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• Diego Boada

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POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO

PROBABILIDAD DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE WEIBUL

INTEGRANTESN Y CÓDIGO: WILLIAM SANDOVAL ARGUELLO: 1911026882 WILFREDO BARRERA WILCHES: KARINA ANDREA TORRES RODRÍGUEZ: BENEDICTA DEL CARMEN MERCADO GERENDA:

PROFESOR: ALEXANDER TRILLERAS

2020

OBJETIVO Caracterizar los datos de velocidad del viento de Tunja y Villavicencio, ciudades de Colombia haciendo uso de la Distribución de Probabilidad de Weibull con el fin de evaluar posibles escenarios de generación de Energía Eólica. OBJETIVO ESPECÍFICO: Identificar, organizar y describir conjuntos de datos a través de técnicas de tabulación y diagramación empleando herramientas informáticas con el fin de clasificar, categorizar e interpretar adecuadamente los mismos.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD: Primer punto: 1. El grupo debe seleccionar 2 departamentos o ciudades y realizar un Histograma de la variable velocidad del viento y temperatura. ¿Cuál presenta mayor variabilidad? justificar la selección de los lugares. Las ciudades elegidas para el desarrollo de la actividad son Tunja (Boyacá) y Villavicencio (Meta), la selección de los lugares se realizó teniendo en cuenta la opinión de los integrantes del trabajo, en la cual se hablaba de que en Tunja se presentan vientos fuertes y contantes, es un clima frío y montañoso, en el caso de Villavicencio se escogió por ser un clima caluroso y contrario a Tunja, lo cual nos podría dar un paralelo entre las dos ciudades al ser de diferentes características.

Lo que se procedió a hacer fue una clasificación de los datos de las ciudades seleccionadas, organizándolos en el archivo de Excel.

Teniendo los valores de Temperatura y Velocidad del viento de cada ciudad, se procedió a realizar los histogramas para cada ciudad, en los cuales los procesos quedan en el archivo de Excel.

Tunja: i 1 2 3 4 5 6 7 8

Histograma de Temperatura:

Límite Límite inferior superior 7.2 8.40 9.60 10.80 12.00 13.20 14.40 15.60

Mi

8.40 9.60 10.80 12.00 13.20 14.40 15.60 16.80

fi

7.8 9.0 10.2 11.4 12.6 13.8 15.0 16.2

Fi 6 19 49 9 14 13 5 3 118

fi/n 6 25 74 83 97 110 115 118

Fi/n

5% 16% 42% 8% 12% 11% 4% 3% 100%

5% 21% 63% 70% 82% 93% 97% 100%

Histograma temperatura Tunja 60

50

40

30

20

10

0 7.8

9.0

10.2

11.4

12.6

13.8

15.0

16.2

-

i

Histograma de velocidad del viento:

Límite Límite inferior superior

1 2 3 4 5 6 7 8

1.8 2.3 2.8 3.3 3.8 4.3 4.8 5.3

Mi

2.3 2.8 3.3 3.8 4.3 4.8 5.3 5.8

fi

2.1 2.6 3.1 3.6 4.1 4.6 5.1 5.6

Fi

61.0 29.0 15.0 5.0 2.0 1.0 2.0 3.0 118.0

fi/n

61.0 90.0 105.0 110.0 112.0 113.0 115.0 118.0

Fi/n

52% 25% 13% 4% 2% 1% 2% 3% 100%

52% 76% 89% 93% 95% 96% 97% 100%

Histograma Velocidad del vientoTunja 70.0

60.0

50.0

40.0

30.0

20.0

10.0

0.0 2.1

2.6

3.1

3.6

4.1

4.6

5.1

5.6

Villavicencio -

i 1 2 3 4 5 6 7 8

Histograma de temperatura:

Límite Límite inferior superior 15.8 17.50 19.20 20.90 22.60 24.30 26.00 27.70

Mi

17.50 19.20 20.90 22.60 24.30 26.00 27.70 29.40

fi

16.7 18.4 20.1 21.8 23.5 25.2 26.9 28.6

Fi 38 23 10 19 9 8 5 6 118

fi/n 38 61 71 90 99 107 112 118

Fi/n

32% 19% 8% 16% 8% 7% 4% 5% 100%

32% 52% 60% 76% 84% 91% 95% 100%

Histograma temperatura Villavicencio 40 35 30 25 20 15 10 5 0 16.7

18.4

20.1

21.8

23.5

25.2

26.9

28.6

-

i

Histograma de velocidad del viento:

