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• Maciel Rodriguez

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Guerras del comercio minorista Sears, K Mart y Wal-Mart son los tres comercios minoristas líderes en Estados Unidos. Sears, desde hace mucho tiempo líder en dólares de ventas, comenzó a perder su ventaja a mediados de la década de 1980. La figura 6.30 es una gráfica de los ingresos de las ventas de mercancías (en miles de millones de dólares) de los tres minoristas entre 1983 y 1988. Aunque al parecer K Mart se acercaba a Sears, Wal-Mart hacia avances significativos en comparación con Sears y K Mart. Un analista cree que las ventas de Sears y K Mart aumentaban con un índice aproximadamente lineal durante este periodo y que las ventas de Wal-Mart aumentaban de manera cuadrática.

1. Usando los puntos de datos para 1984 y 1988, determine la función lineal de estimación S1=f(t), donde S1 es igual a las ventas anuales de Sears (en miles de millones de dólares) y t es el tiempo medido en años desde 1983.

m=

Y 2−Y 1 31.1−27.3 = X 2−X 1 5−1 m = 0.95

Y - Y1 = m (X - X1) Y – 27.3 = 0.95 (X – 1) Y – 27.3 = 0.95X – 0.95 S1 = f(x) = Y = 0.95X + 26.35 2. Empleando los puntos de datos para 1984 y 1988, determine la función lineal de estimación S2=g(t) para K Mart.

m=

27.3−22 5.3 = =1.33 5−1 4

Y - Y1 = m (X - X1) Y - 22 = 1.33 (X - 1) Y = 1.33X – 1.33 + 22 S2 = g(x) = Y = 1.33X + 20.67 3. Utilizando los puntos de datos para 1984, 1987 y 1988, determine la función cuadrática de estimación S3=h(t) para Wal-Mart. Coordena das (x,y) (1, 7) (4, 11.9) (5, 16)

Ecuación

a+b+c=7 16a + 4b + c = 11.9 25a + 5b + c = 16

ax2 + bx + c = y 25a + 5b + c = 16 16a + 4b + c = 16 9a + 4b + c = 4.1

16a + 4b + c = 11.9 a+b+c=7 15a + 3b + c = 4.9 3 (9a + b = 4.1) 15a + 3b =4.9

 

9a + b = 4.1 9(0.6166) + b = 4.1 b = -1.45 a+b+c=7 0.6 – 1.45 + c = 7 c = 7.85

27a + 3b = 12.3 15a + 3b = 4.9 12a = 7.4 a= 0.6166…

S3 = 0.6X2 – 1.45X + 7.85

4. Usando las funciones de estimación S 1, S2 y S3, proyecte que las ventas anuales para los años 1989 – 1995. S1 = 0.95X + 26.85

0.95(6) + 26.85 = 5.7 + 26.85 = 32.6 0.95(7) + 26.85 = 6.65 + 26.85 = 33.6 0.95(8) + 26.85 = 7.6 + 26.85 = 34.5 0.95(9) + 26.85 = 8.6 + 26.85 = 35.45 0.95(10) + 26.85 = 9.5 + 26.85 = 36.4 0.95(11) + 26.85 = 10.5 + 26.85 = 37.35 0.95(12) + 26.85 = 11.4 + 26.85 = 38.3 S2 = 1.33X + 20.67 1.33(6) + 20.67 = 28.65 1.33(7) + 20.67 = 29.98 1.33(8) + 20.67 = 31.31 1.33(9) + 20.67 = 32.64 1.33(10) + 20.67 = 33.97 1.33(11) + 20.67 = 35.3 1.33(12) + 20.67 = 36.63 S3 = 0.6X2 – 1.45X + 7.85 0.6(6)2 – 1.45(6) + 7.85 = 20.75 0.6(7)2 – 1.45(7) + 7.85 = 27.1 0.6(8)2 – 1.45(8) + 7.85 = 34.65 0.6(9)2 – 1.45(9) + 7.85 = 43.4 0.6(10)2 – 1.45(10) + 7.85 = 53.35 0.6(11)2 – 1.45(11) + 7.85 = 64.5 0.6(12)2 – 1.45(12) + 7.85 = 76.85

5. Empleando las funciones f(t) y g(t), estime el momento en que las ventas anuales para los años 1989 – 1995. 0.95X + 26.85 = 1.33X + 20.67 6.2 = 0.38X X=

