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MECANICA DE FLUIDOS II

TRABAJO MONOGRAFICO

ALUMNO: NESTOR RAUL QUISPE MATUTE

CICLO:

VI

TURNO: MAÑANA

02-1

Introducción El objeto de este tema es el estudio de los flujos reales (viscosos) en el interior de conductos, ya sean circulares o de otras formas. Es decir todos aquellos flujos limitados por superficies sólidas. Cuando se trata con flujos reales las fuerzas viscosas suelen tener una gran importancia ya que producen esfuerzos cortantes con el movimiento del fluido. Flujo laminar y flujo turbulento Los flujos viscosos se pueden clasificar en laminares y turbulentos, teniendo en cuanta la estructura interna de flujo. En un flujo laminar, la estructura del flujo se caracteriza por el movimiento en láminas o capas. En régimen turbulento la estructura del flujo se caracteriza por movimientos tridimensionales aleatorios de las partículas de fluido, superpuesto al movimiento promedio. Un parámetro muy importante en los flujos reales es el número de Reynolds, que se define como el cociente entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas, y se suele expresar como:

La importancia de este parámetro radica principalmente en el hecho de permitir definir si el flujo es laminar o turbulento. Esto ya que muchos estudios empíricos han permitido estimar, en función del número de Reynolds, el tipo de flujo que se tiene. Es así por ejemplo que se sabe que para números de Reynolds pequeños (Re 4.000.

Por otra parte sabemos que el flujo turbulento en cañería depende de los siguientes parámetros:

Diámetro de la tubería “D” Longitud de la tubería entre las mediciones de presión “L” Coeficiente de viscosidad “  ” Velocidad media del flujo en la sección recta “ V  Q / A ” Densidad “ρ” Rugosidad media de la tubería “e” (es la altura media de las crestas o los valles respecto del diámetro tomado como línea central).

Es decir que los cambios de presión a lo largo de una tubería con flujo turbulento va a depender de ellos en la forma funcional siguiente:

p  p( D, L,  , V ,  , e)

Si aplicamos a esta relación funcional los resultados del teorema  de Buckingham, vemos que n =7 y r = 3, o sea: n – r = 4; y habrá por tanto cuatro grupos adimensionales vinculados. Haciendo el trabajo de encontrarlos, veríamos que estas relaciones son en función del número de Euler: F

( EU 



P ) V 2

V D V D L e P g( ; ; ) 2  D D V 2

O bien:

p 

hL 

2

EU  g (Re;

128 LQ D 4

P







L e ; ) D D p





128 LQ 1 2 L  V f 2 D D 4 

128 LQ D 4 

Q V 

Y como

D 2 4

Queda:

128 LV D 2 V Lf  2D 4D 4  2



f 

64 Re

O sea que para flujo laminar con f = 64/Re , siendo el flujo laminar un caso particular de flujo general. Por otra parte, vemos que f solamente depende para flujo laminar de Re , y no de la rugosidad, como ya habíamos expresado.

Al coeficiente f se lo llama coeficiente o factor de fricción y también, coeficiente de resistencia de Darey -Weisbach. La teoría indica que la expresión de f para flujo laminar, en función de Re tiene la forma de una hipérbola equilátera, (y = k/x) la cual resulta una “línea recta” sobre un papel logarítmico en el rango de n° Re laminares.

Para el resto del rango del n° Re, y tomando como parámetros los índices de rugosidad “e / D” , se confeccionan las curvas “Nikuradse” en las que se grafica n° Re en abscisa; “f” o factor de fricción en ordenadas con “e / D” como parámetro de rugosidad, por ejemplo e / D = 1/120 significa que si el diámetro es 120 mm la variación media del radio de la tubería es 1 mm.

Las curvas Nikuradse se dan en la gráfica siguiente,

Se observará que para Re > 2.300 todas las curvas de rugosidad son asintóticas con la “curva de tubería lisa”, y cada curva se aparta para Re altos a valores asintóticos horizontales donde ya la fricción no aumenta más a pesar de incrementar Re, estas zonas rectas son zonas de diseño para tuberías rugosas. CONCEPTO DE DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES En los canales y en las tuberías el flujo es esencialmente tridimensional. Para cada punto de la corriente, el vector velocidad tiene componentes en las tres direcciones. Para analizar la variación de velocidades en la sección tendremos en cuenta la forma de la sección transversal, pues la naturaleza y características geométricas del contorno definen básicamente la curva de distribución de velocidades. En las tuberías el caso más simple corresponde a la sección circular. La influencia del contorno es simétrica y perfectamente definida. En los canales el caso más simple corresponde a un canal de ancho infinito. Sólo hay influencia del fondo.

