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UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

ANALISIS CON LA MATRIZ DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD DE LA ESTRUCTURA DE UN EDIFICIO MULTIFAMILIAR DE TRES PISOS, UBICADO EN LA CALLE RIO PUTUMAYO S/N ASOCIACION DE VIVIENDA GARAGAY MANZANA S LOTE 4 UNIDAD 14 DEL DISTRITO SAN JUAN DE LURIGANCHO

Curso: ANALISIS ESTRUCTURAL II

Profesor: ING. HUGO SALAZAR CORREA

Presentado por: JEFFERSON PAREDES VASQUEZ TOMAS LECCA MEZA ALIPIO REYES RUBEN LOAYZA TAMAYO

Lima, Noviembre del 2011

Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

RESUMEN El presente trabajo se desarrolla con el objetivo de diseñar un edificio multifamiliar de departamentos de 4 pisos, ubicado en el distrito de San Juan de Lurigancho, en el departamento de Lima. Además el edificio posee un tanque elevado y una cisterna para agua debajo del primer nivel. El edificio se extiende sobre un área de 160.00 m2, en un suelo gravoso con características comunes al suelo típico de Lima y con una capacidad admisible de 2 kg/cm2 a una profundidad de cimentación de -1.40m. Todos los análisis y cálculos de diseño se hicieron de acuerdo al Reglamento Nacional de Edificaciones y a las distintas normas que lo componen. El sistema estructural empleado está conformado en dos direcciones perpendiculares por muros de corte y vigas, los cuales a su vez transmiten las cargas a la cimentación y ésta al suelo. Como consecuencia del análisis sísmico se han obtenido los desplazamientos y derivas máximas del edificio, encontrándose dichos valores dentro de los márgenes admisibles. Para la estructuración del edificio se hizo uso de losas aligeradas en una dirección, lo cual hizo posible la formación del diafragma rígido en cada piso del edificio. El análisis sísmico se hizo mediante el uso del programa SAP2000, con el cual se modeló el edificio y se aplicaron las fuerzas de sismo, obteniéndose así los valores de momentos y fuerzas cortantes correspondientes. Finalmente, para la cimentación se hizo uso de zapatas aisladas debido a la magnitud de las cargas de diseño y a las características del suelo.

INDICE GENERAL Página CAPITULO I

:

DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO

1. Características principales 2. Diseño del proyecto 3. Aspectos generales del diseño Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II 4. Datos de los materiales 5. Suelos y Cimentación a. Suelos b. Capacidad Portante c. Movimiento de Tierras d. Cimientos Corridos e. Zapatas, Vigas de Cimentación 6. Estructuras a. Techos b. Materiales 7. Albañilería 8. Revoques CAPITULO II

:

ESTRUCTURACIÓN

1. Criterios de estructuración: Generalidades 2. Criterios de estructuración: Caso particular del Edificio CAPITULO III

:

PREDIMENSIONAMIENTO DE ELEMENTOS PRINCIPALES

1. Predimensionamiento de Losas A. Losas Aligeradas B. Losas Macizas 2. Predimensionamiento de Vigas Peraltadas 3. Predimensionamiento de Columnas 4. Predimensionamiento de la Cisterna y Tanque Elevado 5. Predimensionamiento de las Escaleras CAPITULO IV

:

METRADO DE CARGAS DE ELEMENTOS PRINCIPALES

1. Generalidades 2. Metrado de Cargas 3. Peso Total de la Edificación CAPITULO V

:

ANÁLISIS SÍSMICO

1. Modelo estructural 2. Parámetros de Sitio A. Junta de Separación Sísmica CAPITULO VI

1. 2. 3. 4. 5.

:

DISEÑO DE VIGAS PERALTADAS

Análisis Estructural Diseño por Flexión Diseño por Corte Espaciamiento entre Estribos Empalmes por Traslape

Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II 6. Corte de Barras 7. Ejemplo de Diseño CAPITULO VII

:

DESARROLLO DE LA EDIFICACION SEGÚN EL METODO DE MATRIZ DE RIGIDEZ

1. Matriz de Rigidez 2. Características de la Matriz de Rigidez CAPITULO VIII

:

DESARROLLO DE LA EDIFICACION SEGÚN EL METODO DE LAA MATRIZ DE FLEXIBILIDAD

1. Matriz de Flexibilidad 2. Analizando la Estructura por Método de Flexilibilidad Pórtico ̅̅̅̅ 𝐴𝐴 CAPITULO IX

:

CONCLUSIONES

CAPITULO X

:

BIBLIOGRAFIA

CAPITULO XI

:

ANEXOS

CAPITULO I: DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO 1. Características Principales El proyecto que se describe a continuación es un edificio multifamiliar de 5 pisos cuyas principales características se detallan en el siguiente cuadro resumen: Proyecto Tipo de proyecto

Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

Trabajo Final Edificio Multifamiliar

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Área de terreno Área techada total Nro. de pisos Nro. de bloques Nro. de Dptos. Altura de piso Características

160.00 m2 342.00 m2 5 2 7 2.50 m 01 cisterna y tanque elevado.

El edificio se encuentra ubicado en un frente de 8.00m, teniendo un solo ingreso uno peatonal y otro vehicular. En los pisos la distribución es típica, son 2 departamentos por piso con las mismas características en todos. Los estacionamientos se encuentran fuera del área ocupados por los departamentos. En los pisos típicos, los departamentos se pueden agrupar en: 2 dormitorios, sala-comedor, cocina, lavandería, baño principal y un baño de visita, para el dúplex es en el primer nivel de, sala-comedor, cocina, lavandería, estudio y un baño de visita, en el 2do nivel 2 dormitorios, un cuarto de niño y dos baños. Posee una escalera de ingreso y en el techo del último piso se encuentran el tanque elevado, a los cuales se accede por medio de la escalera de emergencia. En lo que se refiere al diseño estructural, dadas las características arquitectónicas del edificio, éste se ha estructurado en base a pórticos formados por columnas y vigas. Así mismo se ha resuelto emplear losas aligeradas de 20 cm de espesor en todos los pisos. Los cálculos referentes al comportamiento del edificio bajo la acción de cargas verticales y horizontales provenientes de un sismo se hicieron a través del programa de cálculo de estructuras por elementos finitos Sap2000, el cual nos proporciona una mayor similitud de nuestro modelo de estructura con la realidad y de ésta manera obtener un diseño más eficiente que nos permitirá reducir los costos de construcción de la estructura al no estar sobrediseñada. 2. Diseño del Proyecto El diseño para éste proyecto está hecho en base al actual “Reglamento Nacional de Edificaciones” (RNE) el cual a su vez se divide en los siguientes capítulos de acuerdo a la etapa de diseño:     

Norma Norma Norma Norma Norma

E.020 E.030 E.050 E.060 E.070

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Cargas Diseño Diseño Diseño Diseño

Sismoresistente de Suelos y Cimentaciones en Concreto Armado en Albañilería

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3. Aspectos Generales del Diseño El diseño está hecho en base a las diferentes normas arriba mencionadas, así, de acuerdo con la norma E.060 el diseño que se hará será un Diseño por Resistencia, el cual es en esencia un diseño por estados límites y más precisamente por estados límites últimos desarrollados por cualquier elemento, éste método es aplicable a cualquier solicitación de fuerza como flexión, cortante, torsión, etc. Para que una estructura pueda soportar en forma segura las diferentes solicitaciones, se debe asegurar que en cada una de las secciones de sus elementos se cumpla1: Resistencia >= Efecto de Cargas Resistencia Suministrada o Proporcionada >= Resistencia Requerida Resistencia de Diseño>= Resistencia Requerida Para el diseño en concreto armado es necesario aplicar algunos factores de amplificación de cargas con el objetivo de reproducir una situación de carga extrema cuya probabilidad de ser excedida será baja, aquí se muestran los factores a tomar en cuenta: Factores de Carga para Diseño en C°A° - Norma Peruana 1.4 CM + 1.7 CV 0.9 CM + CSX 0.9 CM + CSY 1.25 (CM + CV) + CSX 1.25 (CM + CV) + CSY Donde: CM: Carga Muerta CV: Carga Viva CSX: Carga proveniente del sismo paralela al eje X CSY: Carga proveniente del sismo paralela al eje Y Asimismo, existen otros factores que sirven para reducir la resistencia nominal de las secciones con el objetivo de reproducir mejor las condiciones reales que presentan un gran número de incertidumbres relacionadas a los materiales, las dimensiones reales, diferencias con la modelación, tipos de falla, etc. Estos son: Factores de Reducción de Resistencia – Norma Peruana Solicitación Factor de Reducción Flexión 0.90 Tracción y Tracción + Flexión 0.90 Cortante 0.85 Torsión 0.85 Cortante y Torsión 0.85

