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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

METODOS NUMERICOS TRABAJO COLABORATIVO 1

PRESENTADO POR ROBINSON ANDRES CASTRO MARIANO ANTONIO MONSALVE ROJAS CC 71265546 MAURICIO ANTONIO BOHORQUEZ CUARTAS GLORIA ELENA CARDENAS TAMAYO CC 43722789

GRUPO 100401-34

TUTOR JOSE ADEL BARRERA

MEDELLÍN – COLOMBIA 2016

INTRODUCCION

A lo largo de la historia, los métodos numéricos han sido creados con el fin de resolver problemas matemáticos cuya solución es difícil o imposible de obtener por medio de los procedimientos tradicionales. Se caracterizan porque ofrecen soluciones aproximadas a los valores reales, sin embargo, se debe desarrollar criterios para especificar qué tan precisos son los resultados obtenidos.

DESARROLLO DEL TRABAJO 1. Desde su campo de formación plantee y de solución a dos ejemplos sobre los tipos de errores (error absoluto, relativo, error relativo aproximado, error por truncamiento y por redondeo), teniendo en cuenta la precisión y exactitud de los mismos.

a. Error absoluto y Error relativo Error Relativo: Los valores obtenidos del valor absoluto y relativo son cercanos pero son diferentes en su resultado, ya que el valor absoluto se expresa en unidades de los valores medidos y el error relativo se expresa por porcentaje. a.a. Al medir una mesa con una cinta métrica de 1mm de resolución se obtiene un resultado de 115,2 cm. Calcular el error absoluto y el error relativo cometido

Sol/

El valor real de la medición corresponde a: corresponde a: Ea =1mm=0.1 cm

El error relativo se define

Er =

Ea V

Reemplazamos los datos y se obtiene Er =

0,1 =0,000868 115,2

El error porcentual es de 0.0868%

V =115.2 cm

y el error absoluto

a.b. Tres personas han medido la distancia recorrida por un móvil y han anotado los siguientes resultados: 37,5 m, 37,8 m y 37,4 m. Calcular la medida más probable, el error absoluto

sol/ Medida más probable

V=

∑ x i = 37,5+37,8+37,4 =37,566 ≈ 37,6 N

3

Error absoluto: Como existe un conjunto de datos, se utilizará la semi diferencia entre los valores máximo y mínimo:

Ea =

x Mayor −X menor 37,8−37,4 = =0.2 2 2

Error Relativo

Er =

E a 0,2 = =0,0053 V 37,6

En la medición se ha cometido un error por exceso de 0,53% Error por truncamiento Se refiere normalmente a los errores que se producen cuando una expresión matemática complicada se reemplaza por una fórmula más simple. Esta terminología se originó en la sustitución de una función por uno de sus polinomios de Taylor.

Ejemplo: 1 2

Sabiendo que

2

∫ e x dx=0.544987104184= p 0

Vamos a determinar la precisión de la aproximación obtenida al reemplazar el integrando 2

f ( x )=e x

por los 5 primeros términos de su desarrollo en serie de Taylor.

Integrando término a término este polinomio, obtenemos 1 2

∫ 0

[

] [

x4 x6 x8 x3 x5 x7 x9 1+ x + + + dx= x + + + + 2! 3! 4 ! 3! 5(2 !) 7( 3!) 9(4 !) 2

]

x=

1 2

x=0

1 1 1 1 1 2109491 ¿ + + + + = =0.544986720817= ^p 2 24 320 5376 110592 38700720

Puesto que los valores de error cometido al sustituir

p y ^p p por ^p

coinciden hasta la

5a

cifra decimal diremos que el

−5 es menor que 10

Error por Redondeo: Es el que resulta al suprimir o desechas un conjunto de dígitos que no se consideran como significativos, siguiendo las reglas establecidas para este caso: a. Si el decimal n+1 es menor que 5, simplemente se suprime.

b. Si el decimal n+1 es mayor o igual a 5, se incrementa en una unidad la última cifra conservada. Ejemplo Expresió

Representación

Aproximación

Error

n 1/7 LN2 √3 2

0.142857 0.6931471805594530941 1.2259921004989487316

0.142857 0.693247 1.25992

1/7000000 0.000000180559 0.000001049849

e

4 2.718281284459045235

2.71881828445904

0.0000000000000002353

5

6

Error relativo aproximado: 1,000−0,999 ∗100 =0,1 1000

2. Construir un cuadro comparativo de los métodos para calcular la raíz de una ecuación; teniendo en cuenta el número de iteraciones, condiciones, aproximaciones (fórmula), ilustrándolo con al menos un ejemplo.

