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Trabajo Colaborativo 1

JOHN BARRERA BRAYAM MARTINEZ PERDOMO OCTUBRE 2017

TUTOR: FABIAN BOLIVAR

GRUPO: 23

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería CONTROL ANALOGICO

INTRODUCCION Teniendo en cuenta el trabajo con los sistemas analógicos y con el control sobre ellos, se debe analizar sus características y su respuesta para poder determinar por ejemplo en qué orden se encuentra, el lugar geométrico de sus raíces, su respuesta transitoria y demás aspectos propios de ellos. También encontraremos ejercicios que se desarrollaran bajo las temáticas, como, el criterio de Routh-Hurwitz, error en estado estacionario, respuesta transitoria de sistemas de primer y segundo orden, respuesta en régimen permanente de primer y segundo orden, por último, lugar geométrico de las raíces. Cada estudiante desarrolla los ejercicios de manera individual, comparte el resultado con el grupo y entre todos debaten y llegan a conclusiones coherentes de los resultados. Mediante Matlab se comprueban los resultados postulados por cada uno de los alumnos y al final, se eligen los mejores y se compilan en un solo documento para hacer entregado en el entorno de Evaluación y Seguimiento.

OBJETIVOS Poner en práctica de lo aprendido con la fase 1 que corresponde a la dinámica y estabilidad de sistemas continuos. También aplicar cada una de las temáticas plasmadas en esa unidad, las cuales son: 1. 2. 3. 4. 5.

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz Error en estado estacionario Respuesta transitoria de sistemas de primer y segundo orden Respuesta en régimen permanente de sistemas de primer y segundo orden Lugar geométrico de las raíces

6.

Simulación en Matlab – Scilab (componente práctico)

1. a) Utilizando el criterio de Routh-Hurwitz, determine el rango de valores de K para los cuales el siguiente sistema es estable:

Función de transferencia 𝐻(𝑠) = 𝐾

𝐹𝐷𝑇 =

𝐺(𝑠) 1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)

𝑠+1 𝑠+1 𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 + 6) 𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 + 6) 𝐹𝐷𝑇 = = 𝐾𝑠 + 𝐾 𝑠+1 1+ 1+𝐾 𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 + 6) 𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 + 6)

𝐹𝐷𝑇 =

𝑠+1 𝑠(𝑠−1)(𝑠+6) 𝑠(𝑠−1)(𝑠+6)+𝐾𝑠+𝐾 𝑠(𝑠−1)(𝑠+6)

Simplificando queda 𝐹𝐷𝑇 =

𝑠+1 𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 + 6) + 𝐾𝑠 + 𝐾

Ecuación para realizar la estabilidad 𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 + 6) + 𝐾𝑠 + 𝐾 = 0

Multiplicando

𝑠 3 + 5𝑠 2 − 6𝑠 + 𝐾𝑠 + 𝐾 = 0 𝑠 3 + 5𝑠 2 − (6 − 𝐾)𝑠 + 𝐾 = 0

Tabulación de Routh-Hurwitz

1 𝑏1 = 5 (

−(6 − K) ) (−5(6 − 𝐾) − (1 ∗ 𝐾)) (−30 + 5𝐾 − 𝐾) 4𝐾 − 30 𝐾 = = = 5 5 5 5 1 0 ( ) 𝑏2 = 5 0 = 0 5 5 K (4𝐾 − 30 ) 4𝐾 − 30 ( ∗ 𝐾) − (5 ∗ 0)) 0 5 5 𝑐1 = = =𝐾 4𝐾 − 30 4𝐾 − 30 5 5 5 0 (4𝐾 − 30 ) 0 5 𝑐2 = =0 4𝐾 − 30 5

s3

1

-(6-K)

0

s2

5

K

0

s1

4𝐾 − 30 5

0

0

s0

K

0

0

Condiciones de estabilidad 𝑠0 → 𝐾 > 0 𝑠1 →

4𝐾 − 30 > 0 → 4𝐾 − 30 > 0 = 4𝐾 > 30 5

𝐾>

30 4

Valor de estabilidad 0 7,5

b) Demostrar, utilizando matlab, simulink o scilab, que el rango encontrado en el ítem anterior es correcto.