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UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Compresión y flexo-compresión: Elementos con Espirales Elementos con Estribos Aplastamiento en el concreto Zonas de anclaje del post-tensado Concreto simple

0.75 0.70 0.70 0.85 0.85

4. Datos de los Materiales Resistencia del concreto Módulo de elasticidad del concreto Módulo de Poisson (u) Resistencia del acero en fluencia Módulo de elasticidad del acero

210 kg/cm2 15000 f’c = 217371 kg/cm2 0.15 4200 kg/cm2 2 000 000 kg/cm2

5. Suelos y Cimentación 5.1.- Suelos Los suelos son los típicos de Lima Metropolitana, constituidos por la existencia de material aluvial correspondiente al cuaternario actual, formados por el cono de eyección de las riadas costeras de la zona y como todo material aluvial de esta naturaleza, ofrece una estructura lentiforme, entrelazadas de depósitos superpuestos de gravas, arenas, limos, depositados por orden de sus densidades teniendo dimensiones variadas. 5.2.- Capacidad Portante La presión admisible de los suelos es de 2.00 Kg/cm2, lo que lo torna apto para la construcción al tener suficiente capacidad portante de edificación de esta naturaleza. 5.3.- Movimiento de Tierras Los lugares para la construcción deberán aclararse de obstrucciones superficiales, las excavaciones deberán corresponder a las disposiciones y elevaciones o niveles que se incluyen a los planos, con suficiente campo para la colocación y remoción de formas para la instalación de servicios y para la inspección. Los materiales excedentes que no sea requerido para rellenar y el material inadecuado deberán removerse y eliminarse del lugar. 5.4.- Cimientos Corridos Serán de concreto de mezcla cemento-hormigón 1:10 mezclado y batido con mezcladora mecánica durante un minuto por cada carga como mínimo, mas 30% del volumen de piedra de 6” tamaño máximo. El concreto podrá colocarse directamente en las excavaciones si encofrado cuando no existan posibilidades de derrumbe. Se humedecerán las zanjas antes de llenar los cimientos.

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Sobrecimientos: Llevarán sobrecimientos todos los muros, siendo sus dimensiones las indicadas en los planos correspondientes. Serán de mezcla cemento-hormigón 1:8 + 25% de piedras medianas de 3” de tamaño máximo. 5.5.- Zapatas, Vigas de Cimentación: f ′ c = 175 kg/cm2 f ′ y = 4200 kg/cm2

Concreto: Acero: 6.- Estructuras

Sistema estructural SISMORRESISTENTE según norma E-030 con pórticos de columnas y vigas combinados con muros de albañilería, conformada por zapatas, columnas, vigas, techo aligerado.

ESPECIFICACIONES: Concreto:

f ′ c = 210 kg/cm2

Reglamentos y normas:  Reglamento Nacional de Edificaciones  Manual de Normas de materiales ITINTEC  Manual de Normas del A.C.I.  Manual de Normas de A.S.T.M. Acero:

f ′ y = 4200 kg/cm2

6.1.- Techos Conformado por vigas portantes entre los ejes 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6 y 7-7 que soportan el peso de la casa aligerada y vigas de amarre entre los ejes, A - A, B - B Y C - C. Losa Aligerada.- Conformada por viguetas y ladrillo de techo de 0.30 x 0.30 x0.15 distribución del acero de acuerdo a los plano mostrados. Vigas.- Conformada por armadura de acero corrugado de grado 60 que deberán satisfacer las especificaciones particulares de la ASTM, en su última edición. La distribución del acero de acuerdo al plano mostrado.

Sobrecarga: 1o. 2o, 3o, 4o y 5o Piso Techo Escaleras

=

200 Kg/cm2 = 400 Kg/cm2 = 350 Kg/cm2

Recubrimientos: Vigas peraltadas y columnas Vigas Chatas Escaleras y aligerado

6.2.- Materiales:

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= 3 cm = 2.5 cm = 2.0 cm

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Cemento Portland: Se empleara cemento nacional tipo I, cuyas características satisfagan las especificaciones ASTM-C150 y deberán suministrarse, en el lugar de su empleo, en los envases originales de fabrica.

Agregado Fino: El agregado fino o arena estará constituido por partículas de material duro, resistente y durable, no recubiertas por ninguna sustancia oleaginosa, prácticamente libre de impurezas y material orgánicos. La arena no deberá contener más de 10% en peso de partículas de arcilla endurecida. Todo el material que pase la malla No 200 será considerado como polvo, cuyo porcentaje en peso no será mayor de 3%, para que la arena sea aceptable.

Agregado Grueso: Este consistirá de piedra triturada u otro material inerte de características similares. Debe estar formado por elementos duros y resistentes, durables y libres de sustancias oleaginosas, impurezas o material orgánico. No contendrá más del 1% en volumen de tierra, arcilla o polvo. Si fuera necesario se procederá a su lavado antes de emplearlo. El límite máximo del contenido de fragmentos de piedras blandas será del 2% en peso. Tendrá una adecuada granulometría comprendiendo elementos de diferentes tamaños, con un porcentaje de vacios del 30% al 55%. No más del 10% del volumen total de piedra pasara la malla de ¼”. La dimensión máxima de los elementos que forman el agregado grueso, no excederá en mas de 1⁄5 la menor dimensión entre los dados de los encofrados de los elementos estructurales donde se haya de emplear el concreto, ni será mayor que ¾ del mismo espacio libre entre las barras que forman el refuerzo.

Armadura: El refuerzo metálico será corrugado, de grado 60 y deberá satisfacer las especificaciones particulares de la ASTM, en su última edición.

Agua: El agua que se emplee en la fabricación del concreto será limpia, libre de aceites, ácidos, sales, materias orgánicas u otras sustancias nocivas.

Ensayo de Materiales: El ingeniero Inspector podrá ordenar el ensayo de los materiales que componen el concreto armado cuando lo crea conveniente; podrá también ordenar que se hagan ensayos del concreto para verificar si los materiales o métodos empleados en la preparación del mismo son adecuados para ese fin; también podrá ordenar que se someta a prueba de carga cualquier parte de la estructura cuando las condiciones en que se haya ejecutado dejen duda sobre su resistencia. El Ingeniero inspector conservara copas de los resultados de los ensayos realizados que le serán proporcionados por el contratista. 7.- Albañilería

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UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Se usara ladrillo fabricado industrialmente. Las unidades de albañilería solidas se usaran para muros portantes y las unidades tubulares (pandereta) para tabiquería. No se debe picar los muros para alojar las tuberías. El ladrillo no tendrá materias extrañas en sus superficies o en su interior, tales como guijarros, conchuelas o módulos de naturaleza calcárea. El ladrillo estará bien cocido, tendrá un color uniforme y no presentara verificaciones. Al ser golpeado con un martillo u objeto similar producirá u sonido metálico. El ladrillo no tendrá resquebrajaduras, fracturas, hendiduras o grietas u otros defectos similares que degraden su durabilidad o resistencia. El ladrillo no tendrá excesiva porosidad, no tendrá manchas o vetas blanquecinas de origen salitroso o de otro tipo. El valor mínimo de la resistencia característica o compresión axial de las unidades de albañilería f’m será de 35 Kg/cm2. Deberá utilizarse únicamente mano de obra calificada. El ladrillo será inmerso en agua potable inmediatamente antes del asentado.

Mortero: La propiedad fundamental para el mortero es la adhesividad con la unidad de albañilería; la cual tiene que cumplir con las siguientes propiedades: Para ser adhesivo, el mortero tiene que ser trabajable, retentivo y fluido El mortero debe prepararse con cemento, cal hidratada, arena y la máxima cantidad de agua posible con que la mezcla segregue. El agua proveerá trabajabilidad, la retentividad y fluidez, y el cemento resistencia. La trabajabilidad del mortero debe conservarse durante el proceso de asentado. Por esta razón toda mezcla que haya perdido trabajabilidad deberá reemplazarse. El espesor de las juntas no será mayor de 15 mm. La máxima altura a realizar en una jornada de trabajo no será mayor de 1.2 metros. 8.- Revoques Tartajeo terminado de muros. Se ejecutaran con mortero de cementos y arena de proporción 1:5, con un espesor mínimo de 1.5 centímetros. Se colocaran cintas de modo de obtener las superficies planas, picándose posteriormente dichas cintas. Sera ejecutado por operarios competentes de modo de obtener un acabado perfecto, listo para recibir la pintura. Los derrames de puertas y ventanas se alinearan a escuadra. Las aristas visibles de vigas y columnas deberán mostrarse también perfectamente delineadas.

