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“Año de la lucha contra la corrupción e impunidad”

CURSO

: MATEMÁTICA

CICLO

: II

CARRERA

: ADMINISTRACIÓN Y NEGOCIOS INTERNACIONALES

2019

ÍNDICE GEOMETRIA ANALITICA.......................................................................................................................4 1.

Determine la ecuación general de la recta que cumple las siguientes condiciones:...........4

2. Los costos fijos de una fábrica de casacas son de 5000 dólares, sus costos variables unitarios de 12 dólares y precio de venta 60 dólares......................................................................5 3. Un estudiante de repostería ha decidido vender chocotejas a un precio unitario de 2.9 soles. Si sus costos fijos mensuales son 80 soles y los costos variables unitarios 0.95 soles, entonces:......6 4. Reducciones de inventarios. La tienda “El Mayorista” tiene 650 unidades del artículo X en bodega y su promedio de ventas por día de este artículo es de 25 unidades.............................7 5. El ingreso de una empresa algodonera se estima a través del tiempo de acuerdo a la siguiente función𝐼 = -24𝑡2+ 288𝑡 - 64, donde I es el ingreso en miles de dólares y t es el tiempo medido en años. Determine el precio que maximiza el ingreso y el ingreso máximo....8 6. Una circunferencia pasa por los puntos A = (2; 5), B = (-1; 2) y C = (9; 3), halle el área del círculo correspondiente.................................................................................................................8 7.

Determine la ecuación de la recta mediatriz a la cuerda común de las circunferencias:. . .9

MATRICES Y DETERMINANTES........................................................................................................10 1.

2.

Si: A=1251, B=−2 3 9−1.........................................................................................................10

Si

A=2I 2 x2

,

B=¿ [ 7 2 ¿] ¿ ¿¿¿

¿

,

C=3 B

T

y

D=¿ [ −3 1 ¿ ] ¿ ¿¿¿

¿

,................11

3. Un estudio de abogados se está encargando de la defensa de un grupo de trabajadores en contra de los abusos de una clínica que cuenta con cuatro locales, la cantidad de personas a las que defiende el estudio de abogados está distribuido en la forma siguiente:..................11 4. Los ingresos quincenales de una Compañía Publicitaria , se presenta en la matriz “I”, Indicando las columnas las marcas los tipos de servicios que ofrecen A, B y C; y las filas indican los locales I y II. Si los costos de producción quincenales se presentan en la matriz “C”. Indique la matriz de la utilidad para cada tipo de servicio en cada una de los locales..................................................................................................................................................12

20000 32000 28000 I = 30000 40000 36000

[

]

18000 29000 25000 ; C = 26000 38000 31000

[

]

....................................................12

5. En el problema anterior si los ingresos aumentan en un 10% y los costos disminuyen en un 10%. ¿Cuál será la nueva utilidad?............................................................................................12 6. Andrea vende fotografías en las ferias de arte. Los precios de sus fotos van de acuerdo con 13 su tamaño: las fotos chicas cuestan $10, las fotos medianas cuestan $15, y las fotos grandes ..............................................................................................................................................................13 cuestan $40. Normalmente vende tantas fotos chicas como medianas y grandes combinadas. ..............................................................................................................................................................13

También vende el doble de fotos medianas que de fotos grandes. Un puesto en la feria cuesta ..............................................................................................................................................................13 $300. Si sus ventas son como normalmente, ¿cuántas fotos de cada tamaño necesita vender ..............................................................................................................................................................13 para pagar el puesto?........................................................................................................................13 7. En un restaurante, los chef Puma y Fernando han preparado pasteles de acelga, choclo y papa. Puma hizo 30 de acelga, 20 de choclo y 10 de papa, y Fernando hizo 10 de acelga, 20 de choclo y 40 de papa. Cada pastel de acelga requiere de 4 unidades de harina, 2 unidades de azúcar y 3 unidades de manteca; cada pastel de choclo requiere de 3 unidades de harina,1 unidad de azúcar y 4 unidades de manteca; cada pastel de papa requiere de 5 unidades de harina y 3 unidades de manteca; el costo por unidad de harina, azúcar y manteca es de S/. 3, S/. 5 y S/. 6, respectivamente...........................................................................................................13 8.

Sea el sistema(RESOLVER POR CRAMER):........................................................................14

9.

Sea el sistema(GAUSS JORDAN):..........................................................................................15

Preguntas:

GEOMETRIA ANALITICA 1.

