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• Christian Camilo Morales

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SISTEMAS DE CONTROL I Grupo de Investigaci´ on en Control Industrial ´ Area de Autom´ atica

Profesores: Jos´e Miguel Ram´ırez S. Esteban Emilio Rosero Garc´ıa

UNIVERSIDAD DEL VALLE Escuela de Ingenier´ıa El´ectrica y Electr´onica Santiago de Cali 27 de septiembre de 2007

Contenido 1. Introducci´ on a los sistemas de control 1.1. Importancia . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Clasificaciones . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Representaci´on . . . . . . . . . . . . . 1.5. Bucla t´ıpica . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Bucla T´ıpica An´aloga . . . . . . 1.5.2. Bucla T´ıpica Digital . . . . . . 1.6. An´alisis . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Dise˜ no . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Modelado an´ alogo 2.1. Sistemas an´alogos en representaci´on entrada-salida . . . . . 2.1.1. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Funci´on de Transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Trazado de diagramas de bloques . . . . . . . . . . . ´ 2.1.4. Algebra de diagramas de bloques . . . . . . . . . . . 2.1.5. Simplificaci´on de un diagrama de bloques; entradas m´ ultiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6. Modelado de sistemas f´ısicos . . . . . . . . . . . . . . 2.1.7. Gr´aficos de flujo de se˜ nal (GFS) . . . . . . . . . . . 2.2. Sistemas an´alogos en representaci´on de estado . . . . . . . . 2.2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Representaci´on matricial . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Representaci´on de sistemas en el espacio de estado . 2.2.5. Diagrama de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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12 13 14 15 21 22 23 25 26 27

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33 34 34 40 42 44

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49 51 55 62 62 63 67 68 81

2.2.6. Ecuaci´on caracter´ıstica, valores propios y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.2.7. Matrices de Transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3. Modelado digital 3.1. Modelado del procesador digital . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Secuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Representaci´on matem´atica de secuencias . . . . . . . 3.1.3. Representaci´on matem´atica del proceso de muestreo . 3.1.4. Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5. Funci´on de transferencia discreta . . . . . . . . . . . 3.1.6. Reconstrucci´on de Se˜ nales . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.7. Modelado de sistemas de datos muestreados con la funci´on de transferencia de pulsos . . . . . . . . . . . . . 3.1.8. FdT de Pulsos de Elementos en Cascada . . . . . . . 3.1.9. FdT de Pulsos de sistemas Realimentados . . . . . . 3.2. Sistemas discretos en representaci´on de estado . . . . . . . .

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98 99 99 101 101 103 108 112

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116 118 120 123

4. Caracter´ısticas de los sistemas realimentados 4.1. Sistemas en red abierta y en red cerrada . . . 4.2. Ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Perturbaci´on en G(s) : . . . . . . . . . 4.4.2. Perturbaci´on en H(s) . . . . . . . . . . 4.5. Control de la Respuesta . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Respuesta Transitoria . . . . . . . . . 4.5.2. Respuesta Permanente . . . . . . . . . 4.6. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. An´ alisis de la respuesta en el tiempo 5.1. Se˜ nales de Prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Respuesta Transitoria . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Sistemas de Primer Orden . . . . . . . . 5.2.2. Sistemas de Segundo Orden . . . . . . . 5.2.3. Caracter´ısticas de Respuesta Transitoria 5.2.4. Expresiones Anal´ıticas: . . . . . . . . . .

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153 154 156 156 157 159 160

5.2.5. Especificaciones de funcionamiento para la respuesta transitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.6. Sistemas con Ceros y de Orden Superior a 2. . . . . . . 5.2.7. Polos Dominantes de Lazo Cerrado . . . . . . . . . . . 5.2.8. Sistemas de Tercer Orden con un polo real. . . . . . . . 5.2.9. Sistemas de Segundo Orden Subamortiguados con un cero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Respuesta Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Error Permanente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Clasificaci´on del Tipo de Sistema . . . . . . . . . . . . 5.3.3. Error permanente debido a una entrada escal´on . . . . 5.3.4. Error permanente debido a una entrada rampa . . . . . 5.3.5. Error permanente debido a una entrada parab´olica . . 5.4. Respuesta Temporal, Sistemas Discretos . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Representaci´on en el plano Z de las se˜ nales. . . . . . . 5.4.2. Correlaci´on Plano S a Plano Z . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3. Respuesta al Escal´on de Sistemas Discretos . . . . . . . 5.4.4. Respuesta Permanente Discreta . . . . . . . . . . . . . 5.4.5. Soluci´on de las ecuaciones din´amicas; la matriz de transici´on de estado continua . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.6. Soluci´on de las Ecuaciones Din´amicas Discretas . . . . 5.4.7. Discretizaci´on de Ecuaciones Din´amicas de Tiempo Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Acciones b´ asicas de control 6.1. Acci´on de Control - PID . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Acci´on Proporcional P . . . . . . . . . . . . . 6.1.2. Acci´on Integral I . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3. Acci´on Proporcional Integral PI . . . . . . . . 6.1.4. Acci´on Proporcional Derivativa PD . . . . 6.1.5. Acci´on Proporcional Integral Derivativa PID . 6.1.6. Implementaci´on digital de la ley de control PID Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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204 . 205 . 205 . 207 . 210 . 212 . 215 . 219 . 226

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Curso: Sistemas de Control I Introducci´ on A continuaci´on una descripci´on del curso: C´ odigo: 710014 Cr´ editos: 4 ´ ´ Programa: MAESTRIA EN INGENIER´IA ENFASIS EN AUTOMATICA ´ EN AUTOMATIZACION ´ INDUSTRIAL(5778) (7710), ESPECIALIZACION Intensidad Horaria: 3 Horas Semanales Teor´ıa, 1 Hora semanal Pr´actica Pre-requisitos: Per´ıodo: Febrero-Junio de 2007 Observaciones: No es habilitable, Si es validable La Ingenier´ıa del Control Autom´atico juega un papel fundamental en los sistemas y procesos tecnol´ogicos modernos, y los beneficios que se obtienen con un buen control incluyen productos de mejor calidad, menor consumo de energ´ıa, minimizaci´on de desechos, mayores niveles de seguridad y reducci´on de la poluci´on. La dificultad es que algunos de los aspectos m´as avanzados de la teor´ıa requieren una base matem´atica. Sin embargo, su impacto pr´actico s´olo se puede medir por los beneficios que trae en sus aplicaciones. En este curso se presentan los fundamentos de control para sistemas lineales en tiempo discreto y continuo, muy u ´tiles para posteriormente realizar an´alisis y dise˜ no de estrategias de control aplicadas a un sistema real.

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Mapa conceptual

Figura 1: Mapa conceptual de Sistemas de control I

Objetivos General: Capacitar al estudiante para el an´alisis de sistemas de control lineales an´alogos y discretos, con representaci´on de entrada salida o de estado. Espec´ıficos Emplear la terminolog´ıa utilizada en los sistemas de control an´alogos y digitales. Identificar, diferenciar y analizar los elementos y se˜ nales de la bucla t´ıpica de control an´aloga y digital. Representar, simplificar, analizar y sintetizar un sistema de control por medio de un diagrama de bloques, diagrama de flujo de se˜ nal y diagrama de estado. J. Ram´ırez y E. Rosero

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Deducir el modelo matem´atico en funci´on de transferencia y variables de estado para sistemas de control an´alogos y digitales. Analizar las diferentes interrelaciones entre las representaciones entradasalida y de estado. Analizar el efecto de la realimentaci´on en el funcionamiento de un sistema an´alogo y digital. Calcular y analizar la respuesta en el tiempo de un sistema an´alogo y digital. Determinar el efecto de las diferentes acciones de control en el comportamiento de un sistema.

Metodolog´ıa y orientaciones para el estudio Los temas se desarrollar´an mediante clases magistrales, trabajo de lectura de los estudiantes, ejercicios en clase, ejercicios a desarrollar por los estudiantes, trabajo en el computador y trabajo en un proyecto en el cual se aplicar´an los conocimientos adquiridos. La evaluaci´on ser´a: Evaluaciones parciales: (4 evaluaciones) 80 % Proyectos: 20 % En cada cap´ıtulo proponemos ejercicios y evaluaciones realizadas en a˜ nos anteriores, con el objeto que el estudiante los desarrolle como parte de su preparaci´on y no se debe entregar ning´ un informe al profesor. Las evaluaciones se realizar´an al finalizar las unidades como se planearon en la presentaci´on de las unidades. Adicionalmente habr´a 4 proyectos a desarrollar por el estudiante, que deben ser entregados oportunamente al profesor del curso.

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Presentaci´ on de las unidades A continuaci´on se describe el contenido de cada una de las unidades del curso: Unidad 1: Introducci´ on a los sistemas de control Definici´on, clasificaci´on, representaci´on b´asica, bucla t´ıpica an´aloga y digital, an´alisis y dise˜ no de sistemas de control. Unidad 2: Modelado: an´ alogo Sistemas an´alogos en representaci´on entrada-salida: ecuaciones diferenciales, Transformada de Laplace, funci´on de transferencia, diagramas de bloques, ´algebra, modelado de sistemas an´alogos f´ısicos, gr´aficos de flujo de se˜ nal. Evaluaci´ on: Parcial 1 Sistemas an´alogos en representaci´on de estado: introducci´on, control cl´asico vs. control moderno, definiciones, representaci´on matricial, representaci´on en el espacio de estado a partir del sistema y de la ecuaciones diferenciales sistemas monovariables y multivariables, diagramas de estado, ecuaci´on caracter´ıstica, valores y vectores propios, matrices de transferencia. Unidad 3: Modelado: digital Sistemas discretos en representaci´on entrada-salida: modelado del procesador digital: secuencias, representaci´on del muestreo, ecuaciones de diferencia, transformada Z, la funci´on de transferencia discreta; modelado de los conversores: muestreo y retenci´on, reconstrucci´on de se˜ nales, teorema del muestreo; modelado de sistemas de datos muestreados: funci´on de transferencia de pulsos, elementos en cascada y en realimentaci´on. Sistemas discretos en representaci´on de estado. Evaluaci´ on: Parcial 2 Unidad 4: Caracter´ısticas de los sistemas realimentados J. Ram´ırez y E. Rosero

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Efectos de la realimentaci´on en la ganancia, respuesta transitoria y permanente, sensibilidad a los cambios param´etricos, perturbaciones, estabilidad, comparaci´on. Unidad 5: An´ alisis de la respuesta en el tiempo Respuesta temporal de sistemas an´alogos: se˜ nales de prueba, respuesta transitoria, respuesta permanente. Respuesta temporal de los sistemas discretos: representaci´on en el plano Z de se˜ nales, correlaci´on plano S a plano Z, respuesta transitoria, respuesta permanente. Evaluaci´ on: Parcial 3 Respuesta temporal de las ecuaciones din´amicas: la matriz de transici´on de estado continua, soluci´on homog´enea y total, soluci´on de las ecuaciones din´amicas discretas, discretizaci´on de ecuaciones din´amicas. Unidad 6: Acciones b´ asicas de control Control proporcional, integral, derivativo y sus combinaciones; implementaciones an´aloga y discreta. Evaluaci´ on: Parcial 4

Glosario S´ıntesis: es el uso de un procedimiento expl´ıcito para encontrar un sistema que funcione de manera especificada. Par´ametros distribuidos: Muchos fen´omenos se pueden describir matem´aticamente por ecuaciones diferenciales parciales, y tienen como variable interna las variables de espacio. Par´ametros concentrados: Estos se pueden modelar por ecuaciones diferenciales ordinarias, y los eventos se pueden describir por n´ umeros finitos de J. Ram´ırez y E. Rosero

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cambio de variables. Determin´ıstico: si el modelo trabaja con una relaci´on exacta entre las variables derivadas y medidas y no hay incertidumbres. Estoc´astico: Un modelo es estoc´astico si emplea conceptos de probabilidad y de incertidumbre.

Bibliograf´ıa 1. TEXTO GUIA: KUO BENJAMIN, Sistemas de Control Autom´ atico, P.H.H., 1997. 2. KUO BENJAMIN, Sistemas de Control Digital, CECSA, P.H.H., 1997. 3. W. BOLTON, Ingenier´ıa de Control, Alfaomega, 2a. Edici´on, 2001. 4. ERONINI-UMEZ-ERONINI, Din´amica de Sistemas y Control, Thompson Learning, 2001. 5. OGATA KATSUSHITO, Ingenier´ıa de Control Moderno, P.H.H., 3 edici´on, 1998. 6. OGATA KATSUSHITO, Sistemas de Control en Tiempo Discreto. P.H.H, M´ex. 1996. 7. PAUL H. LEWIS-CHANG YANG, Sistemas de Control en Ingenier´ıa, P.H.H., Madrid 1999 8. DORF RICHARD, Sistemas Modernos de Control, Addison-Wesley Iberoamericana, 2da edici´on en espa˜ nol, 1989. 9. GENE F. FRANKLIN, Control de Sistemas Din´amicos con retroalimentaci´on, Addison-Wesley Iberoamericana, 1991. 10. KARL J. ASTROM-BJORN WITTENMARK, Computer-Controlled Systems, Pentice Hall Information and Systems Sciences Series. 3ra Edici´on. J. Ram´ırez y E. Rosero

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11. SCHULTZ D. and MELSA J., State functions and linear control systems, Mac Graw-Hill Book Company. 1967. 12. SIGURD SKOGESTAD and IAN POSTLETHWAITE, Multivariable Feedback Control, Jhon Wiley & Sons Ltd, 1996.

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Cap´ıtulo 1 Introducci´ on a los sistemas de control Introducci´ on El control autom´atico ha desempe˜ nado una funci´on vital en el avance de la ingenier´ıa y la ciencia, es una parte importante e integral de los procesos modernos industriales y de manufactura. Pr´acticamente, cada aspecto de las actividades de nuestra vida diaria est´a afectado por alg´ un tipo de sistema de control. Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria tales como control de calidad de los productos manufacturados, l´ıneas de ensamble autom´atico, control de m´aquina-herramienta, sistemas de transporte, sistemas de potencia, rob´otica, etc., a´ un el control de inventarios y los sistemas econ´omicos y sociales se pueden analizar a trav´es de la teor´ıa de control autom´atico. Debido a que los avances de la teor´ıa y la pr´actica del control autom´atico aportan los medios para obtener un desempe˜ no ´optimo de los sistemas din´amicos, tales como mejorar la productividad y eliminar muchas de las operaciones repetitivas y rutinarias, los ingenieros y cient´ıficos deben tener un buen conocimiento de este campo. En esta unidad se presentar´an las definiciones, las clasificaciones, las representaciones, la bucla t´ıpica an´aloga y digital, y de forma general, los procesos de an´alisis y dise˜ no de los sistemas de control.

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1.1. IMPORTANCIA

Objetivos 1. Conocer la importancia de los sistemas de control en la sociedad. 2. Emplear la terminolog´ıa utilizada en los sistemas de control an´alogos y digitales. (Conocimiento) 3. Identificar, diferenciar y analizar los elementos y se˜ nales de la bucla t´ıpica de control an´aloga y digital. (Comprensi´ on)

Contenidos 1.1.

Importancia

1. Los sistemas de control han sido de gran impacto para el desarrollo de nuestra sociedad ya que han permitido: Automatizar tareas humanas repetitivas, tediosas y/o peligrosas. Trabajar con tolerancias mucho menores, mejorando la calidad de los productos. Disminuir costos de producci´on en mano de obra e insumos. Mejorar la seguridad de operaci´on de las m´aquinas y procesos. 2. Los sistemas de control tienen vastas ´ areas de aplicaci´ on en: Industrias del transporte, incluyendo la aeroespacial; procesos qu´ımicos y biol´ogicos; sistemas mec´anicos, el´ectricos y electromec´anicos; agroindustria, industrias de procesos y de manufactura; sistemas econ´omicos, pol´ıticos y sociales. 3. Los encontramos en nuestra cotidianidad : Desde la nevera hasta el sistema de control de combusti´on electr´onica de los autom´oviles y as´ı como en nuestro propio cuerpo: control de la temperatura corporal, presi´on arterial, equilibrio,... El simple acto de se˜ nalar con el dedo es un sistema de control.

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1.2. DEFINICIONES

Ahora bien, su aplicaci´on requiere de varias tecnolog´ıas como la inform´atica, la el´ectrica, la electr´onica y las comunicaciones; tambi´en exige buena fundamentaci´on matem´atica y conocimientos del proceso a controlar. De lo anterior se deriva que los sistemas de control sean un ´area multidisciplinar y transversal a las ingenier´ıas y a otras ciencias.

1.2.

Definiciones

SISTEMA DE CONTROL: Arreglo de componentes f´ısicos interconectados de forma que se puedan comandar din´amicamente. ENTRADA: Est´ımulo aplicado al sistema de control para producir una respuesta especificada. SALIDA: Respuesta obtenida que puede ser diferente a la especificada. ´ PERTURBACION: Es una entrada que afecta adversamente a la salida. Ejemplos Sistema de control de excitaci´on digital, ver figura 1.1. Entrada ⇒ Salida ⇒ Perturbaci´on ⇒

Voltaje de referencia (Nominal) Voltaje en terminales Carga (Corriente de armadura)

Sistema de control de la velocidad en una turbina, ver figura 1.2. Entrada ⇒ Velocidad de referencia (f = 60 Hz.) Salida ⇒ Velocidad en el eje Perturbaci´on ⇒ Carga (Torque el´ectrico)

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1.3. CLASIFICACIONES

Figura 1.1: Sistema de control de excitaci´on digital. Fuente: [R. C. Schaefer, 2001]

1.3.