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CAPITULO II: ESTRUCTURACIÓN La estructuración consiste en la adecuada distribución de los elementos estructurales, llámese columnas, placas, vigas, losas, etc., para que conformen la estructura del edificio de modo tal que éste pueda resistir las solicitaciones de peso, sismo u otro de la manera más adecuada y teniendo en cuenta la economía de su construcción, su estética, la funcionalidad y, lo más importante, la seguridad de la estructura. Una adecuada estructuración permitirá realizar un mejor modelo con el cual se conseguirá un análisis estructural más preciso, así también, debemos tener en cuenta que para ello una estructura debe ser lo más sencilla posible; de esta manera su modelo se realizará con mayor facilidad y exactitud. 1. Criterios de Estructuración: Generalidades

a. Simplicidad y Simetría Por este criterio tenemos que las estructuras más simples tendrán un mejor comportamiento frente a sismos, esto se debe a que al momento del diseño se puede predecir mejor el comportamiento de estructuras simples y, además, una estructura simple será mucho más fácil de idealizar que una estructura compleja que en muchos casos incluso se deben hacer simplificaciones en el modelo alejándonos de la realidad para su diseño. La simetría también es un tema importante, ya que mientras exista simetría en la estructura en ambas direcciones habrá una menor diferencia de posición entre el centro de masas y el centro de rigidez, lo que evitará que se produzcan fuerzas de torsión sobre el edificio, las cuales pueden incrementar los esfuerzos debidos al sismo hasta sobrepasar los esfuerzos resistentes, lo cual podría ser muy destructivo para el edificio.

b. Resistencia y Ductilidad La estructura de cualquier edificación debe tener una adecuada resistencia a cargas eventuales de sismo y cargas permanentes propias, la resistencia a cargas de sismo debe proporcionarse en al menos las dos direcciones ortogonales, para garantizar la estabilidad de la estructura. Debido a que las cargas de sismo son eventuales y de corta duración, la resistencia de la estructura podrá ser menor que las solicitaciones máximas de sismo, pero compensada con una adecuada ductilidad de sus elementos. Esta ductilidad de los elementos les permitirá a algunos entrar en la etapa plástica de sus esfuerzos, creándose rótulas plásticas que ayudarán a disipar mejor la energía sísmica. Además, teniendo en cuenta que el concreto es un material de naturaleza frágil, se debe dar una adecuada ductilidad a los elementos, tratando que

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UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II fallen primero dúctilmente, por ejemplo por flexión, y luego frágilmente, como por ejemplo por corte.

c. Hiperestaticidad y Monolitismo La hiperestaticidad de las estructuras mejora la capacidad resistente de una edificación frente a fuerzas sísmicas, ya que permite la formación de varias rótulas plásticas, las cuales a medida que se produzcan ayudarán a disipar la energía producida por el sismo. El monolitismo de la estructura reside en el hecho que toda la estructura debe trabajar como si fuera un solo elemento por ser de un mismo material.

d. Uniformidad y Continuidad de la Estructura La estructura debe mantener una continuidad tanto vertical como horizontal en toda la edificación, de manera que no se produzcan cambios bruscos de rigidez de los elementos para evitar concentraciones de esfuerzos.

e. Rigidez Lateral La rigidez lateral en una edificación ayuda a que ésta pueda resistir mayores fuerzas horizontales sin sufrir deformaciones importantes. Estas deformaciones son las que a menudo causan mayores daños a los elementos no estructurales generan mayor pánico en los usuarios de la edificación. Dado esto, es necesario que una estructura posea elementos verticales como muros o placas, los cuales pueden ser combinados con pórticos formados por columnas y vigas, que le den mayor rigidez lateral a la estructura.

f. Existencia de Diafragmas Rígidos Es necesario que las losas posean una gran rigidez axial en toda su extensión, para que su comportamiento sea realmente como el de un diafragma rígido, lo cual es una hipótesis que se toma como verdadera para el diseño y el análisis del edificio. Para tener en cuenta esto, es necesario que las losas no tengan muchos ductos o aberturas grandes que puedan provocar fallas en la losa durante el sismo, lo que pondría en riesgo su condición de diafragma rígido.

g. Influencia de Elementos No Estructurales Los elementos no estructurales deben ser tomados en cuenta durante la estructuración del edificio, ya que por ejemplo un tabique ubicado junto a una placa de concreto armado, aumentará la rigidez lateral en dicha placa y, por lo tanto, absorberá mayores esfuerzos que podrían sobrepasar los esfuerzos de diseño de la placa, lo cual podría originar su falla. 2. Criterios de Estructuración: Caso Particular del Edificio. Para nuestro caso la estructuración la hacemos considerando a cada elemento como se detalla a continuación:

a. Muros o Placas: Para estructurar nuestro edificio el primer paso a seguir es la identificación de la cantidad y el posicionamiento de los elementos verticales que se encuentran presentes en todos los pisos del edificio, ya Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II que éstos serán el soporte del edificio siendo los encargados de transmitir las cargas hacia el suelo. En la Figura 2.1 tenemos un plano del piso típico del edificio ya estructurado, podemos observar en color magenta los muros que se repiten a lo largo de todos los pisos, los cuales serán los apoyos principales. En este caso solamente los muros serán los transmisores de carga vertical ya que este edificio no posee columnas.

b. Vigas: Adicionalmente a los muros tenemos vigas, la mayoría de las cuales sirven de unión entre muro y muro haciendo las veces de amarre entre los elementos verticales, pero además existen otras vigas cuya importancia es mayor, ya que además de servir de amarre resisten cargas importantes provenientes de las losas. Estas vigas al ser de mayores dimensiones (sobretodo longitud), ayudarán también al comportamiento del edificio de manera que trabajen como pórticos frente a solicitaciones sísmicas. Así podemos observar en la Figura 2.1 las vigas en los ejes A, B y C las cuales por sus características y ubicación ayudarán a mejorar el comportamiento de la estructura frente a sismos u otra solicitación de carga lateral.

c. Losas Otro elemento estructural de gran importancia son las losas o techos del edificio, éstos, para nuestro edificio en estudio, son losas aligeradas, las cuales fueron elegidas de acuerdo a algunos criterios que se irán comentando más adelante. Las losas sirven de amarre a toda la estructura y su funcionamiento nos asegura un comportamiento de diafragma rígido más uniforme para la estructura, al permitir que todos los elementos de un mismo nivel se desplacen en la misma dirección. En nuestro edificio se ha dispuesto el uso de losas aligeradas en una dirección, tratando en su mayoría que sean continuas de modo que la carga sobre éstas se reparta mejor y tenga un mejor comportamiento estructural. Podemos observar en la figura 2.1 la manera como se han dispuesto las losas aligeradas en una dirección (la flecha dibujada indica la dirección de armado).

d. Otros Elementos: También existen otros elementos cuya estructuración cabe ser mencionada, como son el tanque elevado, las escaleras y la cisterna. Para nuestro caso tanto el tanque elevado se ubica en el techo del último piso, en ambos casos su estructura estará formada por los elementos Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II verticales como son los muros y vigas de gran peralte, que en conjunto formarán las paredes de los mismos. Ambos poseerán una losa maciza de piso y techo. Para el caso del tanque elevado se debe tener en cuenta las cantidades de acero mínimo ya que al trabajar en contacto con el agua no deberá tener ninguna rajadura. Las escaleras son elementos cuya estructuración y diseño es de suma importancia por ser una vía de evacuación, sin embargo, éstas serán diseñadas sólo para cargas verticales, ya que su rigidez es muy pequeña comparada con la de las placas que la sostienen. Podemos agregar que la escalera trabaja como una losa maciza inclinada y su diseño se hará como tal.

