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SISTEMAS DE CONTROL I TRABAJO FINAL “CONTROL DE HUMEDAD DEL SUELO DE UNA HUERTA”

Alumnos: Mansilla, Leandro - 36.614.022 Mondino Llermanos, Yasmín – 39.495.441

- 2017 -

Sistemas de Control I - Trabajo Final

ÍNDICE 1. OBJETIVO E INTRODUCCIÓN… ................................................................................. 4 2. MARCO TEÓRICO, MODELIZACIÓN MATEMÁTICA, DIAGRAMA DE BLOQUES Y RESPUESTA TEMPORAL ........................................................................... 4 2.1 Marco teórico ....................................................................................................... 4 2.2 Modelización matemática .................................................................................... 5 2.3 Diagrama de bloques del sistema..........................................................................6 2.4 Funciones de transferencia del sistema ................................................................ 6 2.5 Análisis Temporal ................................................................................................ 7 2.5.1 Ecuación característica del sistema ....................................................... 7 2.5.2 Estabilidad por Criterio de Routh-Hurwitz ........................................... 8 2.5.3 Estabilidad por Lugar de raíces ............................................................. 8 2.5.4 Respuesta en estado estable ................................................................. 10 2.5.5 Respuesta transitoria ............................................................................ 13 3. COMPENSACIÓN .......................................................................................................... 14 3.1 Diseño del compensador… ..................................................................... 14 3.2 Diagrama de bloques del sistema compensado ...................................... 16 3.3 Funciones de transferencia del sistema compensado ............................. 16 4. ANÁLISIS DEL SISTEMA COMPENSADO… ............................................................17 4.1 Ecuación característica del sistema compensado ................................................17 4.2 Estabilidad por Criterio de Routh-Hurwitz ........................................................ 17 4.3 Estabilidad por Lugar de raíces .......................................................................... 18 4.4 Respuesta en estado estable ................................................................................ 19 4.5 Respuesta transitoria ........................................................................................... 21 5. RESPUESTA EN FRECUENCIA ................................................................................... 22 Página 2 de 28

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6. CONCLUSIÓN ............................................................................................................... 26 7. ANEXOS ......................................................................................................................... 26 7.1 Código de MatLab… .......................................................................................... 26 7.2 Hoja de datos del sensor… ................................................................................. 29

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1. OBJETIVO E INTRODUCCIÓN El objetivo de esta monografía es llevar a cabo el diseño, análisis y compensación de un sistema de control lineal e invariante en el tiempo, buscando aplicar e integrar los conocimientos teóricos adquiridos durante el cursado de la materia Sistemas de Control I. Para ello se implementarán todos los procedimientos necesarios para generar un control de humedad del suelo de una huerta, mediante la utilización de un sensor de humedad que determinará la cantidad de agua que una bomba debe suministrarle al terreno.

2. MARCO TEÓRICO, MODELIZACIÓN MATEMÁTICA, DIAGRAMA DE BLOQUES Y RESPUESTA TEMPORAL 2.1 MARCO TEÓRICO Para comenzar a desarrollar el trabajo, se hará una descripción básica del funcionamiento del sistema, en función de la cual se realizará la modelización matemática y se construirá el diagrama de bloques que represente al mismo. La variable de entrada es una tensión que varía entre 0 y 4 voltios. La relación de esta tensión con la cantidad de agua suministrada por la bomba es la siguiente: 0V equivalen a la bomba apagada y 4V a 0,4m3 de agua (cantidad de agua necesaria para alcanzar un 100% de humedad en el terreno de la huerta: 1m x 1m x 0,4m). Se ha considerado que la bomba de agua es la única fuente de hidratación del terreno. A partir de la cantidad de agua suministrada al terreno, se calculará la humedad presente en el mismo (variable de salida). Esto se logra dividiendo el volumen de agua presente sobre el volumen del terreno de la huerta (0,4m3). La precisión del sistema vendrá dada por la cantidad de pasos en que se varíe la señal de entrada. Si se quiere tener una precisión de 1% de humedad en la variable controlada, se deberá tener en la variable de entrada una sensibilidad de aproximadamente

Bomba de agua conectada para riego de la huerta.

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40mV/m3. Lo que significa que la tensión de entrada debe variar de 0 a 4 Voltios en pasos de 40mV. La humedad del terreno, será medida con el sensor HIH-4030, que convierte dicho valor de porcentaje de humedad en una tensión proporcional en el orden de los mili-voltios. El valor de entre 0 y 4 voltios presentado a la salida de dicho sensor será comparado, posteriormente, con la tensión de referencia.

2.2 MODELIZACIÓN MATEMÁTICA El diagrama general que representa un sistema realimentado consta de:  Una entrada.  Un bloque sumador.  Una función de lazo directo (G).  Una función de lazo de realimentación (H).  Una salida. Entrada

G

Salida

H

Para desarrollar el modelo matemático del sistema se decidió dividir cada función en bloques más pequeños y aproximar cada uno de ellos mediante la fórmula genérica de una función de transferencia de un sistema de primer orden

 Entrada: El sistema podrá tener como entrada un valor de tensión de 0 V a 4 V, la cual varía con pasos de 40mV.  Bomba: En este bloque el nivel de voltaje de entrada se transforma en un nivel de potencia en watts, el cual determina la potencia de la misma. Donde 4 V de entrada equivalen al 100% de potencia. Página 5 de 28

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 Huerta: En este bloque el valor de potencia se transforma en un volumen de agua, en m3. Un 100% de potencia equivale a 0,4 m3 de agua, la cual es la máxima cantidad de agua necesaria para que el terreno alcance el 100% de humedad.  Conversión a humedad: En este bloque se multiplica el valor en m3 de agua por una constante para obtener el valor proporcional de humedad en porcentaje.  Salida: La variable de salida representa al porcentaje de humedad en el terreno y tiene una resolución del 1%, variando de 0 a 100%.  Sensor: Mide la humedad del terreno entregando un valor en tensión a su salida en V.  Ganancia: Esta ganancia es utilizada para adaptar la salida del sensor al nivel de voltaje que se utiliza como entrada.