Clasificaciones

Son muchas las clasificaciones posibles de realizar; aqu´ı se presentan algunas de mayor inter´es. ´ DE CONTROL: Variable que DE ACUERDO A LA ACCION activa el sistema a controlar. DE LAZO ABIERTO: Acci´on de control independiente de la salida; para su buen desempe˜ no se requiere de una buena calibraci´on; si el proceso a controlar es estable, no hay riesgo de inestabilidad. DE LAZO CERRADO: Se compara la entrada y la salida y usa la diferencia (error) como acci´on de control; se requiere por tanto de una realimentaci´ on, la cual genera posibilidad de inestabilidad. J. Ram´ırez y E. Rosero

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1.3. CLASIFICACIONES

Figura 1.2: Sistema de control de frecuencia

DE ACUERDO A LA FUENTE DE ENERG´IA del elemento que genera la acci´on de control: - Neum´aticos (Aire a presi´on). - Hidr´aulicos (Aceite o agua a presi´on). - El´ectricos - Electr´onicos (Electricidad). ´ DE ACUERDO A COMO SE GENERA LA ACCION DE CONTROL a partir del error: - Todo - Nada (ON - OFF). - Proporcional (P), Integral (I), Proporcional Integral (PI), Proporcional Derivativo (PD), Proporcional Integral Derivativo (PID). - Adelanto y/o Atraso de Fase. - RST ´ DE ACUERDO A LA FUNCION:

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1.3. CLASIFICACIONES

SERVOMECANISMO: Busca seguir una entrada variante; la salida es la posici´on y/o sus derivadas; por ejemplo, el sistema de control de posici´on hidr´aulico, figura 1.3.

Figura 1.3: Servomecanismo de posici´on. REGULADOR: Busca mantener constante la salida, principalmente ante cambios debidos a disturbios; por ejemplo, los sistemas de control de tensi´on y frecuencia de los sistemas de generaci´on; el sistema de control de temperatura, la figura 1.4 muestra un regulador de temperatura. DE ACUERDO A LAS PROPIEDADES del proceso controlado: - Par´ametros Concentrados - Distribu´ıdos. - Determin´ıstico - Estoc´astico. - Continuo - Discreto (Flujo del producto). - Est´atico - Din´amico. - Variante - Invariante. - Lineal - No lineal. ´ INDUSTRIAL: DE ACUERDO A LA APLICACION - De Procesos: temperatura, flujo, presi´on, PH, nivel, densidad, composici´on, viscosidad, color, etc.

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1.3. CLASIFICACIONES

Figura 1.4: Regulador de temperatura.

- De Manufactura: Producci´on de partes: autos, equipos dom´esticos, etc. DE ACUERDO A LA ESTRATEGIA DE CONTROL: - Directo (feedforward) - Realimentado (feedback). - Serie - Paralelo. - Centralizado - Distribu´ıdo - Cascada, sobrerrango, selectivo, etc. ˜ DE ACUERDO A LAS SENALES INVOLUCRADAS en el sistema de control. - Monovariable, si el sistema controla una sola variable. - Multivariable, si tiene m´ ultiples entradas y salidas. - Sistema de control an´alogo, discreto, de datos muestreados o digital, dependiendo del tipo de se˜ nal presente en el sistema. Para esta u ´ltima clasificaci´on, definamos los tipos de se˜ nales:

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1.3. CLASIFICACIONES

Se˜ nal de tiempo continuo: Se define sobre un rango continuo del tiempo; su amplitud puede ser continua o cuantificada; por ejemplo, la salida de un conversor D/A es una se˜ nal de tiempo continuo cuantificada. Ver figura 1.5.

e*(t)

kt Figura 1.5: Se˜ nal de tiempo continuo

Se˜ nal an´ aloga: Se˜ nal de tiempo continuo con un rango continuo de amplitud; por ejemplo, la salida del sistema de control. Ver figura 1.6.

e(t)

t Figura 1.6: Se˜ nal an´aloga

Se˜ nal de tiempo discreto: S´olo est´a definida en instantes discretos del tiempo; el tiempo est´a cuantificado. Se˜ nal de datos muestreados: Se˜ nal de tiempo discreto en un rango continuo de valores; por ejemplo, el muestreo de una se˜ nal an´aloga. Ver figura 1.7. Se˜ nal digital: Se˜ nal de tiempo discreto con amplitud cuantificada; por ejemplo, la salida de un conversor A/D, la cual es una secuencia de n´ umeros binarios. Ver figura 1.8. J. Ram´ırez y E. Rosero

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1.3. CLASIFICACIONES

e*(t)

kt Figura 1.7: Se˜ nal de datos muestreados

e*(t)

kt Figura 1.8: Se˜ nal digital

As´ı, a partir del tipo de se˜ nal presente en el sistema, los sistemas se clasifican en: ´ • SISTEMAS ANALOGOS: S´olo contienen se˜ nales an´alogas; se describen mediante ecuaciones diferenciales. • SISTEMAS DISCRETOS: S´olo contienen se˜ nales discretas; se describen mediante ecuaciones de diferencia. • SISTEMAS DE DATOS MUESTREADOS: Tienen se˜ nales discretas y se˜ nales de tiempo continuo. • SISTEMAS DIGITALES: Se incluyen se˜ nales de tiempo continuo y se˜ nales digitales en forma de c´odigo num´erico. En este curso se despreciar´an los efectos de la cuantificaci´on de se˜ nales en los conversores A/D y en el c´alculo de la ley de control en un procesador digital; por ello, a un sistema de control gobernado por un procesador digital de se˜ nales (Computador, Microcontrolador, DSP, etc.) se le denominar´a SISTEMA DE CONTROL DIGITAL SCD.

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´ 1.4. REPRESENTACION

1.4.

Representaci´ on

La representaci´on m´as usual es por DIAGRAMAS DE BLOQUES; est´an compuestos por bloques, sumadores, puntos de reparto, flechas y las se˜ nales o variables. BLOQUES Entrada → BLOQUE

→ Salida

Dentro del bloque se tiene el nombre, la descripci´on, el dibujo u operaci´on matem´atica que realiza. SUMADORES: Suman o restan se˜ nales.

r +

r +

r+b

−

+ c r +

r−b

b

b + r−b+c

− b PUNTOS DE REPARTO: Permiten usar una se˜ nal varias veces. C C

C

C

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1.5. BUCLA T´IPICA

FLECHAS: Representan la direcci´on de las se˜ nales; esta direcci´on corresponde a la informaci´on de control, no de potencia. VARIABLES o se˜ nales en el sistema; cuando haya lugar a confusi´on, se usar´a como notaci´on: Min´ usculas: Dominio del tiempo. May´ usculas: Dominio de la frecuencia compleja (S ) En proyectos de automatizaci´on, los sitemas de control se representan a partir de est´andares como el Instrumentation Symbols and Identifications preparado por la Instrument Society of America (ISA), el cual es un sistema de designaci´on por s´ımbolos y c´odigos de identificaci´on como se muestra en la figura 1.9.

Identificaci´on funcional TIC 101 Identificaci´on de lazo Figura 1.9: Normas ISA El c´ırculo es el s´ımbolo general del instrumento. Las letras y n´ umeros en su interior, el c´odigo de identificaci´on. En la identificaci´on funcional, la primera letra corresponde a la variable medida del lazo; las restantes indican las funciones del instrumento: Registrador, Indicador, Controlador, Transmisor, etc. El est´andar tambi´en define los s´ımbolos para los actuadores, sensores primarios, procesos y l´ıneas de comunicaci´on de se˜ nales. La figura 1.10 muestra un ejemplo de estos diagramas.

1.5.

Bucla t´ıpica

Veremos las buclas t´ıpicas para los sistemas de control an´alogos y digitales; como su nombre lo indica, estas buclas se encuentran ampliamente en la industria. J. Ram´ırez y E. Rosero

22

GICI

1.5. BUCLA T´IPICA

Figura 1.10: Diagrama ISA de un sistema de control

1.5.1.

Bucla T´ıpica An´ aloga

La bucla t´ıpica an´aloga se muestra en la figura 1.11. Los elementos y se˜ nales de la bucla t´ıpica an´aloga, se describen a continuaci´on. CONTROLADOR: Comparador m´as el compensador. El comparador genera la se˜ nal de error y a partir de ella, el compensador define la se˜ nal de control apropiada para compensar las deficiencias de desempe˜ no del sistema. ACTUADOR: (Elemento final de control). Adec´ ua los niveles de potencia entre la se˜ nal de control y la variable manipulada. J. Ram´ırez y E. Rosero

23

GICI

1.5. BUCLA T´IPICA

Disturbio Entrada de Referencia

Controlador +

error

E

R

Variable Se˜ nal de Manipulada Control Compensador Actuador

A

M

Planta

Salida Controlada

C

-

B Se˜ nal de realimentaci´on

Elementos de realimentaci´on

Figura 1.11: Bucla t´ıpica an´aloga

PLANTA: Representa la m´aquina o proceso a controlar. ´ ELEMENTOS DE REALIMENTACION: Son dispositivos que permiten medir la se˜ nal de salida y entregar un valor de magnitud apropiada para el comparador; pueden incluir sensores (captadores de la se˜ nal), transductores (adecuadores de la se˜ nal) o transmisores de se˜ nal. ENTRADA O REFERENCIA: Es un est´ımulo del sistema que corresponde al valor deseado de la salida. ERROR: Es la diferencia entre la referencia y la salida. ˜ SENAL DE CONTROL: Es la se˜ nal de salida del controlador. VARIABLE MANIPULADA: Es la variable del proceso que permite variar la salida controlada. ´ DISTURBIO O PERTURBACION: Es una se˜ nal de entrada al sistema de control que afecta adversamente la salida del sistema; cuando entra en la realimentaci´on se le denomina RUIDO. SALIDA O VARIABLE CONTROLADA: Es la cantidad o condici´on que se mide y trata de controlar del sistema; representa la respuesta del sistema y puede ser diferente de la entrada deseada. ˜ ´ SENAL DE REALIMENTACION: Es la se˜ nal medida de la planta. Ejemplo: 1. Sistema de control de la Tensi´on: Ver figura 1.12. J. Ram´ırez y E. Rosero

24

GICI

1.5. BUCLA T´IPICA

Corriente de amadura Voltaje Nominal

Regulador de tensi´on

Angulo disparo

Puente controlado excitatriz

Voltaje de Campo

Generador

Voltaje en Terminales

Tensi´on DC

Transformador, rectificador, filtro

Figura 1.12: Bucla t´ıpica del controlador de tensi´on

2. Sistema de control de velocidad: Ver figura 1.13. Torque el´ectrico

Velocidad Referencia 60 Hz

Se˜ nal posici´on Gobernador velocidad v´alvula Tensi´on DC de realimentaci´on

Posici´on

V´alvulas y alabes servomotores

Turbina

Velocidad eje

Sensor Velocidad

Figura 1.13: Bucla t´ıpica del controlador de velocidad

1.5.2.

Bucla T´ıpica Digital

La bucla t´ıpica digital se muestra en la figura 3.1.5 PROCESADOR DIGITAL: Realiza el algoritmo de control; recibe, procesa y entrega se˜ nales digitales. S/H: (Sampler and Holder) Muestreo y Retenci´on: Convierte la se˜ nal an´aloga e(t) en una se˜ nal de datos muestreados e(kT ) y extrapola la se˜ nal muestreada un cierto tiempo. A/D: (Analog to Digital conversor) Conversor an´alogo a digital: Convierte una se˜ nal an´aloga en una digital; reliza el proceso de codificaci´on. Normalmente el S/H es parte integral del A/D. J. Ram´ırez y E. Rosero

25

GICI

´ 1.6. ANALISIS

d(t) r(t) +

e(t)

S/H

e*(Kt)

A/D

e(Kt) Procesador a(Kt)

Digital

D/A

a(t)

Actuador

m(t)

Salida Controlada Planta

Reloj

−

Elementos de realimentaci´on

b(t)

Figura 1.14: Bucla t´ıpica digital

D/A: (Digital to Analog conversor) Conversor digital a an´alogo: Convierte una se˜ nal digital en una an´aloga; realiza el proceso de decodificaci´on. Lleva impl´ıcito el mantenimiento de la se˜ nal an´aloga. Reloj: Sincroniza los procesos de codificaci´on y decodificaci´on. El A/D puede medir directamente b(t); en tal caso, la comparaci´on la hace el procesador digital. Si el sistema es multivariable, se tendr´an circuitos multiplexores y demultiplexores.

1.6.

An´ alisis

ANALIZAR un sistema es determinarle sus caracter´ısticas de funcionamiento que cuantifiquen: La velocidad de respuesta Su exactitud permanente El grado de estabilidad Se considerar´an tres pasos generales para el an´alisis de un sistema de control: 1. Obtener una idea cualitativa de su funcionamiento; b´asicamente se logra obteniendo los elementos y se˜ nales de la bucla t´ıpica y observando la secuencia de eventos, luego de una variaci´on en la entrada deseada o del disturbio. J. Ram´ırez y E. Rosero

26

GICI

y(t)

˜ 1.7. DISENO

2. Establecer un modelo matem´atico que represente al sistema: - En una representaci´on entrada-salida, los diferentes componentes del sistema se representan por funciones de transferencia y se interconectan construy´endose as´ı un diagrama de bloques o un gr´afico de flujo de se˜ nal. (Control cl´ asico) - En una representaci´on del estado interno del sistema utilizando variables de estado. (Control moderno) 3. Analizar el sistema mediante:   ∗ La respuesta en el tiempo. Enfoque Cl´ asico : ∗ El lugar geom´ etrico de las ra´ices.  ∗ La respuesta en f recuencia. ∗ V alores y vectores propios. Enfoque Moderno : ∗ Respuesta en el tiempo.

1.7.

Dise˜ no

˜ DISENAR un sistema de control, es obtener uno que cumpla determinadas especificaciones de funcionamiento; las especificaciones de funcionamien´ se logra ajustando to son los l´ımites, rangos o cotas de las caracter´ısticas. Esto el controlador. En el enfoque cl´asico, el dise˜ no m´as usual es por an´alisis; con cuatro pasos generales: 1. Conocer las especificaciones y expresarlas en t´erminos matem´aticos. 2. Analizar el sistema; mediante tanteos con la gu´ıa de un m´etodo de compensaci´on, ajustar el controlador hasta cumplir con las especificaciones. 3. Verificar el funcionamiento mediante simulaci´on digital para incluir din´amicas no modeladas, no linealidades, perturbaciones, etc, realizar reajustes. 4. Ajuste en sitio, realizar reajustes.

J. Ram´ırez y E. Rosero

27

GICI

˜ 1.7. DISENO

En el enfoque moderno, el dise˜ no se realiza por un procedimiento anal´ıtico, lo que se conoce como S´ıntesis.

Resumen En esta unidad expusimos los conceptos b´asicos de lo que es un sistema de control. Describimos sus componentes b´asicos, los clasificamos de acuerdo a las se˜ nales que manejan, objetivos de control, dimos varios ejemplos de la vida real, y de forma general describimos el proceso de an´alisis y dise˜ no de un sistema de control que puede ser aplicado a diferentes ramas de la ciencia y la ingenier´ıa.

Actividades de aprendizaje 1. Realice una lectura reflexiva y cr´ıtica del material del curso. 2. Realice las lecturas complementarias. 3. Una consulta en internet sobre avances de la tecnolog´ıa y los sistemas de control para discutir en clase. 4. La figura 1.15 muestra el diagrama de un sistema de control (Evaluaci´on a˜ no 2003). El desplazamiento de la polea m´ovil es perpendicular al del indicador y el del objeto; x1, x2 y x3 son las posiciones del indicador, objeto y polea m´ovil respectivamente; la tensi´on V1 entre el punto m´ovil del potenci´ometro y la conexi´on entre las resistencias R, es proporcional al desplazamiento x3 en el factor k1 ; la tensi´on de salida del amplificador es k2 veces su tensi´on de entrada; la din´amica para la velocidad del motor se rige por la segunda ley de Newton rotacional: dω(t) = k3 V3 (t) − tL(t) (1.1) dt donde J es el momento de inercia equivalente del motor y la carga, k3 es una constante y tL(t) es un par arbitrario y desconocido de carga. El pi˜ n´on tiene un radio r. Todos los par´ametros y variables est´an en unidades del sistema internacional. J

J. Ram´ırez y E. Rosero

28

GICI

˜ 1.7. DISENO

Figura 1.15: Sistema de control

Identifique los elementos y se˜ nales de la bucla t´ıpica realimentada. 5. Identificar los diferentes elementos y se˜ nales de la bucla de realimentaci´on t´ıpica para: a) Regulador de Velocidad de Watt. (figura 1.16)

Figura 1.16: Regulador de velocidad de Watt

J. Ram´ırez y E. Rosero

29

GICI

˜ 1.7. DISENO

b) Diagrama esquem´atico de un sistema de seguimiento del Sol, sin considerar el tac´ometro, (figura 1.17).

Figura 1.17: Sistema de seguimiento del sol. Fuente: [Kuo, 1996]

6. Una Universidad desea establecer un modelo del sistema de control que represente la poblaci´on estudiantil como salida, con la poblaci´on estudiantil deseada como entrada. La administraci´on determina el porcentaje de admisiones al comparar la poblaci´on estudiantil actual y la deseada. La oficina de admisiones utiliza entonces ese porcentaje para admitir estudiantes. Trace un diagrama de bloques funcional que muestre la administraci´on y la oficina de admisiones como bloques del sistema. Tambi´en muestre las siguientes se˜ nales: la poblaci´on estudiantil deseada, la poblaci´on estudiantil real, el porcentaje deseado de estudiantes determinando por la administraci´on, el porcentaje real de estudiantes generado por la oficina de admisiones, el porcentaje de deserciones y el porcentaje neto de influjo. [Nise, 2004] 7. Durante una operaci´on m´edica, un anestesista controla la profundidad J. Ram´ırez y E. Rosero

30

GICI

˜ 1.7. DISENO

de inconciencia al controlar la concentraci´on de isoflurano en una mezcla vaporizada con ox´ıgeno y ´oxido nitroso, la profundidad de anestesia es medida por la presi´on sangu´ınea del paciente. El anestesista tambi´en regula la ventilaci´on, el equilibrio de fluido y la administraci´on de otros medicamentos. Para liberar al anestesista de dedicar m´as tiempo a estas u ´ltimas tareas, y en el inter´es de la seguridad del paciente, deseamos automatizar la profundidad de la anestesia al automatizar el control de concentraci´on de isoflurano. Dibuje un diagrama de bloques funcional del sistema, mostrando las se˜ nales y subsistemas pertinentes (Meier,1992). [Nise, 2004] 8. Un sargento se deten´ıa en una joyer´ıa cada ma˜ nana a las 9 en punto y ajustaba su reloj compar´andolo con el cron´ometro del escaparate. Un d´ıa el sargento entr´o en el comercio y felicit´o al due˜ no por la exactitud del cron´ometro. Est´a ajustado con la hora de Arlington? -pregunt´o el sargento-. No -contest´o el due˜ no- lo ajusto seg´ un el ca˜ nonazo del fuerte a las 5 p.m. D´ıgame, sargento por qu´e se detiene todos los d´ıas y comprueba la hora de su reloj?. El sargento le contest´o, yo soy el artillero del fuerte. Es la retroalimentaci´on positiva o negativa?. El cron´ometro del joyero se atrasa un minuto cada 24 horas y el reloj del sargento se atrasa un minuto cada 8 horas. Cu´al es el error total en la hora del ca˜ n´on del fuerte despu´es de 15 d´ıas?. [Dorf, 1989] 9. Adam Smith(1723-1790) analiz´o el tema de la libre competencia entre los participantes de una econom´ıa en su libro ”La riqueza de las Naciones”. Puede decirse que Smith sugiri´o que: 1) los trabajadores, como un todo, comparan los diferentes empleos posibles y toman aquellos que ofrecen mayor remuneraci´on, y 2) en cualquier empleo el pago disminuye seg´ un aumenta el n´ umero de trabajadores solicitantes. Supongamos que r=total promedio de pagos en todas las actividades, c=total de pagos en una actividad particular; q=afluencia de trabajadores dentro de una actividad espec´ıfica. Dibuje un ciclo de retroalimentaci´on que represente este sistema. [Dorf, 1989]

Lecturas complementarias J. Ram´ırez y E. Rosero

31

GICI

˜ 1.7. DISENO

A brief history of feedback control, Cap´ıtulo 1: Introduction to Modern Control Theory, en: F.L. Lewis, Applied Optimal Control and Estimation, Prentice-Hall, 1992. Computer Technology, cap´ıtulo 1, secci´on 1.2: Computer Controlled Systems, Theory and Design, Karl Astrom and Bjornn Wittenmark, Prentice Hall,1997.

Referencias KUO BENJAMIN, Sistemas de Control Autom´atico, Prentice Hall 1997. DORF RICHARD, Sistemas Modernos de Control, Addison-Wesley Iberoamericana, 2da edici´on en espa˜ nol; 1989. NISE, NORMAN, Sistemas de Control para Ingenier´ıa, Editorial CECSA, 3ra Edici´on.

J. Ram´ırez y E. Rosero

32

GICI

Cap´ıtulo 2 Modelado an´ alogo Introducci´ on Para analizar y dise˜ nar sistemas de control de altas prestaciones, se debe conocer lo mejor posible la din´amica del sitema obteniendo su modelo matem´atico. El comportamiento din´amico se describe generalmente por medio de ecuaciones diferenciales. Adem´as, si estas ecuaciones pueden linealizarse, entonces se puede utilizar la Transformada de Laplace para obtener las relaciones de entrada-salida para los componentes del sistema y los subsistemas en la forma de funciones de transferencia. Los bloques de las funciones de transferencia se pueden organizar en diagramas de bloques o en diagramas de flujo de se˜ nal para representar las interconexiones de una manera gr´afica. Los diagramas de bloques y de flujo de se˜ nal son herramientas muy convenientes para dise˜ nar y analizar sistemas de control de altas prestaciones. Notemos que es una representaci´on de Entrada-Salida. En el modelado de sistemas f´ısicos consideraremos en esta Unidad los sistemas mec´anicos, hidr´aulicos, neum´aticos, t´ermicos y el´ectricos. La teor´ıa moderna de control est´a basada en el conocimiento del comportamiento interno de los sistemas, reflejado en las variables que influyen en su din´amica. El conocimiento de la evoluci´on de todas las variables que influyen en la din´amica del sistema, permite efectuar un mejor control del sistema y su utilizaci´on en el control de sistemas m´as complejos. Esta representaci´on se aplica de forma directa a sistemas multivariables, no-lineales o con par´ametros variantes. En esta unidad se presentar´a el modelado de los sistemas an´alogos tanto para 33

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

la represetaci´on entrada-salida y de estado.

Objetivos 1. Representar, simplificar y analizar un sistema de control por medio de un diagrama de bloques, diagrama de flujo de se˜ nal y diagrama de estado. Aplicaci´ on 2. Deducir el modelo matem´atico en funci´on de transferencia y variables de estado para sistemas de control an´alogos y digitales. Conocimiento 3. Analizar las diferentes interrelaciones entre las representaciones entradasalida y de estado. An´ alisis

Contenido 2.1. 2.1.1.

Sistemas an´ alogos en representaci´ on entradasalida Transformada de Laplace

Los sistemas f´ısicos con almacenamiento de energ´ıa, son de naturaleza din´amica. Los sistemas din´amicos se describen mediante Ecuaciones Diferenciales obtenidas al aplicar las leyes f´ısicas que los rigen. Si son lineales e invariantes en el tiempo, podemos aplicarles a las ecuaciones diferenciales la Transformada de Laplace (T.L) para simplificar su soluci´on. Esta transformada se define por: Z ∞ £± [f (t)] ≡ e−s tf (t) dt ≡ F (S) 0±

La Trasformada de Laplace existe si y solo si se cumplen las tres condiciones: f (t) = 0 ∀ t < 0; f (t) es continua a tramos; f (t) es acotada exponencialmente : ∃ σ  R | l´ım | e−σt f (t)| = 0 t→∞

J. Ram´ırez y E. Rosero

34

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Caracter´ısticas de la Transformada de Laplace: 1. La Transformada de Laplace convierte las se˜ nales temporales en se˜ nales frecuenciales, funci´on de la variable compleja s = σ + jω. 2. Es una transformaci´on lineal. 3. La operaci´on derivada temporal, se convierte en la multiplicaci´on por s en frecuencia. La integraci´on en la multiplicaci´on por 1/s en frecuencia; por ello al aplicarla a una ecuaci´on integrodiferencial, se obtiene una ecuaci´on algebraica en s. 4. Es invertible y se puede regresar al dominio temporal usando la Transformada Inversa de Laplace (TIL): TL %

&

f(t)

F(S) - TIL .

Ver la tabla de transformadas de Laplace, tabla 2.1 y la de propiedades, tabla 2.2.

J. Ram´ırez y E. Rosero

35

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

12

f (t) Impulso unitario δ(t) Escal´on unitario µ(t) t −at e te−at sin ωt cos ωt n t (n = 1, 2, 3, . . .) n −at t e (n = 1, 2, 3, . . .)   1 −at −bt e −e b−a   1 −bt −at − ae be h b−a  i 1 1 −at −bt 1 + a−b be − ae ab

13 14

e−at sin ωt e−at cos ωt

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

 at − 1 + e−at   p ωn −ζωn t 2 √ 16 e sin ωn 1 − ζ t 1−ζ 2  p  √−1 e−ζωn t sin ωn ( 1 − ζ 2 )t − φ 17 1−ζ 2  p  18 1 − √ 1 2 e−ζωn t sin ωn ( 1 − ζ 2 )t + φ √ 1−ζ 1−ζ 2 φ = arctan ζ 15

1 a2



F (s) 1 1 s 1 s2 1 s+a 1 (s+a)2 ω s2 +ω 2 s s2 +ω 2 n! sn+1 n! (s+a)n+1 1 (s+a)(s+b) s (s+a)(s+b) 1 s(s+a)(s+b) ω (s+a)2 +ω 2 s+a (s+a)2 +ω 2 1 s2 (s+a) 2 ωn s2 +2ζωn s+ω 2

s s2 +2ζωn s+ω 2 2 ωn s(s2 +2ζωn s+ω 2 )

Tabla 2.1: Pares de transformadas de Laplace

J. Ram´ırez y E. Rosero

36

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

1 2 3 4 5 6 7 8

£[Af(t)] = AF (S) £[f1(t) ± f2(t)] = F1(S) ± F2 (S) d £[ dt f (t)] = sF (S) − f (0) d2 £[ dt2 f (t)] = s2F (S) − sf(0) − df (0) dt Pn dn n n−k k−1 £[ dt f (t)] = s F (S) − s f (0) n k=1 dk−1 k−1 donde f (t) = dtk−1 f (t) R R [ f (t) dt]t=0 F (S) £[ f (t) s # dt] = s + " R RR RR [ f (t) dt]t=0 [ f (t) dt]t=0 f (t) dt dt = Fs(S) £ + + 2 s2 s " # " # R R R R P n 1 . . . f (t) (dt)n = Fs(S) . . . f (t) (dt)n £ + k=1 sn−k+1 n t=0

13

£[e−atf (t)] = F (s + a) £[f [(t − a)]µ(t − a)] = e−as F (s) £[tf (t)] = − dFs(s) R ∞ £[ 1t f (t)]  = s F (s) ds

14 15

Valor inicial: l´ımt→0 f (t) = l´ıms→∞ sF (s) Valor final: l´ımt→∞ f (t) = l´ıms→0 sF (s)

9 10 11 12

£[f

1 a

] = aF (as)

Tabla 2.2: Propiedades de la transformada de Laplace

Ejemplo: Sistema mec´anico de rotaci´on:

J

TURBINA ω

tm

f

Figura 2.1: Sistema turbina - masa

J : Momento de Inercia [Kg-m2 ] f : Coeficiente de fricci´on viscosa [N-m-s/rad] dp = 377 x 103 f = dω J. Ram´ırez y E. Rosero

37

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

ω: Velocidad angular [rad/s]; ω(0) = 16.96 (162 rev/min) τm : Torque aplicado [N-m] = 7.1 x 106 u(t)

Ley f´ısica (Segunda ley de Newton): X J w˙ = τ dw = τm − fw dt Se obtiene la ecuaci´on diferencial: J

dw + fw dt Aplicando la transformada de Laplace: τm = J

Tm (s) = J [sW (s) − ω(0)] + fW (s) y despejando W (s) se obtiene:

W (s) =

Tm (s) Js + f | {z }

+

Respuesta f orzada

J ω(0) Js + f | {z }

Respuesta

natural

Reemplazando: W (s) =

16,95(s + 0,57) 71 + 124,6s = (7,35s + 3,77)s s(s + 0,512)

→

N (s) D(s)

´ NOTACION: D(s) = 0 s = 0, s = −0,512 s = −0,57

Ecuaci´on caracter´ıstica Polos del sistema Ceros del sistema

Representaci´on de polos y ceros en el plano complejo:

J. Ram´ırez y E. Rosero

38

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

jω

σ Figura 2.2: Representaci´on de Polos y Ceros.

Para obtener la evoluci´on temporal: F racciones parciales : W (s) =

k1 s

+

k2 s+0,512

k1 , k2 : Residuos.

k1 = 16,95(s+0,57) s+0,512

= 18,8

s = 0

k2 = 16,95(s+0,57) s

= −1,92

s = −0,512

− ω(t) = £−1 { 18,8 s

ω(t) =

h

18,8 |{z}

1,92 } s+0,512

−

Respuesta permanente

1,92e−0,512t | {z }

i u(t)

Respuesta transitoria

Los teoremas del valor inicial y valor final permiten obtener directamente estos valores en frecuencia: 71 + 124,6s ω(t) = l´ım sW (s) = = 18,83 (180 rev/min.) s→0 7,35s + 3,77 t→∞ s=0

J. Ram´ırez y E. Rosero

39

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

ω(t)

t→0

124,6 = l´ım sW (s) = = 16,95 (162 rev/min.) s→∞ 7,35

La figura 2.3 muestra la respuesta temporal.

w(t)[rpm] 180 162

t [s] 2

4

6

8

10

Figura 2.3: Respuesta temporal del sistema turbina - masa

Notemos que hay una relaci´ on directa entre la ubicaci´ on de los polos y ceros y la forma de la respuesta.

2.1.2.

Funci´ on de Transferencia

Caracteriza la relaci´on entrada - salida de sistemas lineales e invariantes; se define la Funci´on de Transferencia (FdT), como la relaci´on entre la Transformada de Laplace de la salida a la Transformada de Laplace de la entrada, con condiciones iniciales nulas. £[Salida] F dT = £[Entrada] condiciones

J. Ram´ırez y E. Rosero

40

iniciales=0

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Forma general: G(s) =

bm sm + bm−1 sm−1 + . . . + b1 s + b0 an sn + an−1 sn−1 + . . . + a1s + a0

Si: n = m Funci´on de transferencia propia n < m Funci´on de transferencia impropia n > m Funci´on de transferencia estrictamente propia Para el sistema mec´anico de rotaci´on:

ω(0) = 0 ⇒ W (s) =

Tm (s) Js + f

⇒

F dT

=

1 W (s) = Tm (s) Js + f

Caracter´ısticas: Describe la din´amica del sistema: tener la funci´on de tranferencia es equivalente a tener la ecuaci´on diferencial. S´olo se aplica a sistemas lineales e invariantes. Es una propiedad del sistema, no depende de la entrada. Varios sistemas pueden tener la misma FdT. No da informaci´on de la estructura interna del sistema. En un diagrama de bloques, permite representar la din´amica de cada componente. Ejemplo: ver figura 2.4, el diagrama de bloques de la bucla de realimentaci´on t´ıpica en el dominio de la frecuencia: Las distintas Gi y H son las funciones de transferencia de los elementos; R, E, A, M, D y B, son las T.L. de las se˜ nales.

J. Ram´ırez y E. Rosero

41

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

D R

+

+

E

G1

A

G2

M

G3

C

+

G4

− B

H

Figura 2.4: Bucla t´ıpica en frecuencia

2.1.3.

Trazado de diagramas de bloques

Se realiza mediante tres pasos principales: Aplicar la transformada de Laplace a cada componente o ecuaci´on, con condiciones iniciales nulas. Reemplazar los elementos transformados por bloques simples. Interconectar los bloques. Ejemplo: Excitatriz de corriente continua (Figura 2.5), considerando la velocidad ω constante y excitaci´on en el rango lineal.

Rf ef

Ra

+ eg

Lf

et

− if

J ω

ia

Figura 2.5: Excitatriz de Corriente Continua

J. Ram´ırez y E. Rosero

42

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Ecuaciones: ef = Rf if + Lf et =

eg

dif dt

− Raia

eg = kg if

TRANSFORMANDO: h i 1 Ef (s) = If (s) Rf + Lf s

BLOQUE: Ef (s)

1 Rf +sLf

Eg (s)

If (s)

Et (s)

Ra

2

Et (s) = Eg (s) − Ra Ia(s)

3

Eg (s) = Kg If (s)

Ia (s) If (s)

Kg

Eg (s)

INTERCONECTANDO: Ia (s)

Ra −

Et (s)

1 Rf +sLf

If (s)

Kg

Eg (s)

Et (s) +

Ejercicio: Obtenga el diagrama de bloques que representa al motor de corriente continua, considerando como salidas la posici´on θ, la velocidad angular ω y la corriente de armadura ia .

J. Ram´ırez y E. Rosero

43

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

2.1.4.

´ Algebra de diagramas de bloques

Simplifica un diagrama de bloques complejo. Las reglas parten de escribir una misma ecuaci´on en forma diferente. Diagramas de bloques originales B

1

C +− A-B ++ A-B+C

A

B

B AG1

G1 A A

G1

5

AG1

AG1 G2

G2

AG1

G1

A A

6

+−

7

+−

A−B

G

A

AG−BG

B

8

A− B G

+−

G

G

9

A

AG

G1

10

AG1

++

B

AG−BG

BG AG

G

AG

G

AG

G AG

A A

+−

G

AG A

AG−B

G 1 G

AG

A

AG

G

AG1 +AG2

G1 + G2

B G

B A

1 G

A

AG1 +AG2 A

G2

G1

1 G2

++

AG1 +AG2

G2 A

+−

11

G1

B A

1 G2

+−

G1

G2

B

G2 A

12

AG−B

B A

AG1 G2

G1 G 2

A

AG

AG1 G2

G1

AG1 +AG2

++

A G

AG2

G2

AG1 G2

G2

G2

A

B

C

C + +− A-B+C

2 A

++ A+C +− A-B+C

A

C

A

3 4

Diagramas de bloques equivalentes

+− A-B ++ A-B+C

A

+−

G1

B

A

G2

G1 1+G1 G2

B

Tabla 2.3: Propiedades del ´algebra de diagramas de bloques

J. Ram´ırez y E. Rosero

44

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Ejemplo: Obtengamos el bloque equivalente de bloques en cascada sin carga de la figura 2.6:

X1

G1 (s)

X2

G2 (s)

X3

Figura 2.6: Diagrama de bloques

Soluci´ on : 2 3 3 G1 (s) = X G2 (s) = X Se requiere X X1 X2 X1 ↓ ↓ X2 = G1 (s)X1 X3 = G2 (s)X2 =⇒ X3 = G2 (s)G1 (s)X1 X3 X1

=⇒

X1

G1 (s)

X2

= G1 (s)G2 (s)

G2 (s)

X3

X1 =⇒

G1 G 2

X3

Ejemplo:

R

+

E

G1

A

G2

M

C G3

− H Figura 2.7: Diagrama de bloques de una bucla t´ıpica

Hallar C/R para la bucla t´ıpica; D(s) = 0 ver la figura 2.7. Soluci´on: Llamando G = G1 G2 G3 tenemos la figura 2.8 que es la forma can´onica de un sistema de control de lazo cerrado.

