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TRABAJO COLABORATIVO FASE 3

Presentado por: JAROL ANDRES LLANOS LOZADA Código: 1117534469 KETTY YASIRA CORTEZ HERNANDEZ Código: 1117540270

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Calculo diferencial Mayo/2015

El estudiante debe resolver los siguientes ejercicios propuestos: Desarrollo de la actividad. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva: 1)

2 Y = X −2 X−3 para X=1 Primero hallamos la derivada de la función propuesta

'

∫ x= X 2−2 X−3 ❑

'

∫ x=2 X −2 ❑

Luego hallamos el valor de Y reemplazando la abscisa en la fórmula original 2

Y = X −2 X−3 2 Y =(1) −2(1)−3 Y =1−2−3 Y =−4

Por tanto el punto de tangencia es (1,-4), para hallar el valor de la pendiente se reemplaza la abscisa en la derivada de la función. a mt=2 X −2 mt=2(1)−2 mt=2−2 mt=0 E.R.T. Y −Y 1 =m( X− X 1) Y −(−4)=0(X −1) Y +4=0 Y =4

2. 𝑆� (�) = � 4 − 1 � 4 − 𝑙�4 ℎ𝑎𝑙𝑙� �𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜� 𝑑� � ′ (1) f ( x )=x 4 −

1 −ln 4 hallar f ´ ( 1 ) x4

Solución Descubre la función y derivados f (x)=x 4 −x−4 ln 4 3

−5

→ f ( x )=4 x −(−4 )x ¿ 4 x3 +

4 x5

x=1

Si

1 ¿ ¿ f ´ (1)=4 ¿ ¿ 4 +4−¿ 4 ¿ 8−¿ 4 ¿8

3) Hallar la derivada de las siguientes funciones: 2 f (x)=sen 2 �

Rescribiendo la función sen 2 x ¿2 f ( x ) =¿ Derivando a través de la regla de la cadena Debemos tener en cuenta que: Regla de la Cadena Función interna: Derivada:

h ' ( x )=2 cos 2 x

Función externa: Derivada:

h ( x )=sen 2 x

sen 2 x ¿2 g ( x )=¿

g ' ( x ) =2 sen 2 x Evaluando nos da así: f ´ ( x )=2 cos 2 x .2 sen 2 x

f ´ ( x )=4.cos 2 x . sen 2 x

f ´ ( x )=h ' (x) . g ' ( x )

Ejercicio 4 7

f ( x)=

ln x 3 ln x

Aplicando la propiedad de los logaritmos de una potencia, tenemos f ( x)=

7 lnx 3 lnx

Y simplificando f ( x)=

lnx nos queda

7 3

Esta es una función contante para derivadas en cero f ´ ( x )=0

Ejercicio 5 f (x)=

x ex

Aplicamos derivada de un cociente, así x ¿ e ´ ¿ x ¿ e 2 ¿ ¿ ( x ) ´ . e x −x ¿ f ´ (x)=¿

x

¿

e −x e e2 x

x

e x ( 1−x) ¿ x x e .e ¿

1−x x e

Ejercicio 6 Derivadas de orden superior f (x)=2 sen 2 x Calculamos sucesivamente las derivadas primeras y terceras f (x)=2 sen 2 x ¿ f ´ ( x)=2 sen 2 x i f ´ ( x ) =2 ( cos 2 x ) ( 2 )=4 cos 2 x primera derivada

ii f ´ ´ ( x )=4 (−sen 2 x ) ( 2 )=−8 sen 2 x segunda derivada iii f ´ ´ ´ ( x )=−8 ( cos 2 x )( 2 ) =−16 cos 2 x tercera derivada