Fórmula genérica de una función de transferencia de un sistema de primer orden: 𝐾 𝜏𝑆 + 1

K: Es la ganancia estática del sistema en estado de régimen permanente, es el valor deseado a la salida cuando el tiempo tiende a infinito.

τ: Es la constante de tiempo del sistema (el tiempo que demora la amplitud de la salida en alcanzar el 63 % de su máximo). 

Las funciones utilizadas para cada bloque del sistema son:

 Bomba: Se propone que la bomba alcance el 100 % de la potencia cuando el voltaje de control es 4V. El tiempo en que se alcanza el 63% del valor final es τ1 ≈ 5 seg. 𝑃(𝑠) 100/4 25 = = 𝑉(𝑠) 5𝑠 + 1 5𝑠 + 1  Huerta: La cantidad de agua máxima que puede suministrársele al suelo de la huerta es 0,4m3, para alcanzar un 100% de humedad en el mismo. Se dispone que la bomba demore 5 minutos (300 segundos) en suministrar esta cantidad máxima de agua. El 63% de la misma se alcanza en 189 segundos, al 100% de la potencia. 𝑉𝑜𝑙(𝑠) 0.4/100 0.004 = = 𝑃(𝑠) 189𝑠 + 1 189𝑠 + 1  Conversión a valor de humedad: Para obtener el valor correspondiente al porcentaje de humedad presente en el suelo de la huerta, se divide el volumen de agua en el volumen de tierra de la huerta (0,4m3) y se multiplica este valor por 100. Página 6 de 28

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𝐻(𝑠) 100 = = 250 𝑉𝑜𝑙(𝑠) 0,4  Sensor: El sensor entrega una tensión de salida equivalente a 30mV/%. Y el tiempo que tarda en alcanzar el 63% del valor final, obtenido de su hoja de datos, es τ2 = 5 seg. 𝑉(𝑠) 0.03 = 𝐻(𝑠) 5𝑠 + 1  Ganancia de tensión: La salida de tensión del sensor debe ser adaptada convenientemente para ser restada con la entrada. Por lo tanto, una salida máxima de 3V del sensor debe equivaler a la máxima entrada posible, es decir 4V. 𝑘=

4 3

2.3 DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA

2.4 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA  Función de transferencia de lazo abierto: 𝐹𝑇𝐿𝐴 = 𝐹𝑇𝐿𝐴𝑧𝑝𝑘 =

5670 ∗

𝑠3

1 + 2109 ∗ 𝑠 2 + 200 ∗ 𝑠1 + 1

0.00017637 (𝑠 + 0.2) ∗ (𝑠 + 0.1667) ∗ (𝑠 + 0.005291)

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 Función de transferencia de lazo cerrado: 𝐹𝑇𝐿𝐶 = 𝐹𝑇𝐿𝐶𝑧𝑝𝑘 =

5670 ∗

𝑠3

125 ∗ 𝑠 + 25 + 2109 ∗ 𝑠 2 + 200 ∗ 𝑠1 + 2

0.022046 ∗ (𝑠 + 0.2) (𝑠 + 0.2167) ∗ (𝑠 + 0.144) ∗ (𝑠 + 0.01131)

Diagrama de polos y ceros de la función de transferencia de lazo cerrado.

De la figura anterior, se puede observar que el sistema posee un polo localizado en: s ≈ - 0,22, otro en s ≈ - 0,14 y un tercero en s ≈ - 0,01. A su vez, el sistema también posee un cero en s ≈ - 0,20. Debido a que todos los polos se encuentran en el semiplano negativo del plano s, se puede determinar que el sistema es estable.

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2.5 ANÁLISIS TEMPORAL 2.5.1 ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DEL SISTEMA La ecuación característica del sistema se obtiene del denominador de la función de transferencia en lazo cerrado y es: 1 + 𝐾 ∗ 𝐺(𝑠) ∗ 𝐻(𝑠) = 0

Siendo G(s) la función de transferencia del camino directo, H(s) la función del lazo de realimentación y K una ganancia de valor variable. En el sistema analizado, esta ecuación es: 5670 ∗ 𝑆 3 + 2109 ∗ 𝑆 2 + 200 ∗ 𝑆 + 1 + 𝐾 = 0 2.5.2 ESTABILIDAD POR CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ Este método permite determinar la localización de los ceros de un polinomio con coeficientes constantes reales con respecto a los semiplanos izquierdo y derecho de s, sin obtener el valor específico de los mismos. Utilizando este método con los coeficientes de la ecuación característica del sistema a analizar, se podrá determinar si el mismo es estable, es decir si posee todas sus raíces en el semiplano negativo de s. Para ello, será necesario y suficiente verificar que los coeficientes de la primera columna de la tabla de Routh-Hurwitz sean todos del mismo signo. Si existe cambio de signo el sistema es inestable y la cantidad de cambios de signo es igual al número de raíces con parte real positiva. S3 S2 S1 S0

