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FACULTAD DE INGENIERIA, DISEÑO E INNOVACION ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TRABAJO COLABORATIVO PROBABILIDAD

UNIVERSIDAD POLITECNICO GRANCOLOMBIANO PROBABILIDAD

TRABAJO COLABORATIVO

INTEGRANTES: ANGIE VIVIANA BELTRAN ROJAS GABRIEL ANDRES DIOSA CARDENAS

DOCENTE DIANA VELASQUEZ

BOGOTA D.C

OCTUBRE 2019

1

FACULTAD DE INGENIERIA, DISEÑO E INNOVACION ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TRABAJO COLABORATIVO PROBABILIDAD

Contenido

1.

INTRODUCCIÓN

3

1.1.

OBJETIVO PRINCIPAL

4

1.2.

OBJETIVOS SECUNDARIOS

4

2.

DESARROLLO

5

3.

REFERENCIAS

15

2

FACULTAD DE INGENIERIA, DISEÑO E INNOVACION ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TRABAJO COLABORATIVO PROBABILIDAD

1. INTRODUCCIÓN

El proceso probabilístico representa un sistema de organización fundamental para la toma de decisiones desde cualquier ámbito de la sociedad, debido a sus confiables procesos matemáticos que facilitan los cálculos de datos debidamente organizados y analizados.

En este documento analizaremos la probabilidad de instalar granjas eólicas en dos de los departamentos del país, de donde se extrajeron datos debidamente recolectados, en este caso el departamento del Cesar y Caribe, para los cuales realizaremos comparaciones entre ambos, de las variaciones de temperatura y viento, con el fin de determinar cuál sería la mejor opción para dichas granjas, se analizaran los promedios relativos de velocidades en metros cuadrados para el viento y grados Celsius para temperatura. Se presentan tablas de datos y sus respectivas gráficas, para un mejor análisis donde se pueda dar respuesta a los planteamientos requeridos.

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1.1. OBJETIVO PRINCIPAL

Estudiar y aplicar la distribución de Weibull a la actividad planteada teniendo en cuenta que es una distribución de probabilidad continua y la más empleada en el campo de confiabilidad.

1.2. OBJETIVOS SECUNDARIOS

Determinar los parámetros c y k para poder desarrollar las diferentes ecuaciones. Calcular la probabilidad f(v) para poder obtener los resultados requeridos. Aprender a realizar histogramas y graficas a partir de una distribución de probabilidad obtenida.

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2. DESARROLLO.

ACTIVIDAD 1

El grupo debe seleccionar dos departamentos y realizar un histograma de la variable velocidad del viento y temperatura. ¿Cuál presenta mayor variabilidad? Justificar.

Departamento Cesar

Tabla 1 Tabla de frecuencias Temperatura

LIMITE LIMITE MARCA FRECUENCIA FRECUENCIA FRECUENCIA INFERIOR SUPERIOR DE CLASE ABS RELATIVA ACUMULADA 16.8 18.4 17.60 14 0.00474576 0.00474576 18.4 20.0 19.19 197 0.06677966 0.07152542 20.0 21.6 20.78 289 0.0979661 0.16949153 21.6 23.2 22.37 421 0.14271186 0.31220339 23.2 24.8 23.96 600 0.20338983 0.51559322 24.8 26.3 25.55 470 0.15932203 0.67491525 26.3 27.9 27.14 362 0.12271186 0.79762712 27.9 29.5 28.73 241 0.08169492 0.87932203 29.5 31.1 30.32 157 0.05322034 0.93254237 31.1 32.7 31.91 106 0.0359322 0.96847458 32.7 34.3 33.50 66 0.02237288 0.99084746 34.3 35.9 35.10 22 0.00745763 0.99830508 35.9 37.5 36.70 5 0.00169492 1

5

FACULTAD DE INGENIERIA, DISEÑO E INNOVACION ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TRABAJO COLABORATIVO PROBABILIDAD Ilustración 1.