J. Ram´ırez y E. Rosero

45

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

R +

E

G(s)

B

H(s)

C

−

Figura 2.8: Forma Can´onica de un Sistema de Control de lazo cerrado

DEFINICIONES:

G(s)

=

C(s) E(s)

H(s)

=

B(s) C(s)

: F unci´ on de T ransferencia Directa.

: F unci´ on de T ransferencia de Realimentaci´ on.

G(s)H(s) = GH(s) = B(s) E(s)

: F unci´ on de T ransferencia de Lazo Abierto.

C(s) R(s)

: F unci´ on de T ransferencia de Lazo Cerrado.

T (s)

=

Operamos para calcular la FdT de Lazo Cerrado: E(s) = R(s) − B(s)

= R(s) − H(s)C(s)

C(s) = G(s)E(s)

  = G(s) R(s) − H(s)C(s)

=⇒

C(s) + GH(s)C(s) = G(s)R(s)

J. Ram´ırez y E. Rosero

46

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

F dT

F dT |

=

equivalente

G(s) C(s) = R(s) 1 + GH(s) {z }

de un

lazo de realimentaci´ on

Simplificaci´ on de un diagrama de bloques, una entrada Para simplificar un diagrama de bloques se recomienda realizar los siguientes pasos: 1. Combinar bloques en cascada y/o en paralelo. 2. Desplazar e intercambiar puntos de toma y suma. 3. Recombinar −→ pasos 1, 2, etc. Ejemplo: Diagrama de bloques de un sistema de control de la excitaci´on con red estabilizadora y autoexcitaci´on, figura 2.9

+

R(s)+ −

G1

G2

+

+

G3

C(s)

H1

+ H2 Figura 2.9: Diagrama de bloques

G1 : Din´amica de la compensaci´on y del actuador. G2 : Din´amica de la excitatriz. G3 : Din´amica del generador. J. Ram´ırez y E. Rosero

47

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

H1 : Din´amica de la red estabilizadora. H2 : Din´amica de la medida de tensi´on.

R(s) + −

1 G1

+ G1 +

G2

C(s)

G3 1 G3

H1

+ H2

1 G1

R(s)+

C(s)

G1 G 2 G3

− +

H1 G3

+ H2

R(s)+

C(s)

G1 G 2 G3

− H2 +

R(s)

H1 G3

−

1 G1

G1 G2 G3 H 1+G1 G2 G3 (H2 + G1 − G1 ) 3

J. Ram´ırez y E. Rosero

48

C(s)

1

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

2.1.5.

Simplificaci´ on de un diagrama de bloques; entradas m´ ultiples

Como el sistema es lineal, para simplificar un diagrama con m´ ultiples entradas, se puede aplicar el principio de superposici´on. 1. Llevar, si es posible, las entradas a un mismo punto de suma. 2. Reducir. 3. Calcular la respuesta debida a cada entrada. 4. Sumar las respuestas parciales para obtener la total. Ejemplo: Bucla t´ıpica con perturbaci´on, ver figura 2.10.

D(s) R(s)

+−

++

G1

G2

C(s)

H Figura 2.10: Bucla t´ıpica con realimentaci´on

1. Paso 1

D(s) 1 G1

R(s) + +−

G2

G1

C(s)

H Figura 2.11: Figura 1

J. Ram´ırez y E. Rosero

49

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

2. Paso 2

D(s) 1 G1

R(s) + +−

G1 G2 1+G1 G2 H

C(s)

Figura 2.12: Figura 2

3. Paso 3 Con D(s) = 0 CR(s) =

G1 G2 (s) R(s) 1+G1 G2 H(s)

CD (s) =

G2 (s) D(s) 1+G1 G2 H(s)

Con R(s) = 0

4. Paso 4 Se obtiene: C(s) = CR (s) + CD (s) =

J. Ram´ırez y E. Rosero

G2 (s) [G1R(s) 1+G1 G2 H(s)

50

+ D(s)]

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Ejercicio: Resuelva el ejercicio 2 propuesto en las actividades de aprendizaje.

2.1.6.

Modelado de sistemas f´ısicos

Muchos sistemas f´ısicos se pueden modelar usando las leyes f´ısicas que los rigen, utilizando como: VARIABLES: El volumen o cantidad elemental del sistema. La rata de variaci´on de esta cantidad (Flujo). La energ´ıa potencial o fuerza actuante en el sistema. ´ PARAMETROS: La resistencia (R) al paso del flujo. La capacitancia (C) o relaci´on La inductancia (L) o relaci´on

volumen . f uerza actuante

f uerza actuante . Rata de f lujo

L La constante de tiempo (τ ); τ = RC; R .

SISTEMA GAS ´ TERMICO FLUIDO ´ TRASLACION ´ ROTACION ´ ELECTRICO

VARIABLES Cantidad Potencial Volumen Presi´ on Calor Temperatura Volumen Nivel Mom´entum Velocidad Mom´entum Velocidad Carga Voltaje

Flujo F. gas F. calor Caudal Fuerza Torque Corriente

´ PARAMETROS Resist. Capacit. Induct. Rg Cg Rt Ct Rf Cf Inertancia 1 f m K 1 f J K Re Ce Le

Tabla 2.4: Variables y Par´ametros empleados en sistemas f´ısicos comunes

J. Ram´ırez y E. Rosero

51

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Ejemplo 1:

qi

C

h

q0

R Figura 2.13: Sistema hidr´aulico

Para el sistema hidr´aulico de la figura 2.13, hallar laminar.

H(s) . Qi (s)

Asuma flujo

V olumen ´ = Area de la secci´ on recta. nivel h nivel h h R : = = Resistencia de salida. caudal de salida q0 C

:

Ley f´ısica empleada: Ley de conservaci´ on de la masa: L´ıquido que entra menos el que sale es el l´ıquido acumulado. qidt − qo dt = Cdh h R

qi

−

Rqi

− h

= C dh dt = |{z} RC dh dt τl

£ ⇒

J. Ram´ırez y E. Rosero

R H(s) = Qi(s) τl s + 1

52

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Ejercicio: Suponga que este tanque descarga en otro con capacitancia C2 y resistencia de descarga R2; calcule la FdT entre el nivel del segundo tanque y el caudal qi. Ejemplo 2:

Po

Pi

q

C

Figura 2.14: Sistema neum´atico (s) para el sistema de gas de la figura 2.14. Asuma variaciones Hallar PPoi (s) de peque˜ na se˜ nal y temperatura constante.

C

:

Gas en el volumen Cantidad de gas = P resi´ on Po

R :

(Pi − Po ) ∆P resi´ on = Caudal q

Ley f´ısica empleada: Ley de conservaci´ on de la masa: Gas a˜ nadido menos el que sale (cero) igual al gas almacenado. qdt

= CdPo

(Pi −Po ) R

o = C dP dt

o RC dP = (Pi − Po ) dt |{z}

τg

J. Ram´ırez y E. Rosero

53

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

1 Po (s) = Pi (s) τg s + 1

£ ⇒

Ejercicio: (s) si existe una resistencia de descarga R en el sistema neum´atico. Calcule PP0i (s) Ejemplo 3: Intercambiador de calor en un recipiente t´ermicamente bien aislado, donde: M: Mezclador, H: calentador y el l´ıquido entra fr´ıo con flujo ca a temperatura θi y sale caliente a temperatura θ0 . q0

M

θ0

qi2 H

qi1 θi

ca

Figura 2.15: Intercambiador de calor Hallar Θo (s) para el sistema de la figura 2.15. Asuma que s´olo existe transferencia de calor por conducci´on (flujo de calor proporcional a la diferencia de temperatura). C

:

Calor acumulado = mcp T emperatura

cp : calor espec´ıfico del l´ıquido, m : masa del l´ıquido en el tanque. R :

1 ∆T emperatura = F lujo neto de calor ca cp

ca : Velocidad de flujo del l´ıquido en estado estable

J. Ram´ırez y E. Rosero

54

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Ley f´ısica empleada: Ley de conservaci´ on de calor: Calor que entra menos el que sale es el que se acumula. qi1 dt + qi2dt − q0dt = Cdθ0

(2.1)

dθ0 dt

(2.2)

ca cp θi + qi2 − ca cpθ0 = C θi − θ0 + Rqi2 = RC

dθ0 dt

(2.3)

donde RC = τc

£ ⇒ θo(s) =

R θi (s) + Qi2(s) τc s + 1 τc s + 1

Ejercicio: Obtener los diagramas de bloque y la FdT para el sistema de seguimiento del sol descrito en el ejercicio 4-10 de la p´agina 197 del libro de Kuo.([Kuo, 1996]).

2.1.7.

Gr´ aficos de flujo de se˜ nal (GFS)

Es un procedimiento alterno para hallar las relaciones entre variables de un sistema. Su ventaja frente al ´algebra de bloques estriba en que existe la ´ FORMULA DE GANANCIA DE MASON con la cual se pueden encontrar estas relaciones sin necesidad de reducir el gr´ afico; cuando se tengan sistemas complejos, es recomendable usar esta t´ecnica para el c´alculo de las funciones de transferencia. Caracter´ısticas Representan un conjunto de ecuaciones algebr´aicas simult´aneas → Aplicar primero la Transformada de Laplace. Es una red en la cual los NODOS est´an conectados por RAMAS con direcci´on y sentido. J. Ram´ırez y E. Rosero

55

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Cada nodo representa una variable del sistema y cada rama act´ ua como un multiplicador de se˜ nal. Un nodo suma todas las se˜ nales de entrada y transmite esta suma a todas las ramas de salida: Gr´afico

X1

Y = a1X1 + a2X2 + a3X3 + a4 Y

a4

Y2

a1 b2

X2

Y1

a2

Y X3

b1

a3 Y1 = b1 Y

Y2 = b2 Y

Un NODO MIXTO: (Nodo con ramas de entrada y salida) se puede considerar como un NODO DE SALIDA (S´olo tiene ramas de entrada) a˜ nadiendo un rama con TRANSMITANCIA (Ganancia de la rama) unitaria; ´esto no es v´alido para un NODO DE ENTRADA (Nodo s´olo con ramas de salida). Para un sistema el GFS no es u ´nico. Las reglas del ´algebra de los diagramas de bloques se cumplen tambi´en para los GFS:

J. Ram´ırez y E. Rosero

56

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

X1

X2

a

X3

b

X1

X3

ab

=⇒

a

X1

X2 X1

b

a+b

X2

=⇒

X1 a

X4

c

X3

X1 ac

b

X4 bc

X2

=⇒ X2

Ejemplo:

R(s)

+−

C(s)

E(s) G(s) H(s)

Figura 2.16: Diagrama de bloques

Hallar y reducir el GFS de la figura 2.16 para la forma can´onica.

J. Ram´ırez y E. Rosero

57

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Soluci´on:

R(s)

1

E(s)

G(s)

R(s) G(s) C(s) 1

C(s)

C(s) 1

−H(s)

=⇒

C(s) = G(s)R(s) + (−GH(s))C(s) =⇒

−GH(s)

G(s) C = R 1 + GH(s)

Definiciones Ruta: Cualquier conjunto de ramas en sucesi´on continua que se puede recorrer en el mismo sentido. Circuito: Ruta que parte y termina en un mismo nodo sin que ning´ un otro nodo se encuentre m´as de una vez. Ruta directa: Es aquella que empieza en un nodo de entrada y termina en un nodo de salida sin pasar por ning´ un nodo m´as de una vez. Ejemplo: Forma can´onica, figura 2.17: ´ FORMULA DE GANANCIA DE MASON:

X MK ∆K Γsal M= = Γent ∆ N

k=1

Donde: M: Ganancia entre Γsal y Γent . J. Ram´ırez y E. Rosero

58

GICI

C(s)

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

R(s)

C(s)

E(s) G(s) C(s) 1

1

Circuito

−H(s)

Ruta Ruta Directa

Figura 2.17: Forma can´onica

Γsal , Γent : Variables de los nodos de salida y entrada. N: N´ umero total de rutas directas. MK : Ganancia de la k-´esima ruta directa. ∆=



1 − P11 +

P

m

Pm2 −

P

m

Pm3 + . . .

Pmr : Ganancia del producto de la m-´esima combinaci´on posible de circuitos que no se toquen. En otros t´erminos: ∆= 1 - (Suma de todas las ganancias de los circuitos individuales) + (Suma de la ganancia de productos de todas las combinaciones posibles de pares de circuitos que no se toquen) - (Suma de la ganancia de productos de todas las combinaciones posibles de tres circuitos que no se toquen) + . . .. ∆K : La ∆ para la parte del GFS que no se toque con la ruta directa k-´esima. Ejemplo: Aplicar la f´ormula de Mason a la forma can´onica para hallar figura 2.18

C . R

de la

Soluci´on: 1. Una sola ruta directa → N = 1, MK = M1 = G(s) 2. Un solo circuito → Ganancia: P11 = - GH(s). J. Ram´ırez y E. Rosero

59

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

R

E

1

C

G

1

C

-H Figura 2.18: Forma can´onica

3. No hay circuitos que no se toquen → Pmr = 0. 4. La ruta directa se toca con el u ´nico circuito; ∆1 = 1.

=⇒

M1 ∆1 G(s) C = = =⇒ R ∆ 1 − P11

G(s) C = R 1 + GH(s)

Ejemplo: Aplicar la f´ormula de Mason al GFS de la figura 2.19 para hallar

Y3 . Y1

-d c

b Y1

a

Y2

e

1

Y3

-g Figura 2.19: Diagrama de flujo de se˜ nal

Soluci´on: J. Ram´ırez y E. Rosero

60

GICI

´ ´ ENTRADA-SALIDA 2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Dos trayectorias o rutas directas → N = 2, M1 = ae; M2 = abc Tres circuitos con ganancias: C1 = - eg; C2 = - bcg; C3 = - d. C1 y C3 no se tocan.

∆=



1 − (−eg − bcg − d) +

deg |{z}

1 solo par de circuitos

Como hay un solo par de circuitos → una sola combinaci´on posible. Si los tres circuitos no se tocaran, habr´ıa tres combinaciones de pares de circuitos que no se tocan: C1 C2 , C1C3 y C2 C3 y una combinaci´on de tres circuitos que no se tocan: C1 C2 C3. ∆ = 1 + eg + bcg + d + deg El circuito C3 no toca la ruta directa M1 → existe ∆1 para la parte que no toca la ruta directa 1:

-d

∆1 = 1 − (−d) =⇒ ∆1 = 1 + d M2 toca todo el GFS → ∆2 = 1

=⇒

M1 ∆1 M2 ∆2 Y3 Y ae(1 + d) + abc + =⇒ 3 = = Y1 ∆ ∆ Y1 1 + eg + bcg + d + deg

Ejercicio: Resuelva el ejercicio 3 propuesto en las actividades de aprendizaje. J. Ram´ırez y E. Rosero

61

GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

2.2. 2.2.1.

Sistemas an´ alogos en representaci´ on de estado Introducci´ on

Los m´etodos cl´asicos se basan en representaciones de Entrada - Salida, como la funci´on de transferencia (FdT) y los gr´aficos de flujo de se˜ nal (GFS). Una alternativa es la representaci´on mediante VARIABLES DE ESTADO. El estado de un sistema se refiere a sus condiciones presente, pasado y futuro. El estado se puede describir por cifras, curvas, tablas, ecuaciones, etc; para analizar sistemas es conveniente representarlos mediante un conjunto adecuado de variables y ecuaciones de estado. Las variables de estado (V.E) deben cumplir las siguientes caracter´ısticas: En t = t0, las las variables de estado definen los estados iniciales. Dadas las entradas para t > t0 y los estados iniciales, las V.E definen por completo el comportamiento futuro del sistema. Las variables de estado no son las salidas del sistema; las salidas son las variables medibles y ser´an funci´on de las variables de estado. No siempre las variables de estado se pueden medir; la libertad de elecci´on de las variables de estado es una ventaja para el an´alisis. Ejemplo: Calcular la evoluci´on de la corriente por el circuito RL de la figura 2.20; si se aplica una tensi´on escal´on de magnitud Ei . En esta red RL la historia est´a especificada por la corriente inicial de la bobina il (0+ ). Si e(t) = Ei µ(t) entonces, aplicando la ley de voltajes de Kirchoff: e(t) = Ri(t) + L

di(t) dt

(2.4)

para t ≥ 0. Aplicando la transformada de Laplace: E(s) = (R + Ls)I(s) − Li(0)

(2.5)

Li(0) Ei + s(R + sL) R + sL

(2.6)

I(s) = J. Ram´ırez y E. Rosero

62

GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

L

R + i(t)

e(t) −

Figura 2.20: Red RL

Aplicando la transformada inversa de Laplace: Ei Rt Rt (1 − e− L ) + i(0)e− L (2.7) R Esta ecuaci´on define el comportamiento de la red para t ≥ 0, luego se puede usar como variable de estado i(t), esto es debido a que L almacena energ´ıa y es la capacidad de almacenar energ´ıa la que da la informaci´on sobre la historia del sistema, lo mismo sucede con el voltaje para el caso del condensador. El uso de las variables de estado para el an´alisis y dise˜ no de sistemas lineales de control, en particular de sistemas multivariables permiti´o en la d´ecada de los 60’s, un mejor control, mediante el uso de poderosas herramientas de dise˜ no por s´ıntesis, como el control ´optimo y adaptativo. En la actualidad estas t´ecnicas se aplican a sistemas multivariables con representaci´on entrada-salida (matrices de transferencia) y se puede afirmar que ambas representaciones son complementarias. Para los sistemas nolineales o cuando se requiera observar estados internos, la representaci´on de estado es la m´as apropiada. i(t) =

2.2.2.

Definiciones

ESTADO: El estado de un sistema es un conjunto m´ınimo de n´ umeros tales que el conocimiento de estos n´ umeros y de las funciones de entrada, junto con las ecuaciones que describen la din´amica, proporcionan la salida y el estado futuro del sistema.