5670 2109 197.3 – 2.69*K (197.3+194.6*K-2,69*K2)/( 197.3-2.69*K)

200 1+ K 0

A partir de los valores obtenidos, se puede determinar que para que el sistema sea ESTABLE: 

197,3 – 2,69*K > 0, es decir, que K < 73,35



(197,3 + 194,6*K – 2,69*K2)/( 197,3 - 2,69*K ) > 0

197,3 + 194,6*K – 2,69*K2 > 0, es decir, que K > -1,00 y K < 73,34 Página 9 de 28

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Esto valores nos indican que es posible variar la ganancia de controlador de -1,00 a 73,3 manteniendo el sistema estable. Pero como no se trabaja con valores negativos de ganancia, se puede decir que la ganancia puede variar entre 0 y 73,3. 2.5.1 ESTABILIDAD POR LUGAR DE RAÍCES Este método permite determinar si el sistema es estable mediante el gráfico del lugar geométrico de las raíces de la ecuación característica, es decir de los polos de la función de transferencia, cuando la ganancia K varía de 0 a infinito.

A partir del gráfico del lugar de raíces se puede determinar que los polos del sistema están en el semiplano izquierdo, por lo que el sistema es ESTABLE, siempre y cuando el valor de la ganancia K sea menor al valor con el cual las raíces cruzan el eje X = 0. A este valor de ganancia K se lo conoce como K crítico.

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2.4.3 RESPUESTA EN ESTADO ESTABLE Cuando el sistema alcanza su estado de régimen, generalmente existe un “Error en estado estable” si la respuesta de la salida del sistema no concuerda exactamente con la referencia deseada. Dicho error depende del tipo de sistema del que se trate, es decir del número de polos en s = 0 que posea la función de lazo abierto del sistema. 𝑠 ∗ 𝑅(𝑠) 𝑠→0 1 + 𝐺(𝑠) ∗ 𝐻(𝑠)

𝜀𝑠𝑠 = lim 𝜀(𝑡) = lim 𝑠 ∗ 𝜀(𝑠) = lim 𝑡→∞

𝑠→0

El error también varía según el tipo de entrada del sistema:  Entrada escalón: 1 1 = 𝑠→0 1 + 𝐺(𝑠) ∗ 𝐻(𝑠) 1 + 𝑘𝑝

𝜀𝑠𝑠 = lim

Constante de error: 𝑘𝑝 = lim(𝐺(𝑠) ∗ 𝐻(𝑠)) 𝑠→0

En el sistema analizado, la función de transferencia a lazo abierto es:

𝐹𝑇𝐿𝐴 =

5670 ∗

𝑠3

1 + 2109 ∗ 𝑠 2 + 200 ∗ 𝑠1 + 1 Página 11 de 28

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𝐾𝑝 = lim 𝑠→0

1 =1 5670 ∗ 𝑠 3 + 2109 ∗ 𝑠 2 + 200 ∗ 𝑠1 + 1

Por consiguiente, el error en estado estable para una entrada tipo escalón es:

𝑒𝑠𝑠 =

1 = 0.50 1+1

Esto quiere decir que el error en estado estable para el sistema es del 50%. Para una entrada de 4V, cuando t tiende a infinito, la salida debería aproximarse al 100% de humedad. Pero como se puede observar en la siguiente figura, cuando t tiende a infinito la salida alcanza solo 50% que corresponde al error en estado estable calculado.

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 Entrada rampa: 𝜀𝑠𝑠 = 𝑙𝑖𝑚 𝑠→0

Constante de error:

1 1 = 𝑠 + 𝑠 ∗ 𝐺(𝑠) ∗ 𝐻(𝑠) 𝑘𝑣

𝑘𝑣 = lim(𝑠 ∗ 𝐺(𝑠) ∗ 𝐻(𝑠)) 𝑠→0

En el sistema analizado, la función de transferencia a lazo abierto es: 𝐹𝑇𝐿𝐴 = 𝐾𝑣 = lim 𝑠→0

5670 ∗

𝑠3

1 + 2109 ∗ 𝑠 2 + 200 ∗ 𝑠1 + 1

𝑠∗1 =0 5670 ∗ 𝑠 3 + 2109 ∗ 𝑠 2 + 200 ∗ 𝑠1 + 1

Por consiguiente, el error en estado estable para una entrada tipo rampa es:

𝑒𝑠𝑠 =

1 =∞ 0

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 Entrada parábola: 𝜀𝑠𝑠 = 𝑙𝑖𝑚 𝑠→0

1 1 = 𝑠 2 + 𝑠 2 ∗ 𝐺(𝑠) ∗ 𝐻(𝑆) 𝑘𝑎

Constante de error: 𝑘𝑎 = lim(𝑠 2 ∗ 𝐺(𝑠) ∗ 𝐻(𝑠)) 𝑠→0

En el sistema analizado, la función de transferencia a lazo abierto es:

𝐹𝑇𝐿𝐴 = 𝐾𝑎 = lim

𝑠→0

1 5670 ∗ 𝑠 3 + 2109 ∗ 𝑠 2 + 200 ∗ 𝑠1 + 1

𝑠2 ∗ 1 =0 5670 ∗ 𝑠 3 + 2109 ∗ 𝑠 2 + 200 ∗ 𝑠1 + 1

Por consiguiente, el error en estado estable para una entrada tipo parábola es:

𝑒𝑠𝑠 =

1 =∞ 0

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2.4.4 RESPUESTA TRANSITORIA Utilizando MatLab es posible analizar las principales características de la respuesta transitoria del sistema, utilizando una entrada de un escalón de 1V.

