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• Mauricio Alejandro Novoa Díaz

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2018-3

Introducción a los Sistemas de Control José Silva [email protected]

Universidad de Concepción Departamento de ingeniería Eléctrica

2018-3

Contenido del Capitulo Introducción a los Sistemas de Control I.

Conceptos básicos de control: • • •

Introducción. Definiciones. Representación Matemática

II. Estrategias de Control: • • • • •

Control por Prealimentación Control de Razón. Control en Cascada. Controladores Adaptativos Clasificación de Sistemas de Control

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Introducción

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La Ingeniería trata del conocimiento y control de los materiales y fuerzas de la naturaleza en beneficio de la humanidad. El desafío para los ingenieros de control es el modelado y control de sistemas interrelacionados modernos y complejos, como los de control de trafico, los de procesos químicos y los de regulación económica.

Quizás la cualidad más característica de la ingeniería de control sea la oportunidad de control maquinas y procesos industriales y económicos en beneficio de la sociedad. La ingeniería de control se basa en los fundamentos de la teoría de la retroalimentación y el análisis de sistemas lineales, e integra los conceptos de teoría de redes y de comunicación. Por lo tanto, la ingeniería de control no está limitada a ninguna disciplina de la ingeniería, sino que es igualmente

aplicable a las ingenierías aeroespacial, química, mecánica, civil, telecomunicaciones, eléctrica y electrónica.

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Introducción

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Un sistema de control es una interconexión de componentes que forman una configuración del sistema que proporcionará una respuesta deseada del sistema. La base para el análisis de un sistema es el fundamento proporcionado por la teoría de los sistemas lineales, la cual supone una relación causa – efecto para los componentes de un sistema. Por tanto, un componente o proceso que vaya a ser controlado puede representarse mediante un bloque como el de la figura 1.1

Fig. 1.1 Proceso a controlar La relación entrada – salida representa la relación de causa y efecto del proceso, la cual a su vez representa el procesamiento de la señal de entrada para proporcionar una variable de señal de salida, frecuentemente con una amplificación de potencia. Un sistema de control de lazo abierto utiliza un controlador con el fin de obtener una respuesta deseada, como el que se muestra en la figura 1.2

Fig. 1.2 Sistema de Control de Lazo Abierto

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Introducción

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En contraste con un sistema de control de lazo abierto, el de lazo cerrado utiliza una medición adicional de la salida real, para compararla con la referencia de salida deseada. En la figura 1.3 se muestra un sistema de control de lazo cerrado con retroalimentación.

Fig. 1.3 Sistema de Control de Lazo Cerrado con retroalimentación La definición estándar de un sistema de control con retroalimentación es la siguiente: un sistema de control con retroalimentación es aquel que tiende a mantener una relación prescrita de una variable del sistema con otra, comparando funciones de estas variables y usando las

diferencias como medio de control.

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Ejemplos de sistemas modernos de Control

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El control por retroalimentación es un hecho fundamental de la industria y la sociedad moderna. Es agradable conducir un automóvil que responde rápidamente a las órdenes del conductor. Muchos automóviles tienen dirección y frenos asistidos con amplificadores con el fin de aumentar la fuerza de los frenos, la distribución de esta fuerza en cada rueda y además en la dirección del volante. En la figura 1.4 se muestra un sencillo diagrama en bloques del sistema de control de un automóvil. El rumbo deseado se compara con una medición del rumbo real para generar una medida de error. Esta medición se obtiene por retroalimentación visual y táctil (movimiento del cuerpo). Hay una retroalimentación adicional de la sensación percibida por la mano (sensor) sobre la dirección del volante. Este sistema de retroalimentación es una versión familiar del sistema de control de la dirección en un barco o lo controles de vuelo en un gran avión.

Fig. 1.4 Sistema de Control de la dirección de un automóvil Universidad de Concepción Departamento de ingeniería Eléctrica

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Ejemplos de sistemas modernos de Control

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Estos sistemas operan con una secuencia de lazo cerrado, como la que se muestra en la figura 1.5. La salidas real y deseada se comparan, y se usa una medida de la diferencia para accionar el amplificador de potencia. Este amplificador hace que el actuador module el proceso para reducir el error. La secuencia es tal que si la nave deriva incorrectamente hacia la derecha, se actúa sobre el timón para dirigirla hacia la izquierda. El sistema de la figura 1.5 es un sistema de control con retroalimentación

negativa, ya que la salida se resta de la entrada y la diferencia se usa como señal de entrada para el amplificador de potencia.

