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• Luis Javier Del Valle

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COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA DIRECCIÓN DE PLANEACIÓN ACADÉMICA

ÁLGEBRA INTERMEDIA I GUÍA DE ACTIVIDADES DEL ALUMNO PARA EL DESARROLLO DE COMPETENCIAS

QUINTO SEMESTRE Agosto de 2011

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA

LIC. RAFAEL AYALA LÓPEZ DIRECTOR GENERAL

ING. ANA LILIA MARTÍNEZ MUÑOZ DIRECTORA DE PLANEACIÓN ACADÉMICA

Álgebra Intermedia I

Edición, agosto de 2011

Diseñado por:

Arq. Juan Ramón Islas Sambrano Lic. Irma González Carrión Ing. Gabriel Huesca Aguilar

La presente edición es propiedad del Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California, prohibida la reproducción total o parcial de esta obra.

En la realización del presente material, participaron: JEFA DEL DEPARTAMENTO DE ACTIVIDADES EDUCATIVAS, Teresa López Pérez; COORDINACIÓN DE EDICIÓN, Roque Juan Soriano Moreno; EDICIÓN, Gerardo Enríquez Niebla.

ÍNDICE

PRESENTACIÓN

COMPETENCIAS GENÉRICAS QUE EXPRESAN EL PERFIL DEL EGRESADO

COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS DEL CAMPO DE LAS MATEMÁTICAS

BLOQUE I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas……………………………....1

BLOQUE II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales...…………………………………………………………….……………...…........25

BLOQUE III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales…………………………………………………………………………………….…..53

BIBLIOGRAFÍA……………………………………………….……………………………….75

PRESENTACIÓN

¿Qué es formación de competencias en bachillerato? Es un enfoque didáctico que pretende desarrollar en el estudiante conocimientos, habilidades de pensamiento, destrezas, actitudes y valores que le permitan incorporarse a la sociedad de una forma inteligente, consciente, propositiva, activa y creativa; y que en un momento dado, las utilice para enfrentarse a una situación de vida concreta, resuelva problemas, asuma retos, etc.

En la actualidad, es una exigencia ofrecer una educación de calidad que logre la formación y consolidación del perfil de egreso en el bachiller de tal forma que pueda contar con los elementos necesarios que le permitan crecer y desarrollarse en un mundo cambiante, globalizado, competitivo y complejo; por lo que el proceso educativo debe caracterizarse por presentar estrategias que contemplen actividades de aprendizaje en diversos contextos y escenarios reales, donde pongan en juego, movilice y transfiera las competencias desarrolladas.

Este material dirigido al estudiante, es producto de la participación de los docentes en los cursos de instrumentación didáctica de los programas de estudio que se desarrollaron en el marco de la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS), donde pusieron de manifiesto su experiencia, conocimiento y compromiso ante la formación de los jóvenes bachilleres. Así mismo, se podrá consultar en la página Web del Colegio: www.cobachbc.edu.mx, docentes, respectivamente.

en la sección de alumnos o en

COMPETENCIAS GENÉRICAS QUE EXPRESAN EL PERFIL DEL EGRESADO Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar, y les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional e influir en él), contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc. Estas competencias junto con las disciplinares básicas constituyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato. Se autodetermina y cuida de sí 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. Se expresa y se comunica 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Piensa crítica y reflexivamente 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. Aprende de forma autónoma 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Trabaja en forma colaborativa 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participa con responsabilidad en la sociedad 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS DEL CAMPO DE LAS MATEMÁTICAS

Las competencias disciplinares de Matemáticas buscan propiciar el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los estudiantes. Un estudiante que cuente con las competencias disciplinares de matemáticas puede argumentar y estructurar mejor sus ideas y razonamientos. Las competencias reconocen que a la solución de cada tipo de problema matemático corresponden diferentes conocimientos y habilidades, y el despliegue de diferentes valores y actitudes. Por ello, los estudiantes deben poder razonar matemáticamente, y no simplemente responder ciertos tipos de problemas mediante la repetición de procedimientos establecidos. Esto implica el que puedan hacer las aplicaciones de esta disciplina más allá del salón de clases. Las competencias propuestas a continuación buscan formar a los estudiantes en la capacidad de interpretar el entorno que los rodea matemáticamente.

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

 

Bloque I

Realizas operaciones aritméticas y algebraicas

DESEMPEÑOS A DEMOSTRAR: • • • • • •

Jerarquiza operaciones numéricas al realizarlas Realiza operaciones aritméticas, siguiendo el orden jerárquico al efectuarlas Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones Identifica las operaciones de suma, resta, multiplicación de polinomios de una variable. Ejecuta sumas, restas y multiplicaciones con polinomios de una variable. Emplea productos notables para determinar y expresar el resultado de multiplicaciones de binomios.

COMPETENCIAS A DESARROLLAR: • • • • •

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos y algebraicos, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones matemáticas. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

Objeto de aprendizaje: Números racionales

SITUACIÓN DIDÁCTICA: En la vida diaria te encuentras con actividades que involucran operaciones con diferentes cantidades, y no siempre esas cantidades son números enteros. Así en el mercado compramos ¼ de jamón o ½ kilo de queso, multiplicamos por los costos y cantidades correspondientes, sumamos o restamos para el cambio, etc. En Matemáticas le llamamos operaciones con números racionales. Cuando utilizas el transporte debes pagar una cierta cantidad de dinero, ¿cómo le haces para saber si el cambio es correcto? Si utilizas un café Internet para platicar con tus amigos es necesario saber cuánto tiempo puedes pagar con el dinero que llevas, si te preocupan las dietas debes conocer estas operaciones para no exceder las calorías de cada alimento que necesitas en el día. ¿Qué otras actividades que necesiten llevar a cabo operaciones con números racionales puedes mencionar?

1

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas Actividad

1

Deja que te cuente: Empecé con 8 estampas para juntar las necesarias de un álbum. Durante 4 días reuní 5 estampas diarias, además mi primo Lalo me regaló la mitad de sus 28 estampas. Hice una operación para saber el total de mis estampas reunidas, he aquí la operación 28 planteada: 8 + 5 × 4 + = 66 . 2 Participa en una lluvia de ideas acerca de los procedimientos para solucionar el caso anterior y contesta las siguientes preguntas: 1. ¿El resultado obtenido corresponde al conteo real de las estampas?

2. ¿Qué resultado obtienes al invertir la operación de la siguiente manera

28 + 5× 4 + 8 = ? 2

3. ¿Qué resultado obtienes si se ordena de diferente forma?

4. ¿Qué opinas de los resultados obtenidos?

5. ¿Cómo se puede asegurar el resultado correcto de la situación planteada de manera que no haya duda qué operación se debe realizar primero?

2

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas

Actividad

2

En el salón de Lupita, por ser semana de inicio de clases decidieron preparar una ensalada de frutas. La maestra tutora les pidió comprar los siguientes ingredientes: Plátanos 1 ½ kg, uvas ¾ kg, ciruelas 0.75 kg, peras 1.25 kg, manzanas 1 ¼ kg, naranjas 2.50 kg, piña ¾ kg, duraznos 0.80 kg, melón 2.40 kg y sandía 2 ¼ kg. ¿Cuántos kilogramos de fruta se comprará?

Participa con tus compañeros de equipo para realizar lo siguiente: 1.- Expresa en números fraccionarios las cantidades dadas en decimales y en fracciones mixtas.

2.- Una vez que todas las cantidades estén en fracciones, agrúpalas de acuerdo a su denominador, y realiza la suma de las fracciones con denominador común.

3.- ¿Cuál es la cantidad total de fruta que se tiene que comprar, expresada en fracción?

3

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas 4.- La maestra tutora decidió aportar 1/5 parte de la fruta que se va a comprar, ¿con cuántos kilos ayudará? ¿Cuánto dinero le corresponde pagar a la maestra si en total se gastará en fruta 260 pesos?

5.- Una vez preparada toda la fruta se repartió en doce cacerolas, 4 de ellas eran de vidrio y las otras de plástico. ¿Qué fracción de la fruta total está en cacerola de vidrio?

6.- Elabora un algoritmo que describa el proceso que se lleva a cabo al realizar las operaciones básicas con números racionales, escribe un ejemplo específico.

7.- Participa activamente en la resolución de los ejercicios propuestos por el maestro para el desarrollo de la competencia, involucrando operaciones aritméticas, haciendo énfasis en las operaciones con fracciones.

4

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas Ejercicio EC01: Operaciones básicas aritméticas

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas y ejercicios y otros que proponga tu maestro, sobre operaciones básicas con fracciones.

Operaciones de suma y resta:

1.- La rondalla de la escuela entrenó 4 1/3 de horas el lunes, 3 ¼ de horas el martes, 2 ¼ de horas el jueves y el viernes se me olvidó cuanto tiempo, pero en total entrenó 12 horas. ¿Cuántas horas entrenó el viernes?

2.-

1/2 + 2/5 + 1/4 =

3.-

4½ - 2¼ =

4.- Otros sugeridos por el profesor.