 Tiempo de subida: 195.1501  Tiempo de establecimiento: 352.8241  Valor de establecimiento mínimo: 11.2685 Página 15 de 28

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   

Valor de establecimiento máximo: 12.4911 Sobrepasamiento: 0 Amplitud pico: 12.4911 Tiempo de amplitud pico: 647.5698

3. COMPENSACIÓN A partir de todo el análisis realizado, se puede concluir que se debe compensar el sistema para poder cumplir con las especificaciones de diseño que garantizan un buen funcionamiento del sistema de control de humedad y riego de la huerta. Las especificaciones en el dominio del tiempo son las siguientes:  Sobrepasamiento máximo de 0%.  Tiempo de establecimiento de 3 minutos.  Error en estado estable para entrada escalón de aproximadamente 0%.

3.1 DISEÑO DEL COMPENSADOR Se decidió utilizar un compensador PI de cancelación de polo dominante. Ya que este anula un polo y añade otro en el origen, transformando al sistema en uno de primer orden y eliminando así el error en estado estable ante una entrada escalón. La función de transferencia del compensador es: 1 𝑘𝑃 (𝑠 + 𝑇) 𝑘𝑃 (𝑇𝑖 ∗ 𝑠 + 1) 𝑃𝐼(𝑠) = = 𝑇𝑖 ∗ 𝑠 𝑠 Como se desea eliminar el polo dominante, aquel cuya constante de tiempo es la más grande del sistema, entonces:

1 = 𝑃 = −0.005291 𝑇

Para calcular el valor de kp y lograr el menor sobrepasamiento posible, se debió hacer lo siguiente:  Función de transferencia de lazo abierto con compensador: 𝐹𝑇𝑙𝑎𝑐 =

0,00017637 𝑠(𝑠 + 0,2)(𝑠 + 0,1667) Página 16 de 28

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Se calcula la derivada de la función de transferencia a lazo abierto con el compensador con respecto S: 𝛿𝐹𝑇𝑙𝑎𝑐 52,911 ∗ 10−6 ∗ 𝑆 2 + 12,935 ∗ 10−6 ∗ 𝑆 + 5,88 ∗ 10−6 = 𝛿𝑆 (𝑆 3 + 0,3667 ∗ 𝑆 2 + 0,03334 ∗ 𝑆)2 Luego, se buscan los valores de S que anulen la derivada: 52,911 ∗ 10−6 ∗ 𝑆 2 + 12,935 ∗ 10−6 ∗ 𝑆 + 5,88 ∗ 10−6 = 0 En base a estos valores se selecciona el cero más cercano al origen: 𝑆1 = −0,06 ; 𝑆2 = −0,184 Para luego obtener el valor de la ganancia del compensador, a partir de la siguiente expresión: 1 0,00017637 | |=| | ≅ 0,196 𝐾𝑝 −0,060(−0,060 + 0,2)(−0,060 + 0,1667) 𝐾𝑝 ≅ 5,08 Es posible comprobar este valor observando el gráfico del lugar de raíces de la función de lazo abierto:

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 Función de transferencia del compensador:

𝑃𝐼 =

5 ∗ (𝑠 + 0.005291) 𝑠

3.2 DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA COMPENSADO

3.3 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA COMPENSADO  Función de transferencia de lazo abierto con compensador: 𝐹𝑇𝐿𝐴𝐶 = 𝐹𝑇𝐿𝐴𝐶𝑧𝑝𝑘 =

5 ∗ 𝑠 + 0.02646 5670 𝑠 4 + 2109 𝑠 3 + 200 𝑠 2 + 𝑠

0.00088183 ∗ (𝑠 + 0.005291) 𝑠 ∗ (𝑠 + 0.2) ∗ (𝑠 + 0.1667) ∗ (𝑠 + 0.005291)

 Función de transferencia de lazo cerrado con compensador:

𝐹𝑇𝐿𝐶𝐶 =

5670 𝑠 4

𝐹𝑇𝐿𝐶𝐶𝑧𝑝𝑘 =

625 𝑠 2 + 128.3 𝑠 + 0.6614 + 2109 𝑠 3 + 200 𝑠 2 + 6 𝑠 + 0.02646

0.11023 ∗ (𝑠 + 0.2) ∗ (𝑠 + 0.005291) (𝑠 + 0.2455) ∗ (𝑠 + 0.06932) ∗ (𝑠 + 0.05181) ∗ (𝑠 + 0.005291)

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4. ANÁLISIS DEL SISTEMA COMPENSADO 4.1 ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DEL SISTEMA COMPENSADO La ecuación característica del sistema compensado es de la forma: 1 + 𝑃𝐼(𝑠) ∗ 𝐺(𝑠) ∗ 𝐻(𝑠) = 0 En el sistema analizado, esta ecuación es: 5670 𝑠 4 + 2109 𝑠 3 + 200 𝑠 2 + 𝑠 + 𝐾 ∗ (5 ∗ 𝑠 + 0.02646) = 0 4.2 ESTABILIDAD POR CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ La función de transferencia a lazo abierto del sistema compensado es: 𝐹𝑇𝑙𝑎𝑐𝑜𝑚𝑝 =

