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FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

PROYECTO GRUPAL

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

PROBABILIDAD DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE WEIBULL

JORGE EDUARDO GIRALDO MEDINA COD. 1721020459 SANDRA ANYUL YARURO MARIN COD. 1911022569 LUIS OSWALDO QUINTERO VELASQUEZ COD.1811024524 MANUEL DAVID GUERRERO RAMIREZ COD. 1911022142

POLITECNICO GRANCOLOMBIANO FACULTAD DE INGENIERIA DE SOFTWARE 2020

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TABLA DE CONTENIDOS INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................3 OBJETIVOS ..........................................................................................................................................4 SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS............................................................................................................5 CONCLUSIONES ................................................................................................................................17 BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................................................18

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INTRODUCCIÓN En el desarrollo del presente trabajo se explica paso a paso las soluciones para cada uno de los ejercicios planteados, para lo cual, a través de la distribución de probabilidad Weibull se pusieron en práctica los conceptos vistos a lo largo de la materia, de esta manera se evidencia la aplicación de las respectivas formulas y se presentan las gráficas que ayudan a entender más fácilmente los datos entregados.

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OBJETIVOS • Realizar cada uno de los ejercicios indicando los pasos efectuados en sus respectivas soluciones. • Entender claramente los datos proporcionados de cada departamento para realizar una adecuada solución de los planteamientos • Identificar las respectivas variables indicadas en cada ecuación con el fin de reemplazar los valores adecuadamente. • Generar un debate constructivo con los integrantes del equipo con el fin de plantear diferentes soluciones y corregir los posibles errores. • Poner en práctica los conceptos de probabilidad vistos en clase. .

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SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS PUNTO 1 El grupo debe seleccionar 2 departamentos y realizar un histograma de la variable velocidad del viento y temperatura. ¿Cuál presenta mayor variabilidad? justificar. Los departamentos seleccionados son Boyacá y Amazonas, se estiman resultados favorables en Boyacá por su altitud, y en Amazonas por las lluvias, por lo tanto, para ambos departamentos se extrajeron los datos del Excel del IDEAM [1]. Se analizaron las medidas de tendencia central, media, moda, mediana, mínimos y máximos, la varianza, la desviación estándar, los rangos, los intervalos y amplitud de dichos intervalos para posterior mente agrupar los datos. Amazonas: Medidas de tendencia central Para realizar el cálculo de las medidas de tendencia central se filtró la búsqueda de los datos en el archivo del IDEAM, luego se copiaron en Excel, y se reescribieron con la opción Ctrl+B, la mayoría de las variables, tienen una función en Excel, por lo cual fue bastante útil esta herramienta a continuación unas de ellas. moda (número1: número2) MEDIANA (NÚMERO1: NÚMERO2) DESVEST . M (NÚMERO1: NÚMERO2) NÚMERO DE INTERVALOS 1+3,322*LOG (NÚMERO DE DATOS)

T ABLA 1

Variable

Temperatura °C

Velocidad del viento m/s

Media Moda Mediana Mínimo Máximo Varianza Desviación estándar Rango Intervalos (Regla de Sturges) Amplitud

13,22327408 10,1 12,5 2,4 36,8 16,62401695 4,077256057 34,4 15 2,3

1,795245969 1,9 1,8 0,1 6,3 0,485930681 0,697087284 6,2 15 0,42

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Agrupación de datos para Temperatura Amazonas T ABLA 2

AMAZONAS Temperatura 1 2 3

19,5 21 22,5

20,9 22,4 23,9

Marca de Clase 20,2 21,7 23,2

4

24

25,4

24,7

179

13,79044684

5 6 7 8 9 10 11

25,5 27 28,5 30 31,5 33 34,5

26,9 28,4 29,9 31,4 32,9 34,4 35,9

26,2 27,7 29,2 30,7 32,2 33,7 35,2

144 144 103 65 38 27 13

11,09399076 11,09399076 7,935285054 5,00770416 2,927580894 2,080123267 1,001540832

numero

Intervalo

Frecuencia

Frecuencia relativa

45 306 234

3,466872111 23,57473035 18,02773498

Histograma Temperatura Amazonas 23 4/7

25 20

18 13 4/5

15

11

11

10

8 5

5

3 1/2

3

2

1

0 20,2

21,7

23,2

24,7

26,2

FIGURA 1 H ISTOGRAMA TEMPERATURA

27,7

29,2

AMAZONAS

30,7

32,2

33,7

35,2

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Agrupación de datos para Velocidad del viento en amazonas T ABLA 3