Operaciones de multiplicación y división: 1.- El tinaco de agua potable que se encuentra en la unidad deportiva tiene capacidad para almacenar 320 litros de agua. Si está lleno hasta 5/8 de su capacidad y se estima que cada usuario toma 4/3 de litro de agua, ¿para cuántas personas se espera que alcance el agua?

4 3 5 4

2.- 2( )( )

5

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas 2 4( ) 3 3.2 5

4.- Otros sugeridos por el profesor.

Operaciones mixtas con y sin paréntesis:

1.- Empecé mi entrenamiento para bajar de peso, pero me recomendaron aumentar gradualmente el recorrido sobre la pista, así que el primer día corrí 4 vueltas, el segundo día 4 1/5 de vueltas, tres días seguidos solamente 4 ¾ de vueltas, el sexto día 5 vueltas y el séptimo día le agregué 7/4 de vuelta más que el segundo día. ¿Cuántas vueltas di la primera semana?

1  3

1 5

1 4

2.- 2  − ( + )

3.- {3 – [2 + 5(3 – 5) + (-2) – 6]}

3 1 − 4.- 2 4 4 3

6

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas Ejercicio EC02: Integrador operaciones con fracciones1

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar tu aprendizaje, realiza correctamente las siguientes operaciones con números fraccionarios, no utilices la calculadora. Ejercicio 1.

5 2 1 − × = 12 6 2

2.

1 1 3 × + = 2 4 8

3.

−3 2 1 ÷ − = 9 6 3

4.

7 − 1 25 + ÷ = 3 2 −9

5.

5 2 −5 × ÷ = −8 3 6

6.

3 5 7 − x = 8 4 2

Desarrollo y solución

3 5 2 5 − + ÷ 8 4 7 4

7. 

8.

− 41 7 10 + + = 3 − 5 15

9.

6 3 +5− = 9 4

10.

1 5  6 2 8 × − − + 3 4  10 4  15

1

Gabriel Huesca Aguilar, Álgebra Intermedia I, Colegio de Bachilleres de B.C., 2007, página 10.

7

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas

LISTA DE COTEJO

Datos de Identificación: Alumno Grupo Evidencia

Ev01: Operaciones aritméticas con fracciones

Asignatura

Algebra Intermedia I

Bloque

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas.

Evalúa Criterios de desempeño (Valor máximo 20%) Criterios de desempeño 1. Presenta en tiempo establecido 2. Respeta las reglas de orden y limpieza en cada ejercicio 3. Presenta el ejercicio EC01: Operaciones básicas aritméticas A. Resuelve correctamente las operaciones de suma y resta B. Resuelve correctamente las operaciones de multiplicación y división C. Resuelve correctamente las operaciones mixtas con y sin paréntesis 4. Al menos 8 de las operaciones del ejercicio EC02: Integrador de operaciones con fracciones se resolvieron correctamente

Evaluación: ________

Observaciones y comentarios:

8

SÍ

NO

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas Objeto de aprendizaje:

Expresiones algebraicas 1. Realizar una investigación en bibliografía básica o copias de direcciones electrónicas que contengan las leyes de los exponentes. Sugerencias de fuentes de información: • • •

http://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/exponentes-leyes.html http://yachay.stormpages.com/04ent/e4p.htm

Ejercicio EC03: Leyes de los exponentes

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: __5_______

Instrucciones: Elabora un esquema que muestre las leyes de los exponentes, incluye un ejemplo concreto y en las siguientes oraciones anota si es verdadero o falso según corresponda. 1.- Al multiplicar dos potencias de igual base, el resultado es la misma base y se suman los exponentes _____________.

2.- Al multiplicar dos potencias de diferente base, el resultado es la misma base menor y se restan los exponentes _____________.

3.- Todo número elevado a la cero potencia tiene como resultado la unidad__________.

4.-

35 = 32 33

___________.

5.- Si

a −m =

1 1 −m , significa entonces que 4 = ____________. m a − 4m

6.- Si

a −m =

1 23 1 , significa entonces que = 2 −2 = 2 ____________. m 5 a 2 2

9

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas 7.- (43)2 = 43 + 2 = 45 ____________.

( )

2 8.- 4

9.-

−3

 1  1  1  =  2  2  2  ______________.  4  4  4 

a3 = a 3−3=0 = 0 _____________. 3 a

10.- 32 + 32 = 34 _____________.

Ejercicio EC04: Simplificación de expresiones racionales

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Realiza las siguiente simplificaciones, aplicando correctamente las leyes de los exponentes en cada caso que presenta el maestro.

Regla de la multiplicación: 1.- (3) (3) 5

3

2.-

(x )2 (x )4 (x )3

3.-

(2 xy )(3x 2 y 3 )( y )−3

4.- Otros sugeridos por el profesor.

10

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas Regla de la división: 26 23

1.-

4x5 y 2.2x4 y 2

3.-

3x 3 yz −2 9x6 y 4

4.- Otros sugeridos por el profesor.

Regla de la potencia:

( )

1.- 5

(

2 3

2

2.- a b

3.-

(2 x

2

)

4 2

y −2 z

)

4

11

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas 4.- Otros sugeridos por el profesor.

Reglas combinadas:

(

3 −2

1.- 3a b

2 4 2

(2 x )(3x y ) (4 xy ) 3

2.-

)(a b )

2

3

5

3.- Otros sugeridos por el profesor.

Notación científica: 1.- La distancia entre el planeta Saturno y Neptuno es de 3074.9 x 106 km. Si una nave espacial viaja de un planeta a otro a una velocidad de 18.9 x 104 km, ¿en cuánto tiempo llegará? Posteriormente la nave espacial decide viajar de Saturno al planeta Tierra a la misma velocidad, tardando 67.71 x 102 horas, ¿cuál es la distancia entre el planeta Tierra y Saturno?

2.-

(0.00035)(500,000) 0.00005

3.- Otros sugeridos por el profesor.

12

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas Ejercicio EC05: Integrador leyes de los exponentes2

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar la competencia para manejar las leyes de los exponentes, simplifica las siguientes expresiones algebraicas. Ejercicio Desarrollo y solución 1.

x 2 y −3 = xz − 2

2.

2a 3b + 3a 3b =

3.

(2a 2 bc 4 ) 3 =

4.

( x 2 y −5 x 3 ) 2 =

5.

( x 3 y 8 ) −4 =

6. (3x 2 y −2 ) −2 =

 x 3 y −4 z  xy 5 z 2  4 − 2  2 3 2  xy z  x y z

7. 

  = 

x4 y5z2 = 8. x 2 y 4 z −2

 2 x −3   9.  2   xy 

(x 10. (x

2

−2 2

−2

yz 2

=

)

y 3 z −3

−5

)

3

=

Gabriel Huesca Aguilar. Op cit. página 20 y 21.

13

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas

LISTA DE COTEJO

Datos de Identificación: Alumno Grupo Evidencia

Ev02: Operaciones con expresiones algebraicas

Asignatura

Algebra Intermedia I

Bloque

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas.

Evalúa Criterios de desempeño (Valor máximo 15%) Criterios de desempeño 1. Presenta en tiempo establecido 2. Respeta las reglas de orden y limpieza en cada ejercicio 3. Presenta el ejercicio EC03: Leyes de los exponentes 4. Presenta el ejercicio EC04: Simplificación de expresiones racionales A. Utiliza correctamente la regla de la multiplicación B. Utiliza correctamente la regla de la división C. Utiliza correctamente la regla de la potencia D. Utiliza correctamente las reglas en ejercicios mixtos E. Utiliza correctamente notación científica. 5. Al menos 8 de los ejercicios del EC05: Integrador de leyes de los exponentes se simplificaron correctamente

Evaluación: ________

Observaciones y comentarios:

14

SÍ

NO

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas Don Luis el carpintero desea construir un mueble para estantería, el cual es indispensable que tenga dos áreas cuadradas, donde el cuadrado mayor mida por lado, una unidad menor que el doble del largo del cuadrado menor. El área total del mueble será de 121 pies cuadrados.

1.- Plantea la forma de calcular el área del cuadrado mayor. Resuelve y simplifica la expresión resultante.

2.- Plantea la forma de calcular el área del cuadrado menor.

3.- Plantea la forma de calcular el área de cada uno de los rectángulos. Resuelve y simplifica las expresiones resultantes.

4.- Suma todas las expresiones resultantes, del cuadrado mayor, del cuadrado menor y de los rectángulos y simplifica de la forma Ax2 + Bx + C = 0

5.- La suma de las áreas de las cuatro secciones es de 121 pies. Iguala la expresión obtenida en el paso anterior a este número.

6.- Realiza la multiplicación de las áreas de otra manera, llegando a la misma expresión del área total.

15

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas Ejercicio EC06: Los productos notables

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Realiza una investigación acerca de los productos algebraicos que se utilizan con mayor frecuencia y el proceso o reglas para que se desarrollen fácilmente. En una ficha bibliográfica elabora un algoritmo donde presente los pasos para desarrollar cada producto notable, ejemplificándolo con un caso específico.

16

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas Ejercicio EC07: Productos notables

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: En binas de trabajo comparte con tu compañero el algoritmo para desarrollar productos notables y participa activamente en la transformación de los ejercicios propuestos por el maestro.