𝐾 ∗ (5,08 ∗ 𝑆 + 0,02646) 5670 ∗ 𝑆 4 + 2109 ∗ 𝑆 3 + 200 ∗ 𝑆 2 + 𝑆

Realizando la tabla de Routh-Hurwitz: 5670 2109 197,3-13,6*K 2 (-69,08*K +1202,6*K+197,3) / (197,3-13,6*K) -0,02646*K

200 1+5,08*K -0,02646*K 0 0

0,02646*K 0 0 0 0

Se obtiene que: 

197,3 – 13,6*K > 0, es decir, que K < 14,5



(197,3 + 1202,6*K – 69,08*K2)/( 197,3 – 13,6*K ) > 0

197,3 + 1202,6*K – 69,08*K2 > 0, es decir, que K > -0,16 y K < 17,57 A partir de estos resultados se determina que es posible variar la ganancia de 0 a 14,5.

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4.3 ESTABILIDAD POR LUGAR DE RAÍCES

A partir del gráfico del lugar de raíces se puede determinar que los polos del sistema están en el semiplano izquierdo, por lo que el sistema es ESTABLE, siempre y cuando el valor de la ganancia K sea menor al valor con el cual las raíces cruzan el eje X = 0. A este valor de ganancia K se lo conoce como K crítico.

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4.4 RESPUESTA EN ESTADO ESTABLE  Entrada escalón: 1 1 = 𝑠→0 1 + PI(s) ∗ 𝐺(𝑠) ∗ 𝐻(𝑠) 1 + 𝑘𝑝

𝜀𝑠𝑠 = lim

Constante de error: 𝑘𝑝 = lim(𝑃𝐼(𝑠) ∗ 𝐺(𝑠) ∗ 𝐻(𝑠)) 𝑠→0

En el sistema analizado, la función de transferencia a lazo abierto es: 𝐹𝑇𝐿𝐴𝐶𝑧𝑝𝑘 =

𝐾𝑝 = lim 𝑠→0

0.00088183 ∗ (𝑠 + 0.005291) 𝑠 ∗ (𝑠 + 0.2) ∗ (𝑠 + 0.1667) ∗ (𝑠 + 0.005291)

0.00088183 ∗ (𝑠 + 0.005291) =∞ 𝑠 ∗ (𝑠 + 0.2) ∗ (𝑠 + 0.1667) ∗ (𝑠 + 0.005291)

Por consiguiente, el error en estado estable para una entrada tipo escalón es: 𝑒𝑠𝑠 =

1 =0 1+∞

Esto quiere decir que el error en estado estable para el sistema es del 0%.

 Para poder apreciar mejor el resultado en los gráficos de Simulink, se decidió multiplicar la entrada (en voltios) por una constante para que corresponda a un valor de 0 a 100% de humedad. La constante es 25, y corresponde a que 1V en la entrada equivale a 25% de humedad a la salida.

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 Entrada rampa: 𝜺𝒔𝒔 = 𝒍𝒊𝒎 𝒔→𝟎

Constante de error:

𝟏 𝟏 = 𝒔 + 𝒔 ∗ 𝑷𝑰(𝒔) ∗ 𝑮(𝒔) ∗ 𝑯(𝒔) 𝒌𝒗

𝑘𝑣 = lim(𝑠 ∗ 𝑃𝐼(𝑠) ∗ 𝐺(𝑠) ∗ 𝐻(𝑠)) 𝑠→0

En el sistema analizado, la función de transferencia a lazo abierto es: 𝐹𝑇𝐿𝐴𝐶𝑧𝑝𝑘 =

𝐾𝑣 = lim 𝑠→0

0.00088183 ∗ (𝑠 + 0.005291) 𝑠 ∗ (𝑠 + 0.2) ∗ (𝑠 + 0.1667) ∗ (𝑠 + 0.005291)

𝑠 ∗ 0.00088183 ∗ (𝑠 + 0.005291) = 0.00088183 𝑠 ∗ (𝑠 + 0.2) ∗ (𝑠 + 0.1667) ∗ (𝑠 + 0.005291)

Por consiguiente, el error en estado estable para una entrada tipo rampa es: 𝑒𝑠𝑠 =

1 = 1134 0.00088183

 Entrada parábola:

𝜀𝑠𝑠 = 𝑙𝑖𝑚

𝑠→0 𝑠 2

+

𝑠2

1 1 = ∗ 𝑃𝐼(𝑠) ∗ 𝐺(𝑠) ∗ 𝐻(𝑆) 𝑘𝑎

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Constante de error: 𝑘𝑎 = lim(𝑠 2 ∗ 𝑃𝐼(𝑠) ∗ 𝐺(𝑠) ∗ 𝐻(𝑠)) 𝑠→0

En el sistema analizado, la función de transferencia a lazo abierto es: 𝐹𝑇𝐿𝐴𝐶𝑧𝑝𝑘 =

𝐾𝑎 = lim 𝑠→0

0.00088183 ∗ (𝑠 + 0.005291) 𝑠 ∗ (𝑠 + 0.2) ∗ (𝑠 + 0.1667) ∗ (𝑠 + 0.005291)

𝑠 2 ∗ (0.00088183 ∗ (𝑠 + 0.005291)) =0 𝑠 ∗ (𝑠 + 0.2) ∗ (𝑠 + 0.1667) ∗ (𝑠 + 0.005291)

Por consiguiente, el error en estado estable para una entrada tipo parábola es:

𝑒𝑠𝑠 =

1 =∞ 0

4.5 RESPUESTA TRANSITORIA Utilizando MatLab es posible analizar las principales características de la respuesta transitoria del sistema, utilizando una entrada de un escalón de 1V.

