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TRABAJO COLABORATIVO DE PROBABILIDAD

INTEGRANTES: NANCY MURALLAS MORA

RODRIGUEZ SALAMANCA GUSTAVO ANDRES RODRIGUEZ AZA JOSE LUIS

GRUPO 46

INSTRUCTOR FABIO ORTEGÒN

POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS PROBABILIDAD BOGOTÁ 2019

INTRODUCCIÓN

La estadística es una herramienta elemental y efectiva para desarrollar, describir, relacionar y analizar los valores en datos de las diferentes ciencias. la estadística no solo recopila información, también permite tomar decisiones y proyectarlas para el mejoramiento de diferentes eventos. De esta manera la estadística descriptiva nos permite describir apropiadamente características de una investigación. En el presente trabajo se desarrollarán los ejercicios planteados durante 3 semanas con el fin de poner en práctica los conceptos adquiridos durante el proceso de aprendizaje de este módulo lo que nos permitirá un aprendizaje más practico y aplicativo para la vida cotidiana y el campo profesional. Se desarrolla el siguiente trabajo cumpliendo con todos los requerimientos de aprendizaje del curso de probabilidad, de acuerdo con las guías de actividades y cumpliendo con las pautas evaluativas que nos califica y evalúa el nivel de aprendizaje durante el desarrollo del curso. JUSTIFICACIÓN Se desarrolla el siguiente trabajo cumpliendo con todos los requerimientos de aprendizaje del curso de probabilidad, de acuerdo con las guías de actividades y cumpliendo con las pautas evaluativas que nos califica y evalúa el nivel de aprendizaje durante el desarrollo del curso. Realizar un trabajo grupal y colaborativo con aportes individuales Poner en practica los conocimientos adquiridos durante el desarrollo del curso

OBJETIVOS

Objetivos Generales ➢ Realizar un trabajo grupal y colaborativo con aportes individuales ➢ Poner en práctica los conocimientos adquiridos durante el desarrollo del curso Objetivos Específicos ➢ ➢ ➢ ➢ ➢

Realizar un trabajo grupal y colaborativo con aportes individuales Poner en práctica los conocimientos adquiridos durante el desarrollo del curso Participar con aportes significativos en el foro colaborativo de grupo. Cumplir a cabalidad con la actividad y con las pautas establecidas. Realizar a cabalidad la actividad establecida de manera conjunta con cada uno de los integrantes del grupo. ➢ Adquirir el conocimiento necesario y elemental sobre conceptos de probabilidad.

Desarrollo semana 1: A) Generar un gráfico adecuado para la variable cualitativa seleccionada y hacer una interpretación de este. en este caso el factor que tome para evaluar fue el color de ojos. color de ojos

número de personas

•

azules

25

•

marrones

28

•

negros

22

•

otros

26

•

verdes

21

la gráfica se realizó teniendo en cuenta solo 5 colores y en ellos se puede evidenciar los siguientes valores por cada color • • • • •

marrones:23% azules:21% otros:21% negros:18% verdes:17%

en este gráfico se puede observar que no hay una variación significativa con respecto al color de ojos de las personas, los porcentajes se mantienen muy similares.

B). Generar un histograma para la variable cuantitativa seleccionada, tenga presente la fórmula de sturgess para el número de clases y hacer la respectiva interpretación de este gráfico.