AMAZONAS Velocidad del viento 1 2

0,2 0,36

0,35 0,51

Marca de Clase 0,275 0,435

3

0,52

0,67

0,595

125

9,630200308

4 5 6 7 8 9 10 11

0,68 0,84 1 1,16 1,32 1,48 1,64 1,8

0,83 0,99 1,15 1,31 1,47 1,63 1,79 1,95

0,755 0,915 1,075 1,235 1,395 1,555 1,715 1,875

297 170 324 175 28 37 10 6

22,88135593 13,09707242 24,9614792 13,48228043 2,157164869 2,850539291 0,770416025 0,462249615

numero

Intervalo

Frecuencia

Frecuencia relativa

14 112

1,078582435 8,628659476

Histograma Velocidad del viento Amazonas 30 25 25

22 7/8

20 15

13 1/2

13 8 5/8

10

9 5/8

5 1

2 1/6

2 6/7

1,395

1,555

7/9

1/2

1,715

1,875

0 0,275

0,435

0,595

0,755

0,915

1,075

1,235

FIGURA 2 H ISTOGRAMA V ELOCIDAD DEL VIENTO EN

AMAZONAS

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Boyacá: Medidas de tendencia central Para realizar el cálculo de las medidas de tendencia central se filtró la búsqueda de los datos en el archivo del IDEAM, luego se copiaron en Excel, y se reescribieron con la opción Ctrl+B, la mayoría de las variables, tienen una función en Excel, por lo cual fue bastante útil esta herramienta a continuación unas de ellas. moda (número1: número2) mediana (número1: número2) desvest.m (número1: número2) número de intervalos 1+3,322*LOG (número de datos) T ABLA 4

Variable

Temperatura °C

Velocidad del viento m/s

Media Moda Mediana Mínimo Máximo Varianza Desviación estándar Rango Intervalos (Regla de Sturges) Amplitud

13,22327408 10,1 12,5 2,4 36,8 16,62401695 4,077256057 34,4 15 2,3 Agrupación de datos para Temperatura en Boyacá

1,795245969 1,9 1,8 0,1 6,3 0,485930681 0,697087284 6,2 15 0,42

T ABLA 5

BOYACA Temperatura Intervalo

numero 1 2 3

0,1 2,4 4,7

2,4 4,7 7

Marca de Clase 1,25 3,55 5,85

Frecuencia Frecuencia relativa 41 0,282485876 165 1,136833402 1761 12,13311286

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

7 9,3 11,6 13,9 16,2 18,5 20,8 23,1 25,4 27,7

9,3 11,6 13,9 16,2 18,5 20,8 23,1 25,4 27,7 30

8,15 10,45 12,75 15,05 17,35 19,65 21,95 24,25 26,55 28,85

3864 3161 2560 1471 750 393 198 88 28 19

26,62257131 21,77897203 17,63814248 10,13504203 5,167424556 2,707730467 1,364200083 0,606311148 0,192917183 0,130908089

14

30

32,3

31,15

9

0,062009095

15

32,3

34,6

33,45

6

0,041339396

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Histograma Temperatura Boyacá 30

26 5/8

25

21 7/9

20

17 2/3

15

12 1/8 10 1/7

10 5 1/6 5 2/7

2 5/7

1 1/7

1 3/8 3/5

1/5

1/8

0

0

0 1,25 3,55 5,85 8,15 10,45 12,75 15,05 17,35 19,65 21,95 24,25 26,55 28,85 31,15 33,45 FIGURA 3 H ISTOGRAMA TEMPERATURA EN

B OYACÁ

Agrupación de datos Velocidad del viento para Boyacá T ABLA 6

BOYACA Velocidad del viento numero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Intervalo 2,4 4,7 4,7 7 7 9,3 9,3 11,6 11,6 13,9 13,9 16,2 16,2 18,5 18,5 20,8 20,8 23,1 23,1 25,4 25,4 27,7 27,7 30 30 32,3 32,3 34,6 34,6 36,9

Marca de Clase 3,55 5,85 8,15 10,45 12,75 15,05 17,35 19,65 21,95 24,25 26,55 28,85 31,15 33,45 35,75

Frecuencia 220 957 1952 3938 4647 1771 450 151 115 98 81 61 44 22 7

Frecuencia relativa 1,51577787 6,593633733 13,44908364 27,13242387 32,01736255 12,20201185 3,100454733 1,040374811 0,792338843 0,675210142 0,558081852 0,420283864 0,303155574 0,151577787 0,048229296

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Histograma Velocidad del viento Boyacá 35

32

30

27 1/8

25 20 13 4/9

15 10

12 1/5

6 3/5

5 1 1/2

3 1/9 1

4/5

2/3

5/9

3/7

1/3

1/7

0

0 3,55 5,85 8,15 10,45 12,75 15,05 17,35 19,65 21,95 24,25 26,55 28,85 31,15 33,45 35,75 FIGURA 4 H ISTOGRAMA VELOCIDAD DEL VIENTO

OBSERVACIÓN: Gracias a los histogramas se puede ver una variabilidad en ambos departamentos, si comparamos la temperatura con el viento en cada uno de los departamentos, quien presenta mayor variabilidad es Amazonas, si comparamos ambos departamentos en temperatura son muy parecidos los histogramas, tienen una campana con bastante distribución, y si comparamos los histogramas de velocidad del viento el que presenta mayor variabilidad es Boyacá.