Fig. 1.5 Sistema básico de control de lazo cerrado

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Ejemplos de sistemas modernos de Control

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En la figura 1.6 se muestra un sistema básico de lazo cerrado de control manual para regular el nivel del líquido dentro de un estanque. La entrada es un nivel de referencia de líquido que debe mantener el operador. (El operador memoriza esta referencia.) El amplificador de potencia es el operador y el sensor es visual. El operador compara el nivel real con el deseado y abre o cierra la

válvula (actuador) para mantener el nivel deseado.

Fig. 1.6 Sistema de control manual para regular el nivel de líquido de un depósito mediante el ajuste de la válvula de salida. El operador observa el nivel del líquido a través de una mirilla lateral del deposito Universidad de Concepción Departamento de ingeniería Eléctrica

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Definiciones

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a) La variable controlada es la cantidad que se mide y se controla. b) La variable manipulada es la cantidad que se modificada a fin de afectar la variable controlada. c) Las perturbaciones son cantidades que afectan adversamente la variable controlada, y que no

pueden ser manipuladas directamente. d) Control significa medir el valor de la variable controlada y aplicar la variable manipulada tal que se corrige o limita la variable de salida a un valor deseado. e) La variable de salida es la o las variables controladas o función de ellas que se desea limitar

dentro de márgenes pre-establecidos durante régimen transiente y/o estacionario. f) Un sistema es una combinación de componentes que actúan conjuntamente y cumplen con un objetivo determinado. Los hay físicos, biológicos, económicos, etc. y combinación de ellos.

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Definiciones

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f) Proceso es una operación natural o artificial caracterizado por una serie de cambios graduales, progresivamente continuos que consisten en una serie de acciones controladas o movimientos dirigidos sistemáticamente hacia determinado resultado o fin. g) Una planta es un equipo cuyo objetivo es realizar una operación determinada. h) Un sistema de control realimentado es aquel que tiende a mantener una relación preestablecida entre la salida y la referencia, comparándolas y utilizando la diferencia como medio de control. (también conocido como sistema de control en L.C.), ver figura 1.7 i) Un sistema de control en lazo abierto (L.A.) es aquel en que la salida no tiene efecto sobre la acción de control.

Fig. 1.7 Estructura general de control con realimentación Universidad de Concepción Departamento de ingeniería Eléctrica

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Representación Matemática

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La representación de un sistema se puede realizar mediante dos formas. La primera de estas es a través de variables de estado y la segunda es a través de la Función de Transferencia. 1.-Representación en Variables de Estado. Se considera a x(t)=[x1(t)…xn(t)]T el vector de variables de estado, u(t) la entrada, y(t) la salida, p(t) la perturbación, entonces… 

x(t )  Ax(t )  bu(t )  ep(t ),

y (t )  cx(t )  fp(t )

Por otro lado se considera como una ganancia ka al actuador y la combinación sensor/transmisor como una ganancia kst. Además si se asume que el controlador tiene por variables de estado al vector ζ(t) y que reacciona al error e(t)= yd(t)-ys(t), donde su entrada es e(t) y salida v(t) y la relación entre estas cantidades es, 

 (t )  A c (t )  bc e(t ),

v (t )  c c (t )  d c e(t )

Combinando las dos expresiones se tiene que… 

x(t )  A·x(t )  b·k a ·v (t )  e·p(t ), 

y (t )  cx(t )  fp(t )

 (t )  A c  ( t )  b c  y d ( t )  y s ( t )  , v ( t )  c c  ( t )  d c  y d ( t )  y s ( t )  Universidad de Concepción Departamento de ingeniería Eléctrica

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Representación Matemática

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Luego, dado que ys(t)=kst·y(t) 

x(t )  A·x(t )  b·k a · cc (t )  dc  y d (t )  y s (t )    e·p(t ),

y (t )  cx(t )  fp(t )



 (t )  Ac (t )  bc  y d (t )  k st ·y (t )  Lo que se reduce a… 

x(t )   A  b·k a ·dc ·k st ·c ·x(t )  b·k a ·cc · (t )  b·k a ·d c ·y d (t )   e  b·k a ·d c ·k st ·f ·p(t ) y (t )  cx(t )  fp(t ) 