Binomios al cuadrado: 1.- El espacio para mi escritorio, que tiene forma de cuadrado, es muy pequeño. Por lo que he decidido aumentarle seis pies a cada lado, y de esta manera el área se cuadruplica. Determina la expresión algebraica del tipo Ax2 + Bx + C = 0, que ayudaría a calcular las dimensiones que actualmente tiene el espacio para mi escritorio. 2.- (2x + 3)2 3.- (4a – 2b)(4a + 2b)

2  4.-  x 2 − 2  3 

2

5.- Otros sugeridos por profesor.

Binomios al cubo: 1.- Una empresa determina que el costo de producción de “x” artículos es de (45 + 2x)3. Desarrolla este producto. Determina la expresión algebraica del tipo Ax2 + Bx + C = 0, que ayudaría a calcular la edad que tiene Arturo. 2.- (7x – 2)3 3.- (x – 5)3 4.- (2a + 3)3

5.- Otros sugeridos por profesor.

17

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas Binomios conjugados: 1.- Arturo tiene “x” cantidad de años, de tal manera que si le agregamos dos años a su edad y luego a su misma edad le restamos dos años, el producto es 140 años.

2.- (2x – 3)(2x + 3)

3.- (4x2 + 5)(4x2 – 5)

5 4

 5 2  x + 2x   4 

2 4.-  x − 2 x 

5.- Otros sugeridos por profesor.

Binomios con término común: 1.- Pedro tiene un terreno de hortalizas cuya longitud mide el doble que lo ancho, pero tiene pensado aumentar la longitud en 40 m y al ancho 6 m, de esta manera el área será doble. Determina la expresión algebraica del tipo Ax2 + Bx + C = 0, que ayudaría a calcular las dimensiones del nuevo terreno.

2.- (3z – 4)(3z + 2)

3.- (2x + 2)(3x + 2) 4.- (3x – 2)(5x – 3) 5.- (x2 + y)(x2 + 2y) 6.- Otros sugeridos por profesor.

18

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas Ejercicio EC08: Integrador productos notables3

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar la competencia para desarrollar productos notables, transforma correctamente los siguientes ejercicios:

1. (4ab2 + 6xy3)2

2. (xa+1 + yb-2)2

3.

(3x4 -5y2)2

4. (xa+1 - 4xa-2)2

5. (5a + 10b)(5a - 10b)

6. (7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3)

7. (x + 4)3

8. (5x + 2y)3

9. (2x2y + 4m)3

3

Productos notables, Ejercicios, s/a, http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/ejercipn.htm (acceso 24 de junio de 2011).

19

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas 3

4 3

10. (3a - 7xy )

11. (x + 5)(x + 3)

12. (a + 9)(a - 6)

13. (y - 12)(y - 7)

3

3

14. (4x + 15)(4x + 5)

a+1

15. (5y

+ 4)(5ya+1 - 14)

20

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas

ESCALA DE VALORES Datos de Identificación: Alumno Grupo Evidencia

Ev03: Productos notables

Asignatura

Álgebra Intermedia I

Bloque

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas.

Evalúa Criterios de desempeño (valor máximo 15%) Criterios

Excelente Bueno Suficiente Deficiente

1. Presenta en tiempo establecido 2. Respeta las reglas de orden y limpieza en cada ejercicio 3. Presenta el ejercicio EC06: Los productos notables y muestra los pasos necesarios para transformar los productos notables. 4. Presenta el ejercicio EC07: Productos notables A. Transforma los binomios al cuadrado B. Transforma los binomios al cubo C. Transforma los binomios conjugados D. Transforma los binomios con termino común 5. Al menos 12 de los ejercicios del EC08: Integrador productos notables se desarrollan correctamente

Evaluación: ________

Observaciones y comentarios:

21

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas Ejercicio EC09: Producto integrador del bloque I Nombre: _________________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar tu aprendizaje del bloque I, elige un problema de la vida cotidiana que puedas resolver, aplicando las competencias y desempeños desarrollados.

Problema seleccionado:

¿Por qué es importante o interesante el problema propuesto?

Datos relevantes

Planteamiento y solución

Análisis para responder la pregunta:

Para terminar de evidenciar prepara la exposición del problema ante el grupo o entregar reporte al maestro como evidencia integradora

22

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas

RÚBRICA DE EVALUACIÓN

Datos de Identificación: Alumno

Asignatura Algebra Intermedia I

Grupo

Bloque

Evidencia

Ev04: Proyecto integrador del bloque

Criterios de la rúbrica (Valor máximo 10%) Criterio Excelente (5) Se trata de un problema de la vida real, de actualidad, fácil de entender, muestra fácilmente los Problema datos, el planteamiento, solución e interpretación del resultado de forma sencilla.

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas.

Evalúa

Bueno(4)

Suficiente(3)

Deficiente

Se trata de un problema de la Se trata de un problema, que Sólo presenta el vida real, muestra fácilmente los muestra fácilmente los datos, problema, el datos, el planteamiento, el planteamiento, solución e planteamiento y la solución e interpretación del interpretación del resultado. solución. resultado.

La información tiene estructura adecuada, explica claramente el Presentación problema y la solución, utiliza la creatividad y los que la leen opinan que es muy buena.

el Presenta La información tiene estructura Presenta información, explica problema y la adecuada, explica el problema y el problema y la solución, y los solución, y los que la solución, y los que la leen que la leen opinan que es la leen opinan que opinan que es buena. regular. no es buena.

Tiempo de entrega

Al siguiente día

El día que se pide

Puntos

Dos días después

Una después

semana

Evaluación: ___

23

I: Realizas operaciones aritméticas y algebraicas

Bloque II

Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales.

DESEMPEÑOS A DEMOSTRAR: • • • • • •

Comprende las diferentes técnicas de factorización, tales como factor común, agrupación de términos, trinomios cuadrados perfectos, no perfectos y diferencia de cuadrados. Formula expresiones en forma de producto, utilizando técnicas de factorización. Escribe expresiones racionales en forma simplificada utilizando factorización. Usa diferentes técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable. Identifica el modelo algebraico de una ecuación cuadrática con una variable. Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas con una variable, completa e incompleta.

COMPETENCIAS A DESARROLLAR: • • • • •

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos y algebraicos, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones matemáticas. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

Objeto de aprendizaje: Factorización

1ra SITUACIÓN DIDÁCTICA En nuestra vida diaria encontramos situaciones cuyos datos son parcialmente conocidos, con estas cantidades podemos realizar operaciones básicas que te permiten conocer el valor de las mismas, aplicando técnicas como la factorización y solución de ecuaciones que te ayudará a resolver problemas que pueden ser edades, áreas de polígonos, volúmenes, salarios, etc. Analiza el siguiente caso: Elena compró un terreno de forma rectangular cuya área es de 160m2, si de fondo tiene el doble del frente más 4 metros, ¿cuáles son las dimensiones del terreno?

25

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales Actividad

1

Participa en una lluvia de ideas acerca de los procedimientos para solucionar el caso anterior y contesta las siguientes preguntas: 1. ¿Qué busca encontrar el problema?

2. ¿Qué datos proporciona el problema?

3. ¿Cómo puedes expresar en forma algebraica los datos que proporciona el problema (frente y fondo)?

4. ¿Cómo se relacionan los datos del problema?

5. ¿Qué necesitas saber para resolver el problema?

6. Elabora una reflexión acerca de la importancia de conocer diferentes métodos de factorización para resolver problemas de la vida cotidiana.

26

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales

Actividad

2

En equipo de 3 personas, analicen los diferentes métodos de factorización que recuerde cada uno, utilicen la bibliografía básica para despejar dudas y las ligas propuestas en caso necesario. Sugerencias de fuentes de información:










http://www.slideshare.net/guervos/factorizacin-de-polinomios http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/algebra/factorizacion-de-polinomioalgun.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/factorizacion/factorizacion_polinomios.htm http://azul2.bnct.ipn.mx/algebra/factorizacion.PDF http://ejercicioscasosdefactorizacion.blogspot.com/ http://www.youtube.com/watch?v=x01aAZ8sPiU

Ejercicio EC10: Casos de factorización

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Escucha con atención las indicaciones de tu maestro, realiza las intervenciones que te ayuden a entender sus instrucciones y a continuación completa el siguiente cuadro: Nombre del caso: Fórmula (si existe): Algoritmo o pasos para transformarlo

Expresión algebraica (ejemplo)

27

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales Nombre del caso: Fórmula (si existe): Algoritmo o pasos para transformarlo

Expresión algebraica (ejemplo)

Nota: Sacar copias para completar los métodos.

Actividad

3

Elige un compañero para trabajar en pares e intercambia tus ejercicios seleccionados previamente para que después realices una actividad de coevaluación y enseguida reforzar la competencia con los siguientes ejercicios.