HISTOGRAMA TEMPERATURA CESAR 700 600 500 400 300 200 100 0

17.60

19.19

20.78

22.37

23.96

25.55

27.14

28.73

30.32

31.91

33.50

35.10

36.70

Tabla 2. Tabla de frecuencias Velocidad del viento

LIMITE LIMITE MARCA DE FRECUENCIA FRECUENCIA FRECUENCIA INFERIOR SUPERIOR CLASE ABS RELATIVA ACUMULADA 0.4 0.7 0.55 22 0.00745763 0.00745763 0.7 1 0.85 257 0.08711864 0.09457627 1 1.3 1.15 695 0.23559322 0.33016949 1.3 1.6 1.45 943 0.31966102 0.64983051 1.6 1.9 1.75 591 0.20033898 0.85016949 1.9 2.2 2.05 273 0.09254237 0.94271186 2.2 2.5 2.35 84 0.02847458 0.97118644 2.5 2.8 2.65 46 0.01559322 0.98677966 2.8 3.1 2.95 17 0.00576271 0.99254237 3.1 3.4 3.25 13 0.00440678 0.99694915 3.4 3.7 3.55 5 0.00169492 0.99864407 3.7 4 3.85 2 0.00067797 0.99932203 4 4.3 4.15 2 0.00067797 1 6

FACULTAD DE INGENIERIA, DISEÑO E INNOVACION ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TRABAJO COLABORATIVO PROBABILIDAD Ilustración 2.

HISTOGRAMA VEL VIENTO CESAR 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0.55

0.85

1.15

1.45

1.75

2.05

2.35

2.65

2.95

3.25

3.55

3.85

4.15

Departamento Caribe Tabla 3. Tabla de frecuencias temperatura

LIMITE LIMITE MARCA DE FRECUENCIA FRECUENCIA FRECUENCIA INFERIOR SUPERIOR CLASE ABS RELATIVA ACUMULADA 23.2 24.1 23.6 4 0.01129944 0.01129944 24.1 24.9 24.5 5 0.01412429 0.02542373 24.9 25.8 25.3 23 0.06497175 0.09039548 25.8 26.6 26.2 26 0.07344633 0.16384181 26.6 27.5 27.0 99 0.27966102 0.44350282 27.5 28.3 27.9 115 0.32485876 0.76836158 28.3 29.2 28.7 74 0.20903955 0.97740113 29.2 30.0 29.6 3 0.00847458 0.98587571 30.0 30.9 30.4 5 0.01412429 1

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FACULTAD DE INGENIERIA, DISEÑO E INNOVACION ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TRABAJO COLABORATIVO PROBABILIDAD Ilustración 3

HISTOGRAMA TEMPERATURA CARIBE 140 120 100 80 60 40 20 0 23.6

24.5

25.3

26.2

27.0

27.9

28.7

29.6

30.4

Tabla 4. Tabla de frecuencias Velocidad de viento

LIMITE INFERIOR

LIMITE SUPERIOR

MARCA DE FRECUENCIA FRECUENCIA FRECUENCIA CLASE ABS RELATIVA ACUMULADA

1.4

2.9

2.2

49

0.13841808

0.13841808

2.9

4.4

3.7

58

0.16384181

0.30225989

4.4

6.0

5.2

44

0.12429379

0.42655367

6.0

7.5

6.7

27

0.07627119

0.50282486

7.5

9.0

8.2

40

0.11299435

0.61581921

9.0

10.5

9.8

30

0.08474576

0.70056497

10.5

12.0

11.3

53

0.14971751

0.85028249

12.0

13.6

12.8

32

0.09039548

0.94067797

13.6

15.1

14.3

21

0.05932203

1

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FACULTAD DE INGENIERIA, DISEÑO E INNOVACION ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TRABAJO COLABORATIVO PROBABILIDAD Ilustración 4

HISTOGRAMA VEL VIENTO CARIBE 70 60 50 40 30 20 10 0 2.2

3.7

5.2

6.7

8.2

9.8

11.3

12.8

14.3

Se puede observar que las temperaturas más frecuentes en el departamento del Cesar están entre los 23.2 y los 24.8°C y en el departamento del Caribe entre los 27.5 y los 28.3°C.

