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Facultad De Ingeniería Y Ciencias Básicas

Trabajo Colaborativo

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano Trabajo Colaborativo -Calculo I

Grupo 46

Neira Maryelie Calderón Palencia Código: 1811982203 Yiseth Lorena Rivas Moreno Código: 1811982631

Presentado A: Luisa Fernanda Martínez

Institución Universitaria Politécnico Gran Colombiano Facultad De Ingeniería Y Ciencias Básicas Ingeniería Industrial Colombia 2018

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Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano Introducción

El Cálculo es una rama de las Matemáticas muy utilizado en Ciencias, Tecnología, Ingeniería e Investigación, ya que a través de este, se estimulan y desarrollan diversas habilidades y competencias. Pero para que esto se cumpla, es necesario un trabajo planificado y sistemático y sobretodo en equipo. En el presente trabajo hablaremos acerca del análisis, procedimiento, argumento, reflexiones, síntesis y del debate del foro que se generó a partir de la actividad propuesta, basándonos en el aporte de cada uno de los integrantes del trabajo colaborativo; se estudiaron temas tales como; características del teorema del seno y del coseno, procesos algebraicos, elementos de triángulos no rectángulos mediante el teorema del seno y coseno. Objetivo General Plantear, identificar, comprender y aplicar los conocimientos relacionados con la temática de la unidad y visualizar como el transporte aéreo ha acortado las distancias y lo útil que es la trigonometría para calcularlas.

El transporte aéreo Ejercicio 1: ¿Se tienen tres ciudades A, B y C; y se conoce la distancia entre A y B, y la distancia entre A y C. ¿Cómo se puede determinar trigonométricamente hablando, la distancia entre las ciudades B y C?. Explique claramente su respuesta. Cuando se habla de la connotación Trigonométrica se refiere a la base de las relaciones entre ángulos y lados o aristas de un triángulo donde intervienen el seno , el coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante . Para ilustrar la pregunta tenemos la siguiente imagen:

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Figura 1 De acuerdo con el enunciado conocemos: • •

Distancia entre A y B Distancia entre A y C

Para poder determinar la distancia entre B y C requerimos la medida del ángulo que forman los segmentos AB y AC; vamos a nombrar ese ángulo como α y representamos la imagen de tal forma que el segmento AB quede sobre el eje horizontal del plano.

Figura 2

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De acuerdo con la imagen tenemos las siguientes definiciones: • • •

x = distancia entre A y B, es decir la longitud del segmento AB m = distancia entre A y C, es decir la longitud del segmento AC α = ángulo formado entre los segmentos m y x

En la imagen trazamos una línea desde C y que sea perpendicular al segmento x. Este nuevo segmento lo llamamos h. Notemos que h al cortar el segmento x forma dos ángulos rectos. Igualmente el segmento h divide al segmento x y de allí se forman los segmentos t y v. De acuerdo con temas vistos en Álgebra Lineal, Vectores en R2, podemos presentar las siguientes afirmaciones: •

La longitud de h se encuentra al multiplicar el valor de m por el Seno del ángulo α: h = m . sen α

•

La longitud de t se encuentra al multiplicar el valor de m por el Coseno del ángulo α: t = m . cos α

Una vez calculados los valores de los segmentos h y t, procedemos a calcular la longitud del segmento v: •

La longitud de v se encuentra al restar del valor de x el valor de t: v=x-t

Finalmente tenemos un triángulo rectángulo formado por los segmentos h, v y el segmento BC; del triángulo ya conocemos los valores de los dos catetos h y v; entonces calculamos el valor de su hipotenusa (segmento BC): •

La longitud de la hipotenusa BC se encuentra aplicando el Teorema de Pitágoras:

Conclusión Ejercicio 1:

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La longitud del segmento BC corresponde a la distancia entre las ciudades B y C que era lo que se quería determinar. Ejercicio 2: En la siguiente imagen se muestran algunas rutas de una aerolínea que funciona en Colombia, las distancias entre Bogotá y algunos de sus destinos. Con base en ésta responda las siguientes preguntas: a) Si la aerolínea desea crear rutas que conecten dichas ciudades, ¿escriba una función para establecer el costo del combustible por vuelo? Sugerencia: Tenga en cuenta el tipo de aeronave. b) Calcule la distancia que hay entre la ciudad de Bogotá y Barranquilla, además encuentre los ángulos que faltan para resolver el triángulo Bogotá-BarranquillaRionegro. Desarrollo numeral 2a): Inicialmente debemos conocer el valor de las variables requeridas en la función. • Modelo Aeronave: requerimos el modelo de la aeronave para conocer una de sus características que es la distancia que recorre por cada galón de combustible, en este caso las unidades de medida serán en cantidad de Kilómetros recorridos por galón. De acuerdo con la investigación sobre el consumo de combustible de un avión comercial en Colombia adjuntamos una sección de un artículo publicado en Internet: "Un Boeing, de los aviones más comerciales, el 747 o Jumbo, utiliza aproximadamente 1 galón de combustible (unos 4 litros) cada segundo. En el transcurso de 10 horas de vuelo, podría quemar 36,000 galones (150,000 litros). Datos de acuerdo con el sitio web de la compañía, dicen que un 747 consume aproximadamente 1,200 litros cada 100 kilómetros. Recordemos que es un avión de 360 toneladas y que lleva más de 500 pasajeros." Bibliografía: Artículo: ¿Cuánto combustible gasta un avión comercial? Fuente: Sadi (México)

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Enlace: http://www.sadi.mx/blog/item/32-cuanto-combustible-gasta-un-avion-comercial De esta forma podemos concluir que el Jumbo 747 consume aproximadamente 12 litros por kilómetro Convertimos la unidad para establecer la distancia recorrida por galón: Como 1 galón equivale a 3,78 litros, entonces:

•

La segunda variable que debemos conocer es la distancia del recorrido en kilómetros para el vuelo. Distancia de recorrido: (Distancia de Recorrido) = dada en Kilómetros.