Ejercicio EC11: Factor común y Agrupación de términos

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Escucha con atención las indicaciones de tu maestro, realiza las intervenciones que te ayuden a entender sus instrucciones y a continuación resuelve los siguientes ejercicios de factorización, utilizando el método de factor común y agrupación de términos. 1.-

2x2 + 6x

2.-

3x2 - 9x

28

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales 3.-

2x3 + 8x

4.-

5x4 + 6x3

5.-

2 2 1 4 x − x 3 6

6.- 9x4 + 6x3 – 3x2

7. - abc2 – 2a2bc3 + a3bc

8. - (x – 1)(x+3) – (x – 1)(x – 4)

9. - ax + bx – ay – by

10.- 5x2 - 6y – 2y2 + 10x

29

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales 11.- 4x2 + 2x – 4y3 – 2y2

12.- a2 + ab – 2b2 + 2ª – 2b

Ejercicio EC12: Diferencia de cuadrados

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Escucha con atención las indicaciones de tu maestro, realiza las intervenciones que te ayuden a entender sus instrucciones y a continuación realiza los siguientes ejercicios de factorización, utilizando el método de diferencia de cuadrados. 1.-

x2 – 25

2.- 4x2 – 49

3.-

x2 – 36y2

4.-

x4 – 9y2

30

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales 5.-

1 2 4 x − 9 16

6.- 4 – 9a2b4

7.- 16x2 – 144

8.-

4 2 1 4 x − y 49 4

9.- 36 – 81a2

10.- 25a2x2 – 121a2

31

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales Ejercicio EC13: Polinomios de la forma ax2+bx+c

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Escucha con atención las indicaciones de tu maestro, realiza las intervenciones que te ayuden a entender sus instrucciones y a continuación realiza los siguientes ejercicios de factorización utilizando el método de polinomios de segundo grado. 1.- x2 – 14x + 49

2.- x2 – 16x + 64

3.- x2 – 17x + 70

4.- x2 – 9x + 20Ç

5.- x2 + 13x + 42

6.- x2 – 3x – 40

32

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales 7.- x2 – 2xy – 8y2

8.- 36x2 – 36x + 9

9.- 81x2 – 54x + 9

10.- 2x2 – 4x – 16

11.- 3x2 – 19x + 20

12.- 6x2 + 7x - 20

33

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales Ejercicio EC14: Integrador factorización de polinomios1

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar tu aprendizaje, simplifica correctamente las siguientes expresiones, aplicando el caso o los casos de factorización que sean necesarios. Ejercicio Desarrollo y solución

1

1.

x 2 + 11x + 18 x 2 + 6x + 8

2.

x 2 + 6x + 9 2 x 2 + 8x + 6

3.

3 x 2 − 48 = x 2 + 8 x + 16

4.

x 2 − 36 = 4 x 2 − 16 x − 48

5.

2 x 2 + 4 x − 30 = x 2 + 9 x + 20

6.

x 2 − 12 x + 20 = 5 x 2 + 25 x − 70

7.

3 x 2 − 192 = 3 x 2 + 12 x − 96

8.

6 x 2 − 24 x − 126 = 2 x 2 − 10 x − 28

9.

5 x + 45 = x + 5 x − 36

10.

2 x 2 + 18 x − 72 = ( x − 3) 2

2

Gabriel Huesca Aguilar. Op. cit. página 30.

34

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales

LISTA DE COTEJO Datos de Identificación Alumno Grupo Evidencia

Ev06: Expresiones algebraicas factorizables

Asignatura

Algebra Intermedia I

Bloque

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales

Evalúa Criterios de desempeño (valor máximo 15%) Criterios de desempeño 1. Presenta en el día establecido 2. Respeta las reglas de orden y limpieza en cada ejercicio 3. Presenta el ejercicio EC10: Casos de factorización 4. Presenta el ejercicio EC11: Factor común y los ejercicios intercambiados con su compañero de coevaluación. 5. Presenta el ejercicio EC12: Binomios al cuadrado y los ejercicios intercambiados con su compañero de coevaluación. 6. Presenta el ejercicio EC13: Polinomios de la forma ax2+bx+c y los ejercicios intercambiados con tu compañero de coevaluación. 7. Al menos 8 de los ejercicios del EC14: Integradora: Factorización de polinomios presentan el procedimiento adecuado para la simplificación. Coevaluación realizada por: _________________________________________________

Evaluación: ________

Observaciones y comentarios:

35

SÍ

NO

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales Objeto de aprendizaje: Ecuaciones lineales racionales

2da. SITUACIÓN DIDÁCTICA Analiza el siguiente caso: Adriana compró unos zapatos y le quedaba la mitad de lo que tenía menos $30, al prestar 2/3 de lo que le quedaba se dio cuenta que tenía $260. ¿Cuánto tenía en un principio?

Actividad

4

Participa en la lluvia de ideas acerca de los procedimientos para solucionar el anterior caso presentado y contesta las siguientes preguntas. 1. ¿Qué se pretende encontrar el problema?

2. ¿Qué datos proporciona?

3. ¿Cómo puedes expresar en forma algebraica los datos que proporciona el problema (costo de los zapatos, lo que presto y lo que le quedaba después de prestar)?

4. ¿Cómo se relacionan los datos?

5. ¿Qué necesitas saber para resolverlo?

36

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales 6. Elabora una reflexión acerca de la importancia de conocer diferentes métodos para resolver ecuaciones lineales para resolver problemas de la vida cotidiana.

Actividad

5

Analiza la siguiente lectura y contesta las preguntas que aparecen después, y sigue el procedimiento indicado: -¡No entiendo por qué tenemos que aprender a resolver ecuaciones!-Exclamaba Arturo después de terminada la clase de Matemáticas. -¡Ni que tuviéramos necesidad de hacerlo! -Lo secundaba Tobías. Sin que ambos lo notaran Cecilia los había escuchado, se acerca a ellos con una cara muy afligida. -Muchachos, ayúdenme, necesito repartir estas calendarios y si no lo hago pronto perderé mi trabajo, pero además debo entregar otras agendas. –No te preocupes, nosotros llevaremos los calendarios -contestó Arturo, -¿Qué tan difícil puede ser? -Realmente no, solamente sigan las escritas en el papel, y entréguenlos indica, muchas gracias muchachos. Cecilia al momento que les dejaba los les escribía las instrucciones.

instrucciones tal como se Se despidió calendarios y

“Entregar los 310 calendarios de la siguiente manera: Al local A se le darán 20 menos que al local B y 40 más que al local C, de no hacerlo así estaré despedida” ¡Bonita cosa!, ¿y ahora qué hacemos? -preguntó angustiado Tobías;-¡Pues qué más! A pensar y resolver este acertijo. -Primero los datos disponibles, tres locales, A, B y C. –Recuerdo que el profesor dijo que hay que utilizar una variable -se esforzaba Arturo por pensar en un procedimiento. -Le llamaremos x al local B, de esta manera, si el local A debe tener 20 calendarios menos que el local B, entonces el local A tendrá x – 20 -Tobías también hacia su esfuerzo. 37

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales -Y entonces el local C tendrá 40 calendarios menos que lo que le corresponden al local A, es decir, le entregaremos (x – 20) – 40 calendarios –concluyó diciendo Arturo. Tomando papel y lápiz, hicieron las operaciones necesarias, ya sólo les quedaban algunos minutos para hacer las entregas. -Tobías, ¿qué vas a hacer una vez que entreguemos los calendarios? -No lo sé, pero te aseguro que no pienso preocuparme por saber para qué me sirve resolver ecuaciones de Matemáticas.

1.- ¿Cuáles son los datos que intervienen en el problema que tratan de resolver Arturo y Tobías?

2.- Si al Local B se le asignó la variable “x”, entonces, de acuerdo a las condiciones del problema: Local A ______________ Local C ______________

3.- Plantear la ecuación que ayudará a resolver este problema (igualando a la suma total de calendarios).

4.- Resuelve la ecuación lineal resultante. ¿Qué valor le corresponde a “x”?

5.- Tobías y Arturo entregaron 70 calendarios en el local C. ¿Hicieron lo correcto?

38

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales Actividad

6

Elige un equipo de trabajo de 2 ó 3 personas para trabajar colaborativamente, aportando ideas que faciliten la solución de las ecuaciones racionales lineales con una incógnita, participando activamente en plenaria, aplicando procedimientos para transformar la ecuación fraccionaria a una con coeficientes enteros.

Ejercicio EC15: Ecuaciones lineales

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Escucha con atención las indicaciones de tu maestro, realiza las intervenciones que te ayuden a entender sus instrucciones y resuelve correctamente las siguientes ecuaciones lineales.

Coeficientes enteros: 1.- Entre Lupita y María lograron juntar 152 estampitas. María, que siempre ha sido más activa, pudo aportar 22 estampitas más que su amiga. ¿Cuántas estampitas juntó Lupita?