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      

Tiempo de subida: 56.3622 Tiempo de establecimiento: 98.1722 Valor de establecimiento mínimo: 22.5270 Valor de establecimiento máximo: 24.9766 Sobrepasamiento: 0% Amplitud pico: 24.9766 Tiempo de amplitud pico: 159.1087

5. RESPUESTA EN FRECUENCIA  Margen de fase: Es el ángulo (en grados) que habría que restarle a la fase de la función de lazo abierto para volver inestable a M(s). Es el ángulo que le falta a la fase para llegar a -180º cuando la ganancia es 0 dB.  Margen de ganancia: Es el valor por el que habría que multiplicar a la ganancia de la función de lazo abierto para que M(s) se vuelva inestable. Es el valor por el que habría que multiplicar a la ganancia cuando la fase es -180º para que la misma sea 0 dB.

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I)

DIAGRAMA PARA LAZO ABIERTO SIN COMPENSAR

II)

DIAGRAMA PARA LAZO CERRADO SIN COMPENSAR

El sistema es estable debido a que la frecuencia de cruce de ganancia es menor a la frecuencia de cruce de fase. Página 25 de 28

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III)

DIAGRAMA PARA LAZO ABIERTO COMPENSADO

Como la fase arranca en -90 se deduce que el sistema es de tipo 1 (un polo al origen). Entonces el error en estado estable ante una entrada del tipo escalón es nulo. IV)

DIAGRAMA PARA LAZO CERRADO COMPENSADO

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El sistema es estable debido a que la frecuencia de cruce de ganancia es menor a la frecuencia de cruce de fase. V)

COMPARACIÓN DE FUNCIONES EN LAZO ABIERTO

VI)

COMPARACIÓN DE FUNCIONES EN LAZO CERRADO

En ambos casos, lazo abierto y lazo cerrado, tanto el margen de fase como el margen de ganancia disminuyen después de la compensación (a excepción del margen de ganancia en el caso del lazo cerrado que se mantiene constante e infinito). Esta disminución de los márgenes, implica un decremento de la estabilidad relativa del sistema, aunque en Página 27 de 28

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ambos casos el sistema permanece estable. Si bien esto puede ser negativo en cierto sentido, se hace a costa de mejorar el error en estado estable y obtener un valor de sobrepaso requerido.

6. CONCLUSIÓN En base a lo visto a lo largo de Sistemas de control I, se ha podido desarrollar una solución para el problema planteado. Partiendo de las bases físicas, obteniendo un modelo matemático del problema, analizando su estabilidad y respuesta en frecuencia y por último utilizando el método de cancelación de polo dominante para alcanzar un resultado bastante acertado, cumpliendo con las expectativas planteadas antes de la compensación. Además, a partir de los problemas que se fueron presentando a lo largo del armado de este proyecto, se pudo tener un mejor entendimiento del contenido de la materia. Ya que permitió a los integrantes resolver sus distintas inquietudes en algunos aspectos de la misma.

7. ANEXOS 7.1 Código de MatLab clc clear all close all % MODELO MATEMATICO Y DIAGRAMA DE BLOQUES % DEFINICION DE VARIABLES % Bomba k1 = 25; t1 = 6; % Huerta k2 = 0.004; t2 = 189; %Conversion k3 = 250; % Sensor k4 = 0.03; t4 = 5; k = 4/3;

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Sistemas de Control I - Trabajo Final % FUNCIONES de TRANSFERENCIA % De cada bloque FTBomba = tf([k1],[t1 1]) FTHuerta = tf([k2],[t2 1]) FTConversion = tf([k3]) FTSensor = tf([k4],[t4 1]) %De los bloques de planta y realimentacion G = FTBomba*FTHuerta*FTConversion H = FTSensor*k %Del sistema a lazo abierto sin compensar FT_LA= G*H FT_LAzpk =z pk(FT_LA) figure(1) rlocus(FT_LA) %Del sistema a lazo cerrado sin compensar FT_LC = feedback(G,H) FT_LCzpk = zpk(FT_LC) figure(2) sgrid on pzmap(FT_LC) figure(3) rlocus(FT_LC) %RESPUESTA AL ESCALON, DEL SISTEMA NO COMPENSADO figure(4) step(FT_LC) infoFTsis = stepinfo(FT_LC)

%COMPENSACION - Compensador PI %Variables para compensador PI kp = 5; p = 1/t2; %FUNCIONES de TRANSFERENCIA %Compensador PI = tf([kp kp*p],[1 0]) %Sistema compensado, a lazo abierto FTLAc = zpk([],[0 -0.2 -0.1667],1) figure(5) rlocus(FTLAc) %Sistema compensado con compensador PI a lazo abierto Gcomp = G*PI FTLAc = Gcomp*H FTLAc_zpk = zpk(FTLAc)

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Sistemas de Control I - Trabajo Final figure(6) rlocus(FTLAc) %Sistema compensado con compensador PI a lazo cerrado FTLCc = feedback(Gcomp,H) FTLCc_zpk = zpk(FTLCc) figure(7) step(FTLCc) infoFTLCc = stepinfo(FTLCc)

%RESPUESTA EN FRECUENCIA %Bode de FT a lazo abierto figure(8) bode(FT_LA) grid on title('FT_LA') margin(FT_LA) hold on, bode(FTLAc) grid on title('FTLAc') margin(FTLAc)

%Bode de FT a lazo cerrado figure(9) bode(FT_LC) grid on margin(FT_LC) hold on, bode(FTLCc) grid on title('FTLCc') margin(FTLCc)

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Sistemas de Control I - Trabajo Final

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HIH-4030/31 Series Humidity Sensors DESCRIPTION

The HIH-4030/4031 Series delivers instrumentation-quality RH

Honeywell has expanded our HIH Series to include an SMD

(Relative Humidity) sensing performance in a competitively

(Surface Mount Device) product line: the new HIH 4030/4031.

priced, solderable SMD.