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ELEVACION PRINCIPAL

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8.20

3.77

1.30

.50

2.60

.80

.90

3.00

.90

.80

2.45

.80

15.75

1.00

3.35

1.00

1.30

3.95

.80

4.18

4.18

PLANTA ESTRUCTURAS 1ERO AL 5TO PISO

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3.77

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

8.20

3.77

4.18

3.77

1.41

1.26

1.50

1.43

2.60

1.59

1.68

1.93

2.02

4.18

PLANTA ESTRUCTURAS VIGAS PRINCIPALES

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5.85

15.75

7.55

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.75

PLANTA ESTRUCTURAS VIGAS SECUNDARIAS

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1.25

.75

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3.62

At=14.50 m² C1(25x45)

15.75

3.98

PLANTA ESTRUCTURAS PREDIMENSIONAMIENTO DE UNA COLUMNA

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4.38

CR

3.98

8.52

7.75

CM

PLANTA ESTRUCTURAS UBICACION DEL CENTRO DE MASA "CM" UBICACION DEL CENTRO DE RIGIDEZ "CR"

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2.50 .15

2.60

.20

2.50

.20

13.75

.20

2.50

.20

2.50

.20

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P ROP IETARIO:

OB RA:

TITULO:

ESC ALA: FEC HA: DIS EN O: DIB UJ O:

CORTE

CAPITULO III: PREDIMENSIONAMIENTO DE ELEMENTOS PRINCIPALES Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

LAM IN A:

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El predimensionamiento de elementos nos sirve como un punto de partida sobre el cual definiremos las dimensiones de los elementos estructurales, ya sean vigas, columnas, placas, losas, etc. Este predimensionamiento es sólo una base para las dimensiones de los elementos, por lo tanto, éstas deberán ser afinadas o reajustadas de acuerdo a las solicitaciones reales de carga luego de haber realizado los cálculos correspondientes para completar el diseño final de la estructura. Las fórmulas que se darán a continuación provienen de la experiencia de muchos ingenieros, por lo que han sido transcritas a la norma peruana de edificaciones como recomendaciones para una buena estructuración. Estas ecuaciones tendrán mejores resultados para situaciones de edificaciones con cargas moderadas o regulares teniendo en cuenta los casos más comunes de edificaciones, por lo tanto, no servirán para casos extremos de cargas o estructuras especiales. 1. Predimensionamiento de Losas A. Losas Aligeradas Para el predimensionamiento de losas aligeradas continuas se puede partir de la premisa que especifica la Norma Peruana de Concreto Armado E.060 en su capítulo 10.4.1.1, en el cual, dada la configuración de un techo aligerado formado por viguetas de 10 cm de ancho, bloques de ladrillo de 30x30 cm con distintas alturas (según el espesor del aligerado) y con una losa superior de 5 cm, el espesor total de la losa puede estimarse como la luz libre dividida por 25, siempre y cuando las luces sean menores que 7.5 m y la sobrecarga aplicada sobre dicho aligerado sea menor que 300 kg/m2. Estas consideraciones se cumplen para no tener que verificar deflexiones al ser éstas imperceptibles; además, en el caso de existir tabiques, se deberán tomar consideraciones especiales de refuerzo o el uso de vigas chatas si el tabique se encuentra paralelo a la dirección del aligerado, el cual no es nuestro caso por lo que aplicaremos el espesor total de la losa puede estimarse como la luz libre dividida por 20, siempre y cuando las luces sean menores que 4 m Dado lo anterior, para nuestro caso la mayor luz libre existente es del orden de 4.07 m en el paño comprendido entre los ejes B, C, 1 y 7, para lo cual tendríamos:

h=

1 2𝑂

h=

407 𝑐𝑚 20

h = 20.35cm

Por lo tanto, requerimos una losa aligerada de al menos 20 cm de espesor. Se puede usar mayores espesores para aminorar posibles efectos de vibración

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UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II sobre la losa, que puedan causar incomodidad a los ocupantes, esto sobretodo en el caso de estacionamientos cuando el predimensionamiento de la losa está al límite por tratarse de cargas móviles. B. Losas Macizas Como criterio práctico y basado en la experiencia, se estima para predimensionamiento del espesor de las losas macizas que éste sea igual a la luz libre dividida por 40 ó también el perímetro del paño dividido por 180.

h=

1

h = 40

240 𝑐𝑚 40

h = 6 cm ó

h=

𝑝 180

h=

800 𝑐𝑚 180

h = 4.4 cm En ambos casos el espesor de losa requerida es de 6 cm a su vez muy pequeña.

y 4.4 cm, el cual es

Para el tanque elevado la losa de piso será también de 20 cm de espesor para soportar sin problema el peso del agua, sin embargo, para el techo se puede reducir a una losa de 15 cm ya que no poseerá carga alguna más que su propio peso. 2. Predimensionamiento de Vigas Peraltadas El predimensionamiento de las vigas también se hace en base a criterios basados en la experiencia, según los cuales podemos considerar un peralte del orden de un décimo a un doceavo de la luz libre, dicho peralte incluye la losa del piso o techo. En cuanto al ancho de la viga, éste no debe ser menor a 25 cm según la Norma Peruana E.060 y puede variar entre el 30% y 50% de la altura del peralte para el caso de pórticos o elementos sismo-resistentes, se podrán tener menores espesores en el caso de vigas que no formen pórticos. Para nuestro caso, la mayor luz libre corresponde a la viga típica VP cuya luz libre es del orden de 3.95 m, para la cual predimensionando tendremos:

𝐼 14

=

𝐼 12

3.95 14

ó

3.95 12

>h

0.28 cm_ó_0.33 cm > h Por lo tanto, la viga VP tendrá un peralte de 0.40 m y una base de 0.25 (62.5% del peralte) con lo cual no cumplimos con el predimensionamiento de las vigas, por homogeneidad todas las demás vigas tendrán las mismas

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UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II dimensiones ya que con éste peralte cumplimos con la altura mínima de 2.10 m, POR LO QUE SE PUEDE DECIR QUE LAS VIGAS SE ENCUENTRAN SOBREDIMENSIONADAS. 3. Predimensionamiento de Columnas Debido a su propia configuración éste edificio posee columnas, todos los elementos verticales son columnas o muros de concreto armado sobre los cuales descansarán las vigas y losas de cada techo. Para el predimensionamiento de columnas, es difícil establecer un número ya que mientras mayor sea la cantidad de columnas la estructura podrá resistir mayores fuerzas sísmicas, lo cual aliviará los esfuerzos sobre los pórticos (en el caso existiesen). 4. Predimensionamiento de la Cisterna y Tanque Elevado Para el predimensionamiento de la cisterna y del tanque elevado debemos hallar primero la dotación mínima necesaria de agua para este edificio, así mismo, para una combinación de cisterna, bomba de elevación y tanque elevado se requiere una capacidad de cisterna igual a las tres cuartas parte de la dotación total diaria de agua para el edificio, y de la tercera parte para el tanque elevado. La dotación necesaria de agua de este edificio de acuerdo con el Reglamento Nacional de Edificaciones está relacionada con la cantidad de dormitorios por departamento que hay, esto es, para un departamento de 2 dormitorios se requieren 850 litros de agua. Para nuestro edificio hacemos el siguiente cálculo:

1er Piso Piso típico

Dptos. 2 dorm. 1x850 2x850

 pisos 1 4

Total 3250 6800 10050 lt/día

Por lo tanto, tenemos para el tanque elevado: Volumen: 1/3 * 10050 = 3350.00 lt Área destinada promedio: 3.75 m2 Altura de agua: 3.350/3.75 = 0.89 m. Altura de tanque elevado: 0.89 + 0.50 (alt. libre) = 1.39 m. Para la cisterna: Volumen: 3/4 * 10050 = 7537.5 lt Área destinada: 4.186 m2 Altura de agua: 7.5375/4.186 = 1.8 m. Altura libre de la cisterna: 1.80 + 0.50 (alt. libre) = 2.30 m. 5. Predimensionamiento de las Escaleras

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UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II De acuerdo con el Reglamento Nacional de Edificaciones para el predimensionamiento de escaleras se debe asegurar que la suma del paso y dos veces el contra-paso no sea mayor a 64 cm, por lo tanto tendremos: Altura de piso: 2.60 m. Nro. de contra-pasos: 15 Altura de contra-pasos (CP): 2.30/13 = 0.173 m. Ancho de paso (P): 0.25 m.

Por lo tanto: P+2CP = 25+2*17.3 = 59.6 cm 0.125

2.5/8 = 0.3125 > 0.125

C = 2.5 ( Tp / T )

OK CUMPLE

C < = 2.5

Parametros

Valores

Descripcion

Z U S Rx = Ry Tp hn Ct T C calculado C asumido P ( Tn ) V ( Tn )

0.40 1.30 1.20 8.00 0.60 11.40 60.00 0.19 7.89 2.50 436.73 85.16

Zona 3 (Chi cl a yo ) Edi fi ca ci on pa ra Centro Educa tivo Suel o Intermedi o (S2) Es tructura Conforma da Por Porticos Fa ctor que depende de "S" Al tura total de l a edi fi ca ci on (mts ) Coefi ci ente pa ra es tima r el peri odo funda mental Peri odo funda mental de l a es tructura Coefi ci ente de a mpl i fi ca ci on s i s mi ca Coefi ci ente de a mpl i fi ca ci on s i s mi ca Pes o total de l a edi fi ca ci on Fuerza cortante en l a ba s e de l a es tructura

Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II DISTRIBUCION DE LA FUERZA CORTANTE EN ALTURA

PISO 1 2 3 4

Pi

hi

92.16 113.24 113.24 118.10

Pi x hi 3.60 6.20 8.80 11.40

Pi x hi / ∑ (Pi x hi)

331.79 702.06 996.48 1,346.30

436.73

Fi

0.098 0.208 0.295 0.399

Vi 8.35 17.71 25.12 33.98

3,376.63

85.16

CORTANTE BASAL CORTANTE BASAL VIGA PRINCIPAL (YY) CORTANTE BASAL VIGA SECUNDARIA (XX) PISO

Fi(XX)

1 2 3 4

33.98

Fi(YY)

1.39 2.95 4.19 5.66

2.78 5.90 8.37 11.33

33.98

25.12

59.10

17.71

76.81

8.35

85.16

Fuerzas Inerciales ( Fi )

Fuerzas Cortantes ( Vi )

CALCULO DE LAS EXCENTRICIDADES ACCIDENTALES Ex =

0.05 X 7.95 =

0.40

mts

Ex =

0.05 X 15.36 =

0.77

mts

Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

85.16 76.81 59.10 33.98

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

CENTRO DE MASAS FINAL Xmi =

3.97

mts

Ymi =

7.68

mts

Xmf =

4.37

mts

Ymf =

8.45

mts

CALCULO DE MASAS TRASLACIONALES Y ROTACIONALES.