2.-

2(x – 2) = 3(2x + 6)

3.-

5(4x – 1) – 2(5x – 5) = 20(x + 1)

4.-

3(x + 2) + (x – (- 3)) + 4 = 29

5.Mario, Artemio y José decidieron también juntar estampitas, ellos lograron obtener 325. Mario juntó 80 estampitas más que Artemio y José 25 estampitas menos que Artemio. ¿Cuántas juntó cada quien? 6.-

x + 3(x – 1) = 6 – 4(2x + 3)

7.-

2(3x – 1) = - 4(x + 2)

8.- De las 90 estampitas que tiene Artemio, algunas son de deportistas, otras de paisajes y algunas más son de animales exóticos. Las de deportistas son 20 más que las de animales y las de paisajes 16 menos que las de deportistas. ¿Cuántas son de cada una?

9.- (4 – x) – (x – 5) = 4(x - 3)

39

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales 10.- Don Serafín les regaló 300 estampitas de paisajes a Mario, Artemio y José y las repartió de modo que Artemio tenga el doble que Mario y José el triple que Mario. ¿Cuántas estampitas tiene Mario?

Ejercicio EC16: Ecuaciones lineales

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Escucha con atención las indicaciones de tu maestro, realiza las intervenciones que te ayuden a entender sus instrucciones y resuelve correctamente las siguientes ecuaciones lineales.

Coeficientes fraccionarios: 1.- Raúl tiene 21 años y su padre 52. ¿En cuántos años la edad de Raúl será la mitad de la que su padre?

2.-

11x 9 x 10 + = 18 18 3

3.-

5x 1 + = −(2 x + 5) 12 6

4.- La edad de Pedro es 3/4 partes de la edad de Jorge, pero dentro de 4 años será 5/6 partes de esa misma edad. ¿Cuántos años tiene Jorge?

5.-

6.-

1 1 2 3  x + = − − x  3 5 3 5 

x 2 7 + = 2 3 6

7.- La suma de las edades de Ana y Graciela es 65 años. Dentro de 10 años la edad de Graciela será 5/12 de la de Ana. ¿Cuál es la edad de cada una? (Sugerencia: llama “x” a la edad de Ana y “65 – x” a la edad de Graciela). 40

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales 8.-

3x −

9.- 4 −

2x x 7 = − 5 10 4

10 x + 1 16 x + 3 = 4x − 6 4

10.Una persona tiene los ¾ de la edad de su hermana. Dentro de un número de años igual a la edad actual del mayor, la suma de ambas edades será 75 años. ¿Cuántas años tiene cada una?

Ejercicio EC17: Ecuaciones lineales

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Reúnete con tu equipo, lee con atención los siguientes problemas y resuélvanlos. Algunos están relacionados entre sí, por lo que tienen que trabajar colaborativamente, resolviendo cada uno en el orden establecido.

Aplicaciones: El grupo 501 de la capacitación de Contabilidad tiene 52 alumnos. El número de mujeres excede en diez a la mitad del número de hombres. ¿Cuántos hombres y mujeres hay? Para recabar fondos para su graduación, los hombres decidieron vender 3 camisetas cada uno. De la totalidad de camisetas, las blancas son 8 menos que las de color. ¿Cuántas son de cada una? Por las camisetas blancas cobraron 50 pesos y por las de color 60 pesos. El total recabado deciden dividirlo en tres partes, de modo que la parte mayor sea 240 pesos más que la cantidad menor y la cantidad intermedia 200 pesos menos que la cantidad mayor. ¿A cuánto equivale la cantidad mayor? El jefe de grupo, que hizo la división de las cantidades expresó: “Si la cantidad mayor la divido entre 100, será exactamente mi edad”. ¿Cuántos años tiene? Las mujeres por su parte deciden vender boletos para una rifa. No todos los 60 boletos se vendieron. Si a la totalidad de boletos vendidos se le restaran 15 se tendría el doble de los boletos no vendidos. ¿Cuánto se recabó si cada boleto cuesta 20 pesos? Finalmente, hombres y mujeres decidieron vender pasteles horneados por ellos mismos. Las mujeres vendieron 4 veces el número de pasteles que vendieron los hombres. Si las mujeres hubieran vendido 15 pasteles menos y los hombres 21 pasteles más, ambos hubieran vendido la misma cantidad de pasteles. ¿Cuántos pasteles vendieron cada uno? 41

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales Ejercicio EC18: Integrador ecuaciones lineales2

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar la competencia para resolver ecuaciones lineales fraccionarias, resuelve correctamente las siguientes ecuaciones lineales. Ejercicio Desarrollo y solución

2

1.

x −8 = 0 3

2.

4x 7 x + =3 3 6

3.

9x − 6 =2 3x

4.

2 x + 5 3x − 8 = 3 4

5.

x − y 2x + y = 12 5

6.

3y + 5 3 = 6y − 4 4

7.

2 1 − =0 y +4 y −3

8.

2x − 5 5 = 4x + 4 3

9.

x − 2 3x + 2 + =3 4 6

10.

x 2x + 4 − =0 12 5

Gabriel Huesca Aguilar. Op. cit. página 37.

42

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales

ESCALA DE VALORES Datos de Identificación: Alumno Grupo Evidencia

Ev07: Ecuaciones Lineales

Asignatura

Álgebra Intermedia I

Bloque

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales

Evalúa Criterios de desempeño (valor máximo 15%) Criterios

Excelente Bueno Suficiente Deficiente

1. Presenta el día establecido 2. Respeta las reglas de orden y limpieza en cada ejercicio 3. Presenta evidencia del análisis realizado acerca del caso de Adriana. 4. Presenta el ejercicio EC15: Las ecuaciones lineales con coeficientes enteros. 5. Presenta el ejercicio EC16: Ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios. 6. Presenta el ejercicio EC17: Ecuaciones lineales: Aplicaciones 7. Presenta el ejercicio EC18: Integrador Ecuaciones Lineales

Evaluación: ________

Observaciones y comentarios:

43

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales Objeto de aprendizaje: Ecuaciones cuadráticas

Ejercicio EC19: Solución de ecuaciones cuadráticas Nombre: _________________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Escucha con atención las indicaciones de tu maestro, realiza las intervenciones que te ayuden a entender sus instrucciones y a continuación elabora un reporte donde presentes los pasos para resolver ecuaciones cuadráticas en sus diferentes formas, ejemplificándolo con un caso particular. Sugerencias de fuentes de información:





http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado http://members.fortunecity.com/ceugev/cuadratic.html http://www.sapiensman.com/matematicas/matematicas44.htm http://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090127184501AACiXYz

44

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales Ejercicio EC20: Ecuaciones cuadráticas

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Escucha con atención las indicaciones de tu maestro, realiza las intervenciones que te ayuden a entender sus instrucciones y a continuación resuelve las ecuaciones cuadráticas propuestas por el maestro. De Números: 1.- La suma de dos números es 29 y su producto es 204. ¿Cuáles son los números? Sugerencia: como x + y = 29 y (x)(y) = 204, para resolver con una sola variable se despeja “y” de la primera ecuación y se sustituye su valor en la segunda ecuación: (x)(29 – x) = 204.

2.- Dos números son consecutivos y su producto es igual a su suma más 19. Sugerencia: Si un número es “x”, su consecutivo es (x + 1)

3.- La diferencia entre el cuadrado de un número positivo y 7 veces ese número es igual a 18. ¿A qué número nos referimos?

De Terrenos: 1.- El área de un terreno rectangular es 96 m2 y la suma del lado largo y el lado ancho es 20 m. (Misma sugerencia que el ejercicio 2: De números)

2.- A un terreno cuadrado se le aumentará 6 m por lado y entonces el área será cuatro veces mayor, ¿Cuál es la longitud del lado original?

3.- Calcula las dimensiones de un terreno rectangular cuya área es 30 hectáreas y su perímetro 22 hectáreas. (Sugerencia: recuerda que el perímetro es 2x + 2y = 22, y de aquí se despeja “y” para sustituir en la ecuación del área)

45

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales Ecuaciones cuadráticas mediante factorización: 1.-

2x2 = 22x – 60

2.- 2x2 - 30x = 3500

3.- 6x2 = - 7x + 3

4.- (6 + 2x)(10 + 2x) – 60 = 36

Ecuaciones cuadráticas mediante fórmula general: 1.-

12x2 - 11x + 2 = 0

2.- 6x2 = 2 - x

3.- 3 −

5 2 = x x2

46

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales Ejercicios EC21: Integrador de ecuaciones cuadráticas3 Nombre: _________________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar tu aprendizaje, resuelve correctamente las siguientes ecuaciones cuadráticas: 2

1) x = 81

2) 14x2 - 28 = 0

3) (x + 6)(x - 6) = 13

4) (2x - 5)(2x + 5) - 119 = 0

5) (x + 11)(x - 11) = 23

6) x2 = 7x

2

7) 21x + 100 = - 5

3

Ecuaciones de segundo grado, Ejercicios, s/a, http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/ejerec2.htm (acceso 22 de junio de 2011).

