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TAREA 2 – TÉCNICAS DE CONTEO Y TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

POR PAOLA XIMENA CHAPARRO HERRERA MICHAEL GABRIEL ZAMORA OCHOA MARIA ANGELIZA FARIAS WILINTON VARGAS

PROBABILIDAD – 100402_159 PRESENTADO A NAYIVES XILENA TRUJILLO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES, ECONÓMICAS, Y DE NEGOCIOS (ECACEN) 14 DE OCTUBRE DE 2020

TECNICAS DE CONTEO Y TEORIA DE LA PROBABILIDAD

Pá gina 1

EJERICIO A EJERCICIO 1 - EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS.

Ejercicio a: Lanzamos un dado dos veces. Dé un espacio muestral adecuado para este experimento y luego identifique los elementos que contiene cada uno de los siguientes eventos:

Solución: Se define el espacio muestral como los posibles resultados que tendrá el lanzamiento del dado, siendo de esta manera lo siguiente: Espacio muestral S= {1,2,3,4,5,6} para el primer lanzamiento y {1,2,3,4,5,6} para el segundo.

Elementos de cada evento: 1) A1: el resultado del primer lanzamiento es 6. A1: [6] para el primer lanzamiento y [1,2,3,4,5,6] para el segundo lanzamiento. 2) A2: el resultado del segundo lanzamiento es un múltiplo de 3. A2: [1,2,3,4,5,6] para el primer lanzamiento y [3,6] para el segundo lanzamiento.

3) A3: el resultado del primer lanzamiento es 6 y el resultado del segundo lanzamiento es un múltiplo de 3. A3: [6] para el primer lanzamiento y [3,6] para el segundo lanzamiento. 4) A4: la suma de los dos resultados es 7. A4: [1,6], [2,5], [3,4], [4,3], [5,2], [6,1] siendo [X,Y] las situaciones en donde X es el resultado del primer lanzamiento y la Y el resultado del segundo lanzamiento. 5) A5: la suma de los dos resultados es al menos 9. A5: [3,6], [4,6], [5,6], [6,6], [6,3], [6,4], [6,5] siendo [X,Y] las situaciones en donde X es el resultado del primer lanzamiento y la Y el resultado del segundo lanzamiento. 6) A6: los dos resultados son idénticos. A6: [1,1], [2,2], [3,3], [4,4], [5,5], [6,6] siendo [X,Y] las situaciones en donde X es el resultado del primer lanzamiento y la Y el resultado del segundo lanzamiento.

Técnicas de conteo Segundo ejercicio a PARA PRESIDENTE 6C2

PARA VICEPRESIDENTE

PARA SECRETARIO EJECUTIVO

TEOREMA DE BAYES Los estudiantes de una UNAD toman un examen de probabilidad en tres aulas. El número de estudiantes que están bien preparados (B) 9 y mal preparados (M) para el examen en cada una de las tres aulas son las siguientes: 1) Aula I: 60 B, 20 M; 2) Aula II: 50 B, 30 M; 3) Aula III: 65 B, 15 M. Los estudiantes que están bien preparados pasan el examen con una probabilidad de 0.85, mientras los estudiantes que están mal preparados pasan el examen con una probabilidad de 0.5. 1) Seleccionamos un aula al azar y luego de esta sala seleccionamos un estudiante al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que él /ella apruebe el examen? 2) Si el estudiante seleccionado ha aprobado el examen, ¿cuál es la probabilidad de que él/ella tomóel examen en el aula II?

Aula I. A1:60B A2:20M B: 0.5 B1: 0.85

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( )

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)

ESTA SERIA LA PROBABILIDAD DE QUE EL O ELLA APRUEBE EL EXAMEN 0.28169

Si el estudiante seleccionado ha aprobado el examen, ¿cuál es la probabilidad de que él/ella tomó el examen en el aula II? SERIA DE 0.28169 EJERCICIO A SUSTENTAR

A. Un almacén de cadena tiene cinco portátiles aparentemente idénticos y listos para ser vendidos. Sin que el almacén lo sepa, dos de los cinco están defectuosos. Durante el primer día sin IVA en Colombia, se realiza una venta online de dos portátiles y el pedido se surte seleccionando al azar dos de los 5 portátiles disponibles. a. Indique el espacio maestral para esta situación. b. Identifique mediante un listado apropiado de sus elementos el evento A: El pedido se surte con dos portátiles no defectuosos. c. Encuentre la probabilidad del evento A. SOLUCION

{} 2.{ }

Tipo de ejercicios 1 - Experimento aleatorio, espacio muestral y eventos. 1. B. Un vendedor de una compañía quiere visitar las cuatro ciudades a, b, c, d en las que su compañía tiene negocios. Si planea visitar cada ciudad una vez, proporcione un espacio de muestra adecuado para describir el orden en que visita las ciudades. Luego identifique, mediante un listado apropiado de sus elementos, cada uno de los siguientes eventos:

Datos: 

Ciudades: tenemos 4 ciudades.



Representación como conjunto universo U ={ a , b , c , d } y su cardinal n=4 .



Vendedor.

Como el vendedor debe visitar cada ciudad el orden importa por lo tanto se trata de una permutación: Pn=n !=4 !=4 x 3 x 2 x 1=24 Es decir que tenemos un espacio muestral de 24 subconjuntos del conjunto U. S={( a , b , c , d ),(a , b , d , c ),(a , c , b , d ),( a , d ,b , c ) ,(a , c , d , b) ,(a , d , c , b), (b , a , c , d),(b ,a , d , c) ,(b ,c , a , d),(b , d , a , c) ,(b , c , d , a),(b , d , c , a), (c , a , b , d),(c , a , d ,b) ,( c , b , a , d),(c , d , a ,b) ,(c , b , d , a),(c , d , b , a), (d , a , c ,b),(d , a , b , c) ,(d , c , a ,b) ,( d , b , a , c),( d , c , b , a),(d , b , c , a)} 1) A1: el vendedor visita la primera ciudad b. Claramente podemos observar en el espacio muestral el evento A1 cuando visita la ciudad b de primera. A1= {(b, a, c, d), (b, a, d, c), (b, c, a, d), (b, d, a, c), (b, c, d, a), (b, d, c, a)}. 2) A2: el vendedor visita la ciudad b primero y luego visita la ciudad d. A2= {(b, d, a, c), (b, d, c, a)}. El vendedor solo tiene dos posibilidades en este evento para visitar las ciudades. 3) A3: el vendedor visita la ciudad a antes de visitar la ciudad. Claramente podemos observar en el espacio muestral el evento A3 cuando visita la ciudad a de primera. A3= {(a, b, c, d), (a, b, d, c), (a, c, b, d), (a, d, b, c), (a, c, d, b), (a, d, c, b)}. 4) A4: el vendedor visita las ciudades a, b, c sucesivamente. A4= {(a, b, c, d)}. Solo hay un evento en cual el vendedor visita las ciudades en el orden a, b y c de primeros.

Ejercicio 2. Técnicas de conteo. 2. B. Una madre de tres niños pequeños les compra tres regalos para Navidad. Ella luego les pide a sus hijos que escriban, en una hoja de papel, cuál de los tres regalos prefieren, para que cada uno no sepa las opciones de los otros dos. Que es la probabilidad de que Datos: Hay tres regalos: a, b, c n=3 U= {a, b, c} Tres niños x, y, z. Espacio Muestral S={( a , a , a ) , ( b , b , b ) , ( c , c , c ) , (a , b , c ),( a , c , b),(b , a , c ),(b , c , a) ,(c , a , b),( c , b , a)

( a , a , b ) , ( a , a , c ) , ( b , b , a ) , ( b , b , c ) , ( c , c ,a ) , ( c , c , b ) , ( b , a , a ) , ( c , a , a ) , ( a , b , b ) , ( c , b , b ) , ( a ,c , c ) , ( b , c , c ) (a , b , a),(a , c , a),( b , a , b),(b , c , b) ,(c , a , c) ,(c , b , c) } 3x3x3 = 27 1) ¿no hay dos niños que hagan la misma elección? Eventos E 1={(a , b , c ),( a , c , b) ,(b , a , c ),( b , c , a),(c , a , b),(c , b , a) } Hay seis posibilidades en los casos en que dos niños no hagan la misma elección. Por lo tanto, la probabilidad es una de seis de 27: P ( E1 )=

6 2 = 27 9

2. al menos dos niños toman la misma decisión? Es decir que dos o más niños toman la misma decisión.

Eventos E 2={ ( a , a , b ) , ( a , a , c ) , ( b , b , a ) , ( b , b , c ) , ( c , c , a ) , ( c , c , b ) ,

( b , a , a ) , ( c , a , a ) , ( a , b , b ) , ( c , b , b ) , ( a ,c , c ) , ( b , c , c ) ( a , b , a) , ( a , c , a) ,( b , a , b ) , ( b , c , b) ,( c , a , c ) ,( c , b , c ) (a , a , a) , (b , b , b) , (c , c , c )} Hay veintiuna posibilidades en los casos en el que al menos dos niños toman la misma elección. Por lo tanto, la probabilidad es: P ( E 2 )=

21 7 = 27 9

3. ¿Los tres niños hacen la misma elección? Espacio Muestral E 3={( a , a , a) ,(b ,b ,b),( c , c , c)} Hay 3 posibilidades en los casos en que los tres niños hagan la misma elección. Por lo tanto, la probabilidad es una de: P ( E 3 )=

3 1 = 27 9

Ejercicio 3. Teorema de Bayes 3. B. Las bombillas eléctricas fabricadas en una unidad de producción se empaquetan en cajas, con cada caja con 120 bombillas. La probabilidad de que una caja tenga bombillas defectuosas es de 1⁄5, para cada i = 0, 1, 2, …, 4. Si elegimos 10 bombillas de una caja y ninguna es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que este cuadro contenga:

Formula:

P( An/B)

1) ¿No hay bombillas defectuosas?

Es decir, nos preguntan por las bombillas buenas:

P(B / An) P( An) ∑ P(B / Ai) P (Ai )

P(Caja 1/Buena)=

0.2∗0.8∗0.104 0,0166 = =0.021 0.8 ( 0.2∗0.8 ) + ( 0.2∗0.8 ) + ( 0.2∗0.8 )+ ( 0.2∗0.8 )+(0.2∗0.8)

2) ¿Al menos dos bombillas defectuosas?

P ( x ≥ 2 ) es decir 23/24=0.96 defectuosos. P

0.038 1 0.2∗0.2∗0.96 =0.19 = =¿ ( Caja ) 0,2 Defect ( 0.2∗0.2 )+ ( 0.2∗0.2 ) + ( 0.2∗0.2 ) + ( 0.2∗0.2 )+ ( 0,2∗0,2 )

Ejercicio a sustentar B. En la semifinal del torneo suramericano de futbol clasifican los siguientes equipos: Argentina, Brasil, Ecuador, Colombia, Chile, Venezuela, Perú, Bolivia y Paraguay. a. ¿De cuántas formas se puede obtener campeón, subcampeón y mejor tercero? b. Encontrar el número de elementos del evento: Argentina no es subcampeón. c. Encontrar el número de elementos del evento: Colombia NO quede entre los tres primeros. EJERCICIO B a) N=9 n=3 existe orden y no hay repetición 9! 9! 9 x8 x 7 x6! = = =504 a) ¿ S=9 P 3= 6! ( 9−3 ) ! 6 ! 8! 8! 8 x7! 8 x7 x 6! ∙ = ∙ =448 b) 8 P 1∙ 8 P2= 7! 6! ( 8−1 ) ! ( 8−2 ) ! 8 8! 8 x7 x 6x 5! = =336 c) P ( C ) = 3 = 5! ( 8−3 ) !

()

EJERCICIOS C

as. Calcular un espacio muestral adecuado para describir todos los resultados posibles para el experimento de seleccionar 4 bo

1) Para cada bola seleccionada, notamos su color y lo devolvemos a la caja para que esté disponible para la siguiente selección (dicho esquema se llama selección con reemplazo). 2) Cada bola seleccionada se retira posteriormente de la casilla (que se llama selección sin reemplazo). Datos: 3 BOLAS ROJAS 2 BOLAS AMARILLAS ¿? Seleccionar 4 bolas al azar.