Límite Límite inferior superior

1 2 3 4 5 6 7 8

0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4

0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7

Mi

fi

0.5 0.8 1.1 1.4 1.7 2.0 2.3 2.6

Fi 3 27 44 21 12 7 3 1 118

fi/n 3 30 74 95 107 114 117 118

Fi/n

3% 23% 37% 18% 10% 6% 3% 1% 100%

3% 25% 63% 81% 91% 97% 99% 100%

Histograma Velocidad del viento Villavicencio 50 45 40 35 30 25 20

15 10 5 0 0.5

0.8

1.1

1.4

1.7

2.0

2.3

2.6

Para realizar cada histograma se tuvo en cuenta los datos de temperatura y velocidad del viento en cada ciudad y se procedió a hacer los histogramas con la función de Excel. ¿Cuál presenta mayor variabilidad? Según los datos tomados y el análisis ejecutado podemos observar que la temperatura de Tunja presenta menor variabilidad ya que la diferencia entre su valor mayor y su valor es de solo 9.2°C, mientras que la de Villavicencio es de 13,5°C. Por otro lado, comparando los datos de la velocidad del viento de Tunja y de Villavicencio observamos que la velocidad del viento en Tunja es más variable que la de Villavicencio ya que la variabilidad de la primera es de 3,7m/s mientras que de la segunda es de 2,3m/s.

Segundo punto: 2. Calcular para cada ciudad los parámetros k y c de la distribución de Weibull, para ello use las ecuaciones 3 y 4 descritas arriba y sustituirlos en la función de probabilidad f(v) (ecuación 1)

(Ecuación 3)

(Ecuación 4) Donde: Desviación estándar = Promedio de velocidad del viento

Después con la ayuda de Excel y las formulas establecidas se procedió a hallar f(v) para cada ciudad. Esto se puede ver evidenciado en el archivo Excel.

𝑘 𝑓 𝑣 = 𝑐

𝑣 𝑐

𝑘−1

𝑒

𝑘 𝑣 𝑘−1 = 𝑒 𝑐 𝑐 𝑘−1

𝑣 𝑘 − 𝑐

𝑣𝑘 − 𝑘 𝑐

𝑘 ∗ 𝑣 𝑘−1 = 1 𝑘−1 𝑒 𝑐 ∗𝑐

1∗𝑣 𝑘 − 𝑘 𝑐

𝑘 ∗ 𝑣 𝑘−1 𝑒 𝑘 𝑐

1 − 𝑘 ∗𝑣 𝑘 𝑐

=

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑇𝑢𝑛𝑗𝑎: 3,593 𝑓 𝑣 = 0,091𝑣 2,593 ∗ 𝑒 −0,025𝑣 n= Vel prom= var= desv.est= k= c= c^k= k-1= 1/(c^k)= k/(c^k)=

118 2.508 0.602 0.776 3.593 2.784 39.614 2.593 0.025 0.091

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑉𝑖𝑙𝑙𝑎𝑣𝑖𝑐𝑒𝑛𝑐𝑖𝑜: 3,009 𝑓 𝑣 = 1,501𝑣 2,009 ∗ 𝑒 −0,499𝑣 n= Vel prom= var= desv.est= k= c= c^k= k-1= 1/(c^k)= k/(c^k)=

118 1.125 0.168 0.410 3.009 1.260 2.005 2.009 0.499 1.501

Tercer punto: 3. Graficar la distribución de probabilidad f(v) obtenida en el ítem anterior y compararla con el histograma obtenido en el punto 1) de la velocidad del viento para los departamentos o ciudades seleccionados. ¿Qué puede concluir de las gráficas en relación al comportamiento de las variables?

Esta es la gráfica de la funcion f(v) para tunja obtenida mediante el graficador geogebra:

De la cual podemos extraer la sección que nos interesa:

n= Vel prom=

118 2,508

𝑘 𝑓 𝑣 = 𝑐

𝑣 𝑐

𝑘−1

𝑒

𝑘 𝑣 𝑘−1 = 𝑒 𝑐 𝑐 𝑘 −1

−

𝑣𝑘 − 𝑘 𝑐

𝑘 ∗ 𝑣 𝑘−1 = 1 𝑒 𝑐 ∗ 𝑐 𝑘−1

1∗𝑣 𝑘 − 𝑘 𝑐

𝑘 ∗ 𝑣 𝑘−1 𝑒 𝑐𝑘

1 − 𝑘 ∗𝑣 𝑘 𝑐

=

Al analizar la grafica vemos que el valor en el eje x del punto más alto de la distribución, coincide con el valor promedio obtenido en el punto anterior. Al sobreponer la gráfica de la distribución de Weibull sobre el histograma realizado obtnemos la siguiente imagen:

Y con esta imagen podemos concluir que la distribución de Weibull muestra una aproximación de como se distribuyen las frecuencias mostradas en el histograma.

𝑣 𝑘 𝑐

Del mismo modo se realiza el análisis con a velocidad del viento en Villavicencio:

𝑘 𝑓 𝑣 = 𝑐

𝑣 𝑐

𝑘−1

𝑒

𝑘 𝑣 𝑘−1 = 𝑒 𝑐 𝑐 𝑘 −1

−

n= Vel prom=

118 1,125

𝑣𝑘 − 𝑘 𝑐

𝑘 ∗ 𝑣 𝑘−1 = 1 𝑒 𝑐 ∗ 𝑐 𝑘−1

1∗𝑣 𝑘 − 𝑘 𝑐

𝑘 ∗ 𝑣 𝑘−1 𝑒 𝑐𝑘

1 − 𝑘 ∗𝑣 𝑘 𝑐

=

𝑣 𝑘 𝑐

Para este caso del análisis de la velocidad del viento en Villavicencio podemos observar los mismos resultados que apreciamos en el análisis de la velocidad del viento en Tunja; el valor sobre el eje x del punto más alto de la distribución coincide con el valor promedio de la velocidad obtenido en el paso anterior.