47

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales 8) 2x2 - 6x = 6x2 - 8x

2

2

9) (x - 3) - (2x + 5) = - 16

10) (4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x - 1)

2

11) x + 12x + 35 = 0

12) x2 - 3x + 2 = 0

13) x2 + 4x =285

2

14) 5x(x - 1) - 2(2x - 7x) = - 8

2

15) (x + 2) = 1 - x(x + 3)

48

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales

LISTA DE COTEJO

Datos de Identificación: Alumno Grupo Evidencia

Ev08: Ecuaciones cuadráticas

Asignatura

Álgebra Intermedia I

Bloque

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales

Evalúa Criterios de desempeño (valor máximo 15%) Criterios de desempeño 1. Presenta en el día establecido 2. Respeta las reglas de orden y limpieza en cada ejercicio 3. Presenta el ejercicio EC19: Solución de ecuaciones cuadráticas 4. Presenta el ejercicio EC20: Ecuaciones cuadráticas 5. Al menos 12 de las ecuaciones del ejercicio EC21: Integrador de ecuaciones cuadráticas.

Evaluación: ________

Observaciones y comentarios:

49

SÍ

NO

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales Ejercicio EC22: Producto integrador del bloque Nombre: _________________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar tu aprendizaje logrado en el bloque II, elige un problema de la vida cotidiana que puedas resolver, aplicando las competencias y desempeños desarrollados.

Problema seleccionado:

¿Por qué es importante o interesante el problema propuesto?

Datos relevantes

Planteamiento y solución

Análisis para responder la pregunta:

Para terminar de evidenciar, prepara la exposición del problema ante el grupo o entregar reporte al maestro como evidencia integradora.

50

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales

RÚBRICA DE EVALUACIÓN

Datos de Identificación: Alumno

Asignatura

Álgebra Intermedia I

Grupo

Bloque

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales

Evidencia

Ev09: Proyecto integrador del bloque

Criterios de la rúbrica (valor máximo 15%) Criterio Excelente (5) Se trata de un problema de la vida real, de actualidad, fácil de Problema entender, muestra fácilmente los EC22 datos, el planteamiento, solución e interpretación del resultado de forma sencilla.

Evalúa

Bueno(4)

Suficiente(3)

Deficiente

Se trata de un problema de la Se trata de un problema, que Sólo presenta el vida real, muestra fácilmente los muestra fácilmente los datos, problema, el datos, el planteamiento, el planteamiento, solución e planteamiento y la solución e interpretación del interpretación del resultado. solución. resultado.

La información tiene estructura adecuada, explica claramente el Presentación problema y la solución, utiliza la creatividad y los que la leen opinan que es muy buena.

Presenta el La información tiene estructura Presenta información, explica problema y la adecuada, explica el problema y el problema y la solución, y los solución, y los que la solución, y los que la leen que la leen opinan que es la leen opinan que opinan que es buena. regular. no es buena.

Tiempo de entrega

Al siguiente día

El día que se pide

Puntos

Dos días después

Una después

semana

Evaluación: _____

51

II: Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales

52

Bloque III

Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales

DESEMPEÑOS A DEMOSTRAR: • • • • •

Aplica las leyes de radicales en la simplificación de expresiones con radicales. Transforma una expresión con radicales en una expresión con exponentes fraccionarios y viceversa. Racionaliza expresiones con radicales en el denominador. Resuelve ecuaciones con radicales y discrimina los resultados. Resuelve problemas con radicales.

COMPETENCIAS A DESARROLLAR: • • • •

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos y algebraicos, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Objeto de aprendizaje Expresiones radicales

En este bloque desarrollarás la competencia en el uso de los radicales y expresiones con exponentes fraccionarios para resolver problemáticas que se presentan en la vida cotidiana, tales como: conocer las medidas de edificios, terrenos, cualquier tipo de polígono, la temperatura de diversos materiales, las distancias a recorrer para llegar a determinado destino, y toda aquellas situaciones que involucren operaciones con raíces.

53

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

SITUACIÓN DIDÁCTICA: Un hacendado decide poner en orden las escrituras de uno de sus terrenos agrícolas, el cual tiene forma triangular, pero se da cuenta que solo una de las dimensiones está legible. Los notarios le sugieren, para rapidez en el trámite, no medir físicamente el terreno sino utilizar los datos que si están legibles. En el plano se observan los siguientes datos; 8 km de longitud de uno de los lados, el perímetro es de 28 km y un área total de 35.49 km2.

Actividad

1

Participa en una lluvia de ideas acerca de los procedimientos para solucionar el caso anterior y contesta las siguientes preguntas. 1. 2. 3. 4.

¿Conoces alguna manera de encontrar la dimensión de los lados faltantes? ¿Conoces la fórmula de Herón y para qué sirve? ¿Cómo puedes calcular el valor de una semisuma? Elabora una reflexión acerca de la importancia de conocer diferentes métodos para resolver problemas de la vida cotidiana como este.

Nota: este ejercicio se resolverá completamente al finalizar el bloque, una vez que adquieras la competencia en resolución y manejo de radicales

Actividad

2

Organiza un equipo de 2 ó 3 personas para que utilizando la bibliografía que te proporciona el maestro donde contiene la explicación de las leyes de los radicales, analices y comprendas su definición y aplicación, discutiendo cada una de ellas con tu equipo de trabajo. Sugerencias de fuentes de información: • • • •

http://www.galeon.com/student_star/expyrad02.htm http://html.rincondelvago.com/radicales-y-raices.html http://www.scribd.com/doc/26893493/PROGRAMA-DE-MEJORAMIENTO-GUIA-10RADICALES-Y-EXPONENTES-RACIONALES-MATHTYPE http://html.rincondelvago.com/radicales_2.html

54

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

Ejercicio EC23: Las leyes de los radicales

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Después de haber realizado tu investigación acerca de las leyes de los radicales, analízalas en un ambiente de colaboración y respeto con tus compañeros de equipo y contesta lo que se te pide. 1. Con la expresión a:

n

ab = n a n b , se implicaría que si tenemos la expresión

2. ¿Cuál ley de los radicales se utilizó en la simplificación del siguiente radical:

3. La expresión

2 4

25 5 = 2 2

2 = 6 2 , ¿es falsa o verdadera?

75 al utilizar leyes de los radicales nos permite obtener la expresión 3

4. La expresión falso?

4 3

5. ¿Cuál expresión es equivalente a 2 ,

6. La expresión

200 sería equivalente

3

4

23 o

3

43 = 4, ¿es falsa o verdadera?

55

24 ?

25 ¿cierto o

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales. 1

1

7.- ¿Cómo puedes expresar la operación (4 2 )(9 2 ) , como operaciones con radicales?

Ejercicio EC24: Simplificación de expresiones radicales

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Simplifica cada una de las siguientes expresiones, utilizando leyes de los radicales: 1.

18

2.

125

3.

80

4.

45

56

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

12

5.

6.

3

81

7.

3

192

8.

x4 y6z 2

9.

x5 y3 z

10.

80 x 5 y 12 z 3

57

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales. Actividad

3

Realizar una investigación en bibliografía básica o copias de direcciones electrónicas que contengan las operaciones básicas con radicales. Sugerencias de fuentes de información: • • • •

http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/operaciones_raices/operaciones.htm http://www.scribd.com/doc/26893493/PROGRAMA-DE-MEJORAMIENTO-GUIA-10RADICALES-Y-EXPONENTES-RACIONALES-MATHTYPE http://www.vadenumeros.es/cuarto/operaciones-con-radicales.htm http://azul2.bnct.ipn.mx/algebra/definiciones%20basicas.PDF

Ejercicio EC25: Operaciones con expresiones radicales

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios sobre operaciones básicas con radicales, simplificando a su mínima expresión. Suma y resta de expresiones radicales: 1.- Un barco que se encontraba en la coordenada (4,- 4) se desplazó hasta la coordenada (-2, 6), que utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos d =

( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 , se calculó como

distancia d = 40 . Posteriormente se desplazó el doble del recorrido anterior y finalmente 3 10 . ¿Cuál es el recorrido total del barco? (No utilices calculadora).

2.- 4 3 + 2 3 + 5 − 5 5 − 4 5

3

3.-

108 + 33 32 − 3 8

4.- Otros sugeridos por el profesor.

58

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales. Producto de expresiones radicales:

(

1.- 2 5 4 − 3 5

(

)

)(

2.- 2 3 − 4 2 3 − 2

3.-

(

3− 2

)(

)

3− 2

)

4.- Otros sugeridos por el profesor.

División simple de expresiones radicales:

75 3

1.-

3

2.-

3

4x8 32 x 5

3.- Otros sugeridos por el profesor

Operaciones mixtas con expresiones radicales:

1.-

98 x 3 y x 5 y 3 2y4

2.- Otros sugeridos por el profesor.

59

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

Ejercicio EC26: Integrador operaciones con radicales Nombre: _________________________________________

Fecha: ___/_____/201___

Grupo: ____________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar tu aprendizaje, realiza correctamente las siguientes operaciones con expresiones radicales y simplifica a su mínima expresión. 1. 5 8 − 3 2 + 5 + 5 32 − 4 5

2. 5 2 + 2 2 − 4 8 + 50

2 x 2 y 4 − 3 xy 2 2 + 5 8 x 2 y 4

3.

4.

3

16 + 3 2 − 3 128

5.

4 x 2 y + 25 xy 2 − x 2 y + 2 16 xy 2

6.

72 2

7.