Determine la ecuación general de la recta que cumple las siguientes condiciones: a) Pasa por los puntos (4; -6) y (-9;-2). b) Tiene pendiente 1/6 e intercepta al eje y en 2. c) Tiene pendiente -1/7 y pasa por (3; -2). d) Pasa por (1; 5) tiene pendiente igual a cero. e) Pasa por (6; -3) y no tiene pendiente. f) Es paralela a la recta 3x +4y – 12 = 0 y pasa por (3; 1). g) Es perpendicular a la recta 3x +4y – 12 = 0 y pasa por (1; 4). Resolución: 4−x −6− y = A) x +9 y +2 4 y +8−xy −2 x =−6 x−xy−54−9 y 8 x +13 y+ 62=0 1 B) y=mx+b → 2= ( 0 )+ b →b=12 6 1 y= x+2 6 6 y=x +12 x−6 y +12=0

y=

C) y=mx+b −2=

−1 ( 3 )+ b 7

7 y + x +11=0

3 −2=b 7 −11 b= 7

D) y=mx+b 5=0 ( 1 )+ b b=5 E) x=6

−1 11 ×− 7 7

x +7 y +11=0

y=5

F) 3 x+ 4 y + c=0 3 ( 3 ) +4 ( 1 )+ c=0 12+c=0→ c=−12

G)

−A −3 = −B 4

3 x+ 4 y −12=0

por lo tanto m=

4 3

y=mx+b 4 4= ( 1 ) +b 3 12=4+3 b 8=3 b 8 =b 3 2. Los costos fijos de

4 8 y= x + 3 3 3 y=4 x+ 8 4 x−3 y+ 8=0

una

fábrica

de

casacas

son

de

5000

dólares, sus costos variables unitarios de 12 dólares y precio de venta 60 dólares. A) Determine las funciones de costo e ingreso. Grafique ambas funciones en un mismo plano. B) Determine el punto de equilibrio. Resolución: a) C F =5000

y=mx+b

b=0 es el ingreso

C V =12

I ( Q ) =Q ( 60 )+ 0

PV =60

I ( Q ) =60Q

y=mx+b

y=60 x

C ( Q ) =Q12+5000 C ( Q ) =12Q+5000 y=12 x +5000

función del costo

función del ingreso

y

Ingreso (y=60x)

Costo(12x+5000=y)

6500

P.E

5000

X

625 6 12 x+5000=60 x 5000=48 x x=104,17 aprx b) y=60

( 6256 )

y=6250

( 6256 ,6250)

Pc=

3.

Un estudiante de repostería ha decidido vender chocotejas a un precio unitario de 2.9 soles. Si sus costos fijos mensuales son 80 soles y los costos variables unitarios 0.95 soles, entonces: a) Determine la función utilidad. b) Calcule el número de chocotejas que debe producir y vender al mes para tener

ganancias de por lo menos S/.280. Resolución: A) Hallando el Costo

y=mx+b C ( Q ) =Q ( 0,95 )+ 80 C ( Q ) =0,95Q+ 80

Hallando el Ingreso y=mx+b I ( Q ) =Q ( 2,9 ) + 0 I ( Q ) =2,9Q Hallando la Utilidad U ( Q )=I (Q )−C ( Q ) U ( Q )=2,9 Q−0,95Q−80 U ( Q )=1,95 Q−80 B) Si U ( Q )=280

280=1,95Q−80 Q=Cantidad de chocotejas 280+80=1,95 Q 360=1,95Q 360 =Q 1,95 358,05=Q

4.

Por lo tanto: 359 chocotejas.

Reducciones de inventarios. La tienda “El Mayorista” tiene 650 unidades del artículo X en bodega y su promedio de ventas por día de este artículo es de 25 unidades.

a) Si Y representa el inventario (de artículos X en bodega) al tiempo t (medido en días), determine la relación lineal entre Y y t. (Use t = 1 para representar el término del primer día, etcétera.)

b) ¿Cuánto tiempo llevará vaciar la bodega? c) El encargado del inventario estima que en 21 días deberán hacer un nuevo pedido, ya que han decidido hacerlo cuando el nivel de la bodega sea de 125 unidades. ¿Será cierta su afirmación?

Resolución: Q=650 del articulo x 250por día a) y=mx+b y=25t b) 650=25 t 650 =t 25 26 días =t c) Si y=25t y=25 ( 26 ) y=525 650−525=125 Por lo tanto, si es cierto la información. 5.

