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Calculo integral Trabajo colaborativo No 2

TRABAJO COLABORATIVO No. 2

CALCULO INTEGRAL 100411_113

INTEGRANTE: Carlos Martin Rivas Dalmiro Rodríguez Hernández Milton Cesar Moreno Rodríguez

TUTORA: SANDRA PATRICIA HERNANDEZ

UNAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Abril 17 2009

INTRODUCCION

Calculo integral Trabajo colaborativo No 2

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral

es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x. La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

1)

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3x 2 − 7 x ∫ 3x + 2 Se Define los polinomios para ser divididos. Si no hay un término para cada exponente, se toma el valor de 0. 3 x + 2)3 x 2 − 7 x + 0 Se Divide el término de orden más alto en el dividendo por el término de orden más alto en el divisor 3x. x 2 3 x + 2)3 x − 7 x + 0 Se Multiplica el término de cociente nuevo por el divisor x 3 x + 2)3 x − 7 x + 0 3x2 + 2 x 2

La expresión tiene que ser restada del dividendo, 3 x 2 + 2 x x 3 x + 2)3 x − 7 x + 0 −3 x 2 − 2 x 2

Reste el dividendo último del polinomio multiplicado para encontrar el dividendo nuevo x 3 x + 2)3 x 2 − 7 x + 0 −3 x 2 − 2 x -9x x 3 x + 2)3 x − 7 x + 0 −3 x 2 − 2 x 2

-9x +0 Divídase el orden más alto en el dividendo-9x por el término de más alto en el divisor 3x x-3 2 3 x + 2)3 x − 7 x + 0 −3 x 2 − 2 x

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-9x +0 Multiplicar el término de cociente nuevo por el divisor x-3 3 x + 2)3 x − 7 x + 0 −3 x 2 − 2 x 2

-9x +0 -9x -6 La expresión tiene que ser restada del dividendo, entonces -9x-6 x-3 3 x + 2)3 x − 7 x + 0 −3 x 2 − 2 x 2

-9x +0 9x +6 Reste el dividendo último del polinomio multiplicado para encontrar el dividendo nuevo x-3 2 3 x + 2)3 x − 7 x + 0 −3 x 2 − 2 x -9x +0 9x +6 6 La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor 6 x −3+ 3x + 2 La integral de las expresiones es igual a la suma de las integrales de cada expresión 6

∫ xdx − ∫ 3dx + ∫ 3x + 2 dx Para encontrar la integral de x, encuentre la antiderivada. La fórmula para la x n +1 antiderivada de un monomio básico es ∫ x n = dx n +1

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1 * x1+1 1 +1 2 2 Multiplicar 1 por x entonces x x2 2 1*

La integral de una de las constantes en lo que concierne a x es la constante x. -3x Sustituya 3x+2 por la u para simplificar la integral u = 3x+2 Encuentre una ecuación que relaciona el valor de dx a du. Donde du = 3 dx du 3 Sustituya el valor encontrado para dx para que la integral sea en términos de u

du = 3 dx,

dx =

61

∫ u 3 du Cancele el factor común de 3 del numerador del primer término denominador del segundo término 2

∫ u 1du

6 y el u

1 3

2

∫ u du

1 2 es ln ( u ). La integral de u u 2 ln( u ) = 2 ln( u ) + c

La integral de

es

Sustituya u =3x+2 en la solución integral para encontrar la solución en términos de x

2 ln( 3x + 2 ) + c La integral de x − 3 +

6 x2 es − 3x + 2 ln( (3x + 2) ) + c 3x + 2 2

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2) ∫(sec x +tan x ) dx ∫ (sec x +tan x ) dx ∫ (sec x +2 sec x tan x +tan x)dx ⇒trinomio ∴cuadrado ∴perfecto ∫ sce xdx +∫ 2 sec x tan x +∫ tan xdx ⇒ propiedad ∴linealidad ∴int egral ∫ sce xdx +2∫sec x tan x +∫ tan xdx ⇒ propiedad ∴linealidad ∴int egral ∫ sce xdx +2∫sec x tan x +∫ (sec x −1)dx ⇒identidad ∴pitagorica ∫ sce xdx +2∫sec x tan x +∫sec xdx −∫ dx ⇒linealidad ∴int egral 2 ∫ sce xdx +2 ∫ sec x tan x −∫ dx + 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 tan x +2 sec x − x +c

Multiplicamos tanto en el denominador como en el numerador por

Aplicamos el método de integración “sustitución simple”:

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Sustituyendo a u por sus variables reales tenemos:

6) 5 x −3

∫ ( x +1)( x −3) dx

b  a ( x −3) + b( x +1)  a = ∫ + ⇒ dx = ∫ ( x +1)( x −3)  x +1 x −3  5 x −3 = a ( x −3) + b( x +1) 5 x −3 = ( a + b ) x −3a + b 5 x −3

∫ ( x +1)( x −3)dx

a +b = 5 −3a + b = −3 ⇔4a = 8 ⇒a = 2 ⇒b = 3 5 x −3

3  1 1  2 = ∫ + dx = 2 ∫ dx + 3∫ dx ⇒linealidad  x +1 x −3  x +1 x −3  2 Ln x +1 + 3Ln x −3 + c

∫ ( x +1)( x −3)dx

∴int egral

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8)

∫x

5

x 2 + 4dx

El radical de un termino en la forma

x 2 + a 2 dx , se hace la sustitución x=2tan (θ)