3x 4 75 x 6

3

8.

9.

10.

3

24 x 5 3x 2

27 2 6

50 x 3 20 x 5 5x 4 60

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

LISTA DE COTEJO

Datos de Identificación: Alumno Grupo Evidencia

Ev11: Operaciones con expresiones radicales

Asignatura

Álgebra Intermedia I

Bloque

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

Evalúa Criterios de desempeño (valor máximo 20%) Criterios de desempeño 1. Presenta en el día establecido 2. Respeta las reglas de orden y limpieza en cada ejercicio 3. Presenta el ejercicio EC23: Las leyes de los radicales. 4. Presenta el ejercicio EC24: Simplificaciones de expresiones radicales 5. Presenta el ejercicio EC25: Las operaciones con expresiones radicales. A. Resuelve correctamente operaciones de suma y resta B. Resuelve correctamente operaciones de multiplicación C. Resuelve correctamente operaciones de división simple D. Resuelve correctamente operaciones combinadas 6. Al menos 8 de los ejercicios de EC26: Integrador de operaciones con radicales.

Evaluación: ________

Observaciones y comentarios:

61

SÍ

NO

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

Ejercicio EC27: Racionalización de expresiones radicales

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Analiza la información que se te proporciona a continuación y resuelve los ejercicios que te proporciona el maestro. Racionalizar una expresión fraccionaria es eliminar las expresiones radicales del denominador. Vamos a estudiar dos casos: 1. Un monomio en el radical del denominador: Para eliminarlo multiplicamos numerador y denominador por el radical, tal manera que el radical del denominador se convierta en una potencia perfecta.

a a. b a b a b = = = b b b b b2

a) Racionaliza

5 2

b) Racionaliza

2a a

Cuando el numerador y el denominador se multiplican por una expresión radical, en realidad se está multiplicando por la unidad convertida en una fracción a nuestra conveniencia que anula el radical del denominador.

a a (.3 b 2 ) a 3 b 2 a3 b 2 = . = = 3 3 b b 3 b (3 b 2 ) b3

62

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

a) Racionaliza

a) Racionaliza

2 3

x4

x x3

2. Racionalización cuando el denominador de una expresión racional es un binomio que contiene un radical.

Multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador. El conjugado de un binomio es un binomio que tiene los mismos términos, pero con el signo del segundo término cambiado.

2 2( a + b ) 2( a + b ) 2 a +2 b = = = 2 2 a−b a − b ( a − b )( a + b ) ( a ) − ( b )

1.-

2.-

3 x+ 5

x 3 −5

63

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

Ejercicio EC28: Integrador de la racionalización de expresiones radicales

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: ________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar la competencia para racionalizar expresiones radicales transforma correctamente las siguientes expresiones. Ejercicio 1.

8 5

2.

93 3 3 9

3.

1 2

4.

18 x 6x

5.

3 1− 3

4

6.

27 x 5 y 12 4 x 2 y 14

7.

53 2 x 3 5x

8.

3 1− 3

9.

10.

Desarrollo y solución

2 x x + 5y 2 xy − xy x−

y

64

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

LISTA DE COTEJO Datos de Identificación: Alumno Grupo Evidencia

Ev12: Racionalización de radicales

Asignatura

Álgebra Intermedia I

Bloque

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

Evalúa Criterios de desempeño (valor máximo 10%) Criterios de desempeño 1. Presenta en el día establecido 2. Respeta las reglas de orden y limpieza en cada ejercicio 3. Presenta el ejercicio EC27: Racionalización de expresiones radicales A. Racionaliza correctamente radicales con monomios en el denominador B. Racionaliza correctamente radicales con binomios en el denominador 4. Al menos 8 de los ejercicios de EC28: Integrador de la racionalización de expresiones con radicales.

Evaluación: ________

Observaciones y comentarios:

65

SÍ

NO

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

Actividad

4

Ana y Santiago están realizando una maqueta de una pirámide de base cuadrada. La condición impuesta es que mida 17 pulgadas de apotema y 16 pulgadas de base. El problema es que no saben la medida de la arista y la altura que debe tener la pirámide para realizar el trazo completo. Buscando en sus apuntes obtuvieron la fórmula para encontrar la apotema que es a =

h 2 + b 2 , siendo h = altura y b = base. 1.- Sustituye los valores conocidos en la fórmula. ____________________

Como el dato desconocido está dentro de la raíz, entonces tienes una ecuación con radicales, por lo que:

2.- Elimina la raíz, elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación. _______________________________

3.- Despeja la variable “h2”. ___________________

4.- Finalmente, para encontrar el valor de la variable h (la altura de la pirámide), obtén su raíz. ___________________

5.-Santiago investigó también la fórmula para obtener la arista de la pirámide la cual es:

a=

b w2 −   2

2

Donde a = apotema, b = base y w = arista de la pirámide. De la misma manera como resolviste la ecuación anterior para encontrar la altura de la pirámide, resuelve la ecuación para encontrar la arista.

66

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

Actividad

5

Realiza una investigación en bibliografía básica o direcciones electrónicas que contenga el procedimiento para resolver ecuaciones con radicales.

Ejercicio EC29: Las ecuaciones radicales

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Elaborar un esquema que muestre el procedimiento correcto para resolver una ecuación con radicales y contesta lo siguiente: 1. Si

a = 16, ¿qué procedimiento debes seguir para conocer el valor de a?

2. Si

x + 4 = 8 , ¿cuál es tu paso inicial?

3. Si x + x + 5 = 5 , ¿consideras necesario despejar una de las raíces al otro miembro de la ecuación? ¿Por qué? ¿Cuál es la regla para elevar un binomio al cuadrado?

4. ¿Qué procedimiento utilizarías para resolver teniendo en ambos miembros una raíz?

x+2 =

x + 19 , ¿cuál es el valor de la variable x? 2

1

5. Una ecuación de tipo 3 x 2 = 15 , ¿la puedes resolver como ecuación radical? ¿Qué valor le corresponde a la variable x?

67

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

Ejercicio EC30: Ecuaciones radicales

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Resuelve las siguientes ecuaciones radicales propuestos por el maestro.

68

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

Ejercicio EC31: Integrador ecuaciones radicales

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar la competencia para resolver ecuaciones radicales resuelve correctamente las siguientes ecuaciones: Ejercicio Desarrollo y solución 1.

x =4 3

2.

x + 5 = 14

3.

4 x −3 = 5

4.

2 x −2 =2 4

5.

6.

x = 4 x − 12

x = 15 − 2x

7.

4x − x + 3 = 0

8.

2x − x = 4

9. 3 x − 8x + 16 = 0

10.

2x + 3 − x + 1 = 1

69

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

LISTA DE COTEJO Datos de Identificación: Alumno Grupo Evidencia

EV13: Ecuaciones radicales

Asignatura

Álgebra Intermedia I

Bloque

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

Evalúa Criterios de desempeño (valor máximo 20%) Criterios de desempeño 1. Presenta en el día establecido 2. Respeta las reglas de orden y limpieza en cada ejercicio 3. Presenta el ejercicio EC29: Las ecuaciones radicales 4. Presenta el ejercicio EC30: Las ecuaciones con radicales 5. Al menos 8 de los ejercicios del EC31 Integrador de ecuaciones con radicales.

Evaluación: ________

Observaciones y comentarios:

70

SÍ

NO

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales. La fórmula de Herón La fórmula de Herón es una herramienta muy útil para el cálculo de áreas de triángulos si conocemos las dimensiones de sus tres lados, sin necesidad de conocer la altura del triángulo. La fórmula de Herón se puede establecer mediante la ecuación

s=

s (s − a)(s − b)(s − c) , donde el valor de

a+b+c , que significa la semisuma del perímetro; 2

a, b, c son las dimensiones de cada uno de los lados de un triángulo. Esta fórmula como otras más que se utilizan en la ciencia, son ecuaciones o expresiones radicales, que tienen diversas aplicaciones.

Actividad

6

Con el objeto de evidenciar la competencia para resolver ecuaciones radicales y comprender su aplicación, contesta las siguientes preguntas y completa la tabla mostrada. Regresando a la situación didáctica de inicio: a) ¿Qué perímetro tiene el terreno del agricultor? b) ¿Cuál es el valor de de la semisuma s? c) ¿Cuál es la ecuación para calcular el área, si sustituyes los datos conocidos?