• •

La tercera variable que debemos conocer es el valor de cada galón de combustible (Valor por galón) = dado en $ colombianos. Conociendo estos valores debemos calcular inicialmente la cantidad de combustible en galones requerida para recorrer la distancia del vuelo (Galones requeridos).

Ya conociendo la cantidad de combustible requerida para recorrer la distancia del vuelo solo falta calcular el Valor de Combustible por Vuelo.

Para el caso de que el avión que efectúa la ruta sea un Jumbo 747 entonces:

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En donde: 1. La variable Distancia de Recorrido está representada por la distancia entre las

ciudades de nuestra imagen (Bogotá, Cali, Rionegro y Barranquilla) 2. El Valor por galón en pesos colombianos está dado por la tabla de la imagen 2 suministrada en la documentación del Trabajo Colaborativo:

Desarrollo numeral 2b): Un triángulo rectángulo consta de un ángulo de 90° y dos ángulos agudos. Cada ángulo agudo de un triángulo rectángulo tiene asociadas las funciones de seno, coseno y tangente. El seno, el coseno y la tangente de alguno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo se pueden calcular con las razones entre dos de los tres lados de un triángulo rectángulo. El triángulo rectángulo está conformado por dos catetos y una hipotenusa. El seno de un ángulo es la razón entre el largo del cateto opuesto del ángulo dividido por el largo de la hipotenusa. El coseno de un ángulo es la razón entre el largo del cateto adyacente al ángulo dividido por el largo de la hipotenusa.

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La tangente de un ángulo es la razón entre el largo del cateto opuesto del ángulo dividido por el largo del lado adyacente del ángulo. La siguiente imagen nos ayuda a ubicar los lados y ángulos de los dos triángulos del ejercicio:

Figura 3 De acuerdo con la imagen tenemos las siguientes convenciones:

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Igualmente, de acuerdo con los datos suministrados tenemos: a = 218 km d = 543,61 km θ = 52,59° β = 42,44° α = 35,55° 1. Para el triángulo inferior conocemos el valor de uno de los lados (a) y el valor de dos ángulos (θ, β). Podemos hallar primero el valor del tercer ángulo (ω); como la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180° entonces: θ + β + ω = 180° 52,59° + 42,44° + ω = 180° ω = 180° - (52,59° + 42,44°) = 180° - 95,03° ω = 84,97° Aplicando Teorema del Seno:

Hallaremos los valores de los lados b y c:

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Entonces para este triángulo inferior concluimos que:

2. Para el triángulo superior conocemos el valor de dos lados (a, d) y el valor de un ángulo (α). Aplicando Teorema del Seno:

Hallaremos los valores de los ángulos (Φ, λ) y del lado e:

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Podemos hallar el valor del tercer ángulo (λ); como la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180° entonces: Φ + α + λ = 180° 13,48° + 35,55° + λ = 180° λ = 180° - (13,48° + 35,55°) = 180° 49,03° λ = 130,97° Nuevamente aplicando Teorema del Seno:

Entonces para este triángulo superior concluimos que:

Ejercicio 3:

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Dada la siguiente ruta Bogotá – Panamá – San Juan (imagen 3), calcular: a) La distancia entre la ciudad de Bogotá y la ciudad de San Juan (Puerto Rico) b) Halle los ángulos A y C Desarrollo numeral 3a): Tenemos los siguientes datos: •

Distancia entre San Juan (Puerto Rico) y Panamá:

•

Distancia entre Panamá y Bogotá:

•

Angulo entre las rectas de las distancias y es:

Agregamos una imagen similar a la entregada en el documento del Foro, que nos ayuda a visualizar los datos conocidos del triángulo; para ello tenemos en cuenta que los lados del triángulo se denominan de acuerdo con la letra en minúscula del ángulo opuesto. Sabemos que el ángulo B mide 74,42° y el lado opuesto a este ángulo que es el lado b es el que queremos calcular.

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Figura 4

Ley de los Cosenos: Conociendo algunos lados y ángulos del triángulo se aplica

Sabemos que:

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Reemplazando en la ecuación Ley de los Cosenos:

Conclusión numeral 3a): La distancia entre San Juan (Puerto Rico) y Bogotá (Colombia) es de 1.752 km

Desarrollo numeral 3b): De acuerdo con la Figura 5 tenemos los siguientes datos: • • •

La distancia entre Bogotá y Panamá: 770 km La distancia entre Panamá y San Juan: 1794 km El ángulo B: 74,42°

Igualmente, de acuerdo con el resultado de la sección 3(a), encontramos:

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La distancia entre Bogotá y San Juan: 1752 km

Para ilustrar la pregunta tenemos la siguiente imagen:

Figura 5 Para encontrar el valor de los ángulos A y C podemos recurrir a la Ley de los Senos:

En donde: • • • •

a = 1794 km b = 1752 km c = 770 km B = 74,42°

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Reemplazando en la Ley de los Senos podemos encontrar el valor del seno del ángulo A:

y entonces ahora hallamos el ángulo A:

De igual forma, reemplazando en la Ley de los Senos podemos encontrar el valor del seno del ángulo C:

y entonces ahora hallamos el ángulo C:

Conclusión del numeral 3b): • •

A = 80,52° C = 25,05°

Los ángulos A y C miden: