• Author / Uploaded
• Jesus Racines

Citation preview

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

Trabajo Colaborativo Calculo II

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

TRABAJO COLABORATIVO

MODULO CALCULO II - VIRTUAL

ÁREAS Y LONGITUDES MEDIANTE EL CÁLCULO INTEGRAL

SUBGRUPO 17 ESTUDIANTES Oswaldo de Jesús Racines Padilla Código estudiantil N° 1811022470 Eider Antonio Granados Herrera Código estudiantil N° 1811024062

José Narváez Tutor Primer Bloque-Calculo II

Año 2019

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

Trabajo Colaborativo Calculo II

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

ÁREAS Y LONGITUDES MEDIANTE EL CÁLCULO INTEGRAL La mayoría de las veces en la vida real nos encontramos con figuras irregulares a las cuales se hace necesario hallar áreas o longitudes y por esto el cálculo integral nos brinda herramientas para estas cuentas mediante la integral definida.

Objetivos de aprendizaje: ➢ Interpreta analítica y geométricamente el concepto de integral definida. ➢ Propone diferentes procedimientos en la solución del cálculo de áreas ➢ Calcula la longitud de arco de una curva aplicando la integral definida

Ejercicio. A continuación, se presenta un plano del primer piso de una casa en dos dimensiones: la medida del lado de cada cuadrado es de un metro, se omiten paredes internas, puertas y ventanas para facilitar los cálculos.

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

Trabajo Colaborativo Calculo II

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

Responder: a. Se quiere embaldosinar toda la casa, por esto calcula el área de la casa utilizando como unidad el cuadrado de la cuadrícula. b. Ahora, use rectángulos de igual base (cuya base este sobre el eje x) para calcular el área de la casa, para esto realice el cálculo variando el número de rectángulos (cambie el número de rectángulos tres veces), por favor registre los datos obtenidos en la siguiente tabla. No. de rectángulos

Base de cada rectángulo

Área de cada rectángulo

Suma de las áreas de los rectángulos

20 10 5 c. Use la integral definida para calcular el área de la casa. d. Teniendo encuentra el ítem b y c ¿Cuál es la mejor aproximación del área de la casa? ¿Por qué? Justifique su respuesta. e. Por seguridad el propietario quiere colocarle cerca eléctrica a la casa, para esto debe conocer ¿Cuántos metros lineales de cerca necesita? Use técnicas de integración y en el caso que la integral no tenga primitiva, puede usar un software y coloque la imagen del resultado que con él obtiene.

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

Trabajo Colaborativo Calculo II

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

DESARROLLO DEL TRABAJO a. Área usando el cuadrado de la cuadrícula

FIGURA Cuadrado Rectángulo Trapecio Rectángulo Rectángulo Rectángulo Rectángulo

AREA 𝒖𝟐 √2 ∗ √2 = 2 2,5 ∗ 1 = 1,25 2 (4 + 2,5) ∗ 1 = 3,25 2 7 ∗ 3 = 21 2∗4=8 2∗2∗1=4 4∗2=8

ÁREA TOTAL 2𝑢2 1,25𝑢2 3,25𝑢2 21𝑢2 8𝑢2 4𝑢2 8𝑢2

Sumando todos los valores tenemos que el área es igual a: 47,5 𝒎𝒕𝒔𝟐 b. Ahora, use rectángulos de igual base (cuya base este sobre el eje x) para calcular el área de la casa, para esto realice el cálculo variando el número de rectángulos (cambie el número de rectángulos tres veces), por favor registre los datos obtenidos en la siguiente tabla.

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

Trabajo Colaborativo Calculo II

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

Solución

Para los valores de los rectángulos se tienen. No. de rectángulos

base

Altura

área

1

0,45

3,8

1,71

2

0,45

4

1,8

3

0,45

4,05

1,8225

4

0,45

4,25

1,9125

5

0,45

3,9

1,755

6

0,45

6,4

2,88

7

0,45

7,4

3,33

8

0,45

8

3,6

9

0,45

8,8

3,96

10

0,45

8,4

3,78

11

0,45

7,2

3,24

12

0,45

6,1

2,745

13

0,45

4,2

1,89

14

0,45

4

1,8

15

0,45

3,6

1,62

16

0,45

3,2

1,44

17

0,45

3

1,35

18

0,45

3

1,35

19

0,45

3,4

1,53

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

Trabajo Colaborativo Calculo II

20

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano 0,45

4

1,8

TOTAL

45,315

Ahora para 10 rectángulos

No de rectángulos 1

Base

altura

área

0,9

4,5

1,8

2

0,9

5

2

3

0,9

5

2

4

0,9

8

3,2

5

0,9

9

3,6

6

0,9

9

3,6

7

0,9

7,5

3

8

0,9

4,5

1,8

9

0,9

3,5

1,4

10

0,9

4

1,6

TOTAL

48,2

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

Trabajo Colaborativo Calculo II

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

Para los ángulos de 5

Entonces tenemos que cada base de los rectángulos

No de rectángulos 1 2 3 4 5 total

base

Altura

área

1,8 1,8 1,8 1,8 1,8

4,8 8,6 9 6 4

8,64 15,48 16,2 10,8 7,2 58,32

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

Trabajo Colaborativo Calculo II

Completemos la tabla No. De rectángulos 20 10 5

Base de cada rectángulo 0,45 0,8 1,8

Área de cada rectángulo 3,6 7,2 16,2

Sumas de las área de los rectángulos 45,31 48,2 58,32

c. Use la integral definida para calcular el área de la casa. Solución Para ellos tenemos que hallar las funciones faltantes de la gráfica Función 1: Se tiene que es una función lineal (−2,0)𝑦(−1, −1)