7.5

10

2. Se tiene el siguiente sistema en lazo cerrado

𝐺(𝑠) =

𝑘 (𝑠 + 1)(𝑠 + 3)

a) Hallar el valor de K para que dicho sistema tenga un error en estado estacionario del 10% ante una entrada escalón de magnitud 5. Calcule la constante estática de error de posición.

Constante estática de error de posición. 𝑲𝒑= 𝐥𝐢𝐦 𝑮(𝒔)𝑯(𝒔) 𝒔→𝟎

𝑲

𝟓 𝟓 𝒑= 𝐥𝐢𝐦 = =𝟏.𝟔𝟔 𝒔→𝟎 (𝒔+𝟏)(𝒔+𝟑) 𝟑

b) Demostrar mediante simulación que el valor de K hallado en el ítem anterior es correcto. 𝒆𝒔𝒔 =

𝑹𝟏 𝟏+𝑲𝒑

𝒆𝒔𝒔 =

𝟓 𝟏+𝟏.𝟔𝟔

1.87

Ecu

=

Ecuación referente a un sistema de lazo cerrado (

𝑐(𝑠) 𝐺(𝑠) )=( ) 𝑟(𝑠) 1 + 𝐺(𝑠)

𝑘 𝑐(𝑠) (𝑠 + 1)(𝑠 + 3) ( )= 𝑘 𝑟(𝑠) 1+ (𝑠 + 1)(𝑠 + 3) 𝑘 𝑐(𝑠) (𝑠 + 1)(𝑠 + 3) ( )= 1 𝑘 𝑟(𝑠) 1 + (𝑠 + 1)(𝑠 + 3) 𝑘 𝑐(𝑠) (𝑠 + 1)(𝑠 + 3) ( )= (𝑠 + 1)(𝑠 + 3) + 𝑘 𝑟(𝑠) (𝑠 + 1)(𝑠 + 3) (

𝑐(𝑠) 𝑘 )= (𝑠 + 1)(𝑠 + 3) + 𝑘 𝑟(𝑠)

Tenemos los valores de 𝑮(𝒔) Función de transferencia y 𝒓(𝒔) que corresponde a la entrada de escalón unitario: 𝐺(𝑠) =

𝑘 (𝑠 + 1)(𝑠 + 3) + 𝑘

𝑟(𝑠) =

1 𝐸(𝑠) ( )=( ) 1 + 𝐺(𝑠) 𝑟(𝑠)

(

𝑟(𝑠) ) = 𝐸(𝑠) 1 + 𝐺(𝑠)

1 5 ∗5= 𝑠 𝑠

5 𝑆

( 1+

𝑘 (𝑠 + 1)(𝑠 + 3)

) = 𝐸(𝑠)

𝑒𝑠𝑠 = lim 𝑠𝐸(𝑠) 𝑠→0

𝑒𝑠𝑠 = lim 𝑠 ( 𝑠→0

𝑒𝑠𝑠 = lim 𝑠 ( 𝑠→0

5 𝑠 𝑘 1+ (𝑠 + 1)(𝑠 + 3) 5 𝑠 1 𝑘 1 + (𝑠 + 1)(𝑠 + 3)

)

)

5 𝑠 𝑒𝑠𝑠 = lim 𝑠 ( ) (𝑠 + 1)(𝑠 + 3) + 𝑘 𝑠→0 (𝑠 + 1)(𝑠 + 3) 5𝑠 𝑠 𝑒𝑠𝑠 = lim ( ) (𝑠 + 1)(𝑠 + 3) + 𝑘 𝑠→0 (𝑠 + 1)(𝑠 + 3)

𝑒𝑠𝑠 = lim ( 𝑠→0

5 ) (𝑠 + 1)(𝑠 + 3) + 𝑘 (𝑠 + 1)(𝑠 + 3)

5 1 𝑒𝑠𝑠 = lim ( ) (𝑠 + 1)(𝑠 + 3) + 𝑘 𝑠→0 (𝑠 + 1)(𝑠 + 3)