J. Ram´ırez y E. Rosero

63

GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

VARIABLES DE ESTADO: Las variables de estado de un sistema din´amico son el conjunto m´ınimo de variables cuyo conocimiento en cualquier instante t0 (usualmente t0 = 0), m´as la informaci´on sobre la entrada aplicada posteriormente, sea suficiente para determinar el estado del sistema en cualquier instante t ≥ t0. VECTOR DE ESTADO: Si se requieren n variables de estado para describir el comportamiento de un sistema, se pueden considerar las n variables de estado como n componentes de un vector X(t), llamado vector de estado. X(t) ⇒ determina un´ıvocamente el estado del sistema, especificada la entrada, para cualquier t ≥ t0 . ESPACIO DE ESTADO: Es el espacio n-dimensional cuyos ejes de coordenadas son x1, x2 , x3, . . . , xn (Las variables de estado); el estado del sistema se representar´a como un punto en el espacio de estado. ECUACIONES DE ESTADO: Para un sistema con p entradas y q salidas (lineal o no lineal, variante o invariante), las ecuaciones de estado del sistema ser´an escritas de la forma: dXi (t) = fi [x1(t), x2(t), . . . , xn (t); r1(t), r2(t), . . . , rp(t)] dt } | {z i = 1, 2, 3, . . . , n x1(t), x2(t), . . . , xn (t) : V ariables de estado r1(t), r2(t), . . . , rp (t) : Entradas {z } | S´olo derivadas de las variables de estado

S´olo variables de estado y entradas.

´ DE SALIDA: Relaciona las salidas del sistema con las ECUACION variables de estado y las entradas: Ck (t) = gk [x1(t), x2(t), . . . , xn (t); r1(t), r2(t), . . . , rp (t)] k = 1, 2, 3, . . . , n Ck (t) : Elementos del vector de salidas = [c1(t), c2(t), . . . , cn (t)] ´ ECUACIONES DINAMICAS: Es el conjunto de ecuaciones de estado y de salida. J. Ram´ırez y E. Rosero

64

GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Ejemplo: Ecuaciones de estado para el circuito de la figura 2.21; Aplicando la ley de voltajes de Kirchoff:

L

R + i(t)

e(t)

+ ec (t) −

C

− Figura 2.21: Circuito RLC

di(t) 1 e(t) = Ri(t) + L + dt C

Z

i(t)dt

Consideramos dos casos para la selecci´on de las variables de estado. 1. A partir de esta ecuaci´on integro-diferencial, se pueden escribir las ecuaciones de estado, definiendo las variables de estado como:

x1(t) = i(t);

x2 (t) =

e(t) = Rx1 (t) + L

Z

i(t)dt

1 dx1 (t) + x2(t) dt C

dx2(t) = i(t) = x1 (t) dt Reordenando obtenemos las ecuaciones de estado: dx1 dt

= −R x (t) − L 1

dx2 dt

= x1 (t)

J. Ram´ırez y E. Rosero

1 x (t) LC 2

65

+ L1 e(t)

GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Son ecuaciones diferenciales de primer orden. Cuando se parte de una ecuaci´on diferencial o integro-diferencial, el objetivo con el cual se definen las variables de estado es el de obtener ecuaciones diferenciales de primer orden. 2. Definir las variables de estado de acuerdo con los elementos de la red que almacenan energ´ıa: V.E : { iL = x1, VC = x2 Para lograr primeras derivadas en el primer miembro: l (t) Tensi´on en L: L didt = −Ri(t) − eC (t) + e(t) deC (t) Corriente en C: C dt = i(t)

Despejando y reemplazando las variables de estado se obtienen las ecuaciones de estado: dx1 dt

= −R x (t) − L1 x2 (t) + L1 e(t) L 1

dx2 dt

=

1 x (t) C 1

Ecuaci´on de estado de 1. y 2. distintas!. Por el car´acter no u ´nico de las V.E se pueden tener distintas ecuaciones din´amicas para representar un sistema. Generalmente, para sistemas lineales e invariantes, las ecuaciones din´amicas se pueden escribir de la forma:

E .E

E .S

=

Pn

Ck (t) = =

Pq

dxi dt

=



i=1

i=1

Pn

j=1



aij · xj (t) +

Pn

j=1 cij

· xj (t) +

Pp

k=1 bik

Pp

k=1

· rk (t)

dik · rk (t)





i, j, k = 1, 2, 3, . . . ,

J. Ram´ırez y E. Rosero

66

GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Si el sistema es lineal e invariante en el tiempo, los coeficientes son constantes. Si el sistema es variante los coeficientes en las ecuaciones din´amicas ser´an funci´on del tiempo. Si el sistema tiene no linealidades suaves los coeficientes ser´an funciones no lineales de los estados y las entradas.

2.2.3.

Representaci´ on matricial

Se definen las matrices columna o vectores:     x1 (t) r1 (t)  x2 (t)   r2 (t)      X(t) =  ..  R(t) =  ..   .   .  xn (t) rp (t) {z } {z } | | V ector

de estado

V ector

de entrada



  C(t) =   |

V ector

{z

c1(t) c2(t) .. . cq (t)

    

de salida

}

Las ecuaciones din´amicas se expresan como:   dX(t) = F X(t), R(t) dt   C(t) = G X(t), R(t) Donde F , G son matrices columna de (nx1) y (qx1) respectivamente. Si el sistema es lineal e invariante, las ecuaciones din´amicas ser´an: dX(t) Ecuaci´ on de estado : = A(nx n) X(t) + B(nx p)R(t) dt Ecuaci´ on de salida : C(t) = E(qx n) X(t) + D(qx p)R(t) Donde:



  A=  

  E= 

a11 a12 a21 a22 .. .. . . an1 an2 c11 c12 c21 c22 .. .. . . cq1 cq2

  b11 b12 . . . a1n   . . . a2n   b21 b22 ..  B =  .. .. ..  . . .  . bn1 bn2 . . . ann  . . . c1n . . . c2n   .  .. . ..  . . . cqn

J. Ram´ırez y E. Rosero



  D=  67

d11 d12 d21 d22 .. .. . . dq1 dq2

 . . . b1p . . . b2p   ..  .. . .  . . . bnp  . . . d1p . . . d2p   .  .. . ..  . . . dqp GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Ejemplo: Expresando las ecuaciones de estado obtenidas para el circuito RLC se tiene:  dx1 (t)     1   R 1 dt − (t) x − 1 L L  =  + L e(t) 1 0 0 x2(t) dx2 (t) C {z } {z } | | dt A

2.2.4.

B

Representaci´ on de sistemas en el espacio de estado

Las ecuaciones din´amicas se pueden obtener directamente desde el sistema din´amico, utilizando variables de estado f´ısicas; tambi´en se pueden obtener desde las ecuaciones diferenciales o las funciones de transferencia, usando t´ecnicas de descomposici´on [Kuo, 1996]; la figura 2.22 ilustra las relaciones entre estas tres representaciones. Sistema Din´ amico (L, I)

Representaci´ on

Ecuaciones din´amicas E.E, E.S

Ecuaciones diferenciales

Funciones de transferencia

Figura 2.22: Representaci´on de sistemas en espacio de estados

Ecuaciones din´ amicas a partir del sistema Las ecuaciones din´amicas se obtienen directamente del sistema, seleccionando como variables de estado aquellas variables de los elementos din´amicos del sistema que permiten calcular la energ´ıa almacenada en el elemento en cualquier instante (asignaci´on u ´nica). La tabla 2.5 muestra las energ´ıas y las variables de estado para diversos elementos f´ısicos. En general, no hay una u ´nica v´ıa en la selecci´on de las variables de estado f´ısicas para el m´etodo se˜ nalado arriba. S´olo se deben escoger variables f´ısicas J. Ram´ırez y E. Rosero

68

GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

ENERG´IA

ELEMENTO Condensador C

CV 2 2

Inductancia L

LI 2 2

Masa m

mν 2 2

Momento de Inercia J

Resorte K

J ω2 2 Kx2 2

Comprensibilidad del fluido ν 2Ks Capacitancia del fluido ρA 2 Capacitancia t´ermica C

νP 2 Ks

ρAh2 2

Cθ2 2

V.E F´ISICA Tensi´on V

Corriente I

Velocidad lineal ν

Velocidad rotacional ω

Desplazamiento x

Presi´on P

Nivel h

Temperatura θ

Tabla 2.5: Variables de estado f´ısicas

J. Ram´ırez y E. Rosero

69

GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

independientes. Las variables de estado independientes son aquellas que no pueden ser expresadas en t´erminos de las restantes variables de estado seleccionadas. En algunos sistemas se podr´an requerir m´as de las variables de estado asociadas a los elementos almacenadores de energ´ıa, dependiendo de las salidas requeridas. Ejemplo: Modelo en varaibles de estado del motor de corriente continua (CC), ver figura 2.23:

La

if = cte

Ra

+

+ eg −

ia

ea

θm ωm

−

t J

f

Figura 2.23: Modelo matem´atico del motor CC

Ecuaci´on 1: ea = Ra ia + La Ecuaci´on 2: eg = Kb

dia + eg dt

dθm = Kb ω m dt

(2.8)

(2.9)

Ecuaci´on 3: t = KT i a Ecuaci´on 3: J

J. Ram´ırez y E. Rosero

dωm + fωm = t dt 70

(2.10)

(2.11)

GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

V.E : 



En La : ia = x2 En J : ω = x1

Entrada : ea Salida : ω = x1

Reemplazando las variables de estado: ea = Ra x2 + La x˙2 + Kb x1 J x˙1 + fx1 = KT x2  x˙1 = − Jf x1 + KJT x2 Reordenando : b a x˙2 = − K x −R x + La 1 La 2

ea La

        KT 0 − Jf x x ˙ 1 1  J     =  +  ea |{z} Ecuacion de estado 1 Kb Ra x ˙ x − − 2 2  R L L L a   | {z } | {z a } | {z } | {za } X˙

A

X

B

    ω =  1 0  x1 Ecuacion de salida |{z} | {z } x2  Y | {z } E X

Si θm tambi´en es una salida requerida, debe considerarse otra variable de estado x3 = θm ; consider´andose la ecuaci´on diferencial: θ˙m = ω; x˙3 = x1 y θm = x3. En tal caso, la descripci´on del sistema por variables de estado ser´a:        KT 0 − Jf 0 x1 x˙1 J             K    1   x˙2  =  − b − Ra 0   x2  +     La   La  ea  La        x˙3 x3 0 1 0 0   x 1      ω 1 0 0      =   x2     θm 0 0 1  x3 J. Ram´ırez y E. Rosero

71

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´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Ecuaciones din´ amicas a partir de las ecuaciones diferenciales Un sistema f´ısico tambi´en puede ser representado por ecuaciones diferenciales o funciones de transferencia; cuando se representa por ecuaciones diferenciales es de inter´es obtener las ecuaciones din´amicas para una entrada sin derivadas, con derivadas y para m´ ultiples entradas con o sin derivadas. Otros casos es mejor tratarlos pasando las ecuaciones diferenciales a funciones de transferencia y de ah´ı a las ecuaciones din´amicas. 1. Entrada u ´nica sin t´ erminos derivativos dn c(t) dn−1 c(t) dn−2 c(t) dc(t) + a1 + a2 +. . . + an−1 + an c(t) = r(t) dt dt dt dt Se desea pasar a n ecuaciones de estado y una ecuaci´on de salida, definiendo las n variables de estado en funci´on de c(t) y sus derivadas; como las variables de estado no son u ´nicas, es importante asignar las variables de estado de la manera m´as conveniente, en este caso como: dc(t) ; x3 (t) = dt As´ı, las ecuaciones de estado son:  dx1 (t)  dt       dx2 (t)    dt V.E de F ase dx3 (t)    dt   ..   .    dxn−1 (t) x1(t) = c(t); x2(t) =

dt

d2 c(t) dn−1 c(t) ; . . . ; xn (t) = dt dt = x2 (t) = x3 (t) = x4 (t) .. . = xn (t)

Despejando la derivada de orden superior de la ecuaci´on din´amica tenemos: dxn = − an x1(t) − an−1 x2 (t) − . . . − a2xn−1 (t) − a1xn (t) + r(t) dt Si la Ecuaci´on de Salida es: c(t) = x1(t), podemos expresar las ecuaciones diferenciales como: dX = AX(t) + BR(t) dt J. Ram´ırez y E. Rosero

72

GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

C(t) = EX(t) Donde:



    A=   

0 0 0 .. .

1 0 0 .. .

0 1 0 .. .

0 0 1 .. .

0 0 0 .. .

... ... ... .. .

0 0 0 .. .



       ... 1  . . . a1 (n

0 0 0 0 0 −an −an−1 −an−2 −an−3 −an−4   0  0      B =  ..  E = 1 0 . . . 0 (1xn)  .  1 (n 1) x | {z } F orma Canonica

x n)

Controlable

Esta forma tambi´en se conoce como forma can´onica de variables de fase o forma can´onica asociada. Esta representaci´on tiene ciertas caracter´ısticas que facilitan el an´alisis y dise˜ no (por realimentaci´on de estado se pueden asignar arbitrariamente los ”modos”del sistema) del sistema din´amico. Ejemplo: Sea la ecuaci´on diferencial: d3 c(t) d2 c(t) dc(t) + 2c(t) = r(t) + 5 + 3 2 dt dt dt Despejando el t´ermino de la m´axima derivada: d3 c(t) dt3 Definiendo:

= − 5

x1 = c(t);       Ecuacion de estado      J. Ram´ırez y E. Rosero

d2 c(t) dc(t) − 2c(t) + r(t) − 2 dt dt

     

dc(t) d2 c(t) ; x3 = x2 = dt dt    x1 0 1 0 x˙1         0 1  x˙2    x2  = 0    −2 −1 −5 x˙3 x3 73





0



       +  0  r(t)       1 GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Ecuacion de salida

          



c(t) =



x1



     x 1 0 0  2     x3

2. Entrada u ´nica con t´ erminos derivativos Sea la ecuaci´on diferencial: cn + a1cn−1 + . . . + an−1 c˙ + an c = b0un + b1un−1 + . . . + bn−1 u˙ + bn u Si se toman como variables de estado a c(t) y sus (n − 1) derivadas, se obtiene:

x˙1 x˙2 x˙3 .. .

= x2 = x3 = x4 .. .

x˙n = −an x1 − an−1 x2 . . . − a1 xn + b0un + b1un−1 + . . . + bn−1 u˙ + bn u c(t) = x1 Debido a los t´erminos derivativos de la n-´esima ecuaci´on de estado, no se llega a la forma normalizada. Tratando de mantener la matriz A de la forma can´onica controlable, se define el siguiente conjunto de variables de estado: x˙1 x˙2 x˙3 .. .

= x2 + β1 u = x3 + β2 u = x4 + β3 u .. .

x˙n = xn−1 + βn−1 c(t) = x1 + β0 Las constantes βi se obtienen reemplazando c(t) en la ecuaci´on diferencial; as´ı1 (Ogata [1993]): 1

Ver ejemplo A-3-3 del libro de Ogata

J. Ram´ırez y E. Rosero

74

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´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

β0 β1 β2 β3 .. .

= = = =

b0 b1 − a1β0 b2 − a1β1 − a2β0 b2 − a1β2 − a2β1 − a3 β0 .. .

βn = bn − a1 βn−1 − . . . − an−1 β1 − an β0 Con esta elecci´on las ecuaciones din´amicas del sistema ser´an: X˙ = AX(t) + Bu C(t) = EX(t) + Du Donde: 

x1 x2 x3 .. .

    X=    xn−1 xn 





        ;A =        β1 β2 β3 .. .

    B=    βn−1 βn

0 0 0 .. .

1 0 0 .. .

0 1 0 .. .

0 0 1 .. .

0 0 0 .. .

0 0 0 0 0 −an −an−1 −an−2 −an−3 −an−4

... ... ... .. .

0 0 0 .. .



       ... 1  . . . a1



       ; E = 1 0 0 0 . . . 0 ; D = β0 = b0   

Otra forma de asignar las variables de estado para obtener A en la forma can´onica controlable es la siguiente: d Utilizando el operador D = dt , c(t) a partir de la ecuaci´on diferencial, ser´a: (D(p) = pn + a1pn−1 + . . . + an−1 p + an ) c(t) =

b1pn−1 bn−1 p bn b0pn u + u + ... + u + u D(p) D(p) D(p) D(p)

J. Ram´ırez y E. Rosero

75

GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Seleccionando como variables de estado: x1 =

u ; D(p)

x2 =

pu ; D(p)

...

xn−1 =

pn−2 u ; D(p)

xn =

pn−1 u D(p)

se obtienen las relaciones: x˙ 1 = x2 x˙ 2 = x3 x˙ 3 = x4 . . . x˙ n−1 = xn ... x ¨1 = x3 x 1 = x4 . . . xn−1 = xn 1 de x1 =

u D(p)

tenemos: + . . . + an−1 x˙ 1 + an x1 = u xn1 + a1xn−1 1 x˙n + a1 xn + a2xn−1 + . . . + an−1 x2 + an x1 = u As´ı las ecuaciones de estado ser´an: x˙1 = x2 x˙2 = x3 x˙3 = x4 .. .. . . x˙n = −a1xn − a2xn−1 . . . − an−1 x2 − an x1 + u Tambi´en, a partir de las anteriores relaciones se obtiene la ecuaci´on de salida: c(t) = (bn − b0 an )x1 + (bn−1 − b0 an−1 )x2 + · · · + (b1 − b0a1 )xn + b0     0 0 1 0 0 0 ... 0     0 0 1 0 0 ... 0   0       0 0 0 1 0 ... 0   0   A =  .. .. .  B =  ..  D = b0 .. .. .. ..  .   . . ..  . . . .      0   0 0 0 0 0 ... 1  −an −an−1 −an−2 −an−3 −an−4 . . . a1 1   E = (bn − b0 an ) (bn−1 − b0 an−1 ) (bn−2 − b0an−2 ) . . . (b1 − b0a1) J. Ram´ırez y E. Rosero

76

GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

3. Entradas y salidas m´ ultiples Ecuaci´on de estado: X˙ nx1 = Anxn Xnx1 + Bnxp Rpx1 Ecuaci´on de salida: Cqx1 = Eqxn Xnx1 + Dqxp Rpx1 A o Matriz del sistema: Determina la din´amica interna (movimientos propios) del sistema; est´a relacionada con el denominador de la FdT; es de dimensi´on nxn. n: n´ umero de variables de estado = N´ umero de elementos almacenadores de energ´ıa = orden del sistema. B o Matriz de entrada o de distibuci´ on: Dimensi´on nxp. Indica c´omo excitan al sistema las p entradas. E o Matriz de salida o de observaci´ on: Dimensi´on qxn. Determina c´omo se transmite el estado interno a las q salidas; permite observar a trav´es de ellas el estado interno del sistema. D o Matriz de acoplamiento o de interconexi´ on: Dimensi´on qxp. Indica el acoplamiento directo entre la salida y la entrada, en la mayor´ıa de los sistemas de control D es nula; ser´a distinta de cero en sistemas con igual n´ umero de polos y ceros. Las ecuaciones din´amicas se pueden representar gr´aficamente usando flechas dobles para los vectores y los bloques para las matrices, como se muestra en la figura 2.24. De forma similar a los sistemas monovariables, se pueden interconectar distintos sistemas, bien sea en cascada, paralelo o en realimentaci´on.