La pendiente 𝑚=

−1 + 2 = −1 −1 + 0

𝑦 = −𝑥 + 𝑏 𝑏=2 𝑦 = −𝑥 − 2 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎

Función 2: Es una función lineal (−2,0)𝑦(−1,1)

La pendiente 𝑚=

1−0 =1 −1 + 2

𝑦 =𝑥+𝑏 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑏=2 𝑦=𝑥+2

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

Trabajo Colaborativo Calculo II

Función 3: Función lineal (−1,1)𝑦(−2,3)

La pendiente 𝑚=

3−1 = −2 −2 + 1

𝑦 = −2𝑥 + 𝑏 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑏 = −1 𝑦 = −2𝑥 − 1

Función 4: Función lineal (−2,3)𝑦(0,4)

La pendiente 𝑚=

4−3 1 = 0+2 2

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑏=4 𝑦=

1 𝑥+4 2

Función 5: Función cuadrática 𝑣(2, −4)𝑦 𝑝(0,0) 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑦 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎 0 = 𝑎(0 − 2)2 − 4 0 = 4𝑎 − 4 𝑎=1 𝑦 = (𝑥 − 2)2 − 4 Función 6 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 función trigonométrica

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

Trabajo Colaborativo Calculo II

Función 7: Función lineal (2𝜋, 4)𝑦(7,0)

La pendiente 𝑚=

0−4 = −5,63 7 − 2𝜋

0 = −5,63(7) + 𝑏 𝑏 = 39,41

Ecuación general de la recta 𝑦 = −5,63𝑥 + 39,41

Función 8: Función idéntica (−1, −1)(0,0) 𝑚=

0+1 =1 0+1 𝑦=𝑥

Para hallar el área hallamos la integral de cada función −1

∫ 𝑥 + 2 − (−𝑥 − 2) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 𝑐 −2 𝑏

𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 ∫ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑎

=1

−1

∫ −2

1 5𝑥 2 𝑥 + 4 − (−2𝑥 − 1)𝑑𝑥 = + 5𝑥 + 𝑐 2 4 𝑏

𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 ∫ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑎

=

5 4

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

Trabajo Colaborativo Calculo II

0

1 −𝑥 2 𝑥 + 4 − 𝑥 𝑑𝑥 = + 4𝑥 + 𝑐 4 −1 2

∫

𝑏

𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 ∫ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑎

=

17 4

4

∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4𝑥 + 𝑐 0 𝑏

𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 ∫ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑎

= 17,65

∫ −((𝑥 − 2)2 − 4)𝑑𝑥 = −

𝑥3 + 2𝑥 2 + 𝑐 3 𝑏

𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 ∫ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑎

=

32 3

6,15

∫

𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4𝑥

4 𝑏

𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 ∫ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑎

= 6,95 7

∫

−5,63𝑥 + 39,41𝑑𝑥 = −2.815𝑥 2 + 39,41𝑥 + 𝑐

6,15 𝑏

𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 ∫ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑎

= 2,03

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

Trabajo Colaborativo Calculo II

𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟏 +

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

𝟓 𝟏𝟕 𝟑𝟐 + + 𝟏𝟕, 𝟔𝟓 + + 𝟔, 𝟗𝟓 + 𝟐, 𝟎𝟑 = 𝟒𝟒. 𝟎𝟔 𝟒 𝟒 𝟑

d. Teniendo en cuenta el ítem b y c ¿Cuál es la mejor aproximación del área de la casa? ¿Por qué? Justifique su respuesta. Si analizamos los resultados damos a la conclusión de que entre más rectángulos se divida la función más próxima va a ser el resultado al utilizar la integral

e. Por seguridad el propietario quiere colocarle cerca eléctrica a la casa, para esto debe conocer ¿Cuántos metros lineales de cerca necesita?

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

Trabajo Colaborativo Calculo II

Para este punto tenemos que dibujar los triángulos que están dibujados en la imagen y usando el teorema de Pitágoras se tiene que Para el triángulo con lados naranjas 𝑙 = √22 + 12 = √5 Ahora para el triángulo con lado azul se tiene 𝑙 = √22 + 12 = √5 Para el triángulo de lado amarillo se tiene que 𝑙 = √0,70612 + 42 = 4.06184 Ahora se usa para las líneas que conforman el cuadrado se tiene que su longitud 𝑙 = 3√2 Para la longitud de x = 0 se tiene que su longitud es 𝑙=3 Ahora par las curvas usamos la definición de la longitud de curva usando las integrales y se tiene que 𝑏

2

𝐿 = ∫ √1 + (𝑓´(𝑥)) 𝑎

2𝜋

𝐿 = ∫ √1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑑𝑥 = 7,6404 0

Ahora para la curva de la función cuadrática se tiene que

𝑏

2

𝐿 = ∫ √1 + (𝑓´(𝑥)) 𝑎

4

𝐿 = ∫ √1 + ( 0

𝑑 ((𝑥 − 2)2 − 4)2 𝑑𝑥 = 9,2936 𝑑𝑥

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

Trabajo Colaborativo Calculo II

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

Por tanto, lo que necesita para el alambrado es: 3√2 + 3 + 2√5 + 4,0619 + 7,6404 + 9,2936 = 𝟑𝟐. 𝟕𝟏𝟎𝟔𝟖

Se necesitan 33 metros lineales aproximadamente.