3. METO DO

4. DESCRIPCION

5. FORMULA

6. EJEMPLO 24. La función f(x) = xsenx – 1 tiene un cero en el

intervalo

[0,2],

f(0) = -1

porque

yf(2)=0.818595. 25. Si se

denota

con

entonces c1 = 1. Ahoraf(c1) = f(1) = -0.158529, luego la función tiene un cero en el intervalo [c1, b1] = [1,2] ; se renombra

a2=c1 y b2=b1 . 26. El

nuevo

punto

medio

es

y f(c2) = f(1.5) = 0.496242, el cero está en el intervalo [a2,

c2] y se renombra como [a3,b3]. 27. En la tabla de abajo se muestran las primeras nueve iteraciones del método de bisección para f(x)= xsenx –1 con a=0 b=2. 28. 32. 30.

9. Paso 1 10. Elegir los valores iniciales Xa y Xb, de tal forma de que la función cambie de signo: 11. f(Xa)f(Xb) < 0 12. Paso 2 13. La primera aproximación a la raíz se determina con la fórmula del punto medio de esta forma:

8. El método de la bisección

14.

29. n

Extr 31. em o izqu ierd oan

Extr em o der ech o bn

P u n t o 33. m e d i o c

34. Valor de la funció n f(cn)

n

35. 36. 1

39. 0

37.

2

38.

1

0.158 40. 529

Error Relativo

156.

f ( x )=x 3 +4 x 2−10

Demostrar que

tiene una raíz en

[ 1,2 ] utilizando el

método de bisección determine una aproximación a la raíz con una precisión de al menos

10−4 .

E=0,0001

157.

158.

Usando el Método de la Regla Falsa aproximar la raíz de 4. Usando el Método

f ( x )=e− x ( 3,2 sen ( x )−0,5 cox ( x ) ) en el

de la Regla Falsa aproximar la raíz de intervalo

[ 1,2 ] con ξa = 0,001

159. 160.

Sea la función

2

f ( x )=ln ( x +1 )−e cos ( πx ) ,

Newton-Raphson la raíz una exactitud de 161. 162.

x 2

aproximar mediante el Método de

f ( x )=0 , tomando como valor inicial

x 0=0,4

con

10−5

Usar el Método iterativo de punto fijo

f ( x )=x 2−4 x−e x , comenzando con 163. 164.

x 0=0

165.

x 2−4 x −e x =0

166.

Despejamos

167.

x 2−e x =4 x

168.

4 x =x2 −e x

x

para aproximar la raíz de

x 0=0 , con 4 iteraciones.

2

x −e 4

x

169.

x=

170.

x 1=f ( x 0 )=

171.

(−0.25 )2−e−0.25 0.0625−0,77880078 x 2=f ( x 1 )= = =−0,179075 4 4

172.

(−0,179075 )2−e−0,179075 0,0321−0,83604 x 3=f ( x 2 )= = =−0,200993776 4 4

( 0 )2 −e 0 −1 = =−0.25 4 4

173.

(−0,20099378 )2 −e−0,20099378 0,040398−0,8179 x 4=f ( x 3 )= = =−0,194379756 4 4 174. 175.

176. 177. 178. 179.      184.

CONCLUSIONES

De lo anterior se puede concluir que: Se sustentó por medio de ejemplos en un cuadro comparativo, habilidades para encontrar el valor real del valor apropiado 180. Se reconoció las diferencias entre los tipos de errores y sus diversas aplicaciones 181. Se presentó las técnicas adecuadas que permitieron cuantificar y minimizar errores de redondeo y truncamiento 182. Se expuso los diferentes métodos numéricos para resolver o encontrar raíces de una ecuación 183. Se desarrolló ejercicios y se resolvieron mediante los métodos numéricos

185. 186.

REFRENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

MÉTODO DE NEWTON. Extraído el 7 de marzo de 2016 de: http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA10/capitulo5/5.2.htm

187. 188.

MÉTODO DE BISECCIÓN. Extraído el 7 de marzo de 2016 de: 189.

http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA10/capitulo5/5.htm

190. 191.

MÉTODO DE LA SECANTE. Extraído el 7 de marzo de 2016 de: 192. 193.

194.

http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA10/capitulo5/5.3.htm

MÉTODO DE BISECCIÓN. Extraído el 7 de marzo de 2016 de: http://www.monografias.com/trabajos43/metodo-biseccion/metodobiseccion.shtml#ixzz42Jtw5nOp

195. 196.

MÉTODO DE PUNTO FIJO. Extraído el 7 de marzo de 2016 de: 197.

http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA10/capitulo5/5.4.htm 198.