E= [AARR, RRAA, RARA, ARAR, ARRA, RAAR, RRRA, RRAR, RARR, ARRR, AAAA, RRRR, AAAR, AARA, ARAA, RAAA] Teniendo en cuenta nos referimos a 16 sucesos elementales para este evento. El número de bolas se mantiene constante, eso quiere decir que hay 3 bolas rojas y 2 amarillas para tener 5 bolas en total en la caja. P(x)= (nº casos favorables) / (nº casos totales) P(AARR)= 2/5*2/5*3/5*3/5=36/625 P(RRAA)=3/5*3/5*2/5*2/5=36/625

P(RARA)=3/5*2/5*3/5*2/5=36/625

P(ARAR)=2/5*3/5*2/5*3/5=36/625

P(ARRA)=2/5*3/5*3/5*2/5=36/625

P(RAAR)=3/5*2/5*2/5*3/5=36/625

P(RRRA)=3/5*3/5*3/5*2/5=54/625

P(RRAR)=3/5*3/5*2/5*3/5=54/625

P(RARR)=3/5*2/5*3/5*3/5=54/625

P(ARRR)=2/5*3/5*3/5*3/5=54/625

P(AAAA)=2/5*2/5*2/5*2/5=16/625

P(RRRR)=3/5*3/5*3/5*3/5=81/625

P(AAAR)=2/5*2/5*2/5*3/5=24/625

P(AARA)=2/5*2/5*3/5*2/5=24/625

P(ARAA)=2/5*3/5*2/5*2/5=24/625

P(RAAA)=3/5*2/5*2/5*2/5=24/625

2) Evento: seleccionar 4 bolas al azar E= [AARR, RRAA, RARA, ARAR, ARRA, RAAR, RRRA, RRAR, RARR, ARRR] 10 sucesos elementales Para este ejercicio el número de bolas debe disminuir de manera respectiva. P(x)= (nº casos favorables) / (nº casos totales)

P(AARR)=2/5*1/4*3/3*2/2=12/120

P(RRAA)=3/5*2/4*2/3*1/2=12/120

P(RARA)=3/5*2/4*2/3*1/2=12/120

P(ARAR)=2/5*3/4*1/3*2/2=12/120

P(ARRA)=2/5*3/4*2/3*1/2=12/120

P(RAAR)=3/5*2/4*1/3*2/2=12/120

P(RRRA)=3/5*2/4*1/3*2/2=12/120

P(RRAR)=3/5*2/4*2/3*1/2=12/120

P(RARR)=3/5*2/4*2/3*1/2=12/120

P(ARRR)=2/5*3/4*2/3*1/2=12/120

C.2 En una compañía de k estudiantes con k ≤ 12, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellos tienen su cumpleaños en el mismo mes del año? (Supongamos que todos los meses son igualmente probables para un cumpleaños). ¡P (X = x) = n! /((n-x)! *x!) *pˣ*(1-p) ⁿ⁻ˣ En el caso de que cumplan en un mes determinado. P= 1/12, n = k y se busca la probabilidad de X = 2 P(X = 2) = k!/((5-2)!*2!)*(1/12)²*(1-1/12)∧(k-2)

= k!/(3!*2!) *(1/144)*((11/12)∧(k-2))

= (k!/12)*(1/144)*((11/12)∧(k-2)) Para hallar la probabilidad de que 2 cumplan en el mismo mes se debe multiplicar la probabilidad de que cumplan un mes por total de los meses que seria 12. P = 12* (k!/12)*(1/144)*((11/12)∧(k-2))

P = (k!/144)*((11/12)∧(k-2))

3.C Las bombillas eléctricas fabricadas en una unidad de producción se empaquetan en cajas, con cada caja con 120 bombillas. La probabilidad de que una caja tenga bombillas defectuosas es de 1⁄5, para cada i = 0, 1, 2, …, 4. Si elegimos 10 bombillas de una caja y ninguna es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que este cuadro contenga: 1) no hay bombillas defectuosas? 2) al menos dos bombillas defectuosas?

EJERICIO D

Desarrollo Ejercicios Ejercicios 1: Experiemento Aleatorio, Espacio Muestral y Eventos D). Tatiana tiene cuatro libros que quiere poner en el estante de una biblioteca. Tres de estos libros forman un conjunto de 3 volúmenes de un diccionario, de modo que se marquen como Volumen I, II y III, respectivamente. 1) Encuentre un espacio maestral apropiado para todas las formas posibles en las que se puede poner los libros en el estante.

{

} donde se tiene el diccionario con I, II y III volúmenes y el cuarto libro identificado con C, en conclusión son 24 formas posibles que Tatiana tiene de acomodar los libros en el estate de la biblioteca ..