Piso

Largo (m)

Ancho (m)

1 2 3 4

15.36 15.36 15.36 15.36

7.95 7.95 7.95 7.95

Peso

Peso Total (Tn)

Masa Traslacional (Tn.seg2/m)

Masa Rotacional (Tn.seg2.m)

118.10 113.24 113.24 92.16

12.04 11.54 11.54 9.39

300.09 287.74 287.74 234.19

436.73

44.52

1,109.75

Parámetros

Valores

Descripción

Z U S Rx = Ry Tp hn Ct T C calculado C asumido

0.40 1.30 1.20 8.00 0.60 11.40 60.00 0.19 7.89 2.50

Zona 3 (Chi cl a yo ) Edi fi ca ci on pa ra Centro Educa ti vo Suel o Intermedi o (S2) Es tructura Conforma da Por Porti cos Fa ctor que depende de "S" Al tura tota l de l a edi fi ca ci on (mts ) Coefi ci ente pa ra es ti ma r el peri odo funda menta l Peri odo funda menta l de l a es tructura Coefi ci ente de a mpl i fi ca ci on s i s mi ca Coefi ci ente de a mpl i fi ca ci on s i s mi ca

Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

T

C

0.00 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 2.00 3.00 4.00

2.50 2.50 3.00 2.50 2.14 1.88 1.67 1.50 0.75 0.50 0.38

A. Junta de separación sísmica Es el espacio físico de separación que debe haber entre dos edificaciones para evitar que estas choquen entre sí durante un movimiento sísmico, este espacio (s) deber ser el mayor de los siguientes: s = 2/3 de la suma de los desplazamientos máximos de los bloques adyacentes. s > 3 cm. s = 3 + 0.004 (1260 - 500) cm (h es la altura a la que se calcula el valor de s) Para nuestro caso, el primer criterio no es aplicable ya que no poseemos información sobre las posibles edificaciones contiguas a la nuestra por lo que sólo revisaremos los dos últimos. Para el último el valor para h es 12.60 m por lo que: s= 6.04. Finalmente, el valor de la junta de acuerdo con la norma E.030 será no mayor a los 2/3 del desplazamiento real calculado ni menor a s/2, La junta de separación será de 6.04 cm ≈ 6 cm.

CAPITULO VI: DISEÑO DE VIGAS PERALTADAS Para el diseño de las vigas se debe hacer un diseño por flexión y por corte, pero adicionalmente éstas se deberán diseñar teniendo en cuenta las fuerzas de sismo que actúan sobre la estructura, razón por la cual se consideran las cinco combinaciones de carga para determinar los esfuerzos de diseño. Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

1. Análisis Estructural Para el análisis de vigas se debe considerar las condiciones de apoyo y la continuidad de las mismas, tanto para las condiciones iniciales de diseño como para posibles condiciones de redistribución de momentos. Dados los orígenes sísmicos de las fuerzas, en el diseño de vigas se busca que como consecuencia de la ocurrencia de un sismo fuerte, la viga pueda tener una falla dúctil o progresiva y no una falla repentina o frágil que pueda afectar a los ocupantes de la edificación. Una vez aplicadas las cinco combinaciones de diseño se procede a generar la curva que represente a todas éstas combinaciones, llamada también envolvente, con la cual se procederá al diseño tanto por flexión como por corte. 2. Diseño por Flexión Antes de proceder con el diseño se debe tener en cuenta los valores extremos de acero a colocar. Por ejemplo el refuerzo mínimo por flexión debe tener una cuantía de acero no menor a 0.24% para concreto con f’c= 210kg/cm2 y acero con fy= 4200kg/cm2, y el refuerzo máximo debe ser el 75% de la cantidad de acero necesario para producir la falla balanceada. Una vez hallados los límites para el acero, procedemos a hallar la cantidad de acero necesaria en función a los momentos obtenidos de la envolvente de acuerdo a las cargas que actúan sobre la viga. Para esto procedemos a hallar el valor de Ku de acuerdo a la siguiente relación: 𝑲𝒖 = donde:

𝑀𝑢 𝑏𝑑2

Mu: momento último de diseño b: ancho de la viga d: peralte efectivo de la viga (peralte total menor – 6 cm.)

Con éste valor hallamos la cuantía (ρ) relacionada en la tabla de Ku en función a la resistencia del concreto y acero utilizados. Luego la cantidad de acero necesaria será: As =  x b x d La cantidad de acero (As) a usar en el diseño deberá estar en función a los distintos diámetros de acero o sus combinaciones disponibles en el mercado. 3. Diseño por Corte De igual manera al diseño por flexión, para el diseño por corte se empieza por obtener los resultados del análisis estructural de las fuerzas cortantes Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II últimas obtenidas de la envolvente de cortantes a una distancia “d” (peralte efectivo) de la cara de la viga o placa adyacente. Luego, la resistencia al corte de la viga estará en función de la sección de concreto de la viga y del espaciamiento del acero de refuerzo transversal que se considere en el diseño. Para hallar la resistencia nominal de la viga al corte tenemos las siguientes fórmulas tanto para el acero como para el concreto: Acero:

𝐴𝑣 . 𝑓𝑦 . 𝑑 ∅𝑽𝒔 = ∅ 𝑥 ( ) 𝑠

Concreto:

∅𝑽𝒄 = ∅(0.85 𝑥 0.53 𝑥 √𝑓 ′ 𝑐 𝑥 𝑏 𝑥 𝑑

Entonces:

∅𝑽𝒏 = ∅𝑉𝑠 + ∅𝑉𝑐

donde:

Vn: resistencia nominal al corte Vs: resistencia del acero transversal al corte Vc: resistencia del concreto al corte Av: área de acero del refuerzo transversal d: peralte efectivo de la viga s: espaciamiento del refuerzo transversal b: ancho de la viga d: peralte efectivo de la viga (h – 6 cm.)

En el caso de vigas sismoresistentes como por ejemplo las que se encuentran entre elementos de gran rigidez, el refuerzo por corte debe ser mayor que el asociado al cortante generado en el mecanismo de falla por flexión (rótulas plásticas en los extremos), de manera que se asegure que la viga falle primero por flexión (falla dúctil) que por corte (falla frágil). Para esto tenemos la siguiente expresión:

𝑽𝒖𝒊 = donde:

𝑀𝑛𝑖 + 𝑀𝑛𝑑 + 𝑉𝑢 (𝑖𝑠𝑜𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜) 𝐼. 𝑛

Mni y Mnd: momentos nominales reales a flexión de la viga ln: luz libre de la viga.