El ingreso de una empresa algodonera se estima a través del tiempo de acuerdo a la siguiente función𝐼 = -24𝑡2+ 288𝑡 - 64, donde I es el ingreso en miles de dólares y t es el tiempo medido en años. Determine el precio que maximiza el ingreso y el ingreso máximo Resolución: I =−24 t 2 +288 t−64 → y=−24 x 2 +288 x−64 Hallando el vértice de la parábola y=−24 ( x 2−12 x ) −64 y=−24 ( x 2−12 x +36−36 ) −64 y=−24 ( x 2−12 x +36 ) +24 ( 36 ) −64 y=−24 ( x−6 )2 +800

miles de dólares

v(6,800)

6 años Por lo tanto, el Ingreso máximo es de 800 mil dólares en 6 años.

6.

Una circunferencia pasa por los puntos A = (2; 5), B = (-1; 2) y C = (9; 3), halle el área del círculo correspondiente. Resolución: Sea la ecuación de la circunferencia x 2+ y 2+ DX + EY + F=0 A (2,5) : 22 +52 +2 D+ 5E+ F=0 → 2 D+5E+ F=−29 … … I XY B (-1,2) : (−1)2+ 22−D+2E+ F=0 →−D+2E+ F=−5 … … II C (9,3) : 92 +3 2+ 9 D+3E+ F=0 → 9 D+ 3E+ F=90 … … III II−I −3 D−3 E=24 −D−E=8 … … α

II−I 7 D−2 E=119 … … β

αyβ −D−E=8 → 2 D+2 E=−16 7 D−2 E=119 9 D=103 → D=

103 9 Por lo tanto: F=

−D−8=E →−

−D 2 −E k= 2 R=√ h2+ k 2−F h=

103 −175 −8=E → E= 9 9

136 3

103 −103 /2 → h= 9 18

( )

h=−

( 1759 )/2 → k= 175 18

k=

R= R 2=

√(

−103 2 175 2 136 + − 18 18 3

)( )

13273 81,93 162

Área círculo= π R 2 → 3,14 ( 81,93 )=257,4 u 2

7.

Determine la ecuación de la recta mediatriz a la cuerda común de las circunferencias: C1 : x2 + y2 + 8y = 64 C2 : x2 + y2 – 6x = 16 Resolución: x 2+ y 2+ 8 y=64 x 2+ y 2−6 x=16 8 y +6 x=48→ 4 y+ 3 x =24

m 1= pendiente 1 m2= pendiente 2 → m1 =

−3 4

Hallando el centro de ambas circunferencias

( x−0 )2+ ( y + 4 )2−16=64 ( x−0 )2+ ( y + 4 )2=80→ c 1 ( 0 ,−4 )

( x−3 )2 −9+ ( y−0 )2=16 ( x−3 )2 + ( y−0 )2=25 → c 2 ( 3,0 )

Los costos c 1 y c 2 forman los puntos de la recta mediatriz a la cuerda común. m 2=

4 por su perpendicular a m1 x m2=−1 se cumple m1 × m2=−1 3

y=m2 x+ b 4 −4= ( 0 )+ b →b=−4 3

4 y= x−4 3 3 y=4 x−12 4 x−3 y−12=0

MATRICES Y DETERMINANTES 1.

1 2 , B= −2 3 Si: A= 5 1 9 −1 T Calcule: a) A + B b) B2

[ ] [

]

c) AB−BA

d) (2 A + B)2

8 ( 12 51 )+(−29 −13 )=(−1 11 0 )

T

a) A + B=

2 −2 3 × −2 3 = −2 ×−2+3 ×9 −2 ×3+3 ×−1 b) B = 9 −1 9 −1 −2 ×−2+3 ×9 9 ×3±1×−1

(

¿

)(

)(

31 −7 (−21 28 )

1 2 × −2 3 − −2 3 × 1 2 c) AB−BA= 5 1 9 −1 9 −1 5 1

( )(

)( )( ) 1× 2+ 2× 9 1× 3+2×−1 −2 ×1+3 ×5 −2 ×2+3 × 1 ¿( −( ) 5×−2+ 1× 9 5 × 3+1×−1 9 ×1±1× 5 9 ×2±1× 1 ) 2 ¿ ( 16 9 ) −( 13 −1) =( 3 −1 14 4 17 −5 −3 )

2 1 2 + −2 3 d) ( 2 A +B ) = 2 5 1 9 −1

2

)] =[(102 42)+(−29 −13 )] 7 (190 71) =(190 71)× (190 71 )=(1919×7 19× 7+1 ×1 ) 133 7 ¿( 19 134 )

[( )(

2

)

2.

Si

A=2I 2 x2

Halle:

,

B=¿ [ 7 2 ¿ ] ¿¿¿¿

¿

C=3 B

,

( A−2 B) C −BD + A

T

y

D=¿ [ −3 1 ¿ ] ¿ ¿¿¿

¿

,

T

T ¿ 2 1 0 −2 7 2 ×(3 B¿ ¿T )− 7 2 −3 1 + 1 0 ¿ 0 1 −1 3 −1 3 9 −2 0 1

[ ( ) ( )] [( ) ( ) ] (

(

)(

)( )

7 ×1+2 ×−2 + 1 0 ¿ 2 0 − 14 4 ×3 7 −1 − 7 ×−3+2 ×9 0 2 −2 6 2 3 −1 ×−3+3 ×9 −1 ×1+3 ×−2 0 1

)(

)( )

−4 21 −3 −3 3 1 0 ×( −( +( (−12 ) ) ) 2 −4 6 9 24 −7 0 1 ) −3 + 1 0 ¿ ( −12× 21±4 ×6 −12×−3±4 ×9 ) + ( 3 2× 21±4 ×6 2×−3±4 ×9 −24 7 ) ( 0 1 ) 0 + 4 −3 = −2+2 −3 ¿ ( −276 18 −42 ) (−24 8 ) ( −6 −34 ) ¿

3.

Un estudio de abogados se está encargando de la defensa de un grupo de trabajadores en contra de los abusos de una clínica que cuenta con cuatro locales, la cantidad de personas a las que defiende el estudio de abogados está distribuido en la forma siguiente:

Si los administradores pagan $350, los supervisores $275 y los trabajadores $200. ¿Cuál es la nómina de cada local que cobrara dicho estudio de abogados?

Resolución: Local 1 ¿ 350 ( 4 )+ 275 ( 4 )+ 200 ( 80 )=$ 17450 Local 2 ¿ 350 ( 2 )+ 275 ( 6 ) +200 ( 96 )=$ 21550 Local 3 ¿ 350 ( 1 )+ 275 ( 3 )+ 200 ( 67 )=$ 14575 Local 4 ¿ 350 ( 1 )+ 275 ( 4 )+200 ( 75 ) =$ 16450

4.

Los ingresos quincenales de una Compañía Publicitaria , se presenta en la matriz “I”, Indicando las columnas las marcas los tipos de servicios que ofrecen A, B y C; y las filas indican los locales I y II. Si los costos de

producción

quincenales se presentan en la matriz “C”. Indique la matriz de la utilidad para cada tipo de servicio en cada una de los locales.

I=

[20000 30000

32000 28000 40000 36000

]

;C=

[18000 26000

29000 25000 38000 31000

]

.

Resolución: 32000 28000 18000 − (20000 30000 40000 36000) ( 26000 2000 3000 3000 U =( 4000 2000 5000)

U =I −C=

5.

29000 25000 38000 31000

)

En el problema anterior si los ingresos aumentan en un 10% y los costos disminuyen en un 10%. ¿Cuál será la nueva utilidad? Resolución: Aumento del 10% Disminución del 10% 22000 35200 30800 16200 26100 22500 5800 9100 8300 − = 33000 44000 39600 23400 34200 27900 9600 9800 11700

( 6.

)(

)(

)

Andrea vende fotografías en las ferias de arte. Los precios de sus fotos van de acuerdo con su tamaño: las fotos chicas cuestan $10, las fotos medianas cuestan $15, y las fotos grandes cuestan $40. Normalmente vende tantas fotos chicas como medianas y grandes combinadas. También vende el doble de fotos medianas que de fotos grandes. Un puesto en la feria cuesta $300. Si sus ventas son como normalmente, ¿cuántas fotos de cada tamaño necesita vender para pagar el puesto? Resolución: Costos Fotos chicas $10 Fotos medianas $15

cantidad x y

Puesto= $300 10 x+15 y + 40 z=300 2 x+3 y +8 z=60

Fotos grandes

$40

X =Y +Z

2 Z=Y

2 x+3 ( 2 z )+ 8 z =60 2 ( 3 z ) +6 z +8 z=60 20 z=60

z

X =2 Z +Z → X=3 Z

Z=3 X=9 ;Y =6

Por lo tanto, hay 9 fotos chicas, 6 fotos medianas y 3 fotos grandes.

7.