2) Identifique los elementos de este espacio muestral que cada uno de los siguientes tres eventos contiene: 

B1: los tres volúmenes del diccionario se colocan uno al lado del otro

{

}



B2: Los tres volúmenes del diccionario se colocan en el orden correcto (pero necesariamente en lugares adyacentes), de modo que el volumen I se coloca a la izquierda del volumen II, que a su vez se coloca a la izquierda del volumen III

{}

Ejercicio 2: Técnicas de Conteo D). En un área boscosa, se sabe que existen 300 animales de una especie protegida. Un equipo científico selecciona 100 de estos animales, los marca y los libera. Después cierto período, para que los animales marcados se mezclen bien en el bosque junto con otros animales, los científicos seleccionan otro conjunto de 100 animales. Encuentra la probabilidad que exactamente 10 de ellos han sido marcados previamente. La técnica de conteo que utilizo en el desarrollo del presente ejercicio es la de la Regla multiplicativa, pues podemos realizar de manera independiente los eventos, como mostrare a continuación:

Eventos: M y N, donde, M representa los animales marcados y N representa los no marcados. Y el evento E representa 10 animales marcados dentro de n.

Ahora aplico la técnica después de tener el resultado de los eventos:

La probabilidad de que exactamente 10 de los animales hallan sido marcados es de 0.73%

Ejercicio 3: Teorema de Bayes D). En cierta compañía, hay tres secretarias responsables de escribir el correo del gerente. Cuando escribe una carta, la Secretaria A tiene una probabilidad de 0.04 para cometer al menos un error de imprenta, mientras que esta probabilidad para la Secretaria B es 0.06 y para la secretaria C es 0.02. La probabilidad de que una carta sea escrita por la Secretario A o la Secretario B es la misma, mientras que la Secretario C escribe tres veces más letras que ninguna de las otras dos secretarias. Esta mañana, el gerente dejó una carta escrita a mano en la caja de las secretarias y cuando regresó, descubrió que había un error de imprenta. 1) ¿Cuál es la probabilidad de que la carta haya sido escrita por la Secretaria A?

()

P(E ‫ ׀‬A)=0.04 P(A)=0,2 P(E ‫=) ׀‬0.96 P(E ‫ ׀‬B)=0.06 Secretarias

P(B)=0,2 P(E ‫=) ׀‬0.94 P(E ‫ ׀‬C)=0.06 P(C)=0.6 P(E ‫=) ׀‬0.98

TECNICAS DE CONTEO Y TEORIA DE LA PROBABILIDAD

Pá gina 1

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| | RTA: la probabilidad de que la secretaria A fuera escrita la carta es del 25%

2) ¿Cuál sería esta probabilidad si el gerente supiera que la Secretaria C está en salir esta semana?

P(E ‫ ׀‬A)=0.04 P(A)=0,5 P(E ‫=) ׀‬0.96 Secretarias P(E ‫ ׀‬B)=0.06 P(B)=0,5 P(E ‫=) ׀‬0.94

TECNICAS DE CONTEO Y TEORIA DE LA PROBABILIDAD

Pá gina 2

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RTA: teniendo en cuenta y suponiendo que la secretaria C no va a estar, y que la secretaria A es quien escribe la carta la probabilidad es del 40%

Tabla comparativa Concept o Teoría de conjunt os

Teoría de probabi lid ad

Enfoq ue empíri co

Definición

Parte de la matemática encargada de estudiar los conjuntos, en la que se agrupan elementos, para poder analizar las relaciones que existen entre si.

Se encarga de relacionar los posibles resultados a cada uno de los espacios muéstrales existentes que son pertenecientes a una variable, que esto quiere decir que se hace con el fin de cuantificar los resultados y llegar a saber si dicho suceso es más probable que otro.

se trata de la frecuencia relativa de ocurrencias frente a un evento con un gran número de repeticiones del experimento, es decir que suceso es más probable que se encuentre

Variable, formula o imagen que representa el concepto

A,B=A∩B

Enfoq ue subjeti vo

grado de creencia o confirmación de un suceso aleatorio que se determina a partir de la experiencia, intuición, sentimiento y conocimiento de lo que se decida. es decir que se basa en el grado de confianza que una persona tiene de que el evento ocurra, permite calcular la probabilidad de sucesos.

Experim en to

proceso en el cual se obtiene una observación de un fenómeno que puede sufrir cambios, no se puede predecir su resultado y en caso de hacerse se conoce como experimento minimalista.