4. Espaciamiento entre Estribos: El espaciamiento máximo entre estribos para una viga que recibe cargas sísmicas es el siguiente: Para la zona de confinamiento, que comprende una longitud igual a dos veces el peralte de la viga, tenemos: el 1er estribo a 5 cm de la cara de la viga o placa adyacente, los demás a 0.25 veces el peralte efectivo, 8 veces el Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II diámetro de la barra longitudinal ó 30 cm, el que sea el menor. Fuera de la zona de confinamiento, los demás estribos tendrán un espaciamiento máximo de 0.5 veces el peralte efectivo. 5. Empalmes por Traslape Los empalmes por traslape se deben ubicar siempre en las zonas con menores esfuerzos. Por ejemplo, en vigas que no absorben cargas de sismo, las zonas menos esforzadas son el tercio central del tramo para el refuerzo superior, y los tercios laterales para el refuerzo inferior. Para el caso de vigas que soportan esfuerzos por sismo los traslapes se harán fuera de la zona ubicada a “d” de la cara del nudo. En casos de zonas de inversión de esfuerzos, los traslapes deberán quedar confinados por estribos cerrados espaciados en no más de 16 veces el diámetro de las barras longitudinales, sin exceder de 30 cm. La longitud de los empalmes “m” se determina de acuerdo al tipo de empalme (A, B o C) y al diámetro de la barra de acero. Así tenemos: Valores de m en metros Refuerzo Refuerzo inferior superior H cualquiera H < 30 H > 30  3/8’’ 0.40 0.40 0.45 1/2'’ 0.40 0.40 0.50 5/8’’ 0.50 0.45 0.60 3/4'’ 0.60 0.55 0.75 1’’ 1.15 1.00 1.30 Representándolo gráficamente los empalmes se harán de la siguiente manera:

6. Corte de Barras En cuanto al corte o doblado del refuerzo, la norma E.060 menciona ciertas consideraciones, entre éstas se tienen: Todas las barras que anclen en columnas extremas deberán terminar en gancho estándar. Por lo menos 1/3 del refuerzo por momento positivo deberá prolongarse dentro del apoyo, cumpliendo con el anclaje requerido. Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II El refuerzo por momento negativo en un elemento continúo o en voladizo, o en cualquier elemento de un pórtico, deberá anclarse en, los elementos de apoyo por longitudes de anclaje, ganchos o anclajes mecánicos. El refuerzo que llega hasta el extremo del volado terminará en gancho estándar. También se deben cumplir con las disposiciones ya mencionadas para el diseño por flexión. El corte del refuerzo longitudinal se hace en base al diagrama de momentos flector, aquí un ejemplo de corte:

Todas las barras que anclen en columnas extremas o placas terminarán en gancho estándar siempre y cuando la longitud de desarrollo en tracción (Ldg), medida desde la sección crítica hasta el borde exterior del doblez, sea mayor que 318db/f’c., 8db ó 15 cm. Barra

12Db

Ldg

8mm

10

18

3/8’’

12

21

1/2'’

15

28

5/8’’

20

35

3/4'’

25

42

1’’

32

56

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UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

CAPITULO VII: DESARROLLO DE LA EDIFICACION SEGÚN EL METODO DE MATRIZ DE RIGIDEZ 1. Matriz de Rigidez: 1.1. Relación entre Q – q: Dado un pórtico cualquiera como por ejemplo el de la figura que se muestra en el cual se han definido un sistema de coordenadas Q - q. Se va a establecer una relación entre el vector de cargas generalizadas Q y el vector de desplazamientos generalizados q.

Figura 1. Sistema Q - q La relación entre Q y q se consigue por medio de la matriz de rigidez K de la siguiente manera:

Q = K q … (1) Se ha establecido una relación lineal entre Q y q. Esto implica lo siguiente: Que el material cumple con la ley de Hooke en sus tres dimensiones. Que las deformaciones son pequeñas, entonces se podrá aplicar la teoría de los desplazamientos infinitésimos.

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UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II No existe interacción entre los efectos axiales y de flexión en los elementos. Es decir se estudia la teoría de primer orden. Cuando se cumple con los tres requisitos indicados se dice también que la estructura es linealmente elástica o que trabaja en el rango elástico y se puede aplicar el principio de superposición. En la ecuación (1) se tiene que la matriz de rigidez es de orden (n x n), donde n es el número de grados de libertad de la estructura. Si Q es un vector de n filas y q es otro vector de n elementos la ecuación (1) puede escribirse de la siguiente manera:

De donde un término cualquiera Qi es igual a:

Qi Ki1 q1 Ki2 q2 .... .... Kn qn

Al examinar esta última ecuación se observa que Ki1, por ejemplo, es el valor de la carga Qi correspondiente al estado de desplazamiento q1 =1 y qi=0 i. Es decir Ki1 es el valor de Qi en la deformada elemental q1. La expresión anterior puede escribirse de la siguiente manera:

Qi ∑𝑛𝑗=1 𝐾 𝑖𝑗 𝑞 𝑗 En general se tendrá que un elemento cualquiera Kij es el valor de la carga generalizada Qi correspondiente a la deformada elemental qj. Para el pórtico plano de la figura 1 se tiene que la matriz de rigidez K es de ( 7 x 7 ). La notación de los grados de libertad de la figura 1 es la que se ha venido utilizando en el libro y se seguirá utilizando sin embargo es necesario que el lector conozca que se puede numerar los grados de libertad considerando como grado de libertad a los apoyos aunque sea este empotramiento y en este caso se tendrá la notación indicada en la figura 2.

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Fig ura 2. Sistema Q - q

Figura 3. Estructura Inestable

En estas condiciones la matriz de rigidez es de (12 x 12) y es singular, por consiguiente su determinante es igual a cero. El rango de la matriz K es 9. Esto significa que en la relación (1) no se consiguen 12 ecuaciones independientes sino únicamente nueve ya que tres son dependientes y estas son:

Estas se han obtenido haciendo equilibrio es decir:

En resumen, el pórtico de la figura 2 si tiene matriz de rigidez ya que es posible construir las respectivas deformadas elementales y encontrar el sistema de cargas generalizadas correspondiente. Lo que no es posible obtener es que su determinante sea diferente de cero. Su determinante es cero. Conviene utilizar el sistema de coordenadas de la figura 2 cuando se tienen desplazamientos en los apoyos. Por otra parte al estudiar la estructura indicada en la figura 3 constituida por elementos totalmente flexibles se observa que la matriz de rigidez es de (10x10) pero el rango de la misma es 9. Esto se debe a que hay una ecuación dependiente.

Las estructuras de las figuras 2 y 3 son inestables. 2. Características de la Matriz de Rigidez: Las principales características de la matriz de rigidez en estructuras estables, son las siguientes: Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

1. El valor del determinante es diferente de cero y positivo por consiguiente K es regular. 2. Los términos de la diagonal son todos positivos. 3. La matriz es cuadrada. 4. K es simétrica con respecto a la diagonal. Para demostrar esta última característica se va a calcular la matriz de rigidez en la estructura de la figura 4, compuesta por elementos totalmente flexibles.

Figura 4. Sistema Q - q Para el presente configuración:



ejemplo

la

matriz

de

rigidez

tendrá

la

siguiente

Primera columna de la matriz de rigidez

Figura 5. Elementos de la primera columna de K. Sistema A. Las fuerzas necesarias para producir la deformada de la figura 5 son K11 fuerza horizontal en el nudo B, K21 fuerza vertical en el nudo B y K31 momento en el nudo B. Estas cargas se determinan utilizando la teoría de estructuras que se verá posteriormente. 

Primera columna de la

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matriz de rigidez

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

Figura 6. Elementos de la segunda columna de K. Sistema B. De igual forma K12, K22 y K32 son las cargas necesarias aplicadas en el nudo B para tener la deformada elemental q2. Para obtener los elementos de la tercera columna de K se procede en forma similar en la deformada elemental q3. El problema que se tiene es demostrar que la matriz de rigidez K es simétrica, para lo cual basta con demostrar que la fuerza K12 es igual a la fuerza K21. Aplicando el teorema de E. Betti se tiene que el trabajo virtual de las fuerzas que actúan en el sistema A de la figura 5 sobre los desplazamientos del sistema B mostrado en la figura 6, TVA- B. Es igual al trabajo virtual de las fuerzas que actúan en el sistema B sobre los desplazamientos virtuales del sistema A, a este trabajo virtual se denomina TVB-A.

Como se tiene que TVA-B = TVB-A se concluye que K12 = K21 que era lo que se quería demostrar. Finalmente debe indicarse que la matriz de rigidez transforma los desplazamientos en cargas y para que esto exista los desplazamientos deben ser independientes. CAPITULO VIII: DESARROLLO DE LA EDIFICACION SEGÚN EL METODO DE MATRIZ DE FLEXIBILIDAD 1. Matriz de Flexibilidad: 1.2. Relación entre q

- Q:

Ahora se desea establecer una expresión lineal para las coordenadas generalizadas q que contiene desplazamientos y giros en función de las cargas generalizadas Q que contiene momentos y fuerzas, mediante la matriz de flexibilidad F , la misma que será de orden ( n x n ) siendo n el número de grados de libertad de la estructura. Dicha relación es:

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q = F Q … (2) Nótese nuevamente que se está considerando que el modelo es lineal es decir es válido para el rango elástico. Al desarrollar la ecuación (2) se tiene:

De donde un término cualquiera qi es igual a:

Expresando en forma de sumatoria se tiene:

Por consiguiente fij es el valor de la coordenada qi que corresponde al estado de cargas Qj = 1 y Qi = 0 i j. La primera columna de la matriz de flexibilidad será el vector de coordenadas q para el estado de cargas Q1 = 1 y las demás nulas. Para la segunda columna de F habrá que encontrar el vector q para el estado de cargas Q2 = 1 y las restantes nulas, etc. De tal manera que los elementos de la matriz de flexibilidad tienen unidades de desplazamientos y giros. La matriz de flexibilidad F existe únicamente en estructuras estables. Por lo tanto no existe matriz de flexibilidad para las estructuras indicadas en las figuras 2 y 3. Al aplicar el teorema de los efectos recíprocos de Maxwel que dice: En una

estructura linealmente elástica, el desplazamiento i debido a una fuerza unitaria j es igual al desplazamiento correspondiente j debido a una fuerza unitaria i o qij = qji. Al desplazamiento i se le llama grado de libertad i. Mediante este teorema se puede demostrar que la matriz de flexibilidad es simétrica.

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UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Por otra parte todos los términos de la diagonal son positivos. Finalmente se indica que si q = F Q es indispensable que el vector Q sea independiente. 2.- Analizando La Estructura Por Método de Flexibilidad Pórtico ̅̅̅̅ 𝐀𝐀 𝑬 = 15000√𝑓𝑐 fc = 210 E = 15000√210 E = 217 370 kg⁄cm2 E = 2173 tn 𝒃. 𝒉𝟑 𝟏𝟐 Dimensión: Columna : 0.25 x 0.45 Viga : 0.25 x 0.45 3 0.25 . (0.45) I= 12 I = 0.0 m4 𝑰=

Grado de Hiperestaticidad: 9 - 3=6 Determinar Redundantes: Apoyo B y C

BLOQUE 1

BLOQUE 2 W =1.4CM +1.7CV = 0.556 Ton/m2

W =1.4CM +1.7CV = 0.556 Ton/m2

11.33

W =1.4CM +1.7CV = 0.897 Ton/m2

W =1.4CM +1.7CV = 0.897 Ton/m2

2.60

CM = 0.3 Ton/m2 CV = 0.08 Ton/m2

8.37

W =1.4CM +1.7CV = 0.897 Ton/m2

W =1.4CM +1.7CV = 0.897 Ton/m2

2.60

CM = 0.41 Ton/m2 CV = 0.19 Ton/m2

5.90

W =1.4CM +1.7CV = 0.897 Ton/m2

W =1.4CM +1.7CV = 0.897 Ton/m2

2.60

CM = 0.41 Ton/m2 CV = 0.19 Ton/m2

2.78

3.60

CM = 0.41 Ton/m2 CV = 0.19 Ton/m2

Ax

Q1 Ay

Az

Q4 Q2

3.95

Q3

PORTICO SECUNDARIO EJE A-A

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Q5 3.35

Q6

2.45

3.00

2.60

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II 1.2.3.4.-

G.H= 6 Redundante en el apoyo Eje 4 y Eje 5: Q1, Q2, Q3, Q4, Q5, Q6 Q = F −1 |DQ − DQL| Solución de incógnitas en la estructura original (No hay Desplazamientos)

DQ2 DQ2 D = DQ3 DQ4 [DQ5 ] 6x1

=

0 0 0 0 [0] 6x1

Para el cálculo del DQL aplicamos la expresión del desplazamiento: 𝑑𝑥 𝐸𝐼 5.- Se crea una estructura libre (se amarra el bloque A) Cuando prima las deformaciones por flexión 𝐷𝑄𝐿 = ∫ 𝑀𝑢 .

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UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

BLOQUE 1 M

N

Ñ

J

K

L

G

H

I

D

E

F

2.60

11.33

2.60

8.37

2.60

5.90

3.60

2.78

DQL3

B DQL1

3.95

PORTICO SECUNDARIO EJE A-A

Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

DQL5

DQL2

A

DQL6

3.35

C DQL4

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

Q1 = 1 M

Ñ

J

K

L

G

H

I

D

E

F

B

C

Q2 = 1 M

N

Ñ

J

K

L

G

H

I

D

E

F

B

C

Q1

A

Q3 = 1 M

Ñ

J

K

L

G

H

I

D

E

F

A

B

C

2.60

N

2.60 2.60 3.60

3.60

3.60

2.60

2.60

2.60

2.60

2.60

2.60

N

A Q2

3.95

3.35

PORTICO SECUNDARIO EJE A-A

Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

3.95

PORTICO SECUNDARIO EJE A-A

3.35

3.95

Q3

PORTICO SECUNDARIO EJE A-A

3.35

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

Q4 = 1

Q5 = 1 N

Ñ

J

K

L

G

H

I

D

E

F

A

B

M

N

Ñ

J

K

L

G

H

I

D

E

F

A

B

Q4

C

N

Ñ

J

K

L

G

H

I

D

E

F

A

B

C

2.60

M

2.60 2.60 3.60

3.60

3.60

2.60

2.60

2.60

2.60

2.60

2.60

M

Q6 = 1

C Q5

3.95

3.35

PORTICO SECUNDARIO EJE A-A

Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

3.95

PORTICO SECUNDARIO EJE A-A

3.35

3.95

PORTICO SECUNDARIO EJE A-A

3.35

Q6

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

TABLA DE DISTRIBUCION DE MOMENTOS PARA EL CALCULO DE LA MATRIZ DE FLEXIBILIDAD ELEMENTO AD

ORIGEN A

LIMITE 0-3.60

M 2

(-2.78*3.60)-WEDX /2 - WEFX2/2 2

M -10.008-0.897X2 2

μ1

μ2

μ3

μ4

μ5

μ6

M*μ1 2 -36.0288 -3.2292 X

3.6

3.95

1

3.6

3.95

1

3.6

X

1

3.6

X

1

-1.6146 X

0

1

3.6

0

0

0

2

ED

E

3.35-7.30

-WEDX /2

-0.4485X

BE

B

0-3.60

0

0 -0.4485X2

X 0

0

1

3.6

X

1

0

0

0

0

X

0

1

0

2.6

3.95

1

2.6

3.95

1

-39.884 -2.3322 X

2

FE

F

0-3.35

-WFEX /2

CF

C

0-3.60

0

DG

D

3.60-6.20

(-5.90*2.60)-WGHX /2 - WHIX2/2

0 -15.34-0.897X2

HG

H

3.35-7.30

-WHGX2/2

-0.4485X2

2.6

X

1

2.6

X

1

-1.1661 X

EH

E

3.60-6.20

0

0 -0.4485X2

X

0

1

2.6

0

0

0

0

0

1

2.6

X

1

0 -21.762-0.897X2

0

0

0

X

0

2

2

IH

I

0-3.35

-WIHX /2

FI

F

3.60-6.20

0

GJ

G

6.20-8.80

2

(-8.37*2.60)-WJKX /2 - WKLX2/2 2

2

KJ

K

3.35-7.30

-WKJX /2

-0.4485X

HK

H

6.20-8.80

0

0 -0.4485X2

LK

L

0-3.35

-WLK2/2

IL

I

6.20-8.80

0

JM

J

0 2 8.80-11.40 (-11.33*2.60)-WMNX /2 - WNÑX2/2 -29.458-0.556X

NM

N

3.35-7.30

-WNMX2/2

KN

K

8.80-11.40

0

2

Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

0 2

-60.593 -3.54315 X

-1.6146 X

0 2

3

-15.34 -0.897 X

0

3.95

1

2.6

3.95

1

2.6

X

1

2.6

X

1

-1.1661 X

X

0

1

2.6

0

0

0

0

0

1

2.6

X

1

0

0

0

0

X

0

1

0

2

X

1

-0.7228 X

X

0

1

2.6

0

0

0

0

0

1

2.6

X

1

0

0

0

0

X

0

1

0

-0.4485 X

-0.4485 X

2

-1.1661 X

0

0

0

-0.4485 X

0 2

3

-0.4485 X

0

0

3

-0.4485 X

-0.4485 X

2

-0.4485 X

0 2

2

-60.593 -3.54315 X -0.4485 X

2 -1.1661 X

3

-0.4485 X

2

M*μ6 2

2

0 2

3

2 -15.34 -0.897 X

-0.4485 X

2

0

0

3 -0.4485 X

2 -0.4485 X

0 0 0 0 2 2 2 2 2 X X X X -85.9599 -3.54315 -21.762 -0.897 -56.5812 -2.3322 -85.9599 -3.54315 -21.762 -0.897 X

0

-76.5908 -1.4456 X

2.6

-0.4485 X

2

-39.884 -2.3322 X

2 -56.5812 -2.3322 X

2.6

M*μ5

0 2

0

1

0

-0.4485 X

0

1

X

0

0

2

0

2.6

8.80-11.40

0

0

-0.278X2

L

0

0

1

LÑ

-1.6146 X

0

3.95

-WÑNX /2

2

2 -0.4485 X

2.6

0-3.35

-0.4485 X

0

1

Ñ

3

-0.4485 X

2

M*μ4

-1.1661 X

3.95

ÑN

M*μ3

2 2 2 2 2 -39.5316 -3.54315 X -10.008 -0.897 X -36.0288 -3.2292 X -39.5316 -3.54315 X -10.008 -0.897 X

2

2.6

0 -0.278X2

2

M*μ2

-116.3591 -2.1962 X

2

-1.1661 X

0 2

-29.458 -0.556 X

3

-0.4485 X

0

0

3

-0.4485 X

-0.4485 X

2

-0.4485 X

0 2

0 2

-76.5908 -1.4456 X -116.3591 -2.1962 X

3

-0.278 X

2

-0.7228 X

0

0

0

-0.278 X

2

0

-0.278 X

2

-0.7228 X

0

0

0

2

2

2

2

0 2

2 -29.458 -0.556 X

3

-0.278 X

0

0

3

-0.278 X

0

0

-0.278 X -0.278 X

2

2

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II 6.- Con los datos obtenidos. Hallamos la Matriz de Flexibilidad con la siguiente expresión: 𝐿