Para encontrar el valor de dx se encuentra la antiderivada de 2tan (θ). dx = 2sec2 ( θ ) dθ Encontrar la antiderivada de d dx = 2 tan ( θ ) dθ dθ 2 La derivada de 2 tan ( θ ) es 2 sec ( θ ) d dx = 2 tan ( θ ) = 2sec 2 ( θ ) d θ dθ Sustituyo los valores de x y dx en términos de θ

∫ 2 tan ( θ ) ∫ 2 tan ( θ ) 5

2 tan 2 ( θ ) + 4.2sec2 ( θ ) dθ

5

4 tan 2 ( θ ) + 4.2sec2 ( θ ) dθ

Simplificar 4 tan 5 ( θ ) ∫ cos2 ( θ ) dθ Reemplazo tan(θ) con u u= tan(θ)

du du = sec 2 ( θ ) dθ  dθ = sec2 ( θ ) Reemplazo el valor para dθ y la integral en términos de u 4u 5 1 ∫ cos 2 ( θ ) . sec 2 ( θ ) du 

4u 5 ∫ sec 2 ( θ ) cos 2 ( θ ) du

2 2 2 2 Multiplico cos ( θ ) por sec ( θ ) para obtener cos ( θ ) sec ( θ )

4u 5 ∫ cos 2 ( θ ) sec 2 ( θ ) du

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4u 5 cos2 ( θ ) ∫ cos2 ( θ ) du 

∫ 4u du 5

Para encontrar la integral de 4u 5 , se encuentra la antiderivada. n ∫x =

4.

x n +1 dx n +1

1 5+1 2u 6 .u  5 +1 3

Reemplazo u=tan (θ) 2 tan 6 ( θ ) +c 3

Sustituyo la solución de la ecuación por θ, para retomar el resultado en términos de x x x6 θ = arctan  2 96 3/2 1 x 2 + 4 ) ( 15 x4 − 48 x2 + 128 ) + c ( 105

9)

∫x

3

x 2 − 9dx

x 2 − a 2 , se hace la sustitución x = 3sec ( θ ) Para encontrar el valor de dx se encuentra la antiderivada de 3sec ( θ ) El término radical es la forma

dx = 3sec ( θ ) tan ( θ ) dθ

d 3sec ( θ ) d θ dθ La derivada de 3sec ( θ ) es 3(sec ( θ ) tan ( θ ) )d θ d dx = 3sec ( θ ) = 3sec ( θ ) tan (θ ) dθ dθ Sustituyo los valores de x y dx para poner la integral en términos de θ. dx =

∫ ( 3sec ( θ ) ) ( 3sec ( θ ) ) 3

2

− 9.3sec( θ) tan( θ) d θ

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Reemplazo sec ( θ ) con una expresión equivalente

∫ ( 3sec ( θ ) )

3

∫ ( 3sec ( θ ) )

3

(

3 )2 − 9.3sec ( θ ) tan ( θ ) d θ cos ( θ )

(

32 ) − 9.3sec (θ ) tan (θ ) dθ cos 2 ( θ )

1 cos ( θ )

La cuadratura de un número es la misma como la multiplicación del número por sí mismo (3*3) 3 3 ∫ ( 3sec ( θ ) ) (3. cos2 ( θ ) ) − 9.3sec ( θ ) tan ( θ ) dθ

∫ ( 3sec ( θ ) )

3

∫ ( 3sec ( θ ) )

3

(

9

cos 2 ( θ ) 9

cos 2 ( θ )

) − 9.3sec ( θ ) tan ( θ ) d θ



− 9.3sec ( θ ) tan ( θ ) dθ

Para agregar fracciones, los denominadores deben ser iguales. Los denominadores se pueden hacer iguales encontrando el mínimo común 2 denominador es cos ( θ ) . Después, multiplico cada fracción por el factor de 1.

∫ ( 3sec ( θ ) )

3

9

cos 2 ( θ )

− 9.

cos2 ( θ ) .3sec( θ) tan( θ) d θ cos 2 ( θ )

2 2 Multiplico -9 por cos ( θ ) para obtener −9 cos ( θ )

∫ ( 3sec ( θ ) )

3

∫ ( 3sec ( θ ) )

3

∫ ( 3sec ( θ ) )

3

9 cos2 ( θ ) − .3sec( θ ) tan( θ) d θ cos2 ( θ ) cos 2 ( θ ) 9

9 − 9 cos2 ( θ ) .3sec ( θ ) tan ( θ) d θ cos 2 ( θ ) 9 − (1 − cos2 ( θ ) .3sec ( θ ) tan ( θ) d θ cos2 ( θ )

2 2 2 2 Se reemplaza 1 − cos ( θ ) con sen ( θ ) usando la identidad sen ( x ) + cos ( x) = 1

∫ ( 3sec ( θ ) )

3

∫ ( 3sec ( θ ) )

3

9( sen 2 ( θ ) ) .3sec ( θ ) tan ( θ) d θ cos 2 ( θ ) 9 sen 2 ( θ ) .3sec( θ ) tan ( θ) d θ cos 2 ( θ )

Simplifico la integral

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243 tan 2 ( θ ) ∫ cos3 ( θ ) dθ Sustituyo la solución de la ecuación por θ para volver los resultados en términos de x.  x θ = arcsec    3 3/2 1 2 x − 9 ) ( x2 + 6 ) ( 5

10)

∫ tan ( x ) dx 5

tan 4 ( x ) 4

−

tan 2 ( x ) 2

+ log(sec( x)) + c

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CONCLUSIONES

Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería. Bernard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional. Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como Integral de Lebesgue.