𝑒𝑠𝑠 = lim ( 𝑠→0

5((𝑠 + 1)(𝑠 + 3)) ) (𝑠 + 1)(𝑠 + 3) + 𝑘

5(𝑠 2 + 4𝑠 + 3) 𝑒𝑠𝑠 = lim ( 2 ) (𝑠 + 4𝑠 + 3) + 𝑘 𝑠→0 5𝑠 2 + 20𝑠 + 15 𝑒𝑠𝑠 = lim ( 2 ) 𝑠 + 4𝑠 + 3 + 𝑘 𝑠→0 5(0)2 + 20(0) + 15 𝑒𝑠𝑠 = lim ( 2 ) (0) + 4(0) + 3 + 𝑘 𝑠→0 15 𝑒𝑠𝑠 = ( ) 3+ 𝑘 A partir de 𝒆𝒔𝒔 el cual equivale al 10% de entrada de escalón unitario con magnitud 5; hallamos el valor de 𝒌 despejando: 𝑒𝑠𝑠 = 10% ∗ 5 𝑒𝑠𝑠 = 0.5 15 𝑒𝑠𝑠 = ( ) 3+ 𝑘 0.5 = (

𝑘=(

15 ) 3+ 𝑘

15 )−3 0.5

𝑘 = 32 − 3 𝑘 = 29

c) Calcular los parámetros de la respuesta transitoria del sistema en lazo cerrado con la ganancia encontrada K (ganancia en lazo cerrado, coeficiente de amortiguamiento, frecuencia natural no amortiguada, frecuencia natural amortiguada, valor final, sobreimpulso, tiempo pico, tiempo de establecimiento y tiempo de subida). Como primer paso determinamos que el sistema es de segundo orden debido a que el exponente mayor que se encuentra en la función es de grado 2; por consiguiente se utiliza el modelo equivalente: w𝑛2 𝑠 2 + 2𝜉𝑤𝑛 𝑠 + w𝑛2 Donde: 𝑤𝑛 = Frecuencia natural 𝜉 = Coeficiente de amortiguamiento -

Ganancia en lazo cerrado:

(

𝑐(𝑠) 𝑘 )=( ) (𝑠 + 1)(𝑠 + 3) + 𝑘 𝑟(𝑠)

(

(

𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 → 𝑘 = 29

𝑐(𝑠) 𝑘 )=( 2 ) 𝑟(𝑠) 𝑠 + 4𝑠 + 3 + 𝑘

𝑐(𝑠) 29 )=( 2 ) 𝑟(𝑠) 𝑠 + 4𝑠 + 3 + 29

(

𝑐(𝑠) 29 )=( 2 ) 𝑟(𝑠) 𝑠 + 4𝑠 + 32

w𝑛2 𝑠 2 + 2𝜉𝑤𝑛 𝑠 + w𝑛2

→

29 ( 2 ) 𝑠 + 4𝑠 + 32

-

Frecuencia natural: w𝑛2 = 29 𝑤𝑛 = √29 𝑤𝑛 = 5.38

-

Coeficiente de amortiguamiento: 2𝜉𝑤𝑛 = 4 4 𝜉= 2 ∗ 5.38 𝜉 = 0.37

-

Frecuencia natural amortiguada: 𝑤𝑑 = 𝑤𝑛 √1 − 𝜉 2 𝑤𝑑 = 5.38√1 − (0.37)2 𝑤𝑑 = 5.38√1 − 0.1369 𝑤𝑑 = 5.38√0.8631 𝑤𝑑 = 5.38(0.9290) 𝑤𝑑 = 4.99

-

Atenuación: 𝜎 = 𝜉𝑤𝑛 𝜎 = 0.37 ∗ (5.38) 𝜎 = 1.99

-

Err:

𝑤𝑑 𝜎 4.99 𝛽 = tan−1 1.99 𝛽 = tan−1

𝛽 = 0.04 -

Tiempo de crecimiento: 𝑡𝑟 = 𝑡𝑟 =

𝜋−𝛽 𝑤𝑑

𝜋 − 0.04 5.38

𝑡𝑟 = 3.1341

-

Tiempo Pico: 𝜋 𝑤𝑑 𝜋 𝑡𝑝 = 5.38 𝑡𝑝 =

𝑡𝑝 = 0.5839

-

Tiempo Establecimiento: 4 𝜎 4 𝑡𝑠 = 1.99 𝑡𝑠 =

𝑡𝑠 = 2.01

-

Sobre impulso máximo: 𝑀𝑝 = 𝑒

𝜎 −( )𝜋 𝑤𝑑 1.99

𝑀𝑝 = 𝑒 −(5.38)𝜋 𝑀𝑝 = 1.5562

3. Para los siguientes sistemas, encontrar los parámetros de la respuesta transitoria ante entrada escalón unitario. Recordar que para un sistema de primer orden los parámetros son la ganancia estática, constante de tiempo, tiempo de subida y tiempo de asentamiento; para sistemas de segundo orden los parámetros son coeficiente de amortiguamiento, frecuencia natural no amortiguada, ganancia, frecuencia natural amortiguada, factor de atenuación, sobre impulso, tiempo pico, tiempo de subida, tiempo de establecimiento y valor final:

a. Sistema de primer orden G(s) =

4 s+4

Según la ecuación para un sistema de primer orden comparar con nuestra función de transferencia. 𝐺(𝑠) =

𝐾 1+𝑇𝑠

podemos deducir el valor de 𝐾al

4 𝑠+4

Para obtener que nuestra función de transferencia cumpla con las características de la ecuación para sistemas de primer orden, realizamos la siguiente operación: 𝐺(𝑆) =

1 4 (4)

1 1 =𝑠 = 1 (𝑠 + 4) ( ) 4 + 1 0.25𝑠 + 1 4 𝑮(𝑺) =

𝟏 𝟎. 𝟐𝟓𝒔 + 𝟏

Una obtenida nuestra función de transferencia deducimos los valores de la ecuación: 𝐾=1

Ganancia estática

𝑇 = 0.25

Constante de Tiempo

Para hallar el tiempo de subida utilizamos la ecuación siguiente: 𝑡𝑟 = 2.2𝑇 𝑡𝑟 = 2.2 ∗ (0.25) = 0.55𝑠

Para hallar el tiempo de asentamiento utilizamos la ecuación siguiente 𝑡𝑠 = 4𝑇 𝑡𝑠 = 4 ∗ (0.25) = 1𝑠

b. Sistema de segundo orden G(s) =

s2

12 + 2s + 4

Procedemos a hallar la constante estática de error de posición 𝐾𝑝 𝐾𝑝 = lim 𝐺(𝑠) 𝑆→0

𝐾𝑝 = lim

𝑆→0 s 2

𝑲𝒑 =

(𝟎)𝟐

12 + 2s + 4

𝟏𝟐 𝟏𝟐 = =𝟑 + 𝟐(𝟎) + 𝟒 𝟒

Hallamos el error en estado estacionario 𝑒𝑠𝑠 𝑒𝑠𝑠 = 𝒆𝒔𝒔 =

1 1 + 𝐾𝑝

𝟏 = 𝟎. 𝟐𝟓 𝟏+𝟑

El valor final de nuestro sistema es: 𝐶(𝑆) = 𝑅(𝑆) − 𝑒𝑠𝑠 𝑪(𝑺) = 𝟏 − 𝟎. 𝟐𝟓 = 𝟎. 𝟕𝟓

Hallamos la función de transferencia con retroalimentación negativa unitaria. 𝐶(𝑆) 𝐺(𝑆) = 𝑅(𝑆) 1 + 𝐺(𝑆) 𝐻(𝑆)

12 𝐶(𝑆) 2 12 = s + 2s + 4 = 2 12 𝑅(𝑆) 1 + s + 2s + 16 s2 + 2s + 4 𝑪(𝑺) 𝟏𝟐 = 𝟐 𝑹(𝑺) 𝐬 + 𝟐𝐬 + 𝟏𝟔 Utilizamos la ecuación característica para sistemas de segundo orden para determinar los parámetros de la respuesta transitoria. 𝑲𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 + 𝟐𝜹𝝎𝒏 𝒔 + 𝝎𝒏 𝟐 En este caso asumimos la función de transferencia suministrada en el ejercicio para reemplazar los valores en la ecuación característica y determinar los parámetros. 𝜔𝑛 2 = 16 𝜔𝑛 = √16 = 4 𝝎𝒏 = 𝟒

