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• Jahn Bedon Jauregui

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UNIVERSIDAD NACIONAL “JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN” FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS ASIGNATURA:

INVESTIGACIÓN OPERATIVA II DOCENTE:

Mg. SOSA PALOMINO, ALCIBIADES TEMA:

MODELOS PROBABILISTICOS SEMESTRE ACADÉMICO: 2013-II INTEGRANTES:

DELGADO FLORES ANGELO JAIMES RIVERA JULIO CESAR RIVERA MERAMENDIS JUANCARLOS QUISPE CAYCHO DENISSE DANIXA SANTOS OBISPO MARIA CARMEN

Huacho – Perú

2013

INVESTIGACION DE OPERACIONES II

HISTORIA La Investigación de Operaciones o Investigación Operativa es una disciplina donde las primeras actividades formales se dieron en Inglaterra en la Segunda Guerra Mundial, cuando se encarga a un grupo de científicos ingleses el diseño de herramientas cuantitativas para el apoyo a la toma de decisiones acerca de la mejor utilización de materiales bélicos. Se presume que el nombre de Investigación de Operaciones fue dado aparentemente porque el equipo de científicos estaba llevando a cabo la actividad de Investigar Operaciones (militares). Una de las áreas principales de la Investigación de Operaciones es la Optimización o Programación Matemática. La Optimización se relaciona con problemas de minimizar o maximizar una función (objetivo) de una o varias variables, cuyos valores usualmente están restringidos por ecuaciones y/o desigualdades. Hoy en día el uso de modelos de optimización es cada vez más frecuente en la toma de decisiones.

Modelos Probabilísticos en la Toma de Decisiones El análisis de decisión proporciona un soporte cuantitativo a los tomadores de decisiones en todas las áreas tales como ingenierios,analistas en las oficinas de planificación, agencias públicas, consultores en proyectos de gerencia, planificadores de procesos de producción, analistas financieros y de economía, expertos en diagnóstico de soportes médicos y tecnológicos en infinidad de otras áreas. El modelo para la toma de decisiones envuelve a dos partes diferentes, una es el tomador de decisiones y la otra es el constructor del modelo, conocido como el analista. El analista debe de asistir al tomador de decisiones en el proceso de decidir. Por lo tanto, el analista debe de estar equipado con más que un conjunto de métodos analíticos.



Modelo

Es una simplificación de la realidad puede presentarse de acuerdo a los objetivos del estudio del sistema; en este caso es modelo simbólico y descriptivo.



Modelo Probabilístico

Es una representación matemática deducida de un conjunto de supuestos con el doble propósito de estudiar los resultados de un experimento aleatorio y predecir su comportamiento futuro, cuando se realiza bajo las mismas condiciones dadas inicialmente, el modelo permite conocer la distribución de probabilidades de los valores que toma la variable aleatoria de ahí que también se mencione con el nombre de distribución de probabilidad.

VARIABLES ALEATORIOS Definición: Es una variable que toma valores numéricos determinados por el resultado de un experimento aleatorio. Ejemplos: -

Número de caras al lanzar 6 veces una moneda (valores: 0, 1, 2,3…)

-

Número de llamadas que recibe un teléfono en una hora

-

Tiempo que espera los clientes para pagar en un supermercado

Tipos De Variables Aleatorias: Variable Discreta: Sea X una variable aleatoria discreta. Su distribución viene dada por los valores que puede tomar, X1,X2 , X3,……..,XK , y las probabilidades de que aparezca P1, P2, P3, ……..,PK estas cantidades pi=P{X=Xi} reciben el nombre de función probabilidad. Función de Probabilidad Se denomina función de probabilidad de una variable aleatoria discreta de X, a una función de F(x) que asigna a todo número real X, la probabilidad de que X asuma ese valor, esto es: F(x)= P [X=x]

Ejemplo: Variable aleatoria x=nº de caras al lanzar tres veces unaMoneda Posibles valores de x: 0, 1, 2 y 3 Lanzar 3 veces moneda: E={CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX} La variable aleatoria x: -

Toma valor 0 cuando ocurre el suceso {XXX}

-

Toma valor 1 cuando ocurre el suceso {XXC,XCX,CXX}

-

Toma valor 2 cuando {CCX,CXC,XCC}

-

Toma valor 3 cuando {CCC}

La función de probabilidad es:

p0  P{x  0}  1 / 8  0,125 p1  P{x  1}  3 / 8  0,375 p2  P{x  2}  3 / 8  0,375 p3  P{x  3}  1 / 8  0,125

Variable aleatoria continúa Una variable aleatoria es continua si su recorrido no es un conjunto numerable. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo de números reales. Cantidades que toman infinitos valores, dentro de un rango permitido, generándose una distribución de probabilidades continuas.