Empezaremos por analizar este último caso. El flujo es bidimensional. En cada punto de la sección hay una velocidad particular (Vh). La velocidad es máxima en la superficie. En el fondo la velocidad es mínima. El esquema característico de la distribución de velocidades es el siguiente

Figura a Denominamos Vh a la velocidad que existe a la distancia h del contorno (en este caso del fondo). La curva que expresa la relación entre Vh y h se llama curva de distribución de velocidades. En los siguientes capítulos estableceremos su ecuación. En un canal de ancho infinito la velocidad máxima está en la superficie. Pero en un canal rectangular angosto hay fuerte influencia de los lados y la velocidad máxima aparece debajo de la superficie. Mientras más angosto es el canal mayor es la influencia de los lados y la velocidad máxima está más profunda con respecto a la superficie. Valores usuales para ubicar la velocidad máxima son los comprendidos entre 95,0 y y 75,0 y. En una tubería la velocidad es máxima en el eje y mínima en el contorno, tal como se muestra en el esquema de la Figura b. Para h= D /2 se obtiene la velocidad máxima. Se observa que los ejemplos de las Figuras a y b tienen algo en común: la velocidad es cero en el contorno. Esto se debe a que hemos considerado fluidos reales (con viscosidad).

Figura b

La distribución de velocidades depende, entre otros factores, del grado de turbulencia. Otros factores determinantes son el grado de aspereza (rugosidad) del contorno y el alineamiento del canal.

Para números de Reynolds elevados se dice que existe turbulencia plenamente desarrollada y la distribución de velocidades tiende a hacerse uniforme, salvo en la zona próxima al contorno donde los esfuerzos viscosos y el gradiente de velocidades son muy grandes. Así por ejemplo, en una tubería cuyo número de Reynolds fuera del orden de 1 ó 2 millones podría tenerse la siguiente distribución de velocidades

Figura c En cambio, en un escurrimiento laminar el gradiente de velocidades es muy grande en toda la sección transversal y se tendrá una curva de distribución de velocidades de tipo parabólico (ver Figura d). Para un fluido ideal, sin viscosidad, cuyo número de Reynolds sea infinito, la distribución de velocidades sería uniforme (Ver Figura e). Para números de Reynolds muy altos, como el de la Figura c, la distribución de velocidades de un fluido real puede calcularse sin cometer mayor error, como si fuera un fluido ideal salvo en la zona próxima a las paredes.

Figura d

Figura e

Debe tenerse presente que a partir de un cierto valor del número de Reynolds se obtiene turbulencia plenamente desarrollada. Un aumento en el número de Reynolds no conlleva un aumento del grado de turbulencia. En la Figura a se presentó la distribución vertical de velocidades en un canal muy ancho. Este es un caso particular. Tratándose de canales el caso más frecuente es el de las secciones trapeciales o rectangulares, en las que no puede dejarse de considerar la influencia de las paredes, en las que la velocidad debe también ser nula. Se tendrá entonces una distribución transversal de velocidades. Para ilustrar la distribución de velocidades en la sección transversal se indica en el esquema de la Figura f la sección de un canal en el que se ha dibujado las curvas que unen los puntos de igual velocidad (isotacas). Esta velocidad se ha relacionado con la velocidad media. Así la curva que tiene el número 2 significa que todos sus puntos tienen una velocidad que es el doble de la velocidad media. En la Figura g se presentan con carácter ilustrativo las distribuciones de velocidad típicas para diferentes secciones transversales. El alineamiento del conducto y la simetría de la sección también son factores determinantes de la curva de distribución de velocidades.

Figura f

Figura g

La asimetría de la sección transversal produce corrientes secundarias, que se llaman así por no seguir la dirección general de la corriente. Si el movimiento principal es a lo largo del conducto, entonces la corriente secundaria producida por una curvatura del alineamiento se desarrolla en un plano normal y representa una circulación que al superponerse al flujo principal da lugar a un movimiento espiral o "en tornillo". Analicemos el caso que corresponde al cambio de dirección (codo) en una tubería. La resistencia viscosa reduce la velocidad en el contorno dando como resultado que allí la energía sea menor que en las capas adyacentes. Debido a la fuerte caída de presión que se produce en el contorno exterior hay un flujo secundario que se dirige hacia el exterior y que debe ser compensado por otro que se dirija hacia el interior.