𝐹𝑚 𝑥 𝑛 = ∫ 𝑢𝑚 . 𝑢𝑛 . 0 L

L

dx

𝑑𝑥 𝐸𝐼

dx

F11 = ∫0 u1 . u1 . EI ∫0 u2 EI L

F21 = ∫ u2 . u1 0 L

F31 = ∫ u3 . u1 0

. . . Y así sucesivamente Quedando la siguiente Matriz después de la integración:

Ver Cuadro Anexo N1

7.- Calculando la redundante con los datos obtenidos. DATOS DQ1 DQ2 DQ3 DQ4

= = = =

0 0 0 0

DQL1 DQL2 DQL3 DQL4

= = = =

-499.76 -1196.9 -187.67 -5326.4

F11 1644.7 F21 89.953 F31 34.725 F41 94.36

F12 F22 F32 F42

89.953 130.86 31.31 89.953

DQ5 DQ6

= =

0 0

DQL5 DQL6

= =

-889.74 -165.36

F51 89.953 F61 18.973

F52 F62

123.68 F53 91.475 F63

E= I= Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

DATOS: 2173 Tn 0.00190

F13 F23 F33 F43

34.725 31.31 14.108 36.242

F14 F24 F34 F44

36.751 F54 9.8417 F64

94.36 F15 89.953 F25 36.242 F35 229.29 F45

89.953 123.68 36.751 105.46

F16 F26 F36 F46

18.973 91.475 9.8417 46.205

105.46 F55 168.85 F56 46.205 F65 36.751 F66

36.751 12.605

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

SABEMOS: Q = F-1 |DQ - DQL|

-1 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6

6x1

F11 F21 F31 F41 F51 F61

F12 F22 F32 F42 F52 F62

F13 F23 F33 F43 F53 F63

F14 F24 F34 F44 F54 F64

F15 F25 F35 F45 F55 F65

F16 F26 F36 F46 F56 F66

6x1

F11 F21 F31 F41 F51 F61

F12 F22 F32 F42 F52 F62

F13 F23 F33 F43 F53 F63

F14 F24 F34 F44 F54 F64

F15 F25 F35 F45 F55 F65

F16 F26 F36 F46 F56 F66

=

x

6x6

DQ1 DQ2 DQ3 DQ4 DQ5 DQ6

DQL1 DQL2 DQL3 DQL4 DQL5 DQL6

-

6x1

6x1

-1 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6

=

=

6x1

1644.6951 89.95281 34.724708 94.359576 89.95281 18.973144

89.9528103 130.8555452 31.31041457 89.9528103 123.6761376 91.47524331

Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

34.72470783 31.31041457 14.10804884 36.24217151 36.75122481 9.841697299

94.3595757 89.9528103 36.2421715 229.2907 105.459119 46.205072

x

6x6

89.95281 123.67614 36.751225 105.45912 168.85003 36.751225

0 0 0 0 0 0

-

6x1

-1 18.97314403 91.47524331 9.841697299 x 46.20507197 36.75122481 12.60512955 6x6

DQL1 DQL2 DQL3 DQL4 DQL5 DQL6

6x1

499.759 1196.89 187.673 5326.43 889.738 165.36 6x1

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6

=

6x1

0.0006402 6.393E-05 -0.001578 -1.96E-06 -6.14E-06 -0.000171

6.39277E-05 -0.001577532 -1.958E-06 -6.14E-06 -0.00017085 -0.00032687 0.000219103 -0.0022991 -0.001912 0.016108071 0.000219103 0.202401418 -0.014621 -0.03197 -0.01043911 x -0.00229912 -0.014620994 0.00734729 6.451E-05 0.000983112 -0.00191238 -0.03196995 6.451E-05 0.0159834 -0.00798881 0.016108071 -0.010439112 0.00098311 -0.007989 -0.00946723 6x6

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6

=

6x1

0.056278 -11.60214 -70.58951 33.858032 4.9517354 13.798061 6x1

CAPITULO IX: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES CONCLUSIONES:



Del análisis las fuerzas internas, como dmf, dfc, dfa y desplazamiento estos valores obtenidos del análisis estático fueron mayores de los valores obtenidos del análisis dinámico.



Los valores obtenidos del estáticos salieron mayores la del dinámico ya que el método estático es muy conservador en su análisis

Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

499.759 1196.89 187.673 5326.43 889.738 165.36 6x1

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II 

Las derivas obtenidas de ambas direcciones (xx , yy) por estos dos métodos de análisis salieron mayores que nos permite la norma sismo resistente e030 que es 0.007 para edificios de concreto armado

RECOMENDACIONES:

 Para poder controlar los desplazamientos y derivas, hay que ubicar placas en ambas direcciones para dar rigidez lateral a la edificación.  Hay que tener presente y mucha consideración en la ubicación de las placas, ya que el centro de masa y rigidez deben estar en los más cercano posible, evitar que la excentricidad entre ellas sea lejana ya que podría ocasionar falla rotacional de la edificación.  Las vigas secundarias se consideraron del mismo vigas principales para tratar de darle uniformidad aportar rigidez a la edificación esto permite que del análisis en ambas direcciones se aproximen cumplan con la que nos permite la norma e030.

peralte que de las a las edificación y la deriva obtenida de igual valor y

En este trabajo se presentaron dos metodologías para identificar matrices de rigidez de estructuras aporticadas, a partir de mediciones experimentales con expresiones de fácil implementación computacional. La información experimental requerida es una frecuencia modal y su respectiva forma modal.

Los métodos de reajuste de matrices de rigidez y flexibilidad a partir de los valores de masa y de la obtención de una frecuencia junto con sus valores modales, son de fácil aplicación y solamente requieren de una multiplicación de matrices para la obtención de los términos que conforman las matrices buscadas; los mismos fueron aplicados a un sistema, probando su eficiencia, aun para condiciones de rigidez y masa extremas.

Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Los métodos de ajuste de valores de rigidez y flexibilidad representan un primer paso para la estimación de estos parámetros en estructuras civiles. La aplicación de los mismos es de utilidad en la identificación y corrección de modelos estructurales, sistemas sometidos a variaciones con respecto a su configuración inicial y particularmente en estructuras que hayan sufrido daños por eventos de carácter eventual, en especial sismos.

CAPITULO X: BIBLIOGRAFIA

1. “Estructuración y Diseño de Edificaciones de Concreto Armado”, Antonio 2. Blanco Blasco. Libro 2 de la colección del ingeniero civil – Colegio de 3. Ingenieros del Perú, año 1997. 4. “Apuntes del Curso Concreto Armado 2”, Antonio Blanco Blasco. 5. Pontificia Universidad Católica del Perú, año 2006. 6. “Diseño de Estructuras de Concreto Armado”, Teodoro Harmsen. 7. Pontificia Universidad Católica del Perú 3ra Edición, año 2002. 8. “Ingeniería Sismoresistente”, Alejandro Muñoz Peláez. 9. Pontificia Universidad Católica del Perú, año 2006. 10. “Apuntes del Curso Concreto Armado 1”, Gianfranco Ottazzi Pasino. 11. Pontificia Universidad Católica del Perú, año 2005. 12. “Análisis de Edificios”, Angel San Bartolomé, año 1999. 13. “Norma Técnica de Edificación E.020 - Cargas”. 14. Reglamento Nacional de Edificaciones, año 2006. 15. “Norma Técnica de Edificación E.030 - Diseño Sismoresistente”. 16. Reglamento Nacional de Edificaciones, año 2006. 17. “Norma Técnica de Edificación E.050 - Suelos y Cimentaciones”. 18. Reglamento Nacional de Edificaciones, año 2006. 19. “Norma Técnica de Edificación E.060 - Concreto Armado”. 20. Reglamento Nacional de Edificaciones, año 2006.

Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

ANEXOS

Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa

UAP: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

Profesor: Ing. Hugo Salazar Correa