Frecuencia natural no amortiguada

𝐾𝜔𝑛 2 = 12 𝐾=

12 12 = = 0.75 𝜔𝑛 2 16

𝑲 = 𝟎. 𝟕𝟓

Ganancia

2𝛿𝜔𝑛 𝑠 = 2𝑠 𝛿=

2𝑠 1 1 = = = 0.25 2𝜔𝑛 𝑠 𝜔𝑛 4

𝜹 = 𝟎. 𝟐𝟓

Coeficiente de amortiguamiento

𝜔𝑑 = 𝜔𝑛 √1 − 𝛿 2 𝜔𝑑 = 4√1 − (0.25)2 = 4 ∗ (0.97) = 3.88 𝝎𝒅 = 𝟑. 𝟖𝟖

Frecuencia natural amortiguada

%𝑶𝑺 = 100𝑒 %𝑶𝑺 = 100𝑒

−

𝛿𝜋 √1−𝛿 2

−

0.25𝜋 √1−0.252

%𝑶𝑺 = 100 ∗

1 𝑒 0.80

= 100 ∗

%𝑶𝑺 = 𝟒𝟒. 𝟖%

𝑡𝑝 =

𝝅

Sobre impulso

Tiempo de pico

𝜋 4 4 , 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 2% 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑠 = 4𝑇 = = 𝜗 𝜗 𝛿𝜔𝑛 𝟒

𝟒

𝒕𝒔 = 𝜹𝝎 = 𝟎.𝟐𝟓(𝟒) = 𝟒 𝒔 𝒏

𝑡𝑟 =

1 = 100 ∗ 0.448 = 44.8% 2.23

𝜋 𝜔𝑑

𝒕𝒑 = 𝟑.𝟖𝟖 = 𝟎. 𝟖𝟏𝒔

𝑡𝑠 =

0.78

= 100𝑒 −0.97 = 100𝑒 −0.80

Tiempo de establecimiento

𝜋 − (cos−1 𝛿) 𝜋 − 1.32 1.82 = = = 0.47 𝜔𝑑 3.88 3.88

𝒕𝒓 = 𝟎. 𝟒𝟕 𝒔

Tiempo de subida

CONCLUSIONES



A lo largo de este documento se puede observar el desarrollo de los problemas y ejercicios propuestos en el anexo 1, el cual nos ha permitido consolidar los aportes realizados por los diferentes integrantes del curso y escoger los más completos para llevar a cabo este documento.



Los estudiantes se familiarizaran con los conceptos y ecuaciones de la dinámica y estabilidad de sistemas continuos.



Los estudiantes interactúan al debatir sobre los resultados de los resultados.



Se calcula valores de cualquier circuito que se le asigne al estudiante.



Al trabajar en equipo se cumple con las metas fijadas por el grupo.



Se comprenden las diferentes fórmulas y análisis que se debe hacer con Laplace, Routh-Hurwitz, criterios de amortiguamiento, polos y ceros para el comprender la respuesta que tendrá el circuito, y como aplicarlas.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 

Aguilar, D. (2012, 06). 057 Sistemas de Control Estabilidad Criterio de Routh Hurwitz Caso1. Youtue. Obtenido 03, 2017, de https://www.youtube.com/watch?v=nNeTmE48f64

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(2016, 05). Teorema de Routh-Hurwitz. Wikipedia. Obtenido 03, 2017, de https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Routh-Hurwitz

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(2010, 03). Error en estado estacionario. Gama. Obtenido 03, 2017, de http://gama.fime.uanl.mx/~agarcia/materias/ingco/apclas/06%2 0%20Error%20en%20Estado%20Estable%20o%20Estacionario.pdf



Alvarado, H. (2013, 11). Analisis de error en estado estacionario. Slideshare. Obtenido 03, 2017, de https://es.slideshare.net/khenryhgaj/clase8mod

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(2010, 01). Analisis de la respuesta transitoria. Ciecfie. Obtenido 03, 2017, de http://ciecfie.epn.edu.ec/wss/VirtualDirectories/80/CControlC/materias/automatico /Des cargas/An%C3%A1lisis/Lecturas/Lecturas_PDF/LECTURA_ANALISIS.pdf

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(2000, 08). Análisis en el dominio del tiempo de sistemas de primer y segundo orden

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. Elai. Obtenido 03, 2017, de http://www.elai.upm.es/webantigua/spain/Asignaturas/Servos/Apuntes/6_AnaTem p_1_ 2.pdf

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(2002, 09). Respuesta en el régimen permanente de sistemas realimentados . Elai. Obtenido 03, 2017, de http://www.elai.upm.es/webantigua/spain/Asignaturas/Servos/Apuntes/9_ErrorReg Per. pdf