Los histogramas de velocidad del viento para el departamento del Cesar y Caribe demuestran que hay una mayor dispersión de datos en el Caribe, ya que en todos los intervalos hay una cantidad más o menos uniforme mientras que en el departamento del Cesar la mayoría de los datos están ubicados entre los intervalos que contienen velocidades del viento entre 1 y 2 metros por segundo.

ACTIVIDAD 2

Calcular para cada ciudad los parámetros k y c de la distribución de Weibull, para ello use las ecuaciones 3 y 4 descritas arriba y sustituirlos en la función de probabilidad f(v) ecuación 1.

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Departamento Cesar 𝑣̅ = 1,45

𝜎 = 0,435

0.435 −1.09 𝑘=( ) = 3,73 1.455 𝑐=

1.455 = 1,61 1 Γ (1 + 3.73)

𝑣 3.73 𝑣 3.73−1 ⌈−(1.61 ) ⌉ 𝑓(𝑣) = 2.31 ( ) 𝑒 1.61

Departamento Caribe 𝑣̅ = 7,45

𝜎 = 3,88

3.88 −1.09 𝑘=( ) = 2,037 ̅̅̅̅̅̅ 7.45 𝑐=

7.45 1 Γ (1 + 2.037)

𝑓(𝑣) = 0,242 (

= 8,42

𝑣 2,037 𝑣 2.037−1 ⌈−(8,42 ) ⌉ ) 𝑒 8,42

ACTIVIDAD 3

Graficar la distribución de probabilidad f(v) obtenida en el ítem anterior y compararla con el histograma obtenido en el punto 1 de la velocidad del viento para los departamentos seleccionados. ¿Qué puede concluir de las gráficas en relación al comportamiento de las variables?

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FACULTAD DE INGENIERIA, DISEÑO E INNOVACION ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TRABAJO COLABORATIVO PROBABILIDAD Ilustración 5. f(v) Velocidad del viento Cesar

Observando la gráfica de la f(v) calculada para el departamento del Cesar y comparando con el histograma de los datos de velocidad del viento en el mismo departamento se observa la similitud que entre los 1 y los 2 m/s aproximadamente están los datos de mayor frecuencia, mientras que para velocidades del viento mayor a 2 m/s la frecuencia o probabilidad de obtener dicha velocidad del viento es mucho menor.

Ilustración 6. f(v) Velocidad del viento Caribe

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FACULTAD DE INGENIERIA, DISEÑO E INNOVACION ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TRABAJO COLABORATIVO PROBABILIDAD La f(v) para el departamento del Caribe se observa que también hay cierta similitud con el histograma construido, ya que, aunque entre los 3 y los 6 m/s son las velocidades del viento más frecuentes y con mayor probabilidad; las distintas velocidades en general no tienen una probabilidad muy diferente entre uno y otro gráfico, puesto que en ambos no hay probabilidad o frecuencias ni muy bajas ni muy altas.

ACTIVIDAD 4

Para cada departamento seleccionado, obtener el valor de velocidad del viento más probable y el valor de la velocidad del viento que entregaría la máxima energía eólica (use las ecuaciones 5 y 6). Al comparar los valores para los dos departamentos seleccionados, ¿Cuál de ellos tiene más probabilidad de generar mayor energía eólica?

