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• Juan Andrade Tasende

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Tecnología Industrial II

Sistemas de control I.

Sistemas de control I. 1.INTRODUCCIÓN. 2.DEFINICIONES BÁSICAS. 3.SISTEMAS DE CONTROL.CLASIFICACIÓN. 4.SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO ABIERTO. 5.SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO CERRADO. 5.1.Tipos de sistemas de control en lazo cerrado. 6.ELEMENTOS COMPONENTES DE LOS SISTEMAS DE CONTROL. 7.VARIABLES DE UN SISTEMA DE CONTROL. 8.FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA. 9.DIAGRAMAS FUNCIONALES. 10.ESTABILIDAD DE UN SISTEMA DE CONTROL.

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1.INTRODUCCIÓN. Podemos decir que el concepto control abarca aquellas funciones que consisten en influir dentro de unos limites preestablecidos, en una o varias magnitudes pertenecientes a un determinado sistema basándose siempre en otras magnitudes distintas a las controladas. Como ejemplo más cotidiano consideremos la temperatura alcanzada por la placa de nuestra cocina; ésta depende directamente de la posición en la que se encuentra el mando selector de dicha placa. Bastará con variar su posición para que la temperatura que alcance la placa varíe. En este caso, la temperatura sería la magnitud que se pretende controlar y lo conseguimos con otra magnitud completamente distinta, como es la posición del selector. Por supuesto, la variación conseguida o el campo de influencia está limitado en un intervalo que comprende, en este caso, desde la temperatura del ambiente (con el selector en la posición de apagado), hasta la temperatura que puede entregar la resistencia conectada a su máxima potencia, es decir, con el selector en la posición máxima. Es fácil encontrar otro tipo de ejemplos como éste: la temperatura del agua doméstica, la velocidad alcanzada por un automóvil, etc.;también es sencillo percibir la importancia que pueden tener los conceptos de control dentro del proceso industrial. Encontraremos sistemas de control aplicados con distintas técnicas (eléctricas, electrónicas, mecánicas, hidráulicas, neumáticas, etc.). A pesar de la heterogeneidad de las técnicas, los fundamentos básicos son comunes a todas ellas. En este tema haremos un repaso por los fundamentos básicos de los sistemas de control. Comenzaremos por dar una serie de definiciones básicas, para después centrarnos en la definición de sistema de control, estableciendo posteriormente una clasificación de estos sistemas y desarrollando los esquemas de los tipos más importantes. Posteriormente, pasaremos al estudio de los elementos componentes básicos en los sistemas de control, así como de las variables implicadas en los mismos, para detenernos luego en el estudio de la función de transferencia. En relación con ella, se presentarán los esquemas típicos en diagramas de bloques, para deducir a partir de ellos dicha función. Terminaremos dando unas nociones sobre estabilidad en los sistemas de control y los métodos más utilizados para estudiarla. 2.DEFINICIONES BÁSICAS. Son fundamentales las siguientes: 1Planta Conjunto de componentes y piezas que van a tener un determinado objetivo. 2-Proceso Conjunto de operaciones que van a suceder y que tendrán un fin determinado. 3.-Sistema Conjunto de componentes que actúan juntos para realizar el control. 4.-Perturbaciones Señales indeseadas que intervienen de forma adversa en el funcionamiento de un sistema. Pueden ser internas (si se generan dentro de un sistema) o externas (si se generan fuera y constituyen una entrada). 5.-Entrada de mando Señal excitadora del sistema que es independiente de la salida del mismo. 6.-Selector de referencia Elemento que se coloca para tener una referencia, es la unidad que establece el valor de la entrada de referencia. Se calibra en función del valor deseado en la salida del sistema. 7.-Entrada de referencia Señal producida por el selector de referencia.