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PUNTO 2 Calcular para cada ciudad los parámetros k y c de la distribución de Weibull, para ello se usaron las ecuaciones 3 y 4 y se sustituyeron en la función de probabilidad f(v) (ecuación 1). 𝜎 −1.09 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 3. 𝐾=[ ] 𝑣 Por lo tanto, sigma es la desviación estándar y v es el promedio de la velocidad del viento, los cuales fueron calculados anteriormente. 𝑣 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 4. 𝑐= 1 𝑟(1 + ) 𝑘

Donde r corresponde a la función Gamma para el valor dentro del paréntesis. Se calcula el valor de k y c para ambos departamentos: AMAZONAS: Valores de velocidad promedio y de sigma 𝜎 = 0,28713216 𝑣 = 0,915177196 Valor de k

𝐾=[

0,28713216 −1.09 ] 0,915177196

𝑘 = 3,537785142 Valor de c 𝑐=

𝑐=

0,915177196 𝑟 (1 +

1 ) 3,537785142

0,915177196 𝑟(1,282662728)

𝑐=

0,915177196 0,90026152

𝑐 = 1,016568163

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BOYACÁ: Valores de Velocidad media y de sigma 𝜎 = 0,697087284 𝑣 = 1,795245969 Valor de k 0,697087284 −1.09 𝐾=[ ] 1,795245969 𝑘 = 2,804220189 Valor de c

𝑐=

𝑐=

1,795245969 𝑟 (1 +

1 ) 2,804220189

1,795245969 𝑟(1,356605378)

𝑐=

1,795245969 0,890501949

𝑐 = 2,015993307

El valor de GAMMA se halla con Excel teniendo en cuenta el valor de (1+1/K) para cada departamento con la siguiente fórmula T ABLA 7

GAMA PARA BOYACÁ FORMULA GAMMA PARA AMAZONAS FORMULA

0,890501949 GAMMA(1,356605378) 0,900261517 GAMMA(1,282662728)

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Las funciones quedarían expresadas de la siguiente forma 𝑓 (𝑣 )𝐴𝑀𝐴𝑍𝑂𝑁𝐴𝑆 3,537785142 3,537785142−1 𝑣 3,537785142 𝑣 [−[ ] ] 1,016558163 =[ ]∗[ ] 𝑒 1,016558163 1,016558163

𝑓 (𝑣 )𝐵𝑂𝑌𝐴𝐶Á 2,804220191 2,804220191−1 𝑣 2,804220191 𝑣 [−[ ] ] 2,015993301 =[ ]∗[ ] 𝑒 2,015993301 2,015993301

PUNTO 3 Graficar la distribución de probabilidad f(v) obtenida en el ítem anterior y compararla con el histograma obtenido en el punto 1) de la velocidad del viento para los departamentos o ciudades seleccionados. ¿Qué puede concluir de las gráficas en relación con el comportamiento de las variables? Para Graficar la distribución de probabilidad se hace uso de la plataforma DESMOS que es una herramienta graficadora de libre uso en internet, AMAZONAS

FIGURA 5 GRAFICA DE LA FUNCIÓN

BOYACÁ

FIGURA 6 GRAFICA DE LA FUNCIÓN

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OBSERVACIÓN: Son similares, muestran una campana donde la variabilidad de los datos de la velocidad del viento es clara, más sin embargo a grandes rasgos se puede estimar que AMAZONAS se descartaría para una posible intervención y se realizaría la instalación de las turbinas eólicas en BOYACÁ. PUNTO 4 Para cada departamento o ciudad seleccionado, obtener el valor de velocidad del viento más probable y el valor de la velocidad del viento que entregaría la máxima energía eólica, use las ecuaciones 5 y 6. Al comparar los valores para los dos departamentos o ciudades seleccionados, ¿cuál de ellos tiene más probabilidad de generar mayor energía eólica? 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5. 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚á𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑙𝑒 1

𝑘−1 𝑘 𝑣𝑚𝑝 = 𝑐 [ ] 𝑘 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 6. 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑔𝑎 𝑙𝑎 𝑚á𝑧𝑖𝑚𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑒ó𝑙𝑖𝑐𝑎 1