6.2 0.38

X= 16.32 Año 1999 6. Usando las funciones f(t), g(t) y h(t), estime el momento en que las ventas anuales de Wal-Mart son equivalen a las de K Mart y Sears. 0.6X2 – 1.45X + 7.85 = 0.95X + 26.85 + 1.33X + 20.67 0.6X2 = 2.28X + 47.52 – 7.85 + 1.45X 0.6X2 = 3.73X + 39.67 0= 0.6X2 – 3.73X – 39.67

x=

−b ± √ b2−4 ac 2a

X=

−(−3.73 ) + √(−3.73)2 −4 (0.6)(−39.67) 2(0.6) X=

X1 =

X2 =

3.73+ √ 13.91+95.21 1.2

3.73+ √109.12 =¿ 1.2

3.73−√ 109.12 =¿ 1.2

3.73+10.45 14.18 = =11.82 1.2 1.2 3.73−10.45 =¿ 1.2

−6.72 =−5.17 1.2

X1: Año 1994 X2: Año 1978

7. Utilizando una referencia apropiada, observe los datos de las ventas anuales de Sears, K Mart y Wal-Mart y determine el error en las estimaciones asociadas con la parte 4 para 1989 y 1990. S1=0.95X + 26.35= 0.95 S2=1.33X + 20.67= 1.33 S3=0.6X2 - 1.45X + 7.85=1.2x – 1.45 S1+S2+S3: 1.2x – 0.83 F(x)=

1.2X + 0.83

Para 1989: X=6 ERROR = 1.2(6) +0.83= +/_8.03 Para 1990: X=7 ERROR= 1.2 (7) +0.83= +/-9.23

EJERCICIO EXTRA 1

Cencosud, Supermercados Peruanos e Hipermercados Tottus desarrollan en los últimos años dinámicos planes de expansión. Si bien la competencia es liderada por la propietaria de Wong y Metro, sus rivales no dejan de crecer y captan nuevos consumidores en ciudades de provincias, tal como se puede apreciar en la gráfica de los ingresos de ventas de mercaderías (en millones de soles) de los los tres comercios retail del 2003 al 2010. Supermercados Peruanos e Hipermercados Tottu mostraron una mayor expansión a fines de la década anterior. No se puede decir lo mismo de Censosud. A causa de su proceso de transferencia empresarial y de la crisis internacional, esta optó por reordenar sus planes de inversión, lo que llevó a que su participación en el mercado se redujera en el 2007. Aun así, mantiene

un

liderazgo

indiscutible

en

nuestro

medio,

seguido

por Supermercados

Peruanos e Hipermercados Tottus. Tanto Supermercados Peruanos (Plaza Vea) como Cencosud (Metro y Wong) han mantenido una tendencia estable desde el 2007 y mostraron un ligero repunte entre diciembre 2010 y setiembre 2011. Hipermercados Tottus también reanudaría su crecimiento en 2010. De acuerdo a lo que podemos ver en la gráfica, se puede determinar que las ventas del grupo Cencosud (Wong y Metro) y de Supermercados Peruanos (Plaza Vea) aumentan con un índice aproximadamente cuadrático durante este período (2003-2010) y que las ventas de Tottus aumentan de forma lineal.

Ventas de Supermercados 1400 1200 1034

1000

1108

895

800 645

604 600 400 306 200 1 051

752

723

626 402

292

287

82

123

166

197

4

5

3

824

602 338

2

1188

Hipermercados Tottus

323

6

380

7

453

8

Supermercados Peruanos (Plaza Vea)

Grupo Cencosud (Wong y Metro)

PREGUNTAS:

1.-Usando los puntos de datos para el 2004, 2009 y 2010, determine la función cuadrática de estimación S1=f(t) donde S1 es igual a las ventas anuales del Grupo Cencosud en millones de soles y t es el tiempo medido en años desde 2003. Coordenadas (1, 645) -- a + b + c = 645 (6, 1108) -- a + b + c = 1108 (7, 1188) -- a + b + c = 1188

6a + 6b + 6c = 3870 36a + 6b + c = 1108 -30a + 5c = 2762 252a + 42b + 7c = 7756 294a + 42b + 6c = 7128 -42a + c = 628 -30a + 5c = 2762 -210a + 5c = 3140 180a = -378 a = -2 * -42a + c = 628