Figura h La aspereza (rugosidad) de las paredes y su influencia sobre la distribución de velocidades será analizada en el capítulo siguiente. Damos una idea de su significado a través de la Figura i en la cual se presentan para una misma tubería dos distribuciones de velocidad, según que el contorno sea liso o rugoso.

Figura i A partir de la ecuación de distribución de velocidades se calcula el gasto

Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media para un canal muy ancho con movimiento laminar En un canal como el presentado en la Figura j se tiene que a una distancia h del contorno existe un valor de la velocidad (Vh) y un valor del corte ( vh y

). La relación entre

depende de que el flujo sea laminar o turbulento.

Para el flujo laminar la relación entre el esfuerzo de corte y la velocidad es muy conocida y corresponde a la definición de viscosidad.

Separando variables,

E integrando, se obtiene

Expresión en la que Vh es la velocidad a la distancia h del fondo, S es la pendiente de la línea de energía, v es la viscosidad cinemática, y es el tirante, k es una constante de integración. El valor de la constante de integración se obtiene para la condición que la velocidad es nula en el contorno ( h= 0 ; Vh= 0 ; k= 0 ), luego,

Que es la ecuación de distribución de velocidades en un canal muy ancho con flujo laminar. Es una curva parabólica.

Figura j

Distribución de velocidades en un canal con movimiento laminar La velocidad máxima corresponde a la superficie (h=y)

La velocidad media se puede obtener a partir del gasto, calculado por integración de la ecuación de distribución de velocidades. Sin embargo, como la curva de distribución es parabólica se puede obtener la velocidad media por simple aplicación de las propiedades geométricas de la parábola. Según la Figura j

Puesto que el área de la parábola es igual a los 2/3 del rectángulo circunscrito. q es el gasto específico (por unidad de ancho). Pero también se tiene que,

Luego,

Que es la fórmula para el cálculo de la velocidad media en un canal con flujo laminar y que evidentemente equivale a

Obsérvese que en el movimiento laminar la velocidad es proporcional a la primera potencia de la pendiente. En la Figura j se observa que la velocidad superficial corresponde a la condición

Evidentemente que también puede hacerse el cálculo por integración.

Calculada q se obtiene por división entre el área y, el valor de la velocidad media Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media para una tubería con movimiento laminar

de donde, luego de separar variables e integrar, se llega a

El valor de la constante de integración se obtiene para las condiciones del contorno ( h= 0 ; Vh=0 ; k= 0 ). Luego,

3.3.3 Que es la ecuación de distribución de velocidades para una tubería con movimiento laminar. La velocidad máxima se presenta en el eje y corresponde a h=D/4

La velocidad media puede obtenerse por integración de la ecuación 3.3.3, pero en este caso aplicamos la propiedad geométrica que dice que el volumen de un paraboloide es la mitad del cilindro circunscrito. Luego,

En una tubería con flujo laminar la velocidad media es igual a la mitad de la velocidad máxima; es decir,

4.4.4 Que es la conocida ecuación de Hagen - Poiseuille. Si expresamos esta ecuación en función del radio hidráulico, tenemos

Que fue establecida para un canal. En un caso el denominador es 2 y en otro 3. Podríamos concluir que cualquier otra sección transversal intermedia entre los dos casos extremos estudiados (canal muy ancho y tubería circular) debe tener en el denominador un valor comprendido entre 2 y 3.

La velocidad media también podría haberse obtenido por la integración de la ecuación 3.3.3

De donde

Y

Obteniéndose el valor de la ecuación 4.4.4 Mediante sencillas transformaciones de la ecuación 4.4.4 se obtiene que la diferencia de cotas piezométricas separadas por la longitud L a lo largo de la tubería es

a) Flujo hidráulicamente liso (tubería hidráulicamente lisa): La rugosidad (K) queda cubierta por la subcapa laminar ( ). La rugosidad, por tanto, no influye en el valor de f puesto que ningún punto de la pared queda afectado por las turbulencias que producirían las rugosidades internas, comportándose la tubería como un material liso(figura 3.5).