En un restaurante, los chefs Puma y Fernando han preparado pasteles de acelga, choclo y papa. Puma hizo 30 de acelga, 20 de choclo y 10 de papa, y Fernando hizo 10 de acelga, 20 de choclo y 40 de papa. Cada pastel de acelga requiere de 4 unidades de harina, 2 unidades de azúcar y 3 unidades de manteca; cada pastel de choclo requiere de 3 unidades de harina,1 unidad de azúcar y 4 unidades de manteca; cada pastel de papa requiere de 5 unidades de harina y 3 unidades de manteca; el costo por unidad de harina, azúcar y manteca es de S/. 3, S/. 5 y S/. 6, respectivamente. A) Represente toda la información en tres matrices. B) Halle el costo de cada tipo de pastel. Resolución: a) Tipos de pasteles

H: harina A: azúcar M: manteca

A: acelga C: choclo P: papa

Ingredientes Puma

A 30 10 A 4 A= CH 20 20 ; B= CH 3 P 10 40 P 5

(

b)

B× C

H

Fernández

) (

3X2

2 3 H 1 4 ; C= 3 0 6

)

4 2 3 3 4 ×3+2 × 5+3 ×6 40 A T =¿ 3 1 4 × 5 = 3 ×3 +3 ×5+ 4 ×6 = 38 CH ¿ 5 0 6 6 5 × 3+0 ×5 +6 ×6 51 P

(

)()(

)( )

1 pastel de Acelga cuesta $40 1 pastel de choclo cuesta $38 1 pastel de papa cuesta $51

(

A

M

A 5

Costos

M 6

) 3X3

1X3

8.

Sea el sistema(RESOLVER POR CRAMER): 𝑥 +2𝑦 +𝑧 = 3 2𝑥 +5𝑦 -𝑧 = -4 3𝑥 -2𝑦 -𝑧 = 5

Hallando: 𝑥 +2𝑦 +𝑧 = 3 1 2 1 1 2 1 1 2 ∆= 2 5 −1 = 2 5 −1 2 5 3 −2 −1 3 −2 −1 3 −2

|

2𝑥 +5𝑦 -𝑧 = -4

||

|

3𝑥 -2𝑦 -𝑧 = 5 ∆=−5−6−4−15−2+ 4 → ∆=−28 3 2 1 3 2 1 3 2 −4 5 −1 −4 5 −1 −4 5 5 −2 −1 5 −2 −1 5 −2 8−10−15−6−25−8 −56 X= = = = =2 −28 −28 −28 −28

|

||

|

1 3 1 1 3 1 1 3 2 −4 −1 2 −4 −1 2 −4 3 5 −1 3 5 −1 3 5 4−9+10+12+5+6 28 Y= = = = =−1 −28 −28 −28 −28

|

||

|

1 2 3 1 2 3 1 2 2 5 −4 2 5 −4 2 5 3 −2 5 3 −2 5 3 −2 25−24−12−20−8−45 −84 Z= = = = =3 −28 −28 −28 −28

|

||

|

Por lo tanto X= 2 ; Y= -1 ; Z=3

9.

Sea el sistema(GAUSS JORDAN): 2𝑥 - 𝑦 + 𝑧 = 2 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 3 3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4

3 f 3−2 f 2 → f 3 f 3−2 f 2 → f 2 2 −1 1 2 2 −1 1 2 2 −1 1 2 → 1 2 2 3 = 1 2 2 3 = 0 −5 −3 −4 5 1 14 0 −5 1 −2 0 −5 1 −2

2 x− y + z=2

(

x +2 y +2 z=3

|) (

| )(

|)

3 x+ y+ z=4 f 1−f 3 → f 1 f 3−f 2 → f 3 3 f 3+2 f 2 → f 2 2 4 0 4 2 4 0 4 1 2 0 2 1 2 0 2 ¿ 0 −5 −3 −4 = 0 −5 −3 −4 = 0 −5 −3 −4 = 0 −10 0 −5 0 −5 1 −2 0 0 4 2 0 0 2 1 0 0 2 1

(

| )(

| )(

−2 f 2 + f 1 → f 1 2 1 1 1 2 0 1 0 0 1 →x ¿ 0 1 0 2 = 0 1 0 2 →y 0 0 11 0 0 1 1 →z 2 2

( |)( |)

Por lo tanto X=1 ; Y=1/2 ; Z=1/2

| )(

|)

CONCLUSIÓN: La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas, cuyo objetivo principal consiste en obtener la ecuación de los sistemas de coordenadas a partir del lugar geográfico que disponen en un plano cartesiano donde el sistema de coordenadas se identifica a través de la abscisa y la ordenada. Las ecuaciones representan figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f ( x )= y , donde f es una función u otro tipo de expresión matemática. Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo que mediante su uso se resolvió un sistema de ecuaciones lineales, además es importante en la resolución de problemas de la vida cotidiana con lo cual se llega a dar una solución rápida y exacta para así dar mejores resultados en un determinado proceso.