-42(-2) + c = 628 c = 628 – 84 c = 544 * a + b + c = 645 -2 + b + 544 = 645 b = 103 S1 = -2X2 + 103X + 544

2.-Empleando los puntos de datos para el 2004,2009 y 2010, determine la función cuadrática de estimación correspondiente S2 =g(t) para Plaza Vea. (1, 292):

a + b + c = 292

(6, 1108): a + b + c = 723 (7, 1188): a + b + c = 824

6a + 6b + 6c = 1752 36a + 6b + c = 723 -30a + 5c = 1029

252a + 42b + 7c = 5061 294a + 42b + 6c = 4944 -42a + c = 117

-30a + 5b = 1029 -210a + 5b = 585 180a = 440 a = 2.5 *-42a + c = 117 -42(2.5) + c = 117 -105 + c = 117 c = 222 *a + b + c = 292 2.5 + b + 222 = 292 b = 292 – 222 – 2.5 b = 67.5

S2 = 2.5X2 + 67.5X + 222

3.-Utilizando los puntos de datos para 2004 y 2010, determine la función lineal de estimación S 3 =h(t) para Hipermercados Tottus.

m=

Y 2−Y 1 453−82 371 = = =62 X 2−X 1 7−1 6 Y-Y1 = m (X – X1) Y- 82 = 62 (X – 1) Y = 62X – 62 + 82 Y = 62X + 20 S3 = 62X + 20

4.-Usando las funciones de estimación S1, S2 Y S3, proyecte las ventas anuales para los años 2011 – 2016 2011 – 2016 S1 = -2X2 + 103X + 544 -2(8)2 + 103(8) + 544 = 1240 -2(9)2 + 103(9) + 544 = 1309 -2(10)2 + 103(10) + 544 = 1374 -2(11)2 + 103(11) + 544 = 1435 -2(12)2 + 103(12) + 544 = 1492 -2(13)2 + 103(13) + 544 = 1545 S2 = 2.5X2 + 67.5X + 222 2.5(8)2 + 67.5(8) + 222 = 922 2.5(9)2 + 67.5(9) + 222 =1032 2.5(10)2 + 67.5(10) + 222 = 1147 2.5(11)2 + 67.5(11) + 222 = 1267 2.5(12)2 + 67.5(12) + 222 = 1392 2.5(13)2 + 67.5(13) + 222 = 1522 S3 = 62X + 20 62(8) + 20 = 516

62(9) + 20 = 578 62(10) + 20 = 640 62(11) + 20 = 702 62(12) + 20 = 764 62(13) + 20 = 826

5.- Empleando las funciones f(x) y g(x), estime el momento en que las ventas anuales del Grupo Cencosud son iguales a los de Plaza Vea. S1 = S2 -2X2 + 103X + 544 = 2.5X2 + 67.5X + 222 0 = 4.5X2 – 35.5X - 322

x=

−b ± √ b2−4 ac 2a

X=

−(−35.5 ) + √ (−35.5)2 −4 (4.5)(−322) 2(4.5) X= X1 X2

35.5 ± 84 9 ¿ 13

¿−5.4

Al 13avo año: 2016

6.-Usando las funciones f(x), g(x) y h(t), estime los momentos en que las ventas del Grupo Cencosud equivalen a las de Plaza Vea y Tottus. S1 = S2 + S3 -2X2 + 103X + 544 = 2.5X2 + 67.5X + 222 + 62X + 20 0 = 4.5X2 + 26.5X - 302 X=

−26.5+ √( 26.5)2−4 (4.5)(−302) 2(4.5)

X=

−26.5+ √ 702+5436 9

X=

X=

−26.5+ √ 6138 9

−26.5+78.35 52 = =5.8=6 9 9 Al 6to año

7.- Utilizando referencia apropiada, observe los datos de las ventas anuales del Grupo Cencosud, Plaza Vea y Tottus y determine el error en las estimaciones asociadas con la parte 4 para el 2011 y 2012. S1 = -2X2 + 103X + 544 -2(2)2-1 + 103 + 544 = -4X + 103 S2 = 2.5X2 + 67.5X + 222 2.5(2)2 + 67.5 = 5X + 67.5 S3 = 62X + 20 = 62 S1 + S2 + S3 = -4X + 103 + 5X + 67.5 + 62 = X + 232.5

Para 2011: X = 8 Error = X + 232.5 8 + 232.5 =

± 240.5

Para 2012: X = 9 Error = X + 232.5 9 + 232.5 =

± 241.5

EJERCICIO EXTRA 2

El Ministerio de Transporte y Comunicaciones (MTC), publicó en el 2014, el número de líneas de telefonía móvil en el país, cifra que asciende a 31,8 millones. Las empresas Movistar y Claro

tienen el 93,5% y en en tercer lugar tenemos a Entel Perú. En el gráfico más abajo podemos apreciar el número de líneas de telefonía que cada una de esas empresas opera en el Perú. De acuerdo a lo que podemos ver en la gráfica, se puede determinar que el número de líneas de telefonía de las tres empresas aumentan con un índice aproximadamente lineal durante este período (2009-2014).

Líneas de telefonía según empresa operadora 2009-2014 Entél

Claro

Movistar

25,000,000 20,000,000

18,447,249

19,872,705

15,600,558 15,000,000 10,000,000 8,266,516

9,544,506

11,159,298

14,861,964 12,880,912

5,000,000 834,986 - 1

1,323,394

2

1,829,412

16,571,403

17,318,798

11,855,181

12,498,250

2,645,201

3,366,713

4

5

3

4,740,169

6

PREGUNTAS:

1.-Usando los puntos de datos para el 2010 y 2014, determine la función lineal de estimación S1=f(t) donde S1 es igual a al número de líneas de telefonía de Movistar (en millones) y t es el tiempo medido en años desde 2009.

m=

17 318798−18 447 249 −1128451 = =−282113 5−1 4 Y-Y1 = m (X – X1) Y- 18 447 249 = -282113 (X – 1) Y = - 282 113X + 18 729 362 S1 = -282 113X + 18 729 362

2.-Empleando los puntos de datos para el 2010 y 2014, determine la función lineal de estimación correspondiente S2 =g(t) para Claro.

m=

12 498250−9544506 2953744 = =738436 5−1 4 Y-Y1 = m (X – X1) Y- 9544506 = 738436 (X – 1) Y= 738436X – 738436 + 9544506 Y = 738 436X + 8806070 S2 = 738 436X + 8806070

3.-Utilizando los puntos de datos para 2010 y 2014, determine la función lineal de estimación S 3 =h(t) para Entel Perú.

m=

4740169−1323394 3416775 = =854194 5−1 4 Y-Y1 = m (X – X1) Y- 1323394 = 854194 (X – 1) Y- 1323394 = 854194X – 854194 S3 = 854194X + 469200

4.-Usando las funciones de estimación S 1, S2 Y S3, proyecte el número de líneas de telefonía que habrá para los años para los años 2015 y 2016  



S1 = -282 113X + 18 729 362 -282 113(6) + 18 729 362 = 17 036 684 -282 113(7) + 18 729 362 = 16 754 571 S2 = 738 436X + 8806070 738 436(6) + 880 6070 = 13 236 686 738 436(7) + 880 6070 = 13 975 122 S3 = 854194X + 469200 854 194(6) + 469 200 = 5 594 364 854 194(7) + 469 200 = 6 448 558

5.- Empleando las funciones f(x) y g(x), estime el momento en que el número de líneas de telefonía de Movistar es igual al número de líneas de telefonía de Claro. S1 = S2 -282 113X + 18 729 362 = 738 436X + 8 806 070

18 729 362 – 8 806 070 = 738 436X + 282 113X 9 923 292 = 1 020 549X X = 10 En el 2019

6.-Usando las funciones f(x), g(x) y h(t), estime los momentos en el número de líneas de telefonía de Movistar equivalen al número de líneas de telefonía de Claro y Entel. S1 = S2 + S3 -282 113X + 18 729 362 = 738 436X + 8 806 070 + 854 194X + 469 200 9 454 092 = 1 874 743X X=5 Año 2014 7.- Utilizando referencia apropiada, observe los datos del número de líneas de telefonía de Movistar, Claro y Entel y determine el error en las estimaciones asociadas con la parte 4 para el 2015 y 2016.

CONCLUSIÓN

BIBLIOGRAFÍA