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• ALEJANDRO HINOSTROZA TINOCO

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I.E.P. “Corazón de María”

Del colegio a la Universidad

NIVEL: SECUNDARIA

ÁLGEBRA. SEMANA Nº 01

Mes: Junio 2019

QUINTO GRADO

BINOMIO DE NEWTON Blaise Pascal (1623 - 1662) Desde muy joven, Blaise Pascal demostró tener sorprendentes dotes para las matemáticas. A los doce años había leído y entendido, por su cuenta, toda la geometría euclidiana; a los catorce años participaba activamente en las reuniones matemáticas en la celda de Mersenne; a los diecisiete años escribió su primer libro, Essay pourles Coniques, en el que describe la mayoría de las propiedades de las secciones cónicas y reinventa todo el trabajo de Apolonio (190 a.C.) y de otros matemáticos griegos. Pascal está relacionado con otros y muchos aspectos de las matemáticas: inventó la primera máquina de calcular que se conoce; fue, junto con Fermat, uno de los iniciadores del cálculo de probabilidades y del cálculo combinatorio; también usó y estudió el llamado "triángulo de Pascal", que él llamaba "triángulo aritmético", y que el matemático chino Yang Hui ya conocía en el siglo XIII. A los 23 años, Pascal abandonó las matemáticas para dedicarse a los problemas de la fe religiosa; se sabe que vivió angustiado por no poder conciliar su espíritu científico con su religión. Escribió entre otras cosas Pensées, obra en la que aparece su famosa apuesta: Pascal argumenta que, aún suponiendo que sea muy pequeña la probabilidad de que Dios exista y de que sea verdadera la fe cristiana, siendo infinitamente grande la recompensa que es lograr la felicidad eterna, conviene creer en Dios y en la fe cristiana. Es claro que este tipo de argumento no calmó los tormentos metafísicos de Pascal, que se preguntaba en otra parte de la obra si era probable la probabilidad y si tenía algún interés el estudio de aquellas "bagatelas". Cuando tenía 16 años, Pascal descubrió un teorema del que dedujo 400 corolarios; denominó la figura obtenida "exagrama místico". "Si se marcan seis puntos cualesquiera sobre una cónica (círculo, elipse, hipérbola, parábola) con los números 1; 2; 3; 4; 5 y 6, las intersecciones de las rectas 1-2 y 4-5; 3-4 y 6-1; 5-6 y 2-3, están sobre una misma recta". (Es la llamada recta de Pascal). INTRODUCCIÓN AL DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON (PARA EXPONENTE ENTERO Y POSITIVO Z+)

TEOREMA

-

Sean: x, a ¹ 0 Ù n Î Z+ ( x  a)n 

n



k 0

C nk x n  k a k

(x + a)2 = x2 + 2xa + a2 (x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3 (x + a)4 = x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4 (x + a)5 = x5 + 5x4a + 10x3a2 + 10x2a3 + 5xa4 + a5 (x + a)6 = x6 + 6x5a + 15x4a2 + 20x3a3 + 15x2a4 + 6xa5 + a6 (x + a)6 =

C 60 x 6  C16 x 5 a  C 62 x 4 a2  C 63 x 3 a3  C 64 x 2 a 4  C 56 xa5  C 66 a6

....

(x + a)n =

Cn0 x n  C1n x n1a  Cn2 x n2 a2  Cn3 x n3 a3  ...  Cnn an    desarrollo expansión del binomio

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4. Posición del término central: ("n" ® exp. del binomio)

Triángulo de Pascal (x + a)0 (x + a)1

®

(x + a)2 (x + a)3

®

(x + a)4 (x + a)5 (x + a)6

®

1

®

1

®

1 1

® 1

2 3 6

5 6

1 3

4

1

a. Para "n" par,

1

1

®

Mes: Junio 2019

10 15

tn 1

1 4

10 20

2

1 5 15

un término central.

b. Para "n" impar,

1 6

t n+1

1

2



dos términos centrales t n+1 2

+1

[x+(-a)]n=(x-a)n=

EJRCICIOS RESUELTOS C n0 x n  C1n x n1 a  C n2 x n2 a2  C n3 x n3 a3

 ...  C nn an (1)n Propiedades: 1. # de términos del desarrollo del = exponente + 1 del binomio binomio (x + a)n

Hallar el número de términos de: B = (x + 2y)7 ® # de términos: 7 + 1 = 8 2. Si: x = a = 1, se obtiene la sumatoria de coeficientes:

C n0  C 1n  C n2  C n3  .....  C nn  2 n Cn0 3  C1n3  Cn2 3  Cn33  ...  Cnn 33  2n 3 Cn0 2  C1n 2  Cn2 2  Cn3 2  ....  Cnn12  2n 2  1 *

B(x;y) = (3x3 + 2y2)60 Halla la suma de coeficientes. x = y = 1 ® 560

3. Cálculo del término general: tk + 1 de (x + a)n

T16 = (x4)2n-15 y15m, en donde su grado absoluto es: 8n - 60 + 15m Por condición del problema:

t k 1  Cnk x n  k . ak ra

hallar el "t61" de:

1 base

da

2 base

(8n - 20 + 5m) - (8n - 60 + 15m) = 10 40 - 10m = 10 Þ m = 3

B(x;y) = (3x2 + 2y3)90

t61 =

90 90 30 60 60 180 C60 (3x 2 )30 (2y 3 )60  C60 3 x 2 y

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PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Hallar el cuarto término de (x2 + 2y)4 a) -30x3y2 d) 28xy3

b) 32xy2 e) -28x2y3

9. Calcular el penúltimo término en el desarrollo de: (3x2 - y3)12

c) 32x2y3 a) 36x2y33 d) -24x3y2

2. Hallar el "t103" del siguiente desarrollo:

a

3



3

b



104

a) 5 635a4b32 c) 3 565a8b36

 3 2y 2  3x   x 

3. Hallar el noveno término de la expansión de: (2x5 + y3)11

a) 8 d) 6

4. Calcular el cuarto término de:

c) 20

13. Determinar "m + n" si el cuarto término del desarrollo de (x + 2)n es: 80xm

5. ¿A qué potencia se deberá elevar el binomio: (x2 + 2x) si el término 11 debe ser de grado 20? a) 5 d) 20

b) 10 e) 25

a) 5 d) 8

c) 15

b) 15 e) 16

a) 108 d) 111

c) 17

8

a) 70x4 d) -70

b) -70x4 e) 70

a) 10 d) 13

c) 70x2

8. Sabiendo que el desarrollo de: términos, hallar el cuarto término. a) 125x d) 720x

b) 109 e) 112

c) 110

 3 1   x  3   x 

b) 11 e) 14

c) 12

16. Hallar el término independiente en el desarrollo de:

n

b) 360x3 e) 840

c) 7

15. ¿Qué lugar ocupa el término de grado 48 en el desarrollo de: (x2 + y3)18?

7. Señale el término central de:  2 1 x   x 

b) 6 e) 9

14. ¿A qué exponente debe elevarse el binomio (a + 2b) de manera que el cociente de los coeficientes de los términos de lugares once y diez resulte 20?

6. Hallar el valor de "n" en (x + y)n si el coeficiente del tercer término es 105. a) 14 d) 13

c) 9

12. Si en el binomio: (5x17 - y15)n la suma de exponentes es "n" veces la suma de coeficientes. Hallar "n". a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

6

b) -10 e) 30

b) 7 e) 10

11. En el desarrollo de (4x + 3y)n la suma de los grados es 110. Hallar el valor de "n". a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

b) 1 023x15y28 d) 2 130x16y24

e) N.A.

a) 10 d) -20

n

    Existe un término cuyas potencias de "x" e "y" son respectivamente 5 y 8, encontrar el número de términos del desarrollo.