𝑘+2 𝑘 𝑣𝑚á𝑥𝐸 = 𝑐 [ ] 𝑘 Para el departamento de Amazonas los datos son 𝑐 = 1,016568163 𝑘 = 3,537785142 Velocidad del viento más probable

𝑣𝑚𝑝 = 1,016568163 [

3,537785142 − 1 3,537785142

1

]

3,537785142

𝑣𝑚𝑝 = 0,9254541047 Velocidad del viento que entrega la máxima energía eólica

𝑣𝑚á𝑥𝐸 = 1,016568163 [ 𝑣𝑚á𝑥𝐸 = 1,1538355735

3,537785142 + 2 3,537785142

1

]

3,537785142

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Para el departamento de Boyacá los datos son 𝑐 = 2,015993307 𝑘 = 2,804220189 Velocidad del viento más probable

𝑣𝑚𝑝 = 2,015993307 [

2,804220189 − 1 2,804220189

1

]

2,804220189

𝑣𝑚𝑝 = 1,72262643 Velocidad del viento que entrega la máxima energía eólica

𝑣𝑚á𝑥𝐸 = 2,015993307 [

2,804220189 + 2 2,804220189

1

]

2,804220189

𝑣𝑚á𝑥𝐸 = 2,442683911 OBSERVACIÓN: Lo que se observa es que Boyacá tiene gran probabilidad de generar mayor energía eólica que Amazonas, con una diferencia pequeña pero significante, con esto se corrobora lo dicho en el punto anterior. PUNTO 5 ¿Cuál es la probabilidad de que la velocidad del viento en uno de los departamentos o ciudades seleccionadas sobrepase percentil 75? (haga uso de la función f(v) obtenida en el punto 4 o de F(v) ecuación 2) 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 =

𝑃75 =

𝑘 (𝑛 + 1) 100

75(14514 + 1) = 10886,25 100

La probabilidad de que la velocidad del viento supere el percentil 75 es de 8.164,5

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PUNTO 6 ¿Cuál es la probabilidad que en uno de los departamentos o ciudades seleccionadas se registre velocidades entre los percentiles 50 a 70? (haga uso de la función f(v) obtenida en el punto 4) Se escoge el departamento de Boyacá ya que los gráficos nos demuestran que es más probable que pueda generar mayor energía eólica que Amazonas, los Percentil que se toman son k=50 y 70 respectivamente, y n=número total de datos. Para Boyacá se tienen N=14514 Datos 𝑘(𝑛 + 1) 100 50(14514 + 1) = = 7257.5 100

𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑃50

𝑃70 =

70(14514 + 1) = 10160.5 100

Teniendo en cuenta estas posiciones, reducimos nuestra tabla de valores para la velocidad del viento a (7257,10161) y pasamos a un n=2895 de datos. Boyacá ṽ = 1,7201 𝜎 = 1,3117 1,3117 −1,09 ] 1,7201 𝑘 = 1,3436 𝑘=[

𝑐=

1,7201 1

𝑟 (1 + 1,3436) 1,7201 𝑐= 0,917771538 𝑐 = 1,8742 Con estos nuevos datos ya se puede calcular la probabilidad 1,3436 1,7201 (1,3436−1) [−(1,7201)]1,3436 𝑓(𝑣) = ( )∗( ) 𝑒 1,8742 1,8742 1,8742 𝑓(𝑣) = 2,1381

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CONCLUSIONES • Los modelos de probabilidad y estadística son de gran utilidad al momento de tomar decisiones en todos los ámbitos de la vida laboral y personal ya que ofrecen una visión más amplia de la información. • El uso de la herramienta de Excel permitió un manejo de los datos eficiente, así mismo como las fórmulas que este programa tiene preestablecidas, además la visualización de gráficos permitió aclarar dudas y comparar respuestas. • A través del desarrollo de este taller se afianzaron los conocimientos y conceptos de probabilidad vistos en clase. • Se pudo apreciar por medios de los modelos de distribución de datos que es más fácil entender la información por medio de graficas que los representen correctamente.

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BIBLIOGRAFÍA [1]https://docs.google.com/spreadsheets/d/1PndlDQJ5esXXtaxlvJWLWzGPiztOh9NzgCk5hX9rKQk/ edit#gid=50990622 https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Weibull https://www.youtube.com/watch?v=Xsg7nR-GvyE https://www.youtube.com/watch?v=CuKr7GzohbI&t=443s https://www.youtube.com/watch?v=Z7Cd4OdFWUg&t=229s https://www.youtube.com/watch?v=XznHWLqwor8&t=1s https://www.youtube.com/watch?v=lbYZW92Hh34&t=2s https://www.youtube.com/watch?v=9piGuCi1R-w