Ecuaciones din´ amicas a partir de las funciones de transferencia Sea: G(s) =

C(s) b0 sn + b1 sn−1 + ...bn−1s + bn = n R(s) s + a1sn−1 + ...an−1s + an

J. Ram´ırez y E. Rosero

77

(2.12) GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

D R

B

+

R

X˙

+

X

E

C

+ +

A Figura 2.24: Modelo matricial de un sistema en Espacio de Estados

Aunque hay muchas formas de obtener la representaci´on por variables de estado a partir de la funci´on de transferencia en este punto s´olo se tratar´a el m´etodo directo. M´ etodo directo Con este m´etodo no se requiere que la funci´on de transferencia se encuentre factorizada (es equivalente al presentado con el operador P ): Se divide el numerador y el denominador por la m´axima potencia en s: C(s) b0 + b1 s−1 + ...bn−1s−n+1 + bn s−n = R(s) 1 + a1s−1 + ...an−1s−n+1 + an s−n

(2.13)

Despejando C(s): C(s) = b0 R +

(b1 − b0a1 )s−1 + (b2 − b0a2 )s−2 + ... + (bn − b0an )s−n ]R 1 + a1s−1 + ...an−1s−n+1 + an s−n (2.14)

Definiendo la variable auxiliar Y (s) =

R 1 + a1

s−1

+ ...an−1s−n+1 + an s−n

(2.15)

se obtiene: C(s) = b0R + (b1 − b0a1)s−1 + (b2 − b0 a2)s−2 + ... + (bn − b0an )s−n ]Y (s) (2.16) J. Ram´ırez y E. Rosero

78

GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Y (s) = R − a1s−1 Y (s) − a2 s−2 Y (s)... − an s−n Y (s)

(2.17)

Escogiendo como variables de estado a: x1 = s−n Y (s)

(2.18)

x2 = s−n+1 Y (s)

(2.19)

x3 = s−n+2 Y (s)

(2.20)

...

(2.21)

xn = s−1 Y (s)

(2.22)

se obtienen las siguientes ecuaciones din´amicas: Ecuaciones de estado: x˙1 = x2

(2.23)

x˙2 = x3

(2.24)

...

(2.25)

x˙n = Y (s) = R − a1xn − a2xn−1 ...anx1

(2.26)

Ecuaciones de salida: c(t) = b0R + (b1 − b0 a1)xn + (b2 − b0a2)xn−1 + ... + (bn − b0an )x1 (2.27) Esta representaci´on es la forma can´ onica controlable y utiliza variables de estado de fase. Ejemplo: Para el sistema de control de la figura 2.25, obtener la representaci´on por variables de estado con la matriz A de la forma can´onica controlable. La representaci´on puede obtenerse aplicando a la funci´on de transferencia del sistema, el m´etodo directo:

entonces:

C(s) 160(s + 4) = 3 R(s) s + 18s2 + 192s + 640

(2.28)

160s−2 + 640s−3 C(s) = R(s) 1 + 18s−1 + 192s−2 + 640s−3

(2.29)

J. Ram´ırez y E. Rosero

79

GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

R(s)

+−

40 s(s+2)

4(s+4) s+16

C(s)

Figura 2.25: Ejemplo

entonces: C(s) = (160s−2 + 640s−3 )Y (s) con: Y (s) =

1+

18s−1

R(s) + 192s−2 + 640s−3

(2.30) (2.31)

de esta u ´ltima expresi´on: Y (s) = R(s) − 18s−1 Y (s) − 192s−2 Y (s) − 640s−3 Y (s)

(2.32)

Definiendo las variables de estado: x1 = s−3 Y (s)

(2.33)

x2 = s−2 Y (s)

(2.34)

x3 = s−1 Y (s)

(2.35)

se obtienen las ecuaciones de estado: x˙1 = x2

(2.36)

x˙2 = x3

(2.37)

x˙3 = £−1{Y (s)}

(2.38)

x˙3 = r(t) − 18x3 − 192x2 − 640x1

(2.39)

entonces: la ecuaci´on de salida se obtiene a partir de C(s):

J. Ram´ırez y E. Rosero

c(t) = 160x2 + 640x1

(2.40)

80

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´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Las ecuaciones din´amicas en representaci´on matricial son: 

      x˙1 0 0 1 0 x1(t)  x˙2  =  0   0 1   x2(t) + 0  r(t) x˙3 1 x3(t) −640 −192 −18     x1 (t) c(t) = 640 160 0  x2 (t)  x3 (t) Otros m´etodos que llevan a formas can´onicas son: Anidado: lleva a la forma can´onica observable Expansi´on en fracciones parciales: lleva a la forma can´onica de Jordan Kuo [1996].

2.2.5.

Diagrama de estado

El diagrama de estado es la representaci´on gr´afica de un sistema descrito mediante variables de estado; usualmente se utilizan para su representaci´on, los grafos de fluencia por lo cual se construye siguiendo las reglas de estos. La caracter´ıstica m´as importante de estos diagramas es que establecen una estrecha relaci´on entre: Las ecuaciones de estado Las ecuaciones deferenciales La soluci´on de las ecuaciones de estado La simulaci´on por computador Las operaciones lineales b´asicas que aparecen en un diagrama de estado son: Multiplicaci´on por una costante Suma algebraica de variables Integraci´on J. Ram´ırez y E. Rosero

81

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´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Estas operaciones tienen la siguiente representaci´on mediante grafos de fluencia: Multiplicaci´on

a1

x1 (t)

x2 (t)

X1(s)

X2(s) Figura 2.26: Multiplicaci´on

y se obtienen las ecuaciones algebraicas en tiempo y frecuencia: x2(t) = a1 x1(t)

(2.41)

X2 (t) = a1 X1 (t)

(2.42)

Suma x1 (t)

X1(s)

a1 a2

x2 (t)

X2(s)

a3

x4 (t)

X4(s)

x3 (t)

X3(s) Figura 2.27: Suma

y se obtienen las ecuaciones algebraicas en tiempo y frecuencia: x4 (t) = a1x1 (t) + a2 x2(t) + a3x3 (t)

(2.43)

X4 (s) = a1X1 (s) + a2 X2 (s) + a3X3 (s)

(2.44)

J. Ram´ırez y E. Rosero

82

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´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Integraci´on x1 (t) =

Z

t

ax2(τ )dτ + x(t0)

(2.45)

t0

x1(t0)

x1 (t0 ) s

1

1

s−1

a

as−1

X2(s)

X1(s)

X2(s)

X1(s)

Figura 2.28: Integraci´on Realizando la transformada de Laplace: X1 (s) = a

X2 (s) x1(t0) + s s

(2.46)

para τ ≥ t0. Esta expresi´on es una ecuaci´on algebraica en frecuencia. Estas gr´aficas de la multiplicaci´on, suma e integraci´on ser´an los elementos b´asicos de los diagramas de estado; como se observa, se incluye en la representaci´on, las condiciones iniciales, caracter´ıstica importante de la descripci´on de sistemas mediante variables de estado.

De la ecuaci´ on diferencial al diagrama de estado Aunque este enfoque directo no siempre es el m´as conveniente, puede construirse un diagrama de estado a partir de una ecuaci´on diferencial. dn dn−1 dn−2 d c(t) + an c(t) = r(t) (2.47) c(t) + a c(t) + a 1 n−1 2 n−2 c(t) + .. + an−1 n dt dt dt dt Despejando el t´ermino en´esimo: dn dn−1 dn−2 d c(t) = −a1 n−1 c(t) − a2 n−2 c(t).. − an−1 c(t) − an c(t) + r(t) (2.48) n dt dt dt dt J. Ram´ırez y E. Rosero

83

GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

considerando como nodos a las variables: d d2 dn r, c, c(t), 2 c(t)... n c(t) dt dt dt Realizando la transformada de Laplace, se obtiene:

(2.49)

R(s), C(s), sC(s), s2C(s)...snC(s)

(2.50)

Interconect´andolos mediante los grafos de las operaciones b´asicas para representar la u ´ltima ecuaci´on, se obtiene el diagrama de estado de la ecuaci´on diferencial:

cn−1 (t0 ) s

R

1

sn C s−1 −a1

cn−2 (t0 ) s

c(t ˙ 0) s

s−1

s−1 sn−1 C xn

c(t0 ) s

sn−2 C xn−1

sC x2

1 C x1

−a2 −an−1 −an Figura 2.29: Diagrama de estado de la ecuaci´on diferencial Se asigna como variables de estado cada uno de los nodos de salida de las integraciones; por tanto este diagrama de estado, representa la forma can´onica controlable.

Soluci´ on Anal´ıtica Con la ecuaci´on de estado: d X(t) = AX(t) + BR(t) dt J. Ram´ırez y E. Rosero

84

(2.51) GICI

C

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

y la ecuaci´on de salida: C(t) = EX(t) + DR(t)

(2.52)

y aplicando la transformada de Laplace a la ecuaci´on de estado, obtenemos: SX(s) − X(0) = AX(s) + BR(s)

(2.53)

X(s) = (sI − A)−1X(0) + (sI − A)−1 BR(s)

(2.54)

entonces Aplicando la transformada de Laplace a la ecuaci´on de salida y reemplazando obtenemos: C(s) = E(sI − A)−1 X(0) + E(sI − A)−1 BR(s) + DR(s)

(2.55)

Los vectores de estado y de salida seran: £−1 {X(s)} y £−1 {C(s)}. La soluci´on de la ecuaciones din´amicas se ver´a en detalle m´as adelante. Como se observa, se requiere para la soluci´on, el c´alculo de (sI − A)−1; con el diagrama de estado esta operaci´on se puede realizar usando la f´ormula de Ganancia de Mason con Xi (s), i = 1, 2, .., n como nodos de salida y Xi (0), i = 1, 2, .., n y Rj (j), j = 1, 2, .., p como nodos de entrada. Ejemplo: Hallar la soluci´on anal´ıtica para el siguiente sistema, con condiciones iniciales iguales a cero:

R(s) =

1 s

1

1 s

1 s x2

1 x1

C(s)

−2 −4 Figura 2.30: Ejemplo

Aplicando la f´ormula de ganancia con R(s) como nodo de entrada y X1 , X2 como nodos de salida: J. Ram´ırez y E. Rosero

85

GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

s−2 R(s) R(s) = 2 −1 −2 1 + 2s + 4s s + 2s + 4 s−1 R(s) sR(s) X2 (s) = = 2 −1 −2 1 + 2s + 4s s + 2s + 4

X1 (s) =

(2.56) (2.57)

entonces: 

X1 (s) X2 (s)



1 = 2 s + 2s1 + 4



1 s



R(s)

con R(s) = 1s , y aplicando la Transformada inversa de Laplace:   1  x1(t) (1 + 1,15e−t sen(1,73t + 4π )) 4 3 1 (1,15e−t sen(1,73t)) x2(t) 2 para t ≥ 0, y la salida se obtiene como: c(t) =



1 0





x1 x2



reemplazando: 4π 1 )) c(t) = (1 + 1,15e−t sen(1,73t + 4 3

t≥0

(2.58)

Del diagrama de Estado a la Funci´ on de Transferencia La funci´on de transferencia entre una entrada y una salida se obtiene a partir del diagrama de estado considerando a todas las dem´as entradas y los estados iniciales nulos. Ejemplo Para el sistema del ejemplo anterior, X1 (0)=X2 (0)=0 y s´olo hay una entrada, por tanto: C(s) 1 = 2 (2.59) R(s) s + 2s + 4

J. Ram´ırez y E. Rosero

86

GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Del diagrama de estado a las ecuaciones din´ amicas Las ecuaciones din´amicas pueden obtenerse a partir del diagrama de estado, aplicando la f´ormula de ganancia; como en las ecuaciones diferenciales no aparecen condiciones iniciales ni el operador s de Laplace, no se deben considerar las entradas de condiciones iniciales ni las ramas de integraci´on S −1 ; para escribir las ecuaciones de estado se deben considerar las primeras derivadas de las variables de estado como nodos de salida y las variables de estado y entradas como nodos de entrada; para la ecuaci´on de salida los nodos de salida son las salidas C y los nodos de entrada, las variables de estado y las entradas del sistema r. Ejemplo Obtener las ecuaciones de estado directamente del diagrama de estado para el sistema de los ejemplos anteriores. Eliminando las ramas de ganancia S −1 el diagrama queda:

r(t)

1

x˙ 2

x2 x˙ 1

1 x1

c(t)

−2 −4 Figura 2.31: Ejemplo

x˙1 = x2

(2.60)

x˙2 = −4x1 − 2x2 + r(t)

(2.61)

c(t) = x1

(2.62)

Por supuesto, la f´ormula de ganancia y el procedimiento anterior ser´an de mayor utilidad para sistemas de mayor orden y con m´ ultiples entradas y salidas (MIMO).

J. Ram´ırez y E. Rosero

87

GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

2.2.6.

Ecuaci´ on caracter´ıstica, valores propios y vectores propios

Como se sabe, la ecuaci´ on caracter´ıstica juega un papel importante en el estudio de los sistemas lineales; de una funci´on de transferencia se obtiene igualando a cero el denominador; de los sistemas descritos por variables de estado tambi´en puede obtenerse. De la ecuaci´on 2.55 se define la funci´on de transferencia (si R y C son escalares) como C(s)/R(s) con condiciones iniciales iguales a cero. Luego C(s) G(s) = = E(sI − A)−1 B + D (2.63) R(s) (sI − A): No singular G(s) = E

G(s) =

adj(sI − A) B+D |sI − A|

E[adj(sI − A)]B + |sI − A|D |sI − A|

Luego, la ecuaci´on caracter´ıstica ser´a: |sI − A| = 0 Ejemplo Hallar la ecuaci´on caracter´ıstica para el sistema: x˙ 1 = x2 x˙ 2 = −2x1 − 3x2 + r c(t) = x2 Del sistema: A=

sI − A = s



1 0 0 1

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−





0 1 -2 -3

0 1 -2 -3 88





=



s 0 0 s



−



0 1 -2 -3



GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

sI − A =



s -1 2 s+3



E.C = |sI − A| = s(s + 3) + 2 = s2 + 3s + 2 Las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica se denominan valores propios de la matriz A; obs´ervese que si el sistema se da en la forma can´onica controlable, los coeficientes de la ecuaci´on caracteristica: sn + a1 sn−1 + ... + an vienen dados en la u ´ltima fila de la matriz A Ejemplo La matriz A del ejemplo anterior est´a en la forma can´onica controlable; luego la u ´ltima fila ser´a −a2, −a1 EC: s2 + 3s + 2 = 0 (s + 1)(s + 2) = 0 Valores propios de A: λ1 = −1; λ2 = −2 Se define como vector propio de A al vector Pi que satisface la ecuaci´on matricial: (λi I − A)Pi = 0 λi : i-´esimo valor propio de A Pi : Vector propio de A asociado con el valor propio λi Ejemplo Los vectores propios para el sistema del ejemplo anterior, P1 asociado λ1 = −1: ⇒ (−I − A)P1 = 0       p11 0 1 -1 0 − =0 -2 -3 0 -1 p12 

-1 -1 2 2



p11 p12

J. Ram´ırez y E. Rosero



)

=0

−p11 − p12 = 0 2p11 + 2p12 = 0

89

)

p11 = −p12

GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Una sola ecuaci´on para dos inc´ognitas → infinitas soluciones → asumiendo p11 = 1 → p12 = −1   1 P1 = −1 p2 asociado a λ2 = −2: (−2I − A)P2 = 0 →

−2p21 − p22 = 0 2p21 + p22 = 0





p21 p22



=0

)

p22 = −2p21 ; sip22 = 2 → p21 = −1

P2 =

2.2.7.

−2 −1 2 1



−1 2



Matrices de Transferencia

Si en la ecuaci´on 2.55 C(s) es un vector de q salidas y R(s) un vector de p entradas: ⇒ G(s) =

C(s) = E(sI − A)−1B + D R(s)

G(s) es una matriz de transferencias de    G11 G12 C1  C2   G21 G22     ..  =  .. ..  .   . . Gq1 Gq2 Cq

dimensiones (qxp)   . . . G1p R1   . . . G2p    R2  ..   ..  .  .  Rp . . . Gqp

El elemento Gij relacionar´a la entrada j-´esima con la salida i-´esima.