The HIH 4030/4031 complements our existing line of non-SMD humidity sensors. SMD packaging on tape and reel allows for

The HIH-4030 is a covered integrated circuit humidity sensor.

use in high volume, automated pick and place manufacturing,

The HIH-4031 is a covered, condensation-resistant, integrated

eliminating lead misalignment to printed circuit board through-

circuit humidity sensor that is factory-fitted with a hydrophobic

hole.

filter allowing it to be used in condensing environments including industrial, medical and commercial applications.

The HIH-4030/4031 Series Humidity Sensors are designed specifically for high volume OEM (Original Equipment

The RH sensor uses a laser trimmed, thermoset polymer

Manufacturer) users.

capacitive sensing element with on-chip integrated signal conditioning.

Direct input to a controller or other device is made possible by this sensor’s near linear voltage output. With a typical current

The sensing element's multilayer construction provides

draw of only 200 μA, the HIH-4030/4031 Series is often ideally

excellent resistance to most application hazards such as

suited for low drain, battery operated systems.

condensation, dust, dirt, oils and common environmental chemicals.

Tight sensor interchangeability reduces or eliminates OEM production calibration costs. Individual sensor calibration data

Sample packs are available. See order guide.

is available. FEATURES

POTENTIAL APPLICATIONS



Tape and reel packaging allows for use in high volume pick



Refrigeration equipment

and place manufacturing (1,000 units per tape and reel)



HVAC (Heating, Ventilation and Air Conditioning)



Molded thermoset plastic housing



Near linear voltage output vs %RH



Medical equipment



Laser trimmed interchangeability



Drying



Low power design



Metrology



Enhanced accuracy



Battery-powered systems



Fast response time



OEM assemblies



Stable, low drift performance



Chemically resistant

equipment

HIH-4030/31 Series TABLE 1. PERFORMANCE SPECIFICATIONS (At 5 Vdc supply and 25 ºC [77 ºF] unless otherwise noted.) Parameter

Minimum

Typical

Maximum

Unit

Specific Note – – – 1 – – – – 2 3 4 –

Interchangeability (first order curve) – – – – 0% RH to 59% RH -5 – 5 % RH 60% RH to 100% RH -8 – 8 % RH Accuracy (best fit straight line) -3.5 – +3.5 % RH Hysterisis – 3 – % RH Repeatability ±0.5 % RH – – Settling time 70 ms – – Response time (1/e in slow moving air) – 5 – s Stability (at 50% RH in a year) – ±1.2 – % RH Stability (at 50% RH in a year) – ±0.5 – % RH Voltage supply 4 – 5.8 Vdc Current supply 200 500 μA – st Voltage output (1 order curve fit) VOUT=(VSUPPLY)(0.0062(sensor RH) + 0.16), typical at 25 ºC Temperature compensation True RH = (Sensor RH)/(1.0546 – 0.00216T), T in ºC Output voltage temp. coefficient at 50% RH, 5 V – -4 – mV/ºC – Operating temperature -40[-40] See Figure 1. 85[185] ºC[ºF] – Operating humidity (HIH-4030) 0 See Figure 1. 100 % RH 5 Operating humidity (HIH-4031) 0 See Figure 1. 100 % RH – Storage temperature -50[-58] 125[257] ºC[ºF] – – Storage humidity See Figure 2. % RH 5 Specific Notes: General Notes:  Sensor is ratiometric to supply voltage. 1. Can only be achieved with the supplied slope and offset. For HIH-4030/31-003 catalog listings only.  Extended exposure to >90% RH causes a reversible 2. Includes testing outside of recommended operating zone. shift of 3% RH. 3. Includes testing for recommended operating zone only.  Sensor is light sensitive. For best performance, shield 4. Device is calibrated at 5 Vdc and 25 ºC. sensor from bright light. 5. Non-condensing environment. When liquid water falls on the humidity sensor die, output goes to a low rail condition indicating no humidity. FACTORY CALIBRATION DATA HIH-4030/31 Sensors may be ordered with a calibration and data printout. See Table 2 and the order guide on the back page. TABLE 2. EXAMPLE DATA PRINTOUT Model HIH-4030-003 Channel 92 Wafer 030996M MRP 337313 Calculated values at 5 V 0.958 V VOUT at 0% RH 3.268 V VOUT at 75.3% RH Linear output for 3.5% RH accuracy at 25 °C Zero offset 0.958 V Slope 30.680 mV/%RH Sensor RH (VOUT - zero offset)/slope (VOUT - 0.958)/0.0307 Ratiometric response for 0% RH to 100% RH VOUT VSUPPLY (0.1915 to 0.8130) 2

www.honeywell.com/sensing

Humidity Sensors FIGURE 1. OPERATING ENVIRONMENT (Non-condensing environment for HIH-4030 catalog listings only.)