Función Densidad Representada comúnmente como f(x), se utiliza con el propósito de conocer cómo se distribuyen las probabilidades de un suceso o evento, en relación al resultado del suceso. La Función Densidad es la derivada (ordinaria o en el sentido de las distribuciones) de la función de distribución de probabilidad F(x), o de manera inversa. La función de densidad de una variable aleatoria determina la concentración de probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria continua. Se dice que la función f(x) es función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X si satisface las siguientes condiciones:

Función de distribución acumulada de una variable aleatoria continúa. La función de distribución acumulada: F(x), de una variable aleatoria continua X con una función de densidad f(x), se define por:

Valor esperado de una variable o esperanza matemática La distribución de probabilidades de una variable aleatoria se caracteriza básicamente a través de medidas de tendencia central y de dispersión. Estas medidas se denominan parámetros y se describen mediante la esperanza matemática (media de una variable aleatoria) 1.4

Esperanza

La esperanza matemática (o simplemente esperanza) o valor esperado de una variable aleatoria es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso. Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la media aritmética. Para una variable aleatoria discreta con valores posibles probabilidades representadas por la función de probabilidad calcula como:

1.5

y sus la esperanza se

Media de una variable aleatoria continúa

La media de una variable aleatoria continúa X con función de probabilidad f(x) es la expresión:

Varianza de una variable aleatoria Mide el grado de dispersión de la distribución de probabilidades La varianza de una variable aleatoria X se denota por cualquiera de las formas: σ2, Var(X).

La varianza de X si es discreta es dada por la expresión:

La varianza de una variable aleatoria. X si es continua es dada por la expresión:

La desviación estándar de la variable aleatoria X es la raíz cuadrada positiva de su varianza

Variable Una variable es un símbolo que representa un elemento o cosa no especificada de un conjunto dado. Dicho conjunto es llamado conjunto universal de la variable, universo o variar de la variable, y cada elemento del conjunto es un valor de la variable.

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Distribución de Poisson: El uso de la distribución Poisson es para obtener la probabilidad de ocurrencia de sucesos raros (eventos que ocurren con poca frecuencia) cuyo resultado lo presenta una variable discreta.

Definición: Se dice que la variable aleatoria discreta de X, cuyos valores posibles son: 0,1,2,….,etc., tienen distribución de Poisson con parámetro λ y se escribe X~P(λ),si La función de probabilidad es:

P(X=x):

( )

Dónde: P(X=x): es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor finito x. λ : promedio de ocurrencias en un intervalo(tiempo,volumen,área,etc). e : tiene el valor aproximado de 2.71828183… x : es el número de ocurrencias

Utilidad  La distribución poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados.  Permite determinar la probabilidad de resultado discreto.

ocurrencia de un suceso con

 Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de éxitos p es pequeña. Ejemplos: La llegado de un cliente de un negocio durante Las llamadas telefónicas que se reciben en un día Número de accidentes de trabajo que ocurren en una fábrica durante una semana.