Figura 3.5. Flujo hidráulicamente liso b) Flujo hidráulicamente semirrugoso o zona de transición: El espesor de la subcapa laminar ( ) se aproxima al valor medio de rugosidad absoluta (K), de manera que la rugosidad emerge de la subcapa laminar en unos puntos y en otros no, quedando sólo las rugosidades que emergen afectadas por la turbulencia. Es el caso más frecuente, y aquí el coeficiente de fricción depende tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa (figura 3.6).

Figura 3.6. Flujo hidráulicamente semirrugoso o zona de transición c) Flujo hidráulicamente rugoso (tubería hidráulicamente rugosa): Si el espesor de la subcapa laminar ( ) es menor que la rugosidad absoluta (K), las irregularidades internas de la conducción rebasan la subcapa laminar, produciendo turbulencia completa. Cuanto mayor sea el número de

Reynolds, más delgada será la subcapa laminar y más puntos de la pared sobresaldrán de ella. En este caso, las fuerzas de inercia son muy importantes y apenas influyen las fuerzas viscosas, por lo que el factor de fricción sólo depende de la rugosidad relativa y el número de Reynolds no tiene importancia en su determinación (figura 3.7).

Figura 3.7. Flujo hidráulicamente rugoso (tubería hidráulicamente rugosa) Cuantitativamente:

: Flujo hidráulicamente liso.

: Flujo hidráulicamente semirrugoso o zona de transición.

: Flujo hidráulicamente rugoso. En la práctica, se utilizan unas condiciones basadas en la proporcionalidad del número de Reynolds de la rugosidad y la relación , ya que son más fáciles de establecer que las anteriores y se refieren a rugosidades absolutas irregulares, que es el caso real de las tuberías comerciales.

Si

: Flujo hidráulicamente liso.

Si

: Flujo hidráulicamente rugoso.

Si el flujo está comprendido entre los dos valores anteriores, el flujo sería hidráulicamente semirrugoso (zona de transición). RUGOSIDAD ABSOLUTA Y RELATIVA

La aspereza de una superficie puede establecerse por el examen de la misma y la medida de la dimensión de sus irregularidades, las cuales dependen de las características y estado del material. Con este método se llega a la medición de la aspereza absoluta, expresada por una longitud k, que resulta ser la altura media de las irregularidades. Se llama aspereza relativa a la relación que existe entre la aspereza absoluta y el diámetro del conducto, así: D/K La influencia de la aspereza sobre las condiciones de la circulación de fluidos en conductos rugosos carece de importancia en el régimen laminar, siempre que las rugosidades de la pared no produzcan una notable diferencia en la sección transversal interior del tubo. En cambio es muy importante en el régimen turbulento, en el que se debe tener en cuenta la característica del escurrimiento que se está presentando. Según L. Hopf y K. Fromm existen dos clases de asperezas. Las primeras (a y b) tienen pequeñas longitud de onda y gran amplitud, y constituyen las paredes rugosas.

En la práctica pertenecen a esta clasificación los conductos de fundición (nueva, oxidada, o con incrustaciones), de cemento (enlucido o sin enlucir), tablas rugosas, etc. Este primer tipo de rugosidad produce una resistencia a la circulación cuyo factor de fricción f es independiente del número de Reynolds. La pérdida de carga entonces, es proporcional al cuadrado de la El segundo tipo recibe el nombre de rugosidad ondulada (figura c); las irregularidades se caracterizan por ser superficie lisas y de gran longitud de onda como sucede en las planchas de hierro asfaltadas o en los revestimientos interiores bituminosos. En este tipo de rugosidad la variación de f es muy similar a la del tubo liso, pero mayor; y para ambos tipos de tubo la resistencia resulta proporcional a la potencia 1.75 de la velocidad, según experiencias de Reynolds y de Blausius. VARIACION DE LA RUGOSIDAD K DE UNA TUBERÍA: Según Genijew (Handbuch der Hydraulik, M.A. Mostkow, Berlín, 1996), la rugosidad del contorno aumenta con el tiempo de acuerdo con la ley aproximada: Kt = K0 + αt Expresión en la cual ko es la rugosidad inicial del material nuevo, k la rugosidad al alcanzar el tiempo t y α un coeficiente de aumento. Midiendo las rugosidades en dos tiempos distintos, puede calcularse la constante α y prever el comportamiento de la tubería para un tiempo mayor. Lógicamente k variara según el fluido que circule, la naturaleza y las características de la tubería.