FIGURE 2. STORAGE ENVIRONMENT (Non-condensing environment for HIH-4030 catalog listings only.)

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% -40

-20

Recommended storage zone

0

20

40

60

80

100

120

140

Temperature ºC

Honeywell Sensing and Control

3

HIH-4030/31 Series FIGURE 3. TYPICAL OUTPUT VOLTAGE VS RELATIVE HUMIDITY (At 25 ºC and 5 V.) 4

3.5

Output Voltage (Vdc)

3

2.5

Sensor Response Sensor Response Best Linear Fit

2

1.5

1

0.5 0

20

40

60

80

100

Relative Humidity (%RH)

FIGURE 4. TYPICAL OUTPUT VOLTAGE (BFSL) VS RELATIVE HUMIDITY (At 0 ºC, 70 ºC and 5 V.) 4.5

4

3.5

Output Voltage (Vdc)

3

2.5 0C 70 C 2

1.5

1

0.5

0 0

10

20

30

40

50

60

Relative Humidity (%)

4

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70

80

90

100

Humidity Sensors FIGURE 5. HIH-4030 MOUNTING DIMENSIONS (For reference only. mm/[in])

Honeywell Sensing and Control

5

HIH-4030/31 Series FIGURE 6. HIH-4031 MOUNTING DIMENSIONS (For reference only. mm/[in])

FIGURE 7. HIH-4031 PCB LANDING PATTERN (For reference only. mm/[in])

6

www.honeywell.com/sensing

Humidity Sensors FIGURE 8. TAPE AND REEL DIMENSIONS (For reference only. mm/[in])

2,01 [0.079]

3,99 [0.157]

DIA. 1,50 [0.059]

2,64 [0.104]

1,75 [0.069]

3,91 [0.154]

11,51 [0.453] 24,00 [0.945]

2,64 [0.076] 22,25 [0.876]

DIA. 1,50 [0.059]

8,00 [0.315]

0,343 [0.0135]

FIGURE 9. TYPICAL APPLICATION CIRCUIT

ORDER GUIDE Catalog Listing HIH-4030-001 HIH-4030-003 HIH-4031-001 HIH-4031-003 HIH-4030-001S HIH-4030-003S HIH-4031-001S HIH-4031-003S

Description Covered integrated circuit humidity sensor, SMD, 1000 units on tape and reel Covered integrated circuit humidity sensor, SMD, calibration and data printout, 1000 units on tape and reel Covered, filtered integrated circuit humidity sensor, SMD, 1000 units on tape and reel Covered, filtered integrated circuit humidity sensor, SMD, calibration and data printout, 1000 units on tape and reel Sample pack: covered integrated circuit humidity sensor, SMD, five units on tape Sample pack: covered integrated circuit humidity sensor, SMD, calibration and data printout, five units on tape Sample pack: covered, filtered integrated circuit humidity sensor, SMD, sample pack, five units on tape Sample pack: covered, filtered integrated circuit humidity sensor, SMD, calibration and data printout, five units on tape

FURTHER HUMIDITY SENSOR INFORMATION See the following associated literature is available on the Web:  Product installation instructions  Application sheets: – Humidity Sensor Performance Characteristics – Humidity Sensor Theory and Behavior – Humidity Sensor Moisture and Psychrometrics – Thermoset Polymer-based Capacitive Sensors

Honeywell Sensing and Control

7

WARNING

WARNING

MISUSE OF DOCUMENTATION  The information presented in this product sheet is for reference only. Do not use this document as a product installation guide.  Complete installation, operation, and maintenance information is provided in the instructions supplied with each product. Failure to comply with these instructions could result in death or serious injury. WARRANTY/REMEDY Honeywell warrants goods of its manufacture as being free of defective materials and faulty workmanship. Honeywell’s standard product warranty applies unless agreed to otherwise by Honeywell in writing; please refer to your order acknowledgement or consult your local sales office for specific warranty details. If warranted goods are returned to Honeywell during the period of coverage, Honeywell will repair or replace, at its option, without charge those items it finds defective. The foregoing is buyer’s sole remedy and is in lieu of all other warranties, expressed or implied, including those of merchantability and fitness for a particular purpose. In no event shall Honeywell be liable for consequential, special, or indirect damages. While we provide application assistance personally, through our literature and the Honeywell web site, it is up to the customer to determine the suitability of the product in the application.

PERSONAL INJURY DO NOT USE these products as safety or emergency stop devices or in any other application where failure of the product could result in personal injury. Failure to comply with these instructions could result in death or serious injury. SALES AND SERVICE Honeywell serves its customers through a worldwide network of sales offices, representatives and distributors. For application assistance, current specifications, pricing or name of the nearest Authorized Distributor, contact your local sales office or: E-mail: [email protected] Internet: www.honeywell.com/sensing Phone and Fax: Asia Pacific +65 6355-2828 +65 6445-3033 Fax Europe +44 (0) 1698 481481 +44 (0) 1698 481676 Fax Latin America +1-305-805-8188 +1-305-883-8257 Fax USA/Canada +1-800-537-6945 +1-815-235-6847 +1-815-235-6545 Fax

Specifications may change without notice. The information we supply is believed to be accurate and reliable as of this printing. However, we assume no responsibility for its use.

Sensing and Control Honeywell 1985 Douglas Drive North Minneapolis, MN 55422 www.honeywell.com/sensing

009021-4-EN IL50 GLO Printed in USA March 2008 © 2008 Honeywell International Inc. All rights reserved.