 La distribución de Poisson tiene un parámetro que representa la media.  El símbolo para denotar la distribución de poisson es la letra griega Lambda (λ).  La media λ es igual que la varianza

DISTRIBUCIÓN NORMAL O CAMPANA DE GAUSS La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francésAbraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855)realizó estudios más a fondo donde formula la ecuación de la curva conocida comúnmente, como la “Campana de Gauss". Concepto: La mayoría de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales, físicas y biológicas, por ejemplo, el peso de niños recién nacidos, talla de jóvenes de 18 años en una determinada región, son continuas y se distribuyen según una función de densidad, que tiene la siguiente expresión analítica:

f ( x) 

1

 2

1  x     2  

2

e

Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviación típica. Este tipo de variables se dice que se distribuye normalmente. El área bajo la función de densidad es 1. La función de densidad, en el caso de la distribución Normal, tiene forma de campana:

Para una variable aleatoria X, que se distribuye normalmente con media: μ y desviación típica: σ, la probabilidad de que la variable X esté comprendida entre los valores a y b es el área oscura en la siguiente figura :

b

Analíticamente se puede calcular así:

1 p ( a  X  b)   e  2  a

 x  2 2 2

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR Un conjunto de datos con distribución normal siempre se puede convertir en su forma estandarizada y después determinar cualquier probabilidad deseada, a partir de la tabla de distribución normal. Dónde:  Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su función de densidad se le conoce como la curva normal estándar.  Es una distribución normal con promedio 0 y una desviación estándar de 1.  Todas las variables normalmente distribuidas se pueden transformar a la distribución normal estándar utilizando la fórmula para calcular el valor Z correspondiente.

Función F (Z): En la siguiente gráfica vemos la representación gráfica de la función de Z

CARACTERISTICAS DE LA DISTRIBUCION NORMAL ESTÁNDAR     

No depende de ningún parámetro. Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación estándar es 1. La curva f(x) es simétrica respecto del eje de Y Tiene un máximo en el eje de Y. Tiene dos puntos de inflexión en z=1 y z=-1

EJERCICIOS RESUELTOS: Distribución Poisson Se calcula que en la escuela de ingeniería de sistemas el 30% de las personas tienen defecto de la vista. Si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿Calcular la probabilidad de que 10 de ellos tengan defecto en la vista. Datos: n=100 p (%)=0.3 lamda=30 x=10 Aplicando la

fórmula:

***************************Poner conclusión************************************

Distribución Normal Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para contratación laboral, se distribuye normalmente con media 6'5 y varianza 4.Recordar: Desviación estándar =sqrt (varianza).Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos

***************************Poner conclusión************************************

Funcion De Densidad En una granja los pesos de las gallinas siguen una función de probabilidad definida por: F(X)=2x-6 Determine la probabilidad de que pase entre los 3,3 y 3,7 kilos ∫ (

)

[∫

∫

] 𝜋

[∫ [𝜋 ∫

∫

𝜃] ]

√𝜋

Función Probabilística Supongamos que el número de automóviles x que pasa por un lavado de autos entre 16:00 y 17:00 horas en cualquier viernes soleado tiene la siguiente distribución de probabilidades:

___x_______4_______5_________6_________7_________8_________9 P(X=x)

1/12

1/12

¼

¼

1/6

1/6

sea g(X)=2X-1 la cantidad de dinero en dólares, que el administrador recibe. Calcular las ganancias esperadas.

E (g(X))

= E(2X -1) =∑ (

) ( )

= (7) (1/12) + (9)(1/12) +(11)(11/4) + (15)(1/6) + (17)(1/6) =12.66667

Bibliografía:  Anderson, D.R., Sweeney, D. J. y Williams, T.A. (2001) (Capítulos 1 y 7)  Hillier, F.S. y Liebermann, G.J. (2001) (Capítulos 1,2 y 3)  Hillier, F.S., Hillier, M.S. y Liebermann, G.J. (2000) (Capítulos 1 y 2)         

http://www.informs.org/ Sociedad Americana de Investigación Operativa. http://www.ifors.org/ Federación Internacional de Sociedades de Investigación de Operaciones. http://www.orie.cornell.edu/ Departamento de Investigación Operativa de la Universidad de Cornell en Nueva York. http://www.worms.ms.unimelb.edu.au/ Información genérica sobre Investigación Operativa. http://uat.gustavoleon.com.mx/102b%20Modelos%20-%20Poisson.pdf http://materias.fi.uba.ar/7628/AnexoEstadistica.pdf http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/05Distr%20P oisson.htm http://www.ditutor.com/distribucion_binomial/distribuciones_discretas.html http://www.dm.uba.ar/materias/probabilidades_estadistica_C/2011/1/PyEC03.pdf