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90

GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Ejemplo Obtener G(s) para el sistema descrito por: d2 c1 + 4 dcdt1 − 3c2 = r1 dt2 dc2 + dcdt1 + c1 + 2c2 = r2 dt

x1 = c1 con x2 = c˙1 x3 = c2

La representaci´on vectorial-matricial del sistema, ser´a:  dx1         0 1 0 x 0 0 1 dt r 1 dx 2   =  0 −4 3   x2  +  1 0  dt r2 dx3 x3 −1 −1 −2 0 1 dt 

C1 C2



=



1 0 0 0 0 1





 x1  x2  x3

Calculando primero (sI − A) 

 s −1 0 (sI − A) =  0 s + 4 −3  1 1 s+2 |sI − A| = s3 + 6s2 + 11s + 3 

(sI − A)−1

 s2 + 6s + 11 s+2 3 1   = −3 s(s + 2) 3s |sI − A| −(s + 4) −(s + 1) s(s + 4) G(s) = E(sI − A)−1 B

G(s) =



1 0 0 0 0 1





  s2 + 6s + 11 s+2 3 0 0 1   1 0  −3 s(s + 2) 3s |sI − A| −(s + 4) −(s + 1) s(s + 4) 0 1

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´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

1 ⇒ G(s) = 3 2 s + 6s + 11s + 3



s+2 3 −(s + 1) s(s + 2)



Ejercicio: Resuelva el ejercicio 4 propuesto en las actividades de aprendizaje.

Resumen En este cap´ıtulo se ha presentado el modelado matem´atico de sistemas lineales utilizando funciones de transferencia, diagramas de bloques y gr´aficas de flujo de se˜ nal. La funci´on de transferencia de un sistema lineal se defini´o a partir de aplicar la Transformada de Laplace a la ecuaci´on diferencial, sin considerar las condiciones iniciales. Un m´etodo poderoso para representar la interrelaci´on entre se˜ nales de un sistema lineal es la gr´afica de flujo de se˜ nal, permite obtener las funciones de transferencia entre variables de entrada y de salida de un sistema lineal utilizando la f´ormula ganancia. Este cap´ıtulo tambien estuvo dedicado al modelado matem´atico de sistemas f´ısicos, se describieron las relaciones matem´aticas b´asicas de sistemas el´ectricos, hidr´aulicos, t´ermicos y mec´anicos. Para sistemas lineales, las ecuaciones diferenciales, las ecuaciones de estado y las funciones de transferencia son las herramientas fundamentales para el modelado. Se realiz´o tambi´en una introducci´on al modelado por espacio de estado.

Actividades de aprendizaje 1. Realice una lectura reflexiva y cr´ıtica del material del curso. 2. Para las figuras 2.32 y 2.33. a) Hallar la salida para el siguiente diagrama de bloques: b) Reducir el siguiente diagrama a la forma can´onica:

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´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

H1 R1

+−

G1 R2

+− −

G2

G3

C

++

−+

H1 H3

Figura 2.32: Figura 1 H3 R1

+−

G1

+− −

G2

−+

G3

C

H2 H1

Figura 2.33: Figura 2 3. Para las figuras 2.34 y 2.35 de los ejercicios propuestos de diagramas de bloques: a) Obtenga el GFS y calcule C(s) utilizando la f´ormula de ganancia de Mason. b) Calcule Y6 /Y1 para los siguientes GFS. 4. El siguiente juego de ecuaciones diferenciales, representa la din´amica de un sistema multivarible: c˙1 − 2c2 + c1 = 0

(2.64)

c¨2 + 3c˙2 + 8c2 + 3c1 = u˙ 1 + 3u1 + 3u2

(2.65)

Con c1 (0) = 1, u1(0) = u2 (0) = 0, c2(0) = 1, c˙2 (0) = 0 J. Ram´ırez y E. Rosero

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GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

-H4 G4

Y1

1

Y2

G1

Y3

Y4

Y4 G3

1

Y6

1

Y6

Y5 −H2

−H1 −H3

Figura 2.34: Gr´afico de flujo de se˜ nal 1 −H4

G4

Y1

1

Y2

G5

G1

Y3

G2

Y4 G3 Y5 −H2

−H1 −H3

Figura 2.35: Gr´afico de flujo de se˜ nal 2

a) Defina un conjunto adecuado de variables de estado y construya el diagrama de estado. b) Calcule la evoluci´on temporal de c1 (t) y c2 (t) debido a las condiciones iniciales, u1 = u2 = 0. c) Calcule la ecuaci´on caracter´ıstica, los valores propios y vectores propios asociados al sistema. d ) Obtenga la matriz de transferencia del sistema. J. Ram´ırez y E. Rosero

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GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

5. Para la figura 1.15 del capitulo 1 (examen 2003): a) Construya un diagrama de bloques del sistema, usando funciones de transferencia para representar los diferentes componentes y ecuaciones. b) Aplicar la f´ormula de Mason al diagrama de bloques anterior para hallar C de la figura 1.15. R 6. (Evaluaci´on febrero de 2004) La figura 2.36 muestra el diagrama de instrumentaci´on de un sistema de calentamiento. R1 C1

V1

Producto fr´ıo LT Agua Tanque 1

Agitador 1

Chaqueta

qa : caudal agua i: Corriente en la bobina

Tanque 2 TT2

C2

Producto caliente

+ Caja −V3 El´ectrica

R2 V2 TT3

Bomba

b3

C3

a3

R3

Figura 2.36: Sistema de control

a) (30 %) Identifique y relaciones los diferentes elementos y se˜ nales de la bucla de realimentaci´on t´ıpica para el control de temperatura del producto.

J. Ram´ırez y E. Rosero

95

GICI

´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

b) (70 %) En el tanque 2, T T 3 genera una se˜ nal el`ectrica b3 proporcional a la temperatura del agua en el tanque θ con factor k1 ; el controlador c3 implementa la ley de control: Z kp t a3(t) = kp (R3 (t) − b3(t)) + (R3 − b3)dτ (2.66) Ti 0 La caja el´ectrica genera una tensi´on V3 que obedece a la relaci´on: k2 v3 = a3. La bobina se modela con inductancia L y resistencia interna R. La transferencia de calor en el tanque 2 obedece a la ecuaci´on diferencial: T

dθ = k3 i(t) − ka qa − θ dt

(2.67)

Obtenga un gr´afico de flujo de se˜ nal que represente el sistema de control de temperatura en el tanque 2. 7. El siguiente juego de ecuaciones diferenciales representa a un sistema din´amico: (2.68) c˙1 + c1 + c2 = u1 c1 (0) = 0 c˙2 + c2 − c1 = u2

(2.69)

c2 (0) = 1 a) (20 %) Defina un conjunto adecuado de variables de estado y obtenga las matrices A, B, C y D de las ecuaciones din´amicas. b) (15 %) Construya el diagrama de estado. c) (15 %) Calcule c1 (s) debida a las condiciones iniciales; u1 =u2 = 0. d ) (10 %) Calcule la ecuaci´on caracter´ıstica del sistema. e) (10 %) Calcule los valores propios del sistema. f ) (10 %) Calcule los vectores propios asociados al sistema. g) (20 %) Obtenga la matriz de transferencia del sistema

Lecturas complementarias J. Ram´ırez y E. Rosero

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´ ´ DE ESTADO 2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION

Dominguez S., Campoy P., Sebasti´an J., J´ımenez. Control en el espacio de estado. Prentice Hall, 2002.

Referencias KUO BENJAMIN, Sistemas de Control Autom´atico, Prentice Hall 1997. OGATA KATSUSHITO, Ingenier´ıa de Control Moderno, P.H.H. 3 edici´on, 1998. OGATA KATSUSHITO, Sistemas de Control en Tiempo Discreto. P.H.H, M´ex. 1996.

J. Ram´ırez y E. Rosero

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GICI

Cap´ıtulo 3 Modelado digital Introducci´ on La aplicaci´on de control por computadora ha hecho posible el movimiento inteligente de robots industriales, la optimizacion de econom´ıa de combustible en los autom´oviles, etc.. La capacidad en la toma de decisiones y la flexibilidad en los programas de control son las mayores ventajas de los sistemas de control digital. Los controladores digitales se utilizan para alcanzar el desempe˜ no ´optimo (productividad m´axima, beneficio m´aximo, costo m´ınimo o la utilizaci´on de m´ınima de energ´ıa). Como vimos en la primera unidad, un sistema de control digital, aparte de la planta an´aloga, incluye los conversores anal´ogico a digital, digital a anal´ogico y el procesador en s´ı mismo. Para cada uno de estos elementos requeriremos una representaci´on matem´atica. La planta an´aloga la representaremos por su funci´on de transferencia o su representaci´on de estado. El conversor A/D mediante una representaci´on matem´atica del muestreo; el conversor D/A mediante su funci´on de transferencia. Para el modelado del procesador digital, utilizaremos la herramienta matem´atica transformada Z, con la cual, las soluciones a las ecuaciones en diferencias se convierten en un problema de naturaleza algebraica similar a la transformada de Laplace. En esta unidad se presentar´a el modelado de los sistemas digitales tanto para la represetaci´on entrada-salida como de estado.

98

3.1. MODELADO DEL PROCESADOR DIGITAL

Objetivos 1. Representar, simplificar, analizar y sintetizar un sistema de control por medio de un diagrama de bloques, diagrama de flujo de se˜ nal y diagrama de estado. Aplicaci´ on 2. Deducir el modelo matem´atico en funci´on de transferencia y variables de estado para sistemas de control an´alogos y digitales. Conocimiento 3. Analizar las diferentes interrelaciones entre las representaciones entradasalida y de estado. An´ alisis

Contenido 3.1.

Modelado del procesador digital

Como se dijo en el estudio de la bucla t´ıpica de control digital, el procesador digital es un sistema discreto que recibe, procesa y entrega se˜ nales digitales.

3.1.1.

Secuencias

De la se˜ nal digital, interesa conocer su valor en instantes infinitesimales, separados por el per´ıodo de muestreo T . Este conjunto de valores se denomina secuencia; por ejemplo: n o   = {1, 0, 0.51, -0.26, . . . } xk , x(k) , x kT   kT x kT = e− 3 cos( kT ) k = 0, 1, 2, . . . , n 4 T = 1s. Las secuencias las podemos representar por la serie de datos o en forma cerrada si ello es posible. Algunas secuencias importantes son: J. Ram´ırez y E. Rosero

99

GICI

3.1. MODELADO DEL PROCESADOR DIGITAL

NOMBRE

MODELO

´ GRAFICO δ(k) 1

Pulso unitario:



δ(k) =

0 k 6= 0 1 k=0

k

µ(k) 1

Escal´on unitario:



µ(k) =

0 k 0 y 0√< ρ < 1, donde: 1−ρ2 θ = tan−1 ρ = cos−1 ρ La frecuencia de la oscilaci´on depende del amortiguamiento ρ. e−ρωN t sen(ωD t + θ) Error: e(t) = r(t) − c(t) = p 1 − ρ2 Oscilaci´on sinusoidal amortiguada; ess = 0 haciendo ρ→0: C(t) = 1 − sen(ωN t + 90) = 1 − cos ωN t ωN : frecuencia a la cual oscilar´ıa el sistema si no hubiera amortiguamiento. Las respuestas al escal´on para varios ρ se grafican como una familia de curvas con par´ametro ρ y abscisa adimensional ωN t:

J. Ram´ırez y E. Rosero

158

GICI

5.2. RESPUESTA TRANSITORIA

2 sistemas con ωN distintas e igual ρ tienen respuesta de la misma forma. A mayor ωN , respuesta m´as r´apida. La curva con ρ = 0,7 se aproxima m´as r´apidamente al valor final. Para los sistemas sobreamortiguados el m´as r´apido es para ρ = 1 Ejercicio: Resuelva el ejercicio 4 propuesto en las actividades de aprendizaje [Ogata, 1998].

5.2.3.

Caracter´ısticas de Respuesta Transitoria

Muchas veces el funcionamiento deseado de un sistema de control se especifica sobre las caracter´ısticas de la respuesta de tiempo. Las m´as usadas son las de la respuesta de escal´on unitario: 1. Indican velocidad de respuesta: Tiempo de retardo tD Tiempo de subida tR Tiempo de establecimiento ts Tiempo de pico tp 2. Indica grado de estabilidad Rebase m´aximo o sobrepaso Estas caracter´ısticas se muestran en la siguiente respuesta t´ıpica:

J. Ram´ırez y E. Rosero

159

GICI

5.2. RESPUESTA TRANSITORIA

5.2.4.

Expresiones Anal´ıticas:

Tiempo de retardo td : tiempo que tarda la respuesta en alcanzar por primera vez la mitad del valor final: e−ρωN td p sen(ωD td + θ) = 0,5 1 − ρ2 Aproximaci´on lineal: tD '

1+0,7ρ ωN

Tiempo de subida tR: tiempo que tarda la respuesta en pasar de: • 10 → 90 % del valor final • 5 → 95 % del valor final • 0 → 100 % del valor final de los sistemas con respuesta oscilatoria. tR =

π −θ ωD

J. Ram´ırez y E. Rosero

0 − 100 % 160

GICI

5.2. RESPUESTA TRANSITORIA

Tiempo de pico: Tiempo requerido para alcanzar el primer pico de sobrepaso. π Es medio per´ıodo de la tp = ωD oscilaci´on amortiguada Tiempo de establecimiento ts : Tiempo requerido para que la respuesta alcance y permanezca dentro de determinado rango del valor final: ±5 % o ±2 % Para un sistema subamortiguado de 2o orden, la constante de tiempo de las envolventes de la respuesta es ρω1N as´ı: 4 ts ∼ = Criterio del 2 % ρωN 3 ρωN

ts ∼ =

Criterio del 5 %

Rebase M´aximo: C(t) en t = tp −

R.M. = 1 + e

ρωN π ωD

Si c(t) → ∞ = 6 1:

− √ ρπ

Sobrepaso: MP = e Sobrenivel Porcentual

[S.P.]=

1−ρ2

R.M. − V alorfinal × 100 % V alorfinal

∗ Como ρ se define principalmente por el rebase m´aximo permitido, entonces el tiempo de estabilizaci´on ts lo determina principalmente la frecuencia natural ωN . Conocidas las caracter´ısticas de la respuesta, la curva se puede construir completamente.

5.2.5.

Especificaciones de funcionamiento para la respuesta transitoria

La respuesta debe ser r´apida y bien amortiguada; si la aplicaci´on puede tolerar oscilaciones, el amortiguamiento adecuado para un sistema de 2o. orden ser´a: 0,4 < ρ < 0,8 =⇒ 2,5 % < S.P. < 25 % J. Ram´ırez y E. Rosero

161

GICI

5.2. RESPUESTA TRANSITORIA

La especificaci´on de velocidad de respuesta la determina el sistema en particular. Una gu´ıa es asociarla a la del lazo cerrado; queremos que en red cerrada el sistema sea m´as r´apido que en red abierta; esto no se puede exagerar, pues aparecer´a saturaci´on en el actuador y problemas de robustez al excitar din´amicas no modeladas.(m´as detalles en los cap´ıtulos de dise˜ no). Las especificaciones de desempe˜ no en el tiempo se pueden establecer en t´erminos de una ubicaci´on de los polos en el plano S: 3−4 → define ρωN : Parte real de las raices en red cerrada. ts ≈ ρωN El sobrepaso → ρ. tr =

ωn

Π−Θ √ . 1−ρ2

Con ρ=0.5: tr ≈

2,5 , ωn

tr ≤ tr max ⇒ ωnmin ≥

2,5 tr max

´ Area deseada ρ = 0.4 Para los polos

Jω ρ = 0.8

−ρωn

σ

C´ırculo de radio ωn min Ejemplo: Analizar la respuesta temporal, para un sistema de control de la excitaci´on, autoexcitado con excitatriz C.C., para kA = 5 y kA = 100. Asumamos τE = 1seg; τG = 5seg. Sistema normalizado y linealizado:

J. Ram´ırez y E. Rosero

162

GICI

5.2. RESPUESTA TRANSITORIA

+

VR (s) +

kA

−

G(s) =

1 1+τE s

+

kA kEQ s(1 + τEQ s)

kEQ =

1 1+τG s

1 ; τE + τG

VT (s) = VR (s) s2 +

τEQ =

kA = 100

1 VT (s) = 2 VR (s) s + 1,2s + 1

20 VT (s) = 2 VR (s) s + 1,2s + 20

ρ 0.6 0.134

ωN 1 4.47

ωD 0.8 4.43

MP 0.095 0.653

τE τG τE + τG

kA τE τG 1 s + τEkAτG τE Q

kA = 5

kA 5 100

VT (s)

td 1.42 0.24

tr 2.77 0.38

tp 3.93 0.7

ts(5 %) 5 5

Con kA alto el sistema es muy oscilatorio, con una respuesta inicial muy r´apida pero con la misma duraci´on total de la respuesta con kA baja. Ejercicio: Resuelva los ejercicios 5, 6 y 7 propuestos en las actividades de aprendizaje [Ogata, 1998].

J. Ram´ırez y E. Rosero

163

GICI

5.2. RESPUESTA TRANSITORIA

5.2.6.

Sistemas con Ceros y de Orden Superior a 2.

Para la forma can´onica:

R(s)+

G(s)

C(s)

Si R(s) = 1/s, en general: N (s) 1 . C(s) = D(s) s ↓ T(s)

−

H(s) D(s) =

q Y

r Y

(s + pJ ) .