 (t )  bc ·k st ·c·x(t )  Ac (t )  bc ·y d (t )  bc ·k st ·f ·p(t) En forma matricial esto puede ser expresado de la siguiente forma…

   x(t )    A  b·k a ·dc ·k st ·c b·k a ·cc   x(t )   b·k a ·dc  y (t )  e  b·k a ·dc ·k st ·f  p(t )  b ·k ·f      bc ·k st ·c A c   (t )   bc  d c st    (t )   x(t )  y (t )   c 0    fp(t )   (t )  Universidad de Concepción Departamento de ingeniería Eléctrica

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Representación Matemática

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2.-Representación con Funciones de Transferencia (F.de T.). La función de transferencia de un sistema se define como la relación entre una variable de salida y una variable de entrada. Para el caso de trabajar en el plano de Laplace se consideran las condiciones iníciales iguales a cero. Como se dijo anteriormente la F. de T. es una descripción entrada - salida del comportamiento de un sistema. Por tanto, la descripción de la función de transferencia no incluye ninguna información concerniente a la estructura interna del sistema y a su comportamiento. La F.de T. que relaciona la salida y(s) con la entrada u(s) está dada por…

y (s)  c  sI  A  bu(s)  h yu (s)u(s) 1

Similarmente existe una F.de T. que relaciona la salida y(s) con una perturbación p(s)





y (s)  c  sI  A  e  f p(s)  h yp (s)p(s) 1

Por lo que se puede escribir,

y (s)  h yu (s)·u(s)  h yp (s)·p(s) Universidad de Concepción Departamento de ingeniería Eléctrica

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Representación Matemática

Si para cada elemento de un sistema de control realimentado se le asocia una F.de T., para el caso del actuador u(s)=ha(s)·v(s), la combinación de sensor / transmisor ys(s)= hst(s)·y(s). Finalmente si se asume que el controlador tiene por entrada a e(s)=yd(s)-ys(s) y una F.de T. dada por v(s)= hc(s)·e(s) la relación entre la cantidades es,

y (s)  h yu (s)·u(s)  h yp (s)·p(s) y (s)  h yu (s)·h a (s)·v (s)  h yp (s)·p(s) y (s)  h yu (s)·h a (s)·h c (s)·e(s)  h yp (s)·p(s) y (s)  h yu (s)·h a (s)·h c (s)· y d (s)  y s (s)   h yp (s)·p(s) y (s)  h yu (s)·h a (s)·h c (s)· y d (s)  h st (s)y (s)   h yp (s)·p(s ) y (s)  h yu (s)·h a (s)·h c (s)· y d (s)  h st (s)y (s)   h yp (s)·p(s) y (s)  h yu (s)·h a (s)·h c (s)·y d (s)  h yu (s)·h a (s)·h c (s)·h st (s)y (s)  h yp (s)·p(s) Lo cual se puede expresar de la siguiente forma,

y (s) 

h yu (s)·ha (s)·hc (s) 1  h yu (s)·ha (s)·hc (s)·hst (s)

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·y d (s)  - 14 -

h yp (s) 1  h yu (s)·ha (s)·hc (s)·hst (s)

·p(s)

Estrategias de Control

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1.- Control Prealimentado Hay varias formas de implementar una estructura pre-alimentada. En el caso del estanque, la estrategia de control prealimentada permitirá eliminar la perturbación fs en estado estacionario, alterando la altura solo en el régimen transiente. Si uno desea disminuir aun más el efecto de fs se puede colocar un controlador Prealimentado como se muestra en la figura 1.8

Fig. 1.8 Control de Estanque que incluye realimentación y prealimentación Con esta estrategia de control la perturbación es totalmente eliminada de la salida. Esto corresponde a la situación ideal y se da cuando se conoce totalmente la F.de T. de cada elemento que forma el sistema de control y además es posible medir la totalidad de las perturbaciones, lo cual no es muy común en la practica. Universidad de Concepción Departamento de ingeniería Eléctrica

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Estrategias de Control

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2.- Control de Razón Este tipo de control se utiliza cuando dos o más componentes deben ser empleados en una determinada proporción.

Fig. 1.9 Control de Razón para un estanque mezclador

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Estrategias de Control

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3.- Control en Cascada Este controlador ha sido ampliamente utilizado en sistemas SISO de orden superior o igual a dos. La razón es su capacidad de limitar una variable del sistema mientras se controla otra. Lo usual es limitar alguna variable de dinámica rápida respecto de la variable controlada. Así, se asegura la integridad del sistema por cuanto todas las variables – y no sólo la salida – estarán acotadas.