A = s( s − a)(s − b)(s − c) Considerando la expresión Encuentra el área de cada terreno con las condiciones establecidas en la tabla: A

B

C

13 9 8 8 8 8

5 6 8 10 7 9

10 13 12 10

s=

a+b+c 2

Área

14 14

a) ¿En qué condiciones se tiene un terreno con mayor área? b) De acuerdo al problema del agricultor, ¿cuáles son las dimensiones del terreno triangular cuya área es de 35.49 km2? c)

Utiliza la fórmula de Herón sustituyendo los datos: A = 35.49, a = 8, b = 9, s = 14, (que se tienen en el plano del terreno del agricultor), y encuentra el valor de “c”. ¿Qué observas? ¿Corresponde a lo previsto en la tabla? 71

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

Ejercicio EC32: Aplicación de ecuaciones radicales

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar la competencia para resolver ecuaciones radicales resuelve los siguientes ejercicios. Aplicaciones de ecuaciones con radicales: a) La velocidad del sonido “v” medida en pies por segundo a través del aire de temperatura “t” grados centígrados está dado por v =

1087 273 + t , si la velocidad del sonido del aire se 16.52

registra como 1126.3 pies/seg, ¿a qué temperatura se registró?

b) La longitud de la apotema de un polígono regular se puede calcular mediante la fórmula

a = r2 −

l2 , donde “r” es el radio del polígono regular y “l” la longitud de su lado. Si el radio 4

del polígono regular es 4cm y la apotema mide

12 cm, determina la longitud de su lado.

c) Una forma de calcular el radio de un cilindro conocido su volumen, es a través de la expresión

r=

V . Determina el valor de la altura si el radio es de 1.78 cm y el volumen 50 cm3 πh

d) Para obtener el periodo de oscilación de un péndulo se aplica la relación T = 2π

L . Calcula g

la longitud de un péndulo, si el período de oscilación es de 1.4 segundos, y éste se encuentra localizado en un planeta donde la gravedad es de 8 m/s2

72

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

Ejercicio EC33: Aplicación de ecuaciones radicales

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar la competencia para resolver ecuaciones radicales y comprender su aplicación, reúnete con tu equipo de trabajo y realiza la siguiente actividad. a) Analiza las siguientes expresiones que contienen radicales, son fórmulas que se aplican en Física o Matemáticas por lo que tienen aplicaciones prácticas. b) Selecciona 5 de ellas y construye una situación para cada una donde la variable o dato faltante se encuentre dentro del radical. c) Elabora un esquema o dibujo que explique la situación planteada. d) Una vez obtenida la ecuación radical, resuélvela aplicando los conocimientos aprendidos. e) Elabora un documento para entregarlo a tu profesor con las conclusiones correspondientes, y de ser posible, presentar una exposición ante el grupo. 1.- Para calcular la altura de las caras de una pirámide regular se utiliza la expresión

a = h 2 + a1 , siendo “h” la altura de una pirámide y a1 la longitud de la apotema del polígono 2

regular que forma la base.

b2 2.- Para calcular la altura de las caras de una pirámide regular se utiliza la expresión a = l − 4 2

siendo “l” la longitud de la arista lateral y “b” la longitud de la arista de la base. 3.- La longitud de la apotema de un poliedro regular se puede calcular con la fórmula

a = R 2 − r 2 , donde “R” es el radio del poliedro y “r” el radio del polígono que forma la cara. 4.- En una elipse el semieje menor se determina con la expresión b = mayor, c = semieje focal.

a 2 − c 2 donde a = semieje

5.- Para calcular el producto de una progresión geométrica se utiliza la fórmula P =

( a1 a n ) n ,

considerando que a1 es el primer término, y an es el último término de la progresión. 6.- Si se quiere calcular el radio de una circunferencia que circunscribe a un polígono regular se utiliza la expresión r =

a2 −

l2 , en donde “a” es la apotema y “l” es la longitud del lado del 4

polígono inscrito. 7.- Para encontrar cualquiera de los catetos de un triángulo rectángulo, se utiliza el teorema de Pitágoras a = h 2 − b 2 , siendo “h” la hipotenusa y los catetos “a” y “b”. 8.- La resultante “R” de las fuerzas suma componentes Rx, (suma de fuerzas horizontales) y Ry (suma de fuerzas verticales), mediante la expresión R =

2

Rx + R y

2

9.- En un gas ideal diatómico de masa molecular M y una temperatura absoluta T, la rapidez del sonido “v”, está dada por v =

1.4 RT M

10.- La relación entre el ángulo de inclinación de una carretera (peralte α), la velocidad del móvil (v) y el radio de curvatura (R) está dado por v = ángulo.

Rg (tgα ) siendo g = 9.8 m/s2 y tg = tangente del

73

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

RÚBRICA DE EVALUACIÓN Datos de Identificación: Alumno

Asignatura

Grupo

Bloque

Evidencia

EV14 Proyecto integrador del bloque

Criterios de la rúbrica (valor máximo 10%) Criterio Excelente (5) Contestó correctamente los cuatro ejercicios de ecuación con Ejercicio radicales, anotando el EC32 procedimiento para resolver la ecuación.

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

Evalúa

Bueno(4) Suficiente(3) Deficiente Puntos Contestó correctamente tres de Contestó correctamente dos Contestó solamente los cuatro ejercicios de ecuación de los cuatro ejercicios de uno de los cuatro con radicales, anotando el ecuación con radicales, ejercicios de procedimiento para resolver la anotando el procedimiento ecuación con ecuación. para resolver la ecuación. radicales.

5 el un su

Resolvió correctamente 3 a 4 de Resolvió correctamente 2 los 5 Sólo presenta un los 5 ejercicios, anotando el ejercicios, anotando el problema resuelto, procedimiento y presentando un procedimiento y presentando el planteamiento y esquema o dibujo para su un esquema o dibujo para su la solución. interpretación. interpretación.

La información tiene estructura adecuada, explica claramente los Presentación problemas y la solución, utiliza la creatividad y su presentación tiene limpieza, orden y claridad.

Presenta los La información tiene estructura Presenta información, explica problemas con poca adecuada, explica los escuetamente los problemas y claridad y la problemas y la solución, a la la solución, falta claridad y solución, falta presentación le falta claridad. limpieza a la presentación. limpieza y orden.

Tiempo de entrega

Al siguiente día

Ejercicio EC33: Problemas

Resolvió correctamente los ejercicios, anotando procedimiento y presentando esquema o dibujo para interpretación.

Álgebra Intermedia I

El día que se pide

Dos días después

Una después

semana

Evaluación: _____

74

III: Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales. Bibliografía

• • • • • • • • • • • •

Barnett, R. (1992). Precálculo. México: Limusa. Dolciani y col. (1989). Álgebra Moderna. Libro 1. México: Publicaciones Cultural. Fleming, W. y Varberg, D. (1991). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. México: Prentice Hall. García, M.A. (1995). Matemáticas 1 para preuniversitarios. México. Esfinge. Gobran, A. (1990). Álgebra Elemental. México. Grupo Editorial Iberoamericana. Gustafson, R.D. (1997). Álgebra Intermedia. México: Editorial Thompson. Huesca, G. (2007). Álgebra Intermedia I, Texto y Cuaderno de Ejercicios. CBBC. Leithold, L. (1994). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. México: Harla. Parra, L.H. (1995). Álgebra Preuniversitaria. México: Limusa. Rees, S. y col. (1992). Álgebra. México: McGraw-Hill. Smith, S. y col. (2001). Álgebra. E.U.A: Addison Wesley Iberoamericana. Taban, M. (1992). El hombre que calculaba. México: Noriega Editores.

Páginas electrónicas •

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/ejercipn.htm

• Álgebra Intermedia, R.D. Gustafson. http://bks5.books.google.com.pr/books?id=S3S-2pULbgC&pg=PA425&dq=editions:ISBN9706865535&hl=en&rview=1&source=gbs_toc_r&cad=4#v =onepage&q&f=false • Álgebra, Ignacio Bello http://bks5.books.google.com.pr/books?id=dDH_Q1g0tMC&pg=PA500&dq=editions:ISBN9706865535&hl=en&rview=1&source=gbs_toc_r&cad=4#v=on epage&q&f=false

75

PLANTELES

Baja California Camalú Ciudad Morelos Ejido Nayarit Ensenada Estación Coahuila Extensión Mtro. Rubén Vizcaíno Valencia Extensión Maneadero del Plantel Ensenada Extensión Primer Ayuntamiento Playas de Rosarito Extensión Tecate Guadalupe Victoria La Mesa Mtro. José Vasconcelos Calderón Mtro. Rubén Vizcaíno Valencia Mexicali Miguel Hidalgo y Costilla Nueva Tijuana Nuevo León Primer Ayuntamiento Playas de Rosarito Profr. Arturo David Velázquez Rivera Rosarito San Felipe San Quintín Tecate Tijuana Siglo XXI Valle de Guadalupe

Centros EMSAD

El Hongo El Rosario Punta Colonet Real del Castillo San Vicente Trabajadores No. 1 Trabajadores No. 2 Trabajadores No. 3 Valle de la Trinidad Valle de las Palmas

ESTE MATERIAL FUE ELABORADO BAJO LA COORDINACIÓN Y SUPERVISIÓN DE LA DIRECCIÓN DE PLANEACIÓN ACADÉMICA Y REPRODUCIDO POR LA UNIDAD DE DISEÑO GRÁFICO E IMPRENTA DEL COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA. Blvd. Anáhuac 936, C. Cívico, Mexicali, B. C.

AGOSTO DE 2011

Esperamos recibir de los usuarios, en especial de los maestros y alumnos del Colegio, cualquier observación que a su juicio sea necesario hacernos llegar, más aún si se tratara de errores u omisiones.

Dirigirse a la Dirección y domicilio arriba consignados.