la variable que utilice para realizar el histograma fue el peso Para construir una distribución de frecuencias mediante la regla de Sturgess se necesitan encontrar tres datos. 1. La cantidad de clases (k). Para calcular la cantidad de clases necesarias en nuestra distribución se utiliza la siguiente fórmula k = 1 + 3.322 log n Donde n es la cantidad de datos de nuestra muestra, el valor de k debe ser un número entero, por lo tanto, siempre se debe redondear al número entero próximo. 2. El rango de nuestros datos (R). El rango se encuentra de la siguiente manera: R = valor mayor - valor menor 3. La amplitud de cada clase. (A). Para la amplitud se realiza lo siguiente: A = R/ K es decir, se divide el número de clases por el rango. B). Generar un histograma para la variable cuantitativa seleccionada, tenga presente la fórmula de sturges para el número de clases y hacer la respectiva interpretación de este gráfico Empleando la regla de sturges para los siguientes datos quedaría de la siguiente manera: DATOS N= 122 TAMAÑO DE LA MUESTRA NUMERO MAYOR=110 NÚMERO MENOR=48 Rango= Xmax- Xmin =110-48=62 NUMERO DE CLASES= Regla de sturgess 1 + 3.332 𝑙𝑜𝑔 𝑁 1 + 3.332 𝑙𝑜𝑔122 = 7.951 ≈ AMPLITUD DEL INTERVALO 𝐴=

𝑅 𝑁

𝐴=

62 = 7.75 ≈ 8 8

CLASES

FRECUENCIA

48-56

9

56-64

14

64-72

18

72-80

20

80-88

12

88-96

16

96-104

19

104-112

14

en este gráfico se puede observar que: 9 personas tienen un peso entre 48 y 56 kg 14 personas tienen un peso entre 56 y 64 kg 18 personas tienen un peso entre 64 y 72 kg 20 personas tienen un peso entre 72 y 80 kg 12 personas tienen un peso entre 80 y 88 kg 16 personas tienen un peso entre 88 y 96 kg 19 personas tienen un peso entre 96 y 104 kg 14 personas tienen un peso entre 104 y 112 kg

con esto se puede evidenciar que hay más personas con sobre peso que con bajo peso C). Intérprete para la variable cuantitativa seleccionada, el 5 indica la clase. 1. 1. 2. 3. 4.

N5: frecuencia absoluta acumulada F5: frecuencia relativa acumulada f5: frecuencia relativa n5: frecuencia absoluta

PESO

FRECUENCIA ABSOLUTA

FRECUENCIA RELATIVA

48-56 56-64 64-72 72-80 80-88 88-96 96-104 104-112

9 14 18 20 12 16 19 14

7.% 11.5% 15% 16% 10% 13% 16% 11.5%

FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA 9 23 41 61 73 89 108 122

FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA 7% 19% 34% 50% 60% 73% 88% 100%

FRECUENCIA DEL QUINTO INTERVALO Frecuencia absoluta: se evidencia12 personas con un peso entre 80-88kg Frecuencia relativa: el 10% representa a las con peso entre 80-88kg Frecuencia absoluta acumulada: de 73 personas encuestadas el peso máximo es de 88kg Frecuencia relativa acumulada: 60% representa a las 73 personas encuestadas

D). Calcule el coeficiente de variación y compárelo con el obtenido por sus compañeros. ¿Qué interpretación obtiene al respecto?

primero procedo a realizar una tabla con todos los datos que requiero para hallar el coeficiente de variación f 48-56 52 9 468 870.25 56-64 60 14 840 462.25 64-72 68 18 1224 182.25 72-80 76 20 1520 30.25 80-88 84 12 1008 6.25 88-96 92 16 1472 110.25 96-104 100 19 1900 342.25 104-112 108 14 1512 702.25 total 122 9,944

primero hallamos el promedio 𝑥̅ =

∑ 𝑥. 𝑓 𝑛

𝑥̅ =

∑ 9.994 122

𝑥̅ = 8.15 luego procedemos hallar la varianza 𝜎2 =

∑(𝑥 − 𝑥̅ ). 𝑓 𝑛

𝜎2 =

36,362.5 122

𝜎 2 = 298. 𝑝𝑒𝑠𝑜2

desviación estándar 𝜎 = √298.05 𝜎 = 17.2641

7,832.25 6,471.5 3,280.5 605 75 1,764 6,502.75 9,831.5 36,362.5

coeficiente de variación 𝐶𝑣 =

𝜎 . 100 𝑥̅

𝐶𝑣 =

17.2641 . 100 815.

𝐶𝑣 = 21.18% -Interpretación: De los coeficientes de correlación podemos concluir que la variable más heterogénea es el salario y la más homogénea es el peso.