El valor de α depende de la calidad del agua que circula por la tubería y de los años de servicio de la misma. Genjew, propuso en base a investigaciones realizadas, los siguientes valores:

OBTENCION DE LA ECUACION DE CHEZY

Se observa que ambas ecuaciones son muy parecidas. Difieren sólo en el valor numérico del coeficiente de

.

Con el objeto de obtener una fórmula aproximada que comprenda tanto a tuberías como a canales tomamos el promedio aproximado de los coeficientes y se obtiene

Esta es la fórmula aproximada para la velocidad media en cualquier conducto liso (canal muy ancho, tubería o cualquier otra sección intermedia).

Para los conductos rugosos

Ambas ecuaciones son también muy parecidas y pueden reemplazarse por otra que considere el promedio aproximado de los coeficientes de

Esta es la fórmula aproximada para la velocidad media en cualquier conducto rugoso (canal muy ancho, tubería o cualquier otra sección intermedia). Un conducto puede tener paredes hidráulicamente lisas o hidráulicamente rugosas. En el segundo caso se entiende que el tamaño de la rugosidad absoluta y de las características del escurrimiento no permiten que se desarrolle una subcapa laminar. En cambio en el primer caso, conductos lisos, si existe una subcapa laminar y la velocidad es función de su espesor. Eventualmente pueden presentarse casos intermedios o de transición.

Con fines prácticos estableceremos una fórmula que involucre ambos casos.

Si el valor K de la rugosidad no tiene significación, entonces la fórmula 2-41 se convierte en la de los conductos lisos; caso contrario si no tiene significación entonces es la ecuación de los conductos rugosos. Haremos ahora algunos reemplazos en esta ecuación para darle otra forma

Concepto de rugosidad. Conductos hidráulicamente lisos e hidráulicamente rugosos Cada contorno tiene su propia aspereza o rugosidad que depende del material de que está hecho y de su estado de conservación. Así por ejemplo, una tubería de concreto es más rugosa que una de acero. Un canal de tierra es más rugoso que un canal de concreto. Si pudiéramos ver con una luna de aumento el contorno de una tubería o de un canal, veríamos algo así como lo mostrado en la figura siguiente

Figura k Las asperezas tienen diferente forma y tamaño. Dan lugar a la aparición de pequeñas corrientes secundarias (vorticosas). Estas asperezas producen una modificación en las condiciones del escurrimiento. Con el objeto de estudiar la influencia de la rugosidad, Nikuradse hizo experiencias en tuberías con rugosidad artificial. Para ello cubrió las paredes con granos de arena de diámetro uniforme.

Figura l Se designa por K el diámetro y por a el radio de los granos. Al valor de K (o al de a) se le llama rugosidad absoluta. La influencia de la rugosidad en el escurrimiento depende del tamaño del conducto, es decir del radio de la tubería, tirante o cualquier otra medida característica. Se denomina rugosidad relativa a cualquiera de las relaciones siguientes

O sus inversas, Determinar cuál es la rugosidad absoluta de un conducto dado es un problema difícil. Existen tablas, gráficos y descripciones, pero en última instancia el factor principal es la experiencia del ingeniero diseñador. De otro lado, debe tenerse en cuenta, como lo estudiaremos luego en detalle, que la rugosidad cambia con el tiempo. Las experiencias que realizó Nikuradse y que fueron publicadas en 1933 son para el siguiente rango de rugosidades relativas

Un conducto en el que la rugosidad relativa es de 30 se caracteriza porque es muy grande la influencia de la rugosidad en el escurrimiento. Como resultado de la combinación de las características del escurrimiento (velocidad, viscosidad, etc.) y del tamaño, forma y espaciamiento de la rugosidad puede ser que se desarrolle o no, una subcapa laminar.

La posibilidad de existencia de la subcapa laminar es lo que define la naturaleza de las paredes. Dicho en otras palabras, la naturaleza de las paredes depende del tamaño relativo de Cuando es posible que esta subcapa laminar exista se dice que las paredes son hidráulicamente lisas; caso contrario son hidráulicamente rugosas. Debe entenderse que por la propia naturaleza de la rugosidad y por la necesaria aproximación con la que se hacen los cálculos estos valores no pueden ser rigurosamente exactos. Se dice que un conducto es hidráulicamente liso cuando Lo que equivale aproximadamente a

Se dice que un conducto es hidráulicamente rugoso cuando

Lo que equivale aproximadamente a

Para valores intermedios

Se dice que el contorno es una transición entre liso y rugoso

Fotos de canales y tuberías