Cuarto punto: 4. Para cada departamento o ciudad seleccionado, obtener el valor de velocidad del viento más probable y el valor de la velocidad del viento que entregaría la máxima energía eólica (use las ecuaciones 5 y 6 ). Al comparar los valores para los dos departamentos o ciudades seleccionados, ¿cuál de ellos tiene más probabilidad de generar mayor energía eólica? Teniendo en cuenta las siguientes ecuaciones:

Se procede: Tunja: Velocidad del viento en Tunja n= 118 Vel prom= 2.508 var= 0.602 desv.est= 0.776 k= 3.593 c= 2.784 1/k= 0.278 (k-1)/k= 0.722 (k+2)/k= 1.557 Vmp= 2.542 Vmaxe= 3.149

Villavicencio: Velocidad del viento en Villavicencio n= 118 Vel prom= 1.125 var= 0.168 desv.est= 0.410 k= 3.009 c= 1.260 1/k= 0.332 (k-1)/k= 0.668 (k+2)/k= 1.665 Vmp= 1.102 Vmaxe= 1.493 De lo cual se puede concluir lo siguiente: Es más probable que haya mayor generación de energía eólica en Tunja ya que la velocidad más probable que hay en Tunja es de 2,542 m/s, la cual es mayor a la velocidad más probable en Villavicencio que es de 1,102 m/s. Por otra parte según se observa en la tabla de frecuencias del punto 1, de la velocidad del viento en Tunja sólo el 24% de los datos exceden la velocidad más probable, y sólo el 11% supera la velocidad que genera la máxima energía eólica; mientras que en la tabla de frecuencias de la velocidad del viento en Villavicencio el 37% de los datos supera la velocidad más probable y el 19% supera la velocidad que genera la máxima energía eólica.

Quinto punto: 5. ¿Cuál es la probabilidad de que la velocidad del viento en uno de los departamentos o ciudades seleccionadas sobrepase percentil 75? (haga uso de la función f(v) obtenida en el punto 4 o de F(v) ecuación 2) 0,75 = 𝑃[𝑉 ≤ 𝑣0,75 ] = 𝐹 𝑣0,75 Es decir que la probabilidad de que la variable 𝑉 (velocidad del viento) tome un valor menor o igual al percentil 75, es decir un valor menor o igual a 𝑣0,75, será de 0,75. Para este cálculo no es necesario despejar o hallar valores en 𝐹 𝑣 o en 𝑓 𝑣 . Como preguntan cuál es la probabilidad de que la variable V exceda al percentil 75, es decir: 𝑃[𝑉 > 𝑣0,75 ] Usamos la fórmula: 𝑃[𝑋 > 𝑥0 ] = 1 − 𝑃[𝑋 ≤ 𝑥0 ] De modo que la probabilidad que nos piden es de 𝑃[𝑉 > 𝑣0,75] = 1 − 0,75 = 0,25 Todo este análisis es general: No importa cuál sea la función de probabilidad acumulada, ni los valores de los parámetros, por lo cual, tanto para Tunja como para Villavicencio o cualquier otro grupo de datos la respuesta será la misma.

Sexto punto: 6. ¿Cuál es la probabilidad que en uno de los departamentos o ciudades seleccionadas se registre velocidades entre los percentiles 50 a 70? (haga uso de la función f(v) obtenida en el punto 4) Para este punto sucede lo mismo que en el punto 5. El percentil 50 es el valor que toma la variable para la cual la distribución de probabilidad acumulada es del 50%, de modo que: 0,50 = 𝑃[𝑉 ≤ 𝑣0,5 ] = 𝐹 𝑣0,5 0,70 = 𝑃[𝑉 ≤ 𝑣0,7 ] = 𝐹 𝑣0,7 Y de esta manera la probabilidad de que la Velocidad del viento esté entre el percentil 50 y el percentil 70 sería solamente: 𝑃[𝑣0,5 ≤ 𝑉 ≤ 𝑣0,7 ] = 0,7 − 0,5 = 0,2

Resultados: En cada punto se especifican los resultados según cada ítem. Los datos de las ecuaciones y cálculos trabajados están en el archivo Excel con su respectiva justificación.

Referencias: Abernethy, Robert B. The New Weibull Handbook. 5ta ed. North Palm Beach, Florida. 2006 Walpole, Ronald E y Raymond Meyers. Probabilidad y estadística para ingenieros. 3ra ed. México: Interamericana, 1990 https://support.office.com/es-es/article/funci%C3%B3n-distr-weibull-4e783c39-9325-49be-bbc9a83ef82b45db