Parte 2: A). De la variable cualitativa seleccionada, calcule la probabilidad:

a). De que se cumpla un atributo (seleccionado por el estudiante) de todos los demás posibles.

en este caso el factor que tome para evaluar fue el color de ojos. color de ojos

número de personas

probabilidad

•

azules

25

0.2049

•

marrones

28

0.2295

•

negros

22

0.1803

•

otros

26

0.2131

•

verdes

21

0.1721

total

122

1

La probabilidad de que una persona tenga ojos color marrones es del 22.95%

a.

De que sea un hombre desempleado con ojos marrones

Sexo Hombre Mujer total

empleado 44 52 96

desempleado 11 15 26

probabilidad 0.42 0.58 1

para encontrar la probabilidad de que sea un hombre de Afición1 ojos marrones y sea desempleado se tiene que del total de la población hay 6 de 122 entonces la probabilidad es de 0,049 b.

De que se una mujer con una estatura mayor que 1.7 con ojos marrones

Para encontrar la probabilidad de extraer una mujer con una estatura mayor a 1,7 y de Afición1 ojos marrones se realiza el conteo y se tiene que del total de la población hay 6 de 122, entonces la probabilidad es de 6/122=0.049 B). Se van a elegir a un presidente(a) y a un tesorero(a) del grupo de encuestados cuya lengua usual es el castellano. ¿Cuántas opciones diferentes de funcionarios son posibles si: teniendo en cuenta los datos de la base de datos suministrada en donde, la lengua usual del grupo de encuestados es el castellano. Castellano:36 personas El total de las personas encuestadas que cumplen con las condiciones son: 36 LENGUA USUAL castellano catalán euskara francés gallego inglés

no hay restricciones

NUMERO DE PERSONAS 36 69 3 4 6 4

Como son dos cargos diferentes presidente y tesorero, no hay restricciones entonces. 36 × 36 = 1296 entonces son posibles 1296 formas que se puedan acomodar entre las 36 personas que cumplen lo solicitado presidente y tesorero. •

X participará solo si él es el presidente. 𝑛!

aplicamos la fórmula de permutaciones, la cual establece 𝑛𝑃𝑟 = (𝑛−𝑟)! 36! 36𝑃2 = (36 − 2)! 36𝑃2 =

36! 34!

36𝑃2 =

36.35. 34! 34!

36𝑃2 = 36.35 36𝑃2 = 1260 Son posibles 1260 formas de elegir los cargos de funcionarios con las 36 personas que cumplen el requisito e hicieron parte de la encuesta de la base de datos •

Y y Z participarán juntos o no lo harán.

Aplicamos la fórmula de las combinaciones sin repeticiones tenemos. 𝑛𝐶𝑟 =

𝑛! 𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

36𝐶2 =

36! 2! (36 − 2)!

36𝐶2 =

36! 2!. 34!

36𝐶2 =

36.35. 34! 2!. 34!

36𝐶2 =

36.35 2.1.1

36𝐶2 =

1260 2

36𝐶2 = 630 Son posibles 630 formas de elegir los cargos de los funcionarios con las 36 personas que cumplen el requisito e hicieron parte de la encuesta de la base de datos. •

M y N no participaran juntos.

Aplicamos la fórmula de las combinaciones con repetición, tenemos.

𝑚𝐶𝑛 =

(𝑚 + 𝑛 − 1)! 𝑛! (𝑚 − 1)!

36𝐶2 =

(36 + 2 − 1)! 2! (36 − 1)!

36𝐶2 =

37! 2! .35!

36𝐶2 =

37.36. 35! 2! 35!