EJERCICIO 7 Hallar la segunda derivada de f ( x )=e x Inx Primera derivada Hacemos u=e x y

v =Inx

f ' ( x )=u' v +v ' u Reemplazando 1 x ' x f ( x )=e Inx+ e x

f ( x )=e x Inx

Segunda derivada Hacemos u=e x ,

1 y z=e x x

v =Inx , w=

f ' ' ( x )=u' v +v ' u+w ' z+ z' w Reemplazando 1 1 1 f ' ' ( x )=e x Inx+ e x − 2 e x +e x x x x f ' ' ( x )=e x Inx+

e x e x ex − + x x2 x

f ' ' ( x )=e x Inx+

2 e x ex − 2 x x

8) Usando L’Hopital hallar el límite de: 2

lim ¿ x→ 2

lim ¿ x→ 2

x +2 x−8 x2 −x−2

lim (x +4 ) x+ 4 x →2 = x +1 lim ( x+ 1) x→ 2

lim x+ lim 4

x→ 2 ¿ x →2 lim (x +1) x →2

lim x+ 4 ¿

x →2

lim (x +1) x →2

¿

6 lim (x +1) x →2

¿

6 lim x+ lim 1 x →2

¿

6 6 = =2 lim x+ 1 3 x →2

EJERCICIO 9 De la curva

x→ 2

f ( x )=x 2−x . Hallar:

a. Las coordenadas del punto crítico. b. Los puntos de inflexión si los hay.

a. Las coordenadas del punto crítico. f ( x )=x 2−x '

f =2 x−1

0=2 x−1 −2 x=−1 x=

1 2

2

f ( x )=

1 1 − 2 2

()

1 1 f ( x )= − 4 2 f ( x )=

−1 4

Las coordenadas del punto crítico es (

1 1 ,− ¿ 2 4

b. Los puntos de inflexión si los hay. Un punto de inflexión, es un punto donde la gráfica que representa una función (x) tiene una recta tangente y además la concavidad cambia. Los puntos de inflexión es donde la segunda derivada de una función es cero o no está definida. Con base a lo anterior, sacamos la segunda derivada de la ecuación del enunciado. f ( x )=x 2−x f ' =2 x−1 ''

f =2 Como la segunda derivada es positiva, entonces la función es cóncava hacia arriba en todo su dominio.

En conclusión, la función no tiene puntos de inflexión dado que es una función cuadrática.

10. En la construcción de una obra se debe hacer un pedido de cemento. ¿Qué cantidad de bultos (x) debo solicitar a la fábrica, tal que el costo total de ese pedido sea el mínimo? �ó�𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑�𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑�𝑙 𝑝�𝑑�𝑑𝑜 (�) CT ( x ) =

100.000 .000 +100 x +50 x

La derivada de la función del costo del pedido es C ' T ( x ) =100−

100.000.000 2 x

Para hallar la cantidad de bultos que minimiza el costo del pedido igualamos a cero y hallamos el punto crítico. C ' T ( x ) =100− −100=

100.000.000 =0 2 x

−100.000 .000 2 x

−100 −1 = −100.000 .000 x 2 2

x =1.000.000 x=√ 1.000.000=1000 bultos es un punto crítico Verifiquemos que este sea un mínimo, utilizando puntos antes y después del punto crítico para determinar el signo de la derivada.

C ' T ( 900 )=100−

100.000 .000 =−23.457 bultos 9002

Antes del punto crítico la función es decreciente (arroja valores negativos) C ' T (1100 )=100−

100.000 .000 =17.355 bultos 1100 2

Después del punto crítico la función es creciente (arroja valores positivos) Efectivamente, x = 1000 bultos es un punto crítico correspondiente a un mínimo en la función de costo. El costo total de ese pedido sea:

CT (1000 )=

100.000 .000 +100 ( 1000 ) +50=200.050 pesos 1000

REFERENCIAS Carrillo, O. (2013). Reglas para derivar funciones exponenciales. Recuperado el 1 de mayo de 2015 de https://www.youtube.com/watch? v=AB_XUiEru7Q&feature=youtu.be Carrillo, O. (2013). Tercera derivada de una función algebraica. Recuperado el 1 de mayo de 2015 de https://www.youtube.com/watch?v=mrjOoAOsqHo&feature=youtu.be Carrillo, O. (2013). Problema de optimización. Recuperado el 1 de mayo de https://www.youtube.com/watch?v=0Yyt4gvbTNs&feature=youtu.be