Fig. 1.10 Control Proporcional del motor c.c Universidad de Concepción Departamento de ingeniería Eléctrica

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Estrategias de Control 3.- Control en Cascada Al modelar el motor de corriente continua se

obtienen las siguientes ecuaciones…

va  Ra ia  La

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dia dl  ea te  J  d l  tl dt dt

Una primera alternativa es plantear la estrategia de control mostrada en la Fig. 1.10. En este caso para cambios bruscos de va para ajustar la velocidad, la corriente de armadura excede su valor máximo del motor. La alternativa de utilizar un lazo interno es conocida como el control en cascada. Básicamente, hay un lazo interno, en donde fija la referencia del interno, ver figura 1.11. En el motor de c.c. el lazo de velocidad fija la referencia de corriente de armadura la que es limitada a un valor máximo/mínimo. El lazo de corriente fija la tensión de armadura, la que también es limitada a un valor máximo / mínimo, de manera que la corriente de armadura sea igual o cercana al valor entregado por el controlador de velocidad.

Fig. 1.11 Control en Cascada del motor c.c Universidad de Concepción Departamento de ingeniería Eléctrica

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Estrategias de Control

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4.- Controladores Adaptativos Cuando los parámetros del sistema (masa, área, capacitancia, etc) cambian con el tiempo por acciones no programadas o estipuladas, el sistema cambiará su comportamiento para mejor o peor. Si se desea mantener el comportamiento de diseño, se debería realizar una actualización de los parámetros del controlador en función de los cambios producidos en los parámetros de manera de cancelar los cambios.

Fig. 1.12 Control adaptativo

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Clasificación de Sistemas de Control

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A.- Sistemas Lineales – No Lineales En la mayoría de los casos los sistemas de control son No lineales. Sin embargo, en un punto de operación puede asumirse lineal, en cuyo caso se obtiene un modelo linealizado con el cual se puede trabajar. B.- Sistemas Invariantes – Variantes. Los invariantes son aquellos que tienen parámetros que no varían con el tiempo. Su respuesta no cambia para una entrada dada en función del tiempo. C.- Sistemas Continuos - Discretos En un sistema continuo todas las variables son función de un tiempo continuo. Los discretos se caracterizan por tener valores en instantes fijos.

D.- Sistemas SISO - MIMO Los SISO (Single Input Simple Output) tienen una entrada y una salida. Los MIMO tienen varias entradas y salidas.

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Clasificación de Sistemas de Control

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E.- Sistemas de Parámetros Concentrados - Distribuidos Los sistemas que pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales ordinarias son con parámetros concentrados. Los que deben describirse mediante ecuaciones diferenciales parciales son con parámetros distribuidos (temperatura en una barra).

T  x, t   T  x, t   k  x  x   F.- Sistemas Determinísticos - Estocásticos Es determinístico si la respuesta a la entrada es predecible y repetible; de no serlo, es estocástico.

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Clasificación de Sistemas de Control

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G.- Sistemas Híbridos Si bien los sistemas se pueden clasificar en los listados anteriormente, lo natural es encontrar combinaciones de éstos. Por ejemplo, es común encontrar plantas no-lineales combinados con controladores lineales, Fig. 1.13(a), en este caso la planta queda modelada por,

x  t   f  x  t  , u t  , p t   , y t   h  x t  , u t  , p t   o en sus componentes,

 x1  t    f1  x  t  , u  t  , p  t          , y t   h  x t  , u t  , p t      xn  t   f n  x  t  , u  t  , p  t     

Fig. 1.13 Estructura general de control a estudiar en este curso; (a) Control y planta tiempo continuo, (b) Planta tiempo continuo y controlador tiempo discreto. Universidad de Concepción Departamento de ingeniería Eléctrica

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Clasificación de Sistemas de Control

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En el caso del controlador se puede escribir,

ζ  t   A c ζ  t   b c  yd  t   y s  t   , v  t   c c ζ  t   d c  y d  t   y s  t   , en donde se ha asumido que el controlador tiene por entrada al error e(t) = yd(t) - ys(t). Si este fuera el caso en estudio, se optará por un modelo linealizado de la planta no-lineal y por tanto se podrán utilizar las herramientas a revisar. Por otro lado, existe la combinación más recurrida hoy por hoy que es tener un sistema continuo controlado por un sistema digital, Fig. 1.13(b), que puede ser un computador personal, un microcontrolador, un PLC (programmable logic computer), un DSP (procesador de señales digitales), o algún hardware digital dedicado a estas funciones. Por la relevancia de esta combinación, el tema se, tratará en el capítulo siguiente.

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