36𝐶2 =

37.36 2.1.1

36𝐶2 =

1332 2

36𝐶2 = 666 Si M y N no participan juntos es posible elegir un presidente y un tesorero de 666 formas distintas. Parte3: Los integrantes del grupo se podrán de acuerdo y seleccionarán una sola variable, la cual permita generar un contexto entorno a una distribución binomial. El grupo debe: A. Generar un contexto entorno a la variable escogida. desarrollo:

Se elige calcular la probabilidad binomial, fumador. Tomando cierto (p)= éxito y (q) fracaso. se encuentra que de las 122 personas encuestadas 39 son fumadoras y 83 personas no son fumadoras. Aplicando la fórmula de probabilidad binomial. 𝑛 𝑝(𝑥 = 𝑟) = ( ) . 𝑝𝑟 . 𝑞 (𝑛−𝑟) 𝑟 n=122 p=0.3197 q=0.6803 variable fumador 1=p=éxito 0=q= fracaso total

número de personas 39 83 122

probabilidad 0.3117 0.6803 1

B. Calcular el valor esperado de esta variable, la desviación e interpretar los resultados valor esperado o media. 𝜇 = 𝑛. 𝑝 𝜇 = 122 × 0.3197 𝜇 = 39 Desviación típica 𝜎 = √𝑛. 𝑝. 𝑞 𝜎 = √122 × 0.3197 × 0.6803 𝜎 = 5.1511 C. Genera 2 preguntas de la forma: a). 𝑝(𝑥 > 𝑟), donde r es una cantidad definida por el grupo. probabilidad de encontrar más de 90 fumadores? n < 90 cualquier p

no aproximar, calcular con la variable original

aproximación de la binomial a la normal. (teorema de movire- LAPLACE)

𝑛 > 10

𝑛. 𝑝 > 5

𝑛 > 122 𝜇 = 39

𝑛. 𝑞 > 5

122 × 0.3197 = 31.97 > 5

122.0.6803 = 68.03 > 5

𝜎 = 5.1511

𝑝(𝑥 > 122) 𝑝 (𝑧 >

122 − 39 ) 5.1511

𝑝(𝑧 > 16.1130) = 1 − 𝑝(𝑧 ≤ 16.1130) 𝑝(𝑧 ≤ 𝑛) = 1 − 𝑜. 9999 = 0.0001 = 0.01% la probabilidad de encontrar más de 90 fumadores es del 0.01% b). 𝑝(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏), donde a y b es una cantidad definida por el grupo. encontrar de 3 a 6 personas fumadoras. entonces pasamos de distribución binomial a distribución normal. para ello se necesita hallar la media y la desviación típica. valor esperado o media. 𝜇 = 𝑛. 𝑝 𝜇 = 122 × 0.3197 𝜇 = 39 Desviación típica 𝜎 = √𝑛. 𝑝. 𝑞 𝜎 = √122 × 0.3197 × 0.6803 𝜎 = 5.1511 𝑝(3 ≤ 𝑥 ≤ 6 = 𝑝(𝑥 ≤ 6) − (𝑥 ≤ 3) 𝑝 (𝑧 ≤

6−𝜇 3−𝜇 ) − 𝑝 (𝑧 ≤ ) 𝜎 𝜎

𝑝 (𝑧 ≤

6 − 39 3 − 39 ) − 𝑝 (𝑧 ≤ ) 5.1511 5.1511

𝑝(𝑧 ≤ 6.4063) − 𝑝(𝑧 ≤ 6.9887) 𝑝(𝑧 > 6.4063) − 𝑝(𝑧 > 6.9887) 1-𝑝(𝑧 ≤ 6.4063) − [1 − 𝑝(𝑧 ≤ 6.9887)] 1 − 0.9997

[1 − 1]

0.0003 = 0.03% la probabilidad de encontrar de 3 a 6 personas fumadoras es del 0.03%

CONCLUSIONES •

Se alcanzan las metas básicas de conocimiento y desarrollo del trabajo presente.

•

Se establece que la probabilidad es necesaria y elemental

•

Nos permite ordenar datos organizados, de la probabilidad y la estadística como tal donde podemos realizar muestreos y representar conjuntos de datos partiendo de la descripción de características de este.

•

Es un área novedosa, en su desarrollo lo que nos facilito comprender cada uno de los conceptos de una manera adecuada y oportuna.