e) 5 356a34b6

x 4    4 x

c) 24x3y2

10. Si en el desarrollo del binomio:

b) 5 356a6b34 d) 6 536a4b32

a) 1 230x16y25 c) 1 320x15y24

b) -36x2y33 e) -12xy2

 x2 3    4   x   3

; tiene 15 a) 56 d) 126

c) 364x24

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b) 79 e) 154

9

c) 84

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TAREA DOMICILIARIA Nº 01 1. En el desarrollo de cada una de las potencias (ax5 + by7)3; (ax7 - by9)2 se observa que la suma de coeficientes es igual al triple de la suma de exponentes. Hallar "ab" (a > b). a) -27 d) 15

b) -5 e) 18

b) 2 e) 13

B ( x ,y )  (

desarrollo

a) 10 d) 18

de:

b) 6 e) 9

c) 9

a) 26 d) 32

c) 7

B ( x ,y )

5

b) 20 e) 50

b) 8 e) 6

b) 144 e) 126

b) 236 e) 254

b) 256 e) 704

3

F( x , y )  (

c) 412

y7 n x2  ) x y5

Existen dos términos consecutivos, el primero independiente de "x", el segundo independiente de "y". Indique el número de términos del desarrollo.

c) 9

a) 58 d) 62

b) 60 e) 63

c) 61

12. ¿Cuántos términos fraccionarios hay en el desarrollo de: 3 Q ( x )  (2x 3  )100 x ?

c) 18

7. Sabiendo que en la expansión de: P(x) = (3x + 1)n; los términos de lugar sexto y séptimo, tienen el mismo coeficiente, calcular la suma de todos los coeficientes de dicha expansión. a) 223 d) 250

8

11. En el desarrollo de:

6. Hallar el coeficiente del antepenúltimo término de: B(x;y) = (2x2 + y)m; si se sabe que uno de los términos de su desarrollo es 672x6y6. a) 36 d) 84

c) 30

 2x 2 y2       y 2 x  

a) 204 d) 672

c) 30

5. Calcular el número de términos que tendrá el desarrollo de: B(x;y) = (x + y2)n; si se cumple que los términos de lugares 4 y 5 tienen el mismo coeficiente. a) 7 d) 10

b) 28 e) 34

Entonces "m + n" es:

 2  2

a) 10 d) 40

c) 16

10. Si: mxay; nx10y-b, son términos del desarrollo:

4. Determinar el término racional en el desarrollo de: 3

b) 12 e) 22

9. Si el grado absoluto del séptimo término del desarrollo de: (x2y + z)n es 30, halle el grado de su término central.

3. Si el tercer término del desarrollo del binomio: (n + x3)n es "n" veces el cuarto término del desarrollo de (n + x2)n. Hallar "n". a) 5 d) 8

x  y)n y

Sea de la forma: m(xy)4

c) 8

2. Si el décimo término del (xb + xc)d es x18, hallar "c + d". a) 1 d) 11

8. Calcular "n" (n Î Z+) de modo que uno de los términos del desarrollo de:

a) 18 d) 25

b) 21 e) 27

c) 24

13. Determine el número de términos irracionales en el desarrollo de: 4 3 P( x )  ( x  x ) 48

c) 246

a) 26 d) 42

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b) 32 e) 44

c) 34

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TALLER DE APRENDIZAJE 1. Hallar el cuarto término del siguiente desarrollo:

a) 80a4b3 d) 20a4b3

(a2 + 2b)5 b) 60a4b3 e) a4b3

4. Señalar el término independiente del desarrollo de:

 3 1  x  5   x 

c) 40a4b3

72

6

x 2     2 x  ; indique el

2. En el desarrollo del binomio término central. a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

5. Calcular el décimo término del desarrollo de: (x5 + x-1)12

3. Hallar la suma de coeficientes de:

6. Hallar el término independiente de “x” si existe en la expansión de:

a) 220x6 d) 220x2

P(x, y) = (4x - 2y)8 a) 127 d) 256

b) 128 e) 1024

b) 220x4 e) 220x

 1   x   4  x

c) 255 a) 84 d) 92

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c) 220x3

b) 72 e) 96

9

c) 60

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