. Halle el mínimo valor de “k” para que sus raíces sean iguales. A.
3.
2 1
x2 + 7x + 3 = 0 5x2 – 7x – 3 = 0
C. D.
5x2 + 7x + 3 = 0 5x2 – 7x + 3 = 0
Dada la ecuación cuadrática: x2 + px + q = 0, ¿qué valores deben tomar “p” y “q” para que las raíces sean precisamente “p” y “q”? Dé como respuesta: p/q.
9.
Si “” y “” son las raíces de: x2 – px + q = 0; hallar el valor de: 2 + 2 + 2 y 3 + 3 A. B.
p2 – q; – p(p2 – 3q) p2 + q; p (p2 – 3p)
7.
1/2 2
C. D.
–2 – 1/2
Si: r1 y r2 son las raíces de: x2 + Mx + 32 = 0; además: “s1” y “s2” son las raíces de x2 + Nx + 2 = 0, hallar: “M – N”, tal que: r1 > r2 > s1 > s2 > 0; r1 / r2 = s1 / s2 = 2 A. B.
9 12
C. D.
–9 – 12
8. Determinar el valor de “m”, de tal manera que la ecuación de segundo grado: x2 – 2(m2 – 4m)x + m4 = 0 tenga sus dos raíces con un mismo valor diferente de cero. A. B.
m=1 m=4
TRILCE Católica
C. D.
m=2 m=–4
p2; p3 – 3pq p2 – 3q; p2 – q
10. La ecuación: x2 – Ax + B = 0; tiene una raíz que es el triple de la otra, luego “A” y “B”, están relacionadas por: A. B.
A2 = 16B 3A2 = 16B
C. D.
A2 = 3B 2A2 = 3B
11. Si {r; s} es la solución de la ecuación: x2 + 3x + k = 0 y se sabe que: r2 + s2 = p, entonces se cumple que: A. B.
p + q = 2k p – q = 3k
C. D.
p – 8 = 2k p – 9 = – 2k
12. Para qué valor de “p” las raíces “x1” y “x2” de la ecuación: 4x2 + px = – 5, verifican: 3x1 + x2 = – 8 x1 + 3x2 = – 4 A. B.
12 6
C. D.
–6 18
13. Las raíces “” y “” de una ecuación cuadrática satisfacen: 4 – 16 = 7 8 + 4 = 5 Hallar la ecuación cuadrática cuyas raíces son respectivamente las inversas de “” y “”. A. B.
16x2 – 8x – 3 = 0 9x2 + 8x + 16 = 0
C. D.
3x2 – 8x – 16 = 0 3x2 + 8x – 16 = 0
14. Siendo “x’” “ y “x”” las raíces de la ecuación: 5x2 – 23x + 11 = 0; 3x’ + 1 el valor de: P =
A. B.
C. D.
A. B.
173/35 143/35
2x’ – 9
3x” + 1 .
2x” – 9
; es:
C. D.
153/35 183/35
15. Hallar el menor valor de “m” de modo que las ecuaciones: mx2 – (m + 5) x + 6 = 0 2mx2 – (5m + 1) x + 6 = 0 ; tengan una raíz común. A. B.
2,5 1
C. D.
1,5 2
16. Indique si existe un valor de “x” que cumple con la siguiente igualdad: 13x – 16 + 13x – 1 = 1 A. B.
x=3 x=4
C. D.
x=5 Absurdo
121
Ciclo Católica 12x + 1 –
17. Resolver: A. B.
10 12
18. Si: x = A. B.
C. D.
1+
1+
6.
3x – 5
3x + 6 =
x2 – 2x(1 + 3m) + 7 (3 + 2m) = 0; raíces iguales?
13 8
1 + ...; puede decirse que: C. D.
x= 3 0