J=1

J=1

a C(s) = + s

EFP −→

2 (s2 + 2ρJ ωKJ s + ωnJ )

q X j=1

X aJ a1k + a2k s + 2 s + pJ s + 2ρk ωk s + ωk2 r

k=1

↓ Sumatoria de t´erminos simples de primer y segundo orden. Si todos los polos son distintos: TIL −→

C(t) = a +

q X

aj e−ρjt +

j=1

r X

bk e−ρk ωk t cos ωk

k=1 −ρk ωk t

q 1 − ρ2k t

p Ck e senωk 1 − ρ2k t ↓ Sumatoria de exponenciales y sinusoides amortiguadas. +

Pr

k=1

t≥0

Si todos los polos son reales, la respuesta es lenta sobreamortiguada y sin oscilaci´on. Puede ser con oscilaciones menores superpuestas a mayores o a curvas exponenciales Si el sistema es estable, l´ımt→∞ C(t) = a Si G(s) =

NG DG

;

H(s) =

=⇒ T (s) = J. Ram´ırez y E. Rosero

NH DH

NG DH G = 1 + GH DG DH + NG NH 164

GICI

5.2. RESPUESTA TRANSITORIA

Los polos de T (s) los definen los polos y ceros de G y H; a su vez definen el tipo de respuesta pues afectan los exponentes de los t´erminos exponenciales. Los ceros de T (s) son los ceros de G(s) y los polos de H(s), influyen en la forma de la respuesta pues afectan las magnitudes y signos de los residuos.

5.2.7.

Polos Dominantes de Lazo Cerrado

Sistemas de orden superior se pueden tratar como sistemas de 2o. orden o de orden menor. Criterios: Cancelar polos y ceros cercanos de red cerrada, pues el residuo del t´ermino es peque˜ no. Despreciar t´erminos exponenciales debidos a polos lejanos del origen del plano complejo, pues el transitorio es corto y el residuo es peque˜ no. Si las relaciones de las partes reales de polos o ceros reales o complejos y la parte real de un par de polos complejos, sin ceros cercanos, exceden de cinco, entonces los polos complejos de lazo cerrado m´as cercanos al eje jω dominan la respuesta y se denominan polos dominantes del sistema. Ejemplo: Analizar el funcionamiento del sistema de control de la excitaci´on con excitatriz C.C. y red estabilizadora.

J. Ram´ırez y E. Rosero

165

GICI

5.2. RESPUESTA TRANSITORIA

VR (s) +

−

+ kA = 100,

VR (s) + −

VT (s) 1 τG s+1

1 τE s+1

kA

kF s τF s+1

+ kF = 0,01,

τE = 1,

τG = 5,

τF = 1

kA (τF s+1) (τF s+1)(τE s+1)+kA kF s

G(s) =

VT (s) 1 τG s+1

100(s + 1) (s2 + 3s + 1)(5s + 1)

VT (s) 20(s + 1) = VR (s) (s + 1,044)(s2 + 2,156s + 19,35) Cancelando el polo con el cero y ajustando la ganancia para obtener la misma ganancia C.C.: 19,16 VT (s) ≈ 2 VR (s) s + 2,156s + 19,35 ρ = 0, 245

ωN = 4, 4

ts =

3 ρωN

= 2, 8seg

La expansi´on en fracciones parciales de la funci´on sin simplificar con VR (s) = 1/s es: VT (s) =

1,036s + 2,186 4,63 × 10−2 0, 99 − 2 + s s + 2,156s + 19,35 s + 1,043

J. Ram´ırez y E. Rosero

166

GICI

5.2. RESPUESTA TRANSITORIA

Efectivamente el t´ermino simple es despreciable por tener un residuo peque˜ no. Con kF = 0 VT (s) 20 = 2 VR (s) s + 1,2s + 20,2 ρ = 0,133

ωN = 4,49

ts =

3 = 1,6seg. ρωN

La red estabilizadora baja un poco la velocidad pero adiciona amortiguamiento.

5.2.8.

Sistemas de Tercer Orden con un polo real. jω Plano S

2 ωN C(s) p = 2 2 R(s) (s + 2ρωN s + ωN )(s + p)

−p

−ρωN

σ

ρ = 0,5 Se reduce el sobrepaso m´aximo, aumenta el tiempo de respuesta: el de subida tr si β > 1; el de estabilizaci´on ts , si 0 < β < 1.

J. Ram´ırez y E. Rosero

167

GICI

5.2. RESPUESTA TRANSITORIA

5.2.9.

Sistemas de Segundo Orden Subamortiguados con un cero. jω Plano S

ω2 s+z C(s) = N . 2 2 R(s) z s + 2ρωN s + ωN

−z

−ρωN

σ

ρ = 0,5 Se incrementa el sobrepaso m´aximo, aumenta la velocidad inicial del transitorio, por este efecto, el rebase m´aximo no es un indicativo de grado de estabilidad, solo lo ser´a si el sistema es de segundo orden sin ceros. Ejemplo: Sistema de control de la excitaci´on con controlador PD.

J. Ram´ırez y E. Rosero

168

GICI

5.3. RESPUESTA PERMANENTE

VR (s) + −

1 τe s+1

kA (1 + τd s)

KA = 100

1 τg s+1

VT (s)

τd = 0,5

20(τd s + 1) VT (s) = 2 VR (s) s + (1,2 + 20τd )s + 20,2 Aumenta el coeficiente de s =⇒ aumenta ρ VT (s) 10(s + 2) 1 = ; VR (s) = VR (s) (s + 2,26)(s + 8,94) s VT (s) = 0,99 −1,162e−8,94T +0,17e−2,26T Respuesta Residuo r´apida peque˜ no Esta expresi´om no tiene ninguna simplificaci´on. EFP,TIL: →

VT 1.032 0.99

A pesar de ser sobreamortiguado, hay sobrepaso.

t S = 0.96

0.488

Ejercicio: Resuelva los ejercicios 8, 9 y 10 propuestos en las actividades de aprendizaje [Ogata, 1998].

5.3. 5.3.1.

Respuesta Permanente Error Permanente:

Es una medida de la exactitud del sistema con una entrada particular. Si la entrada r(t) y la salida c(t) son homog´eneas dimensionalmente y est´an al mismo nivel u orden de magnitud, la se˜ nal de error es: J. Ram´ırez y E. Rosero

169

GICI

5.3. RESPUESTA PERMANENTE

e(t) = r(t) − c(t) Si no es as´ı, existe una realimentaci´on no-unitaria:

R(s)+

E(s)

G(s)

C(s)

e(t) = r(t) − b(t) E(s) = R(s) − B(s) E(s) = R(s) − H(s)C(s) E(s): Error actuante

− B(s)

H(s)

E(s) =

=⇒

R(s) 1 + GH(s)

;

eSS = l´ım e(t) = l´ım sE(s) t→∞

s→0

sR(s) s→0 1 + GH(s)

eSS = l´ım

Notemos que el error permanente depende de la entrada y de GH(s). Esta expresi´on s´olo es v´alida si sE(s) no tiene polos en el eje imaginario o en el semiplano derecho.

5.3.2.

Clasificaci´ on del Tipo de Sistema

Define la capacidad de un sistema para seguir una entrada escal´on, o rampa, o parab´olica, etc. Si k(τA s + 1)(τB s + 1)...(τH s + 1) GH(s) = sN (τ1 s + 1)(τ2 s + 1) Se dice que es de tipo N-´esimo. sN : Polo en el origen de multiplicidad N . A mayor tipo, m´as exactitud y menor estabilidad.

5.3.3.

Error permanente debido a una entrada escal´ on R(s) =

R ⇒ s

R sR(s) = s→0 1 + GH(s) 1 + l´ıms→0 GH(s)

eSS = l´ım

Se define: KP : l´ıms→0 GH(s): constante de error de posici´on.

J. Ram´ırez y E. Rosero

170

GICI

5.3. RESPUESTA PERMANENTE

R {Error de Posici´on. 1 + KP Si GH(s) tiene al menos una integraci´on: KP → ∞, eSSP → 0 eSSP =

R = Sistema Tipo 0 : eSSP = 1+K P Sistema Tipo 1 o m´as : eSSP = 0

=⇒

5.3.4.

R 1+K

: constante

Error permanente debido a una entrada rampa

R(s) = R/s2 ⇒

1 R/s R = l´ım = s→0 1 + GH(s) s→0 s + sGH(s) l´ıms→0 sGH(s)

eSS = l´ım

KV : l´ıms→0 sGH(s): constante de error de velocidad. R {Error de Velocidad. KV GH(s)= debe tener al menos dos integraciones para que eSSV → 0. eSSV =

Sistema Tipo 0 : eSSV = ∞ Sistema Tipo 1 : eSSV = R/KV = R/K:constante Sistema Tipo 2 o m´as : eSSV = 0

=⇒

5.3.5.

Error permanente debido a una entrada parab´ olica

R(s) =

R ⇒ s3

eSS = l´ım

s→0 s2

R R = 2 + s GH(s) l´ıms→0 s2 GH(s)

KA : l´ıms→0 s2 GH(s): constante de error de aceleraci´on. R {Error de Aceleraci´on. KA Sistema Tipo 0,1 : eSSA = ∞ =⇒ Sistema Tipo 2 : eSSA = R/KA = R/K:constante Sistema Tipo 3 o m´as : eSSA = 0 En el dise˜ no de un sistema de control se especifican las constantes de error de acuerdo al funcionamiento deseado en r´egimen permanente, cumpliendo eSSP =

J. Ram´ırez y E. Rosero

171

GICI

5.3. RESPUESTA PERMANENTE

el compromiso de funcionamiento adecuado en r´egimen transitorio; se busca la mayor constante con el m´ınimo ρ permisible. Ejemplo: Error permanente para el sistema de control de la excitaci´on con controlador PI.

VR (s) + −

kA (s+1/tI ) s

KA = 100 , GH(s) =

VT (s) 1 τG s+1

1 τE s+1

tI = τG = 5

kA KA (s + 1/tI ) = s(τE s + 1)(τG s + 1) τG s(τE s + 1)

TIPO 1

Constantes de Error: 1 =0 s→0 1 + KP KA 1 tI =⇒ eSSV = = = 0,05 KV = l´ım sGH(s) = s→0 tI KV KA 1 =∞ KA = l´ım s2GH(s) = 0 =⇒ eSSA = s→0 KA KP = l´ım GH(s) = ∞ =⇒

eSSP =

El eSSP baja del 1 % a cero al adicionar la integraci´on. El eSSV se puede mermar con una KA mayor. Ejercicio: Resuelva los ejercicios 11, 12 y 13 propuestos en las actividades de aprendizaje [Ogata, 1998].

J. Ram´ırez y E. Rosero

172

GICI

5.4. RESPUESTA TEMPORAL, SISTEMAS DISCRETOS

5.4.

Respuesta Temporal, Sistemas Discretos

Para un sistema de tiempo ciscreto como el controlador digital:

e(k)

Gc (z)

E(z)

a(k) A(z)

la se˜ nal de control se puede calcular como la trasformada inversa Z −1 de la salida. Las se˜ nales discretas de entrada provienen de muestrear se˜ nales de tiempo continuo; por ello, es importante conocer la relaci´on entre los dominios del tiempo discreto S y Z.

5.4.1.

Representaci´ on en el plano Z de las se˜ nales.

T.Z −→ E(z) = 1 ⇒ A(z) = G(z) T.L e(t) = δ(t) −→ E(s) = 1 ⇒ A(s) = G(s) Relacionan directamente se˜ nales y sistemas. Pulso unitario:

e(k) = d(k)

Escal´ on unitario:

e(k) = µ(k)

z z−1

T.L −→ E(s) = 1/s

e(t) = µ(t) Plano S

T.Z −→ E(z) =

Plano Z

jω

e(k) 1

σ

kT Polos en el origen de s = 0, tienen correspondencia con polos en z = 1. Se˜ nal constante en el tiempo corresponde con polos en z = 1.

J. Ram´ırez y E. Rosero

173

GICI

5.4. RESPUESTA TEMPORAL, SISTEMAS DISCRETOS

Exponencial:

Plano S

e(k) = r µ(k) e(t) = e−t/τ µ(t)

Plano Z

jω

T.Z −→ E(z) = T.L −→ E(s) =

k

e(k)

z z−r 1 s+1/τ

r>1

1 − τ1

σ

0 1: Se˜ nal inestable, de amplitud infinita cuando k tiende a infinito. • r = 1: Marginalmente estable, amplitud finita cuando k tiende a infinito. • r < 1: Se˜ nal estable, a menor r m´as corto el transitorio. • r = 0: Transitorio de duraci´on finita (t´erminos z −1 ). El n´ umero de muestreos por ciclo de una se˜ nal senoidal lo determina θ. Una se˜ nal discreta es peri´odica si x(k) = x(k + N ) para todo k, donde N es un n´ umero entero que corresponde al per´ıodo de la se˜ nal; si x(k) = cos(kθ) = cos(k + Njθ) =⇒ un per´ıodo de la se˜ nal (2π rad), contiene N 2π muestreos/ciclo; por ejemplo, con muestreos, asi: Nθ = 2π → N = θ[rad] θ = 45◦ , N = 360/45 = 8 muestreos por per´ıodo, lo que corresponde a la e(k) de la p´agina anterior. Observemos que para que exista periodicidad, 2π debe ser un n´ umero θ entero mayor de uno, luego θ debe estar en el intervalo: 0 < θ < π; θ es estrictamente menor que π por el teorema de muestreo; por tanto, una se˜ nal an´aloga peri´odica, al muestrearse puede no ser una secuencia peri´odica!

J. Ram´ırez y E. Rosero

175

GICI

5.4. RESPUESTA TEMPORAL, SISTEMAS DISCRETOS

Ejemplo: x(t) = cos wo t = cos 2π ; To : per´ıodo se˜ nal an´aloga. To kT −→ θ = 2π TTo Si se muestrea cada T segundos: x(kT ) = cos 2π To Como N = 2π = TTo = ωωso , entonces la frecuencia de muestreo debe ser un θ m´ ultiplo entero mayor a uno de la frecuencia de la se˜ nal an´aloga, para que ambas se˜ nales tengan la misma periodicidad. Si ωs /ωo es un n´ umero irracional, la se˜ nal discreta es aperi´odica. Ejemplo: Una se˜ nal an´aloga a 60 Hz muestreada con T = 1 ms, da una se˜ nal dis1/60 50 0 creta con N = 10−3 = 3 muestreos por ciclo de la oscilaci´on an´aloga; la 2π k se repite al cabo de N = 50 muestreos, luego se˜ nal discreta x(k) = cos 50/3 de los tres per´ıodos de la se˜ nal an´aloga. Una se˜ nal an´aloga x(t) = cos 100t, muestreada con T = 1 ms, da N 0 = 2π/100 = 20π, lo que corresponde a un n´ umero irracional de muestreos por 10−3 ciclo, es decir, es aperi´odica.

5.4.2.

Correlaci´ on Plano S a Plano Z

Los planos S y Z se relacionan mediante la transformaci´on: Z = esT Las especificaciones de respuesta en tiempo continuo establecidas mediante la ubicaci´on de polos en el plano S, se pueden llevar mediante esta transformaci´on al plano Z, de forma que la respuesta discreta cumpla las especificaciones de funcionamiento de la respuesta en tiempo continuo.

J. Ram´ırez y E. Rosero

176

GICI

5.4. RESPUESTA TEMPORAL, SISTEMAS DISCRETOS

PLANO Z

PLANO S

j

C´ırculo Unitario

jω

e±jπ

jπ/T

1

−1

σ

σ −jπ/T

−j j

jω Eje Real

Eje Real

positivo σ > 0

negativo S = σ < 0

Lugar de atenuaci´ on constante S = σ + jω, σ : cte.

0 4T2 ; en tal caso, la funci´on de transferencia del controlador es:  kp = k/T1 Z1  kp (1 + TI s)(1 + Tds) A(s) T1 = − 1/Z1 =  E(s) TI s TD = − 1/Z2 {z } | Los ceros del controlador son:

CASCADA

de P I

y

Z1−2 =

−

PD

Con ceros reales, se tiene una cascada de un PI y un PD; en tal caso se denomina PID interactivo o serie. Funcionamiento Consideramos el sistema de control de la excitaci´on con excitatriz, actuador de din´amica apreciable y acci´on de control PID. Con TI = τG , Td = τE , τA = 0,5, se obtiene: J. Ram´ırez y E. Rosero

216

GICI

´ DE CONTROL - PID 6.1. ACCION

IL (s) VR (s) +

kp (TI s+1)(Td s+1) TI s

−

1 τA s+1

1 τE s+1

1 τG s+1

+

VT (s)

+

IL (s)

kp TI s

VR (s) + −

1 τA s+1

+

VT (s)

+

kp /TI τA VT (s) = 2 VR (s) s + τ1A s + TI kpτA ts ' 3τA = 1,5 seg. 1 ρ = p 2 kp Tipo 1

r

−→

TI τA

Alta velocidad de respuesta

Ajustable con kp ;

essp = 0

,

kp = 10 → ρ = 0,5

ess |IL = 0

En resumen, sus caracter´ısticas de funcionamiento son la suma de los efectos de las acciones P, I y D. Implementaci´ on an´ aloga con amplificadores operacionales Configuraci´on general de un amplificador operacional para regulaci´on:

J. Ram´ırez y E. Rosero

217

GICI

´ DE CONTROL - PID 6.1. ACCION

IF

IR

UR

ZF (s)

ZR (s) IB

UB

I=0 −

ZR (s)

UA

+

R0

ZF UR

, =

LIK :

ZR : Transimpedancias de los cuadripolos: ZR IR

− UB

IR + ID + IF

UA (s) =

ZR IB

;

UA

=

ZF

IF

= 0

UB UA = − ZR ZF ZF (s) [UR (s) − UB (s)] − ZR (s)

UR ZR

−→

=

V oltaje de entrada . Corriente de salida

−

Para el PID: ZR (s) = RR

;

ZF (s) =

(RI CI s + 1)[1 + (RA + RD ) CD s] ∝ CI s(1 + RA CD s) | {z } T 0 d: Constante parasita

UA (s) UR (s) − UB (s)

=

−

RI (RI CI s + 1) (RD CD s + 1) αRR R C s R C s+1 |{z} } | I{z I } | A {zD TI =RI CI

kp

J. Ram´ırez y E. Rosero

218

TD =RD

CD

GICI

´ DE CONTROL - PID 6.1. ACCION

Seguidor de Tensi´ on

RI CI

U*Rd

−

U’

IF

+

CD RA

Ra