Espac io muest ral

Es el conjunto que obtiene a todos los eventos simples posibles y se le denota con S

Punt o muest ral

Es un evento de . Resultado particular del experimento

Even to simp le

También llamada evento Elemental. Cualquier evento que consta de una sola observación de un experimento

Event o conjun to

también identificado como evento compuesto. Y es cuando se obtiene más resultados del espacio muestral

Técnic as de conteo

Diagra ma de árbol

Son herramientas que facilitan la enumeración de posibles resultados de un evento determinado difíciles de contar

ayuda a determinar los cálculos de una forma objetiva sobre los números de objetos que forma parte del espacio muestra

Evento E contiene mas de un punto muestral de S

Factoria l

Princip io aditiv o

Es el producto desde N hasta 1 o desde 1 hasta N son técnicas de conteos que permitir realizar y determinar de una manera más activa y fácil de cuantas veces se puede realizar una actividad que tiene varias alternativas y así elegir solo una vez el resultado obtenido

Principi o multipli cat ivo

“Sea A, un suceso que cuentan con 𝑚, y 𝑤 formas distintas, de ser realizado y teniendo en cuenta que los eventos no pueden realizarse juntos, entonces el suceso se realizará de (𝑚 + + 𝑤)formas distintas” ( Lorenzo et.al., pag. 74)

Permut aci ones

Combin aci ones

Eventos mutuam en te excluye nte s

Ordena todos o algunos de los eventos que forman un S, para facilitar el conteo de los posibles arreglos que pueda hacerse con los eventos

en la probabilidad las combinaciones son agrupaciones que no les importa el orden ni la organización de los datos, pero si les importa el contenido o datos Dos eventos son dependientes si el estado original de la situación cambia de un evento al otro, y esto altera la probabilidad del segundo evento

Son los que no pueden ocurrir al mismo tiempo

Eventos Indepen die ntes

En teoría de probabilidades, se dice que dos sucesos aleatorios son independientes entre sí cuando la probabilidad de cada uno de ellos no está influida porque el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no están relacionados

Independencia (probabilidad) Wikipedia, la enciclopedia libre es.wikipedia.org › wiki › Independencia_(probabilida d)

Probabil id ad condicio na l

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P o P, y se lee «la probabilidad de A dado B». No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. https://es.wikipedia.org/wiki/Probabilida d _condicionada

Teorem a de Bayes

El teorema de Bayes es utilizado para calcular la probabilidad de un suceso, teniendo información de antemano sobre ese suceso. Podemos calcular la probabilidad de un suceso A, sabiendo además que ese A cumple cierta característica que condiciona su probabilidad. El teorema de Bayes ha sido muy cuestionado.

Nombre del estudiant e MICHAEL

Rol a desarrollar

Grupo de ejercicios a desarrollar

ENTREGAS

El estudiante

GABRIEL ZAMORA OCHOA

desarrolla el ejercicio a en todos los 3 Tipo de ejercicios

WILINTON ESNEIDER VARGAS

ALERTAS

MARIA ANGELICA FARIAS

COMPILADOR

PAOLA XIMENA CHAPARRO HERRERA

EVALUADOR

Nombre estudian te MICHA EL GABRI EL ZAMO RA OCHO A PAOLA XIMENA CHAPARRO HERREA

Ejercicio

s sustentad os Ejercicio (A)

EJERCICIO (D)

El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 3 Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 3 Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 3 Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio e en todos los 3 Tipo de ejercicios

Link video Explicativo

https://screencast-omatic.com/watch/cY6FDH7ytL

https://youtu.be/GfJf2uzEaE

BIBLIOGRAFIAS Referencias Agosto, A. (2010). Modulo 8 de Probabilidad. Obtenido de Universidad

de

Puerto

Rico

en

Bayamón:

http://docs.uprb.edu/deptmate/material%20suplementario/CIME/7mo%20a%209n o/T 8%3B%20Probabilidad%287mo%20a%209no%29.pdf Msc. Lorenzo Cevallos T, M. J. (2018). ENFOQUE DIDÁCTICO DE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y PROBABILIDADES.

Obtenido

de

Fs.

http://fs.unm.edu/TeoriaConjuntosProbabilidades.pdf

NORMAS APA SEXTA EDICION https://normasapa.com/normas-apa-2019-cuestiones-mas-frecuentes/

UNM.edu: