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Profesorado en Matemática y Matemática Aplicada Análisis Matemático I Trabajo Práctico 3: Continuidad de funciones

1) Estudiar si cada una de las siguientes funciones es continua en el punto que se indica. En caso de ser discontinua, clasificar la discontinuidad. x 2  3 a) f : R  R / f ( x)   3 x  5

 x2 1  b) f : R  R / f ( x)   x  1 3 

si x  2

en x = 2

si x  2

si x  1

en x =  1

si x  1

2 x  3 c) f : R  R / f ( x)   2  x  3x  1

si x  1 si x  1

en x = 1

1 d) f : R  0  R / f ( x)  sen   x

en x = 0

1 e) f : R  0  R / f ( x)  x  sen   x

en x = 0

f) f : R  0  R / f ( x)  e

1 x

en x = 0

Utilizando el programa GeoGebra, realizar los gráficos de las funciones analizadas. ¿Cómo se visualizan las funciones cuyas discontinuidades son evitables? ¿Y cuando la discontinuidad es esencial con salto finito? ¿Cómo pueden señalarse en un gráfico esas discontinuidades?

x  1  2) Hallar los valores de a  R y b  R para que f : R  R / f ( x)  ax  b 3x 

si x  1 si 1  x  2 sea si x  2

continua en R. Graficar la función y verificar los resultados obtenidos.  2  x2  3) Hallar los valores de a  R  y b  R  para que f : R  R / f ( x)   x 2 a 2 x 

si x  a si a  x  b si x  b

sea continua en R. Graficar con GeoGebra la función y verificar los resultados obtenidos. 1

4) Analizar en R la continuidad de cada una de las siguientes funciones, clasificando las discontinuidades, si existen. a) f : D f  R / f ( x)  b) f : D f  R / f ( x) 

x2 x  x 2  6x 3

1 1

1  e 1 x  1  c) f : D f  R / f ( x)  1  x   arctg 2  1 x    x  2 si x  0  d) f : D f  R / f ( x)  2  x  si 0  x  2  1  si x  2  x  3 x 3  x e) f : D f  R / f ( x)  ln tg   2

5) Investigar sobre la función de Dirichlet y analizar su continuidad. 6) Analizar si cada una de las siguientes funciones están acotadas en el intervalo que se indica. a) f : D f  R / f ( x) 

x4  x3 x 4  3x 2  1

en 1 ; 5

b) f : D f  R / f ( x) 

1 1 x2

3  9 en  ;    2 2

7) Indicar si f : R  R / f ( x)  e x  3x verifica las hipótesis del Teorema de Bolzano 1 en el intervalo 0 ; 1 8) Demostrar que cada una de las siguientes ecuaciones tienen al menos una solución en R: a) 2 x 3  5 x  13  0 b) cos x  x c) ln x  3  2 x

1

El Teorema del Valor Intermedio de las Funciones Continuas también se lo conoce como Propiedad de Darboux. En consecuencia, el Teorema de Bolzano puede considerarse como un caso particular de la Propiedad de Darboux.

2

9) Un punto fijo de una función f es un número c en su dominio tal que f (c)  c . Dada una función f : 0 ; 1  0 ; 1 continua y sobreyectiva, demostrar que existe al menos un número c  R tal que f (c)  c , es decir, debe tener al menos un punto fijo. 10) Hallar la relación entre las constantes m y n para que h cumpla las hipótesis del Teorema si x  3 x  1 de Bolzano en el intervalo 2 ; 4 siendo h : R  R / h( x)   2  x  mx  n si x  3

11) Siendo f : R  R / f ( x)  x 5  2 x 3  x 2  2 analizar si existe al menos un número c  R tal que f (c)  1 12) Demostrar que la ecuación x  2 x  1 tiene al menos una solución real. 13) Determinar las ecuaciones de las asíntotas lineales a las gráficas de cada una de las siguientes funciones: a) f : D f  R / f ( x) 

4x3  1 x2 1

b) f : D f  R / f ( x) 

9  x2 x   x  3

c) f : D f  R / f ( x)  d) f : D f  R / f ( x) 

x2 x2 1 3 x  2 3 x  3

Verificar los resultados obtenidos graficando las funciones dadas, utilizando algún software matemático como herramienta. En un programa como GeoGebra pueden además calcularse y graficar las asíntotas con la sentencia Asíntota[] 14) Indicar si cada una de las proposiciones es verdadera o falsa, justificando la respuesta con argumentos teóricos o con un contraejemplo: a) Si una función f es discontinua en x = a y una función g es discontinua en x = a entonces la función  f  g  es discontinua en x = a b) Si una función f es discontinua en x = a y una función g es discontinua en x = a entonces la función  f  g  es discontinua en x = a

3

c) Si x = a es la ecuación de la asíntota vertical al gráfico de una función f entonces a  Df

d) Si a  D f entonces x = a es la ecuación de la asíntota vertical al gráfico de f x2  a 15) Dada f : D f  R / f ( x)  2 calcular los valores de las constantes a, b y c de x  bx  c

modo que tenga una discontinuidad evitable en x = 1 y una discontinuidad esencial de 1º especie con salto infinito en x = 2. Determinar el dominio de f y graficarla. 16) Determinar los valores de las constantes a y b para que f : D f  R / f ( x) 

1 x2 tenga ax  b

como asíntota a la recta de ecuación 2 x  y  5 x2  x  2 x3  x  a 17) Las funciones f : D f  R / f ( x)  y g : D g  R / g ( x)  2 tienen x 1 x  bx  c

las mismas asíntotas. Determinar a) los valores de las constantes a, b y c b) los dominios de las funciones c) los puntos de discontinuidad que cada una de ellas presenta, clasificándolos.

4

Ejercicios de revisión del Trabajo Práctico 3

1) Dadas f1 : D f  R / f1 ( x) 

x 2  3  x  10 4  x2

y f 2 : D f  R / f 2 ( x) 

x 2  5x  4 x2  x  2

Analizar si cada una de las funciones es continua. En los puntos en que resulte discontinua, clasificar la discontinuidad. Graficar cada función considerando el análisis realizado, la expresión más reducida, y las funciones conocidas. 2) Determinar los valores de las constantes a y b para que 2 x  y  1  0 sea la ecuación de la asíntota oblicua al gráfico de f : D f  R / f ( x) 

a  x3 x2  b  x 1

3) Determinar las ecuaciones de las asíntotas lineales de f : D f  R / f ( x)  x  arctg x 4) Indicar si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa, justificando la respuesta: a)

f : D f  R / f ( x) 

tg 2 2 x  1

4 x  2

2

tiene una discontinuidad evitable en x 

1 2

b) La ecuación 3x  2  cos x tiene al menos una solución real. 5) Dada f : D f  R / f ( x)  2 x 

x2  1 determinar y clasificar los puntos de x  5x  6 2

discontinuidad e indicar las ecuaciones de sus asíntotas lineales.

5

Respuestas 1)

a) f es continua en x = 2

b) f tiene una discontinuidad evitable en x =  1

c) f tiene una discontinuidad esencial de 1º especie con salto finito en x = 1

6

d) f tiene una discontinuidad esencial de 2º especie en x = 0

e) f tiene una discontinuidad evitable en x = 0

f) f tiene una discontinuidad esencial de 1º especie con salto infinito en x = 0

2) a = 4 y b = - 2

7

3) a  2 y b = 2

4) a) La función es discontinua esencial de 1º especie con salto infinito en x = -3 y en x = 0; y es discontinua evitable en x = 2.

8

b) La función es discontinua esencial de 1º especie con salto finito en x = 1.

c) La función es discontinua evitable en x = -1; y es discontinua esencial de 1º especie con salto finito en x = 1.

d) La función es discontinua esencial de 1º especie con salto finito en x = 0, en x = 1 y en x=2; y es discontinua esencial de 1º especie con salto infinito en x = 3. 9

e) D f  R  x  R / x  k   , k  Z . Tiene discontinuidades esenciales de 1° especie con salto infinito en todos los puntos que no pertenecen al dominio.

5) Es una función definida en R y discontinua en todos los puntos. 6) a) La función es continua en R; en particular, es continua en el intervalo dado. Por el Teorema de Weierstrass, f está acotada en ese intervalo. b) La función es discontinua en x = - 1 y en x = 1; por lo tanto, es continua en el intervalo dado. Por el Teorema de Weierstrass, f está acotada en ese intervalo. 7) f es continua en 0 ; 1 por ser la diferencia de dos funciones continuas. Además f (0)  1 y f (1)  e  3 , es decir, f (0)  0 y f (1)  0 . Entonces, f verifica las hipótesis del Teorema

de Bolzano.

10

8) a) Si se define una función f ( x)  2x 3  5x  13 , es continua por ser polinómica y además f (1)  6 y f (2)  13 . Entonces por el Teorema de Bolzano, c  1 ; 2 / f (c)  0 , es

decir, existe al menos una solución para la ecuación 2 x 3  5 x  13  0 en ese intervalo. b) Si se define una función f ( x)  cos x  x , es continua por ser la diferencia de dos

   funciones continuas y además f (0)  1 y f     . Entonces por el Teorema de 2 2   Bolzano, c   0 ;  / f (c)  0 , es decir, existe al menos una solución para la ecuación  2 cos x  x  0 en ese intervalo, lo cual es equivalente a indicar que existe al menos una solución para la ecuación cos x  x en el intervalo dado. c) Si se define una función f ( x)  ln x  2 x  3 , es continua en R+ por ser la suma y resta de funciones continuas y además f (1)  1 y f 2  ln 2  1 . Entonces por el Teorema de Bolzano, c  1 ; 2 / f (c)  0 , es decir, existe al menos una solución para la ecuación

ln x  2 x  3  0 en ese intervalo, lo cual es equivalente a indicar que existe al menos una solución para la ecuación ln x  3  2 x en el intervalo dado. 9) Para analizar si en ese intervalo existe al menos un valor tal que f ( x)  x , es equivalente a analizar si tiene solución la ecuación f ( x)  x  0 . Puede definirse una función como por ejemplo g ( x)  f ( x)  x y ver si puede aplicarse el Teorema de Bolzano. 10) Una forma de escribir las soluciones posibles es m  11 y n  3m  5 11) f es continua por ser una función polinómica. Además, f (2)  10 y f (1)  4 . Entonces,

por

el

Teorema

del

Valor

Medio

de

Funciones

Continuas,

c   2 ;  1 / f (c)  1 . 12) Si se define una función f ( x)  x  2 x , es continua en R por ser el producto de funciones continuas y además f (0)  0 y f 1  2 . Entonces por el Teorema del Valor Medio de Funciones Continuas, c  0 ; 1 / f (c)  1 , es decir, existe al menos una solución para la ecuación x  2 x  1 en ese intervalo. 13) a) Asíntotas verticales: x = - 1; x = 1. Asíntota oblicua: y = 4x

11

b) Asíntota vertical: x = 0. Asíntotas horizontales: y = - 1; y = 1

c) Asíntotas verticales: x = - 1; x = 1. Asíntotas oblicuas: y = - x; y = x

a) Asíntota vertical: x = - 1. Asíntotas horizontales: y = 1; y  

12

2 3

14) a) Falso. Un contraejemplo puede ser:  x  1 si x  1 f : R  R / f ( x)   es discontinua en x = 1  x  2 si x  1 2 x  1 g : R  R / g ( x)   x  5

f

si x  1 si x  1

es discontinua en x = 1

3x  2  g  : R  R /  f  g ( x)   2 x  3

si x  1 si x  1

es continua en x = 1

b) Falso. Un contraejemplo puede ser: x  1 f : R  R / f ( x)    1

si x  1

x  2 g : R  R / g ( x)   2

si x  1

si x  1 si x  1

es discontinua en x = 1

es discontinua en x = 1

( x  1)( x  2)

si x  1

 f  g  : R  R /  f  g ( x)  

 2

si x  1

es continua en x = 1

c) Falso. Un contraejemplo puede ser: 1  f : R  R / f ( x)   x 1

si x  0 si x  0

x = 0 es la ecuación de la asíntota vertical al gráfico de f y también se verifica que 0  D f d) Falso. Un contraejemplo puede ser: f : R  1  R / f ( x) 

x2 1 x 1

13

1  D f pero no se verifica que x = 1 es la ecuación de la asíntota vertical al gráfico de f

15) a = - 1; b = - 3; c = 2. D f  R  1 ; 2

1 5 16) a   ; b   2 4

17) a) a  R   2; b = - 2; c = 1 b) D f  Dg  R  1 c) f y g tienen una discontinuidad esencial con salto infinito en x = 1

14

Respuestas a los ejercicios de revisión 1) D f 1  R   2 ; 2. f1 tiene una discontinuidad evitable en x  2 y en x  2 . Puede graficarse sabiendo que:

 x2  f1 ( x)   2 x 

 3  x  10 si x  0, x  2 4  x2  3  x  10 si x  0, x  2 4  x2

  f1 ( x)    

x5 si x  0, x  2 x2 x5 si x  0, x  2 x2

D f 2  R   2 ; 1. f 2 tiene una discontinuidad esencial de primera especie con salto infinito en x  2 y una discontinuidad evitable en x  1. Puede graficarse sabiendo que en su dominio f 2 ( x) 

x4 x2

15

2) Para que y  2 x  1 sea la ecuación de la recta tangente a la función, debe verificarse que

a2 y b

1 2

3) La función tiene dos asíntotas oblicuas de ecuaciones y  x 

 2

si x   e

y  x

 2

si x  

tg 2 2 x  1 1 1 4) a) Verdadero: f   y lím  por lo que la función tiene una discontinuidad 2 4  2  x 12 4 x  2 evitable en x 

1 2

16

b) Verdadero: si se define, por ejemplo, una función f ( x)  3x  2  cos x es continua en

  3 R y se verifica que f (0)  3 y f      2  0 . Por el teorema de Bolzano, 2 2   c   0 ;  / f (c)  0 , es decir, en ese intervalo la función tiene al menos un cero:  2   x   0 ;  / 3x  2  cos x  0 .  2

Eso

es

equivalente

a

indicar

que

  x   0 ;  / 3x  2  cos x  2 5) La función tiene una asíntota vertical de ecuación x  3 y dos asíntotas oblicuas de ecuaciones y  2 x  1 si x   e y  2 x  1 si x  

17

Propiedades y teoremas relativos a las funciones continuas 1) Si f y g son continuas en x = a, y k es una constante, las funciones f + g, f  g , k  f , f g,

f (si g (a )  0) , también son continuas en x = a. g

Cada una de las partes en que se divide la demostración de la propiedad es consecuencia de la correspondiente propiedad del límite finito de una función en un punto. Por ejemplo, la demostración de la primera parte sería: Si f y g son continuas en x = a: lím f ( x)  f (a) y lím g ( x)  g (a) x a

x a

Por consiguiente:

lím ( f  g )( x)  lím f ( x)  g ( x)  lím f ( x)  lím g ( x)  f (a)  g (a)  ( f  g )(a) x a

x a

x a

x a

Si lím ( f  g )( x)  ( f  g )(a) entonces (f + g)(x) es continua en x = a. x a

De manera análoga, pueden demostrarse las otras partes de la propiedad. Como consecuencia de la definición de continuidad en un intervalo, puede extenderse esta propiedad, indicando que si f y g son continuas en un intervalo, también lo son las funciones f + g, f  g , k  f , f  g ,

f (si g ( x)  0) g

2) Toda función polinómica es continua. Todo polinomio es una función de la forma P( x)  c0  c1 x  c2 x 2  ...  c n 1 x n 1  c n x n

De acuerdo con las propiedades del límite finito de una función en un punto: m m lím c0  c0 y lím x  a , con m = 1, 2, ..., n

x a

xa

Eso indica que la función f ( x)  x m es una función continua. Aplicando la propiedad anterior, la función g ( x)  c  x m es también una función continua. Como P (x ) es una suma de funciones de esa forma y una constante, entonces de acuerdo con la propiedad anterior, P es una función continua.