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8.-Unidad de control Unidad que reacciona con la señal activa para producir la salida deseada. Realiza el trabajo de gobernar la salida. 9.-Salida Cantidad que debe mantenerse en un valor fijado de antemano. Se considera la variable gobernada. 10.-Sistema de control en lazo abierto. Sistema en el que la salida no tiene influencia sobre la entrada. 11.-Elemento de realimentación Unidad que facilita medios para aumentar o disminuir la señal de salida. 12.-Señal activa Señal que es la diferencia entre la señal de entrada de referencia y la salida realimentada. 13.-Sistema de control de bucle o lazo cerrado Sistema en el que la salida afecta a la entrada, de tal manera que mantenga el valor de salida deseado. 3.SISTEMAS DE CONTROL. CLASIFICACIÓN. Un sistema es, como acabamos de decir, una combinación de componentes que actúan conjuntamente y cumplen un determinado objetivo. El concepto de sistema no está limitado a los sistemas físicos, sino que abarca también los sistemas biológicos, económicos, etc. Para representar un sistema se utiliza un rectángulo en el que las variables que actúan sobre el sistema, llamadas excitaciones o entradas, se indican mediante flechas que penetran en dicho rectángulo, mientras que las variables producidas por el sistema, llamadas salidas, se indican mediante flechas que salen del rectángulo:

El primer paso en el estudio de un sistema es obtener las relaciones que existen entre las salidas y las entradas, es decir, las ecuaciones siguientes: S1(t)=f[e1(t),e2(t),…] S2(t)=f[e1(t),e2(t),…] …

Sin embargo, en la práctica sólo interesa estudiar algunas de las salidas (normalmente una sola) y de todas las variables de entrada se considera aquella que actúa de una forma más directa sobre la variable de salida elegida, considerándose al resto de entradas como perturbaciones, las cuales, en estado estable, se considerarán como constantes, por lo que la expresión anterior se simplifica y queda en la forma siguiente: S(t) = f[e(t)]

Esta expresión corresponde normalmente a una ecuación diferencial de tipo lineal o no lineal, lo que da lugar a una división fundamental en el estudio de los sistemas de control, según sus componentes respondan como sistemas lineales o no lineales, Con estas premisas, podemos decir que un sistema de control es un conjunto de elementos o dispositivos que trabajando de la forma correcta nos permite gobernar, mediante una determinada acción de control, una variable de salida para que su valor sea el prefijado por nosotros.

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Existen diferentes tipos de sistemas de control, en función del criterio que utilicemos para clasificarlos. Así: a)En función de su origen tenemos: - sistemas de control realizados por el hombre, tales como un conmutador eléctrico, el termostato controlador de la temperatura de una sala, etc. -sistemas de control naturales o biológicos, tales como el sistema de control de la temperatura del cuerpo humano. -sistemas de control mixtos, en los que actúan tanto el hombre como determinados mecanismos, como en el caso de la persona que conduce un automóvil. b) En función de la forma de llevar a cabo el control, podemos distinguir entre: -sistemas de control en lazo abierto. -sistemas de control en lazo cerrado. -sistemas de control con modelo de referencia. -sistemas de control adaptativo. -sistemas de control con aprendizaje. c) Según el tipo de señales, tendremos -Sistemas de control de continua: Todos los elementos del sistema trabajan con este tipo de señales -Sistemas de control de alterna: Todos los dispositivos del sistema utilizan señales de corriente alterna. -Sistemas de control híbridos, que son aquellos que emplean tanto señales de continua como de alterna. d) Por lo que hace referencia a la forma en que se realizan las operaciones de control, se clasifican en: -Sistemas de control analógico. Aquellos en los que las señales tratadas y los dispositivos utilizados son del tipo analógico. -Sistemas de control por ordenador. Las señales son procesadas mediante un ordenador en el que se ha establecido un programa de funcionamiento. Es necesario que las señales analógicas medidas en el sistema se conviertan en digitales para que sean comprensibles por el ordenador. 4. SISTEMAS DE CONTROL DE LAZO ABIERTO. Los sistemas de control en lazo abierto son aquellos en los que la entrada o referencia es la única variable que ejerce una acción de control sobre el valor de la variable de salida, y, por consiguiente, el valor de la salida no ejerce ningún efecto sobre la acción de control. La variable que queremos controlar puede divergir considerablemente del valor deseado debido a la presencia de perturbaciones externas, por lo que en este tipo de sistemas interesa una buena calibración de los componentes que forman las diversas etapas, así como la inexistencia de dichas perturbaciones Los sistemas en lazo abierto responden al siguiente esquema:

Entrada

Elementos de control

Planta o Proceso

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Salida

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Un ejemplo típico de sistema de control en lazo abierto es el sistema para mantener constante la temperatura de una habitación. En sistema: -El operador actúa sobre la señal de mando (que en este caso es la temperatura deseada). Un componente del sistema de control, (el transductor), se encarga de transformar una determinada magnitud de entrada en otra de salida más adecuada para su manipulación (señal de referencia). -La señal de referencia pasa por un amplificador, y una vez amplificada actúa sobre el proceso para obtener la señal controlada, en este caso la temperatura que debe tener la habitación. En los procesos de lazo abierto tiene mucha importancia la variable tiempo (en nuestro ejemplo, el tiempo de funcionamiento de la caldera). Si, por ejemplo, las condiciones de temperatura exterior cambiasen, el sistema no tendría forma de saberlo y, por lo tanto, estaría funcionando el mismo tiempo y sin conocimiento de esta perturbación exterior, cuando en realidad tendría que actuar en función de que la temperatura exterior subiera o bajara. Los cambios exteriores significan perturbaciones en el sistema a nivel de Proceso en el diagrama anterior. Otros ejemplos de sistema de control en lazo abierto son el funcionamiento de una lavadora, tostadora de pan, puerta corredera automática o control de la velocidad en un motor derivación. 5. SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO CERRADO. Si en un proceso se presentan perturbaciones, resulta más conveniente cuantificar o referenciar la señal o variable controladora e intervenir en la cadena de mando para que la variable o señal controlada se parezca lo más posible a la señal de mando. Por ello es necesario realizar una realimentación de la variable de salida a la entrada. Este procedimiento se denomina control en lazo cerrado y por tanto, los sistemas de control en lazo cerrado en los que la acción de control depende tanto de la entrada de referencia como del valor instantáneo que toma la variable de salida. En otras palabras, un sistema de control en lazo cerrado implica el hacer uso del efecto realimentación de la variable de salida a la entrada del sistema, al objeto de reducir el error que pudiera producirse en la variable de salida por efecto de la aparición de perturbaciones en el sistema. La figura muestra esquemáticamente la relación entrada-salida de un sistema de control en lazo cerrado. Señal de entrada

Señal de salida

Señal de error

Elementos de control

Planta o proceso

Elementos de Realimentación

Un ejemplo de control en lazo cerrado es el control de la temperatura de una habitación mediante un termostato. Este elemento compara la temperatura indicada por el selector de referencia con la temperatura ambiente de la habitación, proporcionando en el caso de no ser iguales una señal activa que actúa sobre la caldera para ponerla en marcha hasta que las diferencias de temperaturas sean nulas.

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La adecuación de la variable controlada ante una variación de la señal de mando o una perturbación no es instantánea, requiere un tiempo determinado. La variación en función del tiempo de la variable controlada es de gran importancia para el diseño y dimensionado del sistema de regulación. Como ejemplos de sistemas de control en lazo cerrado, podemos citar: Mecanismo de llenado de una cisterna de agua, control del nivel de potencia de un reactor nuclear, los sistemas de control de nivel de líquidos...etc

5.1. Tipos de sistemas de control en lazo cerrado. Según las especificaciones de funcionamiento impuestas a los sistemas de control automático en lazo cerrado se designan a éstos con los siguientes nombres: 5.1.1. Servosistemas reguladores. Son sistema de control automático en lazo cerrado en los cuales el objetivo es que la variable de salida se mantenga constante frente a las perturbaciones exteriores. En este grupo podríamos citar, por ejemplo, los estabilizadores de rumbo para barcos y aviones, los estabilizadores de tensión, los reguladores de velocidad, etc. 5.1.2. Servosistemas de posición o servomecanismos. Sistemas de control automático en lazo cerrado en los que se desea que la variable de salida no permanezca constante, sino que siga continuamente los valores impuestos por la señal de referencia. En consecuencia, se puede decir que las mayores perturbaciones son las aplicadas al punto de referencia. 5.1.3. Sistemas de control con modelo de referencia. En ellos, se compara la salida del modelo con la salida de la planta y se utiliza la diferencia para generar las señales de control. El esquema de bloques de dicho sistema de control es el indicado a continuación:

5 .1.4.Sistemas de control adaptativo. Es un sistema que puede medir continuamente sus parámetros de funcionamiento de acuerdo con un índice de comportamiento dado, y modificarlos, en caso necesario, para que el funcionamiento sea óptimo. El diagrama de bloques de un sistema de control adaptativo es:

En este sistema se identifica la planta continuamente a intervalos de tiempo. Una vez que esto ha sido realizado se compara el índice de comportamiento con el óptimo y se toma una decisión basada en los datos para modificar la señal de control.

5.1.5. Sistemas de control con aprendizaje. Constituye un sistema de control al que se le ha "enseñado" la elección de control para cada situación ambiental. En consecuencia, es un sistema de control de un nivel superior al sistema de control adaptativo ya que no requiere la identificación

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del sistema, puesto que si éste experimenta la misma situación que aprendió previamente, la reconocerá y se comportará de forma óptima, sin necesidad de pasar por el proceso adaptativo.

6. ELEMENTOS COMPONENTES DE UN SISTEMA DE CONTROL. En los sistemas de control es necesario utilizar todo un conjunto de dispositivos tecnológicos que permitan realizar la función de control propuesta. Para representar todos los dispositivos mencionados se utiliza una representación llamada normalmente esquema de bloques, obteniéndose la disposición que recogemos a continuación: Señal de mando 3. Detector de error (comparador)

1. Generador del Valor referencia (Transductor)

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6. Elemento final de 7

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(Bloque Realimentación)

A la vista del esquema,los elementos básicos de un sistema de control(lazo cerrado) son los siguientes: 1. Generador del valor de referencia: es un dispositivo capaz de generar una señal de igual o de distinto tipo que la señal de salida del sistema que se quiere gobernar. Esta señal, relacionada directamente con el valor de salida, es la encargada de imponer el valor deseado en la salida. La señal de referencia suele ser de valor constante en el tiempo. La señal de referencia se aplica a un dispositivo llamado detector de error, al objeto de comparar su valor con el de la salida a través del lazo de realimentación. Las señales más utilizadas como variables de referencia suelen ser la tensión eléctrica, la presión neumática o una posición mecánica. La utilización de tales señales está basada en la facilidad con que se pueden comparar en el detector de error señales de tipo eléctrico, neumático o de posición. 2. Transductor de la señal de salida: consiste en un dispositivo capaz de medir en cada instante el valor de la magnitud de salida y proveer una señal proporcional a dicho valor. Normalmente todo transductor consta de dos partes diferenciadas: -El captador, llamado también sensor o elemento primario, cuya finalidad es captar directamente la magnitud medida (presión, nivel, temperatura, caudal, velocidad, posición, iluminación, etc.) al objeto de transformarla en otra magnitud de valor proporcional que normalmente es un desplazamiento lineal o angular. -El transmisor es la parte del transductor que tiene por finalidad transformar la magnitud vista por el captador, normalmente la variación de una magnitud eléctrica o neumática. Esta señal será la que se enviará al detector de error con el objeto de compararla con la señal de referencia. 3.El comparador (detector de error).Es el dispositivo encargado de comparar el valor de referencia con el valor medido de la variable a través del transductor de 7

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realimentación. El resultado de dicha comparación constituye el error de funcionamiento o desviación de la salida con respecto al valor previsto. Para realizar la comparación se utilizan diversos procedimientos tecnológicos según sea el tipo de señales a comparar. 4.El corrector de error es el dispositivo encargado de amplificar y modificar adecuadamente la señal de error que le proporciona el detector de error, con el fin de que la acción de control sobre el sistema sea más eficaz y presente mejores características de funcionamiento en cuanto a precisión, estabilidad, tiempo de respuesta y sobreoscilaciones. Para la realización de los correctores de error se utiliza normalmente la tecnología eléctrica o la neumática. 5. El amplificador de control(amplificador de potencia),cuyo objetivo es amplificar la seña vista por el corrector de error al objeto de que alcance un nivel suficiente par accionar el elemento final de control. Los amplificadores de control más utilizados suelen ser de tipo neumático, eléctrico y electrónico, tales como amplificadores magnéticos, amplificadores transistorizados, relés, tiristores, triacs, etc. 6. Elemento final de control o actuador. Es el dispositivo situado en un sistema de control cuyo objeto es modificar la variable de entrada del sistema controlado, la cual, actuando directamente, modifica la variable de salida para que tenga el valor deseado. Las variables de entrada más utilizadas suelen ser del tipo de intensidades de corriente eléctrica, caudal de líquido o vapor, par aplicado a un eje, etc. Como elementos finales de control se utilizan fundamentalmente los siguientes: servomotores eléctricos, hidráulicos y neumáticos, resistencias, etc. 7. El sistema controlado o planta Es el lugar donde se desea realizar una acción de control.(los actuadores irían acoplados a/en él) Por ejemplo, en un control de temperatura puede ser una habitación o un horno, etc. En un control de nivel será un tanque o un depósito. Las características del sistema a controlar dependen de sus dimensiones físicas, del tipo de materiales utilizados, del medio ambiente que le rodea, etc. 6. VARIABLES DE UN SISTEMA DE CONTROL Todo sistema e incluso todo elemento, está caracterizado por cuatro tipos diferentes de variables. A continuación las nombramos: 1. Las que influyen el sistema desde el exterior: • Variables de entrada o de excitación (pueden ser elegidas libremente). • Variables perturbadoras (no pueden ser controladas). 2. Las intrínsecas del sistema: • Variables de salida o respuesta del sistema. • Variables de estado: conjunto mínimo de variables del sistema, tal que, conocido su valor, en un instante dado, permiten conocer la respuesta del sistema ante cualquier señal de entrada o perturbación.

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La relación entre las variables que definen el comportamiento de un sistema lineal (variables de estado), da lugar a unas ecuaciones diferenciales, también llamadas ecuaciones de estado.

d n y (t ) d n−1 y (t ) d m x(t ) d m−1 x(t ) + a1 + .........an y (t ) = b0 + b1 + .........bm x(t ) a0 dt n dt n−1 dt m dt m−1 Y expresan la relación existente entre la señal de entrada y la señal de salida, siendo an y bm coeficientes deducidos de las variables de estado en los instantes de tiempo tn y tm Para saber la respuesta de un sistema es necesario resolver esta ecuación diferencial. Dada la complejidad de los sistemas de ecuaciones diferenciales que pueden surgir, de un determinado sistema, se opta por pasar del dominio temporal al dominio frecuencial, mediante transformadas, sustituyendo así, las ecuaciones diferenciales por ecuaciones algebraicas. Y para ello usaremos la conocida transformada de Laplace. En la tabla adjunta se representan algunas formas que toma la transformada de Laplace para algunas funciones características:

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7. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA. La función de transferencia permite definir el comportamiento de un sistema o de un elemento individual. La función de transferencia o respuesta en frecuencia se define como: Función de transferencia (G(s)) de un sistema o componente se define como el cociente de la transformada de Laplace de la señal de salida y la transformada de Laplace de la señal de entrada. C(s) G(s) = R(s) donde s, es la variable compleja de Laplace. La función de transferencia se obtiene transformando al dominio complejo la ecuación diferencial que caracteriza el comportamiento del sistema en el dominio temporal. (se pasa, por tanto, de una ecuación diferencial a una ecuación algebraica y vendrá dada por un cociente de polinomios N(s) y D(s) en el dominio de la variable compleja s de Laplace :

C ( s ) b0 .s m + b1.s m−1 + ........bm−1.s + bm N ( s ) G ( s) = = = R( s ) a0 .s n + a1.s n−1 + .......an−1.s + an D( s ) El denominador D(s) se conoce como Ecuación Característica, ya que incluye a través de sus coeficientes todas las características físicas de los elementos que componen el sistema. Las raíces, que son los valores para los que se hace cero la ecuación, determinan la estabilidad del sistema y la naturaleza de su respuesta para cualquier tipo de entrada. Un sistema lineal se dice que es estable cuando su respuesta a una entrada tiene un valor finito de reposo una vez desaparecida la señal de entrada, lo que equivale a decir que la respuesta en régimen permanente ha de tener un valor finito cuando el tiempo tienda a infinito (en otras palabras, un sistema es estable cuando mantiene su salida constante en un valor prefijado). Para que un sistema de regulación sea estable, las raíces de la ecuación característica o polos de la función de transferencia (valores para los que la función de transferencia se hace infinita) han de estar situados en el lado izquierdo del semiplano complejo de Laplace:

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9. DIAGRAMA FUNCIONAL O DE BLOQUES DE LOS SISTEMAS DE CONTROL. Una de las ventajas de la función de transferencia es la posibilidad de representar el comportamiento de cada uno de los componentes del sistema de control mediante un bloque funcional, caracterizado por su función de transferencia ,G(s). Un bloque funcional es un elemento que indica la función que realiza un dispositivo o componente en un sistema. El sistema queda así configurado como un conjunto de bloques unidos entre sí mediante flechas que indican el sentido de la circulación del flujo de la señal. La ventaja de los diagramas de bloques es que la función de transferencia del conjunto puede ser deducida a partir de las G(s) parciales, cuyo cálculo es más sencillo. Y será precisamente el tipo de ejercicios que veremos en Selectividad. Además de los bloques definidos mediante la función de transferencia, intervienen los comparadores o detectores de error, cuya misión es efectuar la suma o diferencia de las señales, según el signo que indiquen las entradas, como se ve por ejemplo en la figura siguiente:

Los detectores constituyen lo que se llama nudos del diagrama, es decir, intersección entre dos o más líneas de señal, dando lugar a una o más líneas de salida, del mismo valor. Dos casos particulares de nudos en los diagramas de bloques son los que denominamos: -Sumideros: nudos donde sólo convergen líneas de entrada y no hay señal de salida, se llaman sumideros:

-Fuente: nudos donde no hay líneas de entrada y sí de salida:

Por otro lado, existen una serie de combinaciones básicas de bloques según la forma de conexión. Entre las más habituales tenemos: a) Conexión en serie: Se caracteriza por que la señal de salida de un bloque constituye la entrada del siguiente: Y(s)

U(s)

V(s)

G1(s)

G2(s)

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Para obtener la función de transferencia global, se determina la función de cada bloque: Y(s) = G1(s) · U(s) V(s) = G2(s) · Y(s) = G1(s) · G2(s) · U(s) La función de transferencia total será: V(s) = G1(s) · G2(s) U(s) Por tanto, la función de transferencia de un circuito serie se obtiene multiplicando las funciones de transferencia de cada uno de los elementos. U(s)

V(s)

G1(s) · G2(s)

b) Conexión en paralelo: Al conectar elementos en paralelo, se debe disponer un nudo o punto sumador a la salida.

V1(s G1(s) U(s)

V(s) G2(s) V2(s

Como se puede observar, un punto de suma es el lugar del sistema de control en el cual confluyen varias señales, siendo la señal de salida el resultado de realizar una serie de operaciones matemáticas con las señales de entrada. Las funciones de cada bloque son las siguientes: V1(s) = G1(s) · U(s) V2(s) = G2(s) · U(s) Estas señales se suman y dan lugar a la variable de salida V(s): V(s) = V1(s) + V2(s) = G1(s) · U(s) + G2(s) · U(s) La función de transferencia total será la suma algebraica( es decir hay que tener en cuenta signos) de las distintas funciones de transferencia de cada uno de los elementos: V(s) = G1(s) + G2(s) U(s) 12

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U(s)

V(s) G1(s) + G2(s)

c) Conexión en anillo con realimentación directa Cuando hablamos de realimentación directa, aplicamos la señal de salida directamente al comparador, o lo que es lo mismo, la función de transferencia del lazo de realimentación es 1.El montaje sería el siguiente:

R(s)

U(s)

G(s)

V(s)

-,+

Las ecuaciones serían las siguientes: R(s) = U(s) - V(s) V(s) = G(s) · R(s) V(s) = G(s) · [ U(s) - V(s) ] = G(s) · U(s) - G(s) · V(s) V(s) + G(s) · V(s) = G(s) · U(s) V(s) · [ 1+G(s) ] = G(s) · U(s) La función de transferencia total en lazo cerrado con realimentación directa sería: G(s)

V(s) = U(s) U(s)

1(+ -)G(s)

G(s) 1(+,-) G(s)

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V(s)

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d) Conexión en anillo con realimentación a través de un segundo elemento Cuando hablamos de realimentación a través de un elemento, la señal de salida se compara con la de entrada una vez multiplicada por la función de transferencia del lazo de realimentación. Esta conexión requiere un montaje como el que se muestra a continuación:

En un sistema en lazo cerrado como éste, a la función de transferencia G(s) se la denomina función de transferencia directa, y a la función H(s) función de transferencia del lazo de realimentación. Las funciones correspondientes a cada elemento serían las siguientes: R(s) = U(s) – X(s) X(s) = H(s) · V(s) V(s) = G(s) · R(s) Sustituimos R(s) por su valor: V(s) = G(s) · [ U(s) – X(s) ] = G(s) · U(s) – G(s) · X(s) Sustituimos X(s) por su valor en la ecuación anterior: V(s) = G(s) · U(s) – G(s) · H(s) · V(s) V(s) + G(s) · H(s) · V(s) = G(s) · U(s) V(s) · [ 1+G(s) · H(s) ] = G(s) · U(s) La función de transferencia total de un sistema en lazo cerrado con realimentación a través de un elemento sería la siguiente: V(s)

G(s) =

U(s)

1 (+,- )H(s) · G(s)

El sistema equivalente sería el siguiente:

U(s)

G(s) 1(+,-)G(s) · H(s)

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V(s)

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e) Transposición de ramificaciones y nudos En el proceso de reducción de diagramas de bloques, a veces interesa transponer un punto de bifurcación. El punto de bifurcación, como su nombre indica, es un punto de un sistema de control del cual parten varias ramas y en cada una de ellas tenemos la misma señal.

V1(s) = G(s) · U(s) U(s) G(s) V2(s) = G(s) · U(s)

El sistema sería equivalente a: V1(s) = G(s) · U(s) G(s)

U(s)

G(s) V2(s) = G(s) · U(s) La transformación puede realizarse también en sentido inverso; esto resulta también válido para todas las demás transformaciones. Con los puntos de suma ocurre lo mismo. A veces interesa transponer un sumador hacia la derecha o hacia la izquierda:

U1(s)

V(s) G(s)

U2(s)

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El sistema equivalente sería: U1(s) G(s) V(s) U2(s) G(s)

Resumiendo, para simplificar un sistema de control se debe determinar la función de transferencia de los bloques agrupados en serie, paralelo o en anillo, y en ocasiones se deben transponer ramificaciones y nudos para que los sistemas queden con las agrupaciones comentadas anteriormente. 9. ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UN SISTEMA DE CONTROL Habíamos comentado que la estabilidad de un sistema de control queda determinada por la posición de los polos en el plano complejo: si éstos están situados en el semiplano de la parte real negativa, el sistema será estable. Pero si alguno de ellos se localiza en el semiplano de la parte real positiva, el sistema será inestable. Veamos cómo se puede abordar esto. La estabilidad de un sistema se determina por su respuesta a las entradas o perturbaciones. Un sistema estable es aquel que permanece en reposo a no ser que se excite por una fuente externa, y puede volver al reposo una vez que desaparezcan todas las excitaciones. Estabilidad de un sistema. Método de Routh. Este método da información acerca de la estabilidad absoluta de un sistema lineal invariable con el tiempo. El método comprueba si alguna de las raíces de la ecuación característica está en la región real positiva del plano s. También indica el número de raíces que están en dicha parte y en el eje imaginario. a0sn + a1sn-1 + a2sn-2 + ....an-1s + an = 0

Se escribe la ecuación característica:

Para que no existan raíces con parte real positiva es necesario, aunque no suficiente, que: a) Todos los coeficientes del polinomio tengan el mismo signo. b) Ninguno de los coeficientes sea nulo. Si se cumple la condición necesaria, los coeficientes de la ecuación se disponen en filas y columnas de la siguiente forma:

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donde an, an-1, an-2,...,a0 son los coeficientes de la ecuación característica. Los coeficientes A, B, C, ... se hallan de la siguiente forma:

La tabla se continúa hasta que la n-ésima fila esté completa. Cualquier fila se puede multiplicar o dividir por una constante positiva para simplificar los cálculos siguientes. El sistema será estable si los elementos de la primera columna de la tabla tienen el mismo signo. El número de cambios que existan es igual al número de raíces con partes reales positivas. Este método posee dos casos especiales que se han explicado con un ejercicio (ver los problemas 8 y 9).

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ANEXOS. Cálculo de la Función de Transferencia. Resolución de Diagramas funcionales o de bloques

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