Velocidad del viento Cesar 1

𝑣𝑚𝑝

3.7271 − 1 3.7271 = 1.6116 ( ) = 1,48 3.7271 1

𝑣𝑚𝑎𝑥𝐸

3.7271 + 2 3.7271 = 1.6116 ( ) = 1,81 3.7271

Velocidad del viento Caribe 1

𝑣𝑚𝑝

2.0369 − 1 2.0369 = 8.4149 ( ) = 6,04 2.0369

𝑣𝑚𝑝

2.0369 + 2 2.0369 = 8.4149 ( ) = 11.77 2.0369

1

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FACULTAD DE INGENIERIA, DISEÑO E INNOVACION ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TRABAJO COLABORATIVO PROBABILIDAD Para el departamento del Cesar, la velocidad del viento con mayor probabilidad es la de 1.48 m/s, mientras que para el Caribe es de 6.04 m/s, no obstante el valor que genera la mayor energía eólica para el Cesar es de 1.81 m/s mientras que para el Caribe es de 11.77 m/s por lo tanto es mucho más probable que el Cesar genere más energía eólica ya que el valor donde genera el máximo de energía eólica está muy cerca al valor más probable de velocidad en el viento para ese departamento, mientras que en el Caribe hay una diferencia de más de 5 m/s entre la velocidad más probable y la que genera mayor energía eólica.

ACTIVIDAD 5 ¿Cuál es la probabilidad de que la velocidad del viento en uno de los departamentos seleccionado sobrepase 10 m/s? (haga uso de la función f(v) obtenida en el punto 4 o de F(v) ecuación 2)

Departamento Cesar

La probabilidad de que la velocidad del viento en el departamento del Cesar sobrepase los 10 m/s viene dado por:

𝐹(𝑣 > 10) = 1 − 𝐹(10) = 1 − (1 − 𝑒

⌈−(

10 3,73 ) ⌉ 1,61

)=𝑒

⌈−(

10 3,73 ) ⌉ 1,61

= 0.00

La probabilidad de que la velocidad del viento en el departamento del Cesar sobrepase los 10 m/s es del 0%

Departamento Caribe

La probabilidad de que la velocidad del viento en el departamento del Caribe sobrepase los 10 m/s viene dado por:

𝐹(𝑣 > 10) = 1 − 𝐹(10) = 1 − (1 − 𝑒

⌈−(

10 2.03 ) ⌉ 8.41

)=𝑒

⌈−(

10 2.03 ) ⌉ 8.41

= 0.75

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FACULTAD DE INGENIERIA, DISEÑO E INNOVACION ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TRABAJO COLABORATIVO PROBABILIDAD La probabilidad de que la velocidad del viento en el departamento del Caribe sobrepase los 10 m/s es del 0.75%

ACTIVIDAD 6

¿Cuál es la probabilidad que en uno de los departamentos seleccionado se registre velocidades entre los 4.7 m/s a 7.8 m/s (haga uso de la función f(v) obtenida en el punto 4)

Departamento Cesar

𝐹(7,8) − 𝐹(4,7) = (1 − 𝑒

⌈(

−7,8 3,73 ) ⌉ 1,61

) − (1 − 𝑒

⌈(

−4,7 3,73 ) ⌉ 1,61 )

= 0 − 1 = −1

La probabilidad de que la velocidad del viento en el departamento del Cesar se registre entre los 4.7 y los 7.8 m/s es del 0%

Departamento Caribe

𝐹(7,8) − 𝐹(4,7) = (1 − 𝑒

⌈−(

7,8 2.03 ) ⌉ 8.41

) − (1 − 𝑒

⌈−(

4,7 2.03 ) ⌉ 8.41 )

= 0.3118 − 1 = −0.688

La probabilidad de que la velocidad del viento en el departamento del Caribe se registre entre los 4.7 y los 7.8 m/s es del 0%.

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FACULTAD DE INGENIERIA, DISEÑO E INNOVACION ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TRABAJO COLABORATIVO PROBABILIDAD 3. REFERENCIAS

Ángel Franco García. (2016). Función de distribución de Weibull. Matlab análisis de datos. Recuperado de http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/datos/viento/estadistica.html.

Javier Metal. (2012). La función de distribución de Weibull en los ensayos de fiabilidad. In SlideShare. Recuperado de https://es.slideshare.net/metal_javier/distribuciondeweibull. Calculo de los parámetros de la distribución de Weibull. Sin fecha. Reliabilityweb.com. Recuperado de https://reliabilityweb.com/sp/articles/entry/calculo-de-los-parametros-de-ladistribucion-de-weibull/.

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