18

3) Toda función racional es continua en su dominio. Una función racional tiene la forma f ( x) 

P( x) en donde P y Q son polinomios. Q( x)

El dominio de f es D  x  R / Q( x)  0 De acuerdo con la propiedad anterior, P y Q son funciones continuas, y según la propiedad 1, el cociente de funciones continuas es otra función continua, excepto cuando se anula el denominador, es decir, es continua en los valores del dominio. 4) Si f es continua en x = a y g es continua en x = b (tal que b  f (a) ) entonces la función compuesta ( g  f ) es continua en x = a. Si f es continua en x = a y g es continua en x = b: lím f ( x)  f (a) y lím g ( x)  g (b) x a

x b

lím ( g  f )( x)  límg ( f ( x))  g ( f (a))  ( g  f )(a) x a

x a

Si lím ( g  f )( x)  ( g  f )(a) entonces ( g  f ) es continua en x = a. x a

5) Si f es estrictamente monótona (estrictamente creciente o estrictamente decreciente) y continua en el intervalo [a ; b] entonces f es biyectiva en dicho intervalo. Dados dos puntos distintos pertenecientes al intervalo, por ser una función estrictamente monótona, sucede que x1  x 2  f x1   f x2  ó f x1   f x2  , de modo que en todos los casos, f x1   f x2  ; entonces f es inyectiva. Definiendo correctamente el conjunto de llegada de manera tal que coincida con el conjunto imagen en el intervalo dado, entonces la función es sobreyectiva. Por lo tanto, es biyectiva.

6) Teorema del Valor Medio de Funciones Continuas: Si f es continua en un intervalo cerrado [a ; b] y k  R tal que k está comprendido entre f (a) y f (b) , entonces c  (a ; b) / f (c)  k .

Puede suceder que f (a)  k  f (b) ó f (b)  k  f (a) . Consideraremos la primera opción, ya que la demostración es similar en el otro caso. 19

Puede definirse el subconjunto: I  x  a ; b/ f ( x)  k I tiene por lo menos un elemento: a  I , ya que f (a)  k por hipótesis; es decir, I no es vacío. Además, b  I ya que f (b)  k , y b es una cota superior de I. Por lo tanto, I es un conjunto no vacío y acotado. Entonces, de acuerdo con un axioma que se denomina axioma de continuidad en R, el conjunto I tiene supremo (que lo denominamos c) tal que a  c  b . Deberíamos demostrar que f (c)  k . Para hacerlo, puede utilizarse la demostración por el absurdo. Es decir, si suponemos que f (c)  k deberíamos llegar a una contradicción.

Si f (c)  k , puede suceder que f (c)  k o que f (c)  k : a) Si f (c)  k y siendo f una función continua, por propiedad del límite finito, existe al menos un entorno del punto donde f ( x)  k Por lo tanto, hay algún x  c para el cual f ( x)  k por lo que x  I . Es decir,

x / x  I  x  c Pero esto contradice que c es el supremo del conjunto I. b) De manera análoga, si f (c)  k existe al menos un entorno del punto donde f ( x)  k ; es decir,

  0 / x  E c;    f ( x)  k   0 / x : c    x  c    f ( x)  k

Esto indica que ningún punto del entorno pertenece al conjunto I, es decir,

x  I : x  c   Por lo tanto, c   es una cota superior del conjunto I, menor que el supremo, lo cual es absurdo. De las contradicciones a las que se llegaron en los puntos a) y b) se deduce que f (c)  k . La misma demostración surgiría si se considerara f (b)  k  f (a) .

El teorema demostrado indica que una función continua en un intervalo [a ; b] alcanza en dicho intervalo, por lo menos una vez, todos los valores comprendidos entre f (a) y f (b) . También suele enunciarse esta propiedad, diciendo que si una función continua alcanza dos valores diferentes en [a ; b], alcanza también todos los valores intermedios. 20

7) Teorema de Bolzano: Si f es continua en un intervalo cerrado [a ; b] y f (a)  f (b)  0 (es decir, f (a) y f (b) tienen signos opuestos), entonces c  (a; b) / f (c)  0 . La demostración es inmediata, luego de la propiedad anterior, ya que ésta pasaría a ser un caso particular, considerando k = 0.

Referencias bibliográficas: De Burgos, J. (1996): Cálculo infinitesimal de una variable. Madrid, McGraw-Hill. Leithold, L. (1990): Cálculo con Geometría Analítica. México, Harla. Rabuffetti, H. (1978): Introducción al Análisis Matemático. Cálculo I. Buenos Aires, El Ateneo. Stewart, J. (1998): Cálculo de una variable. México, Thomson Editores.

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