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Facultad de Ingeniería - UNLPam

MATEMÁTICA DISCRETA

Trabajo Práctico No 3: Funciones. 1. Sean X = f1; 2; 3; 4g e Y = fa; b; c; dg. Determinar si cada una de las siguientes relaciones R de X en Y que se dan es una función. Para las que sean funciones encontrar su imagen y establecer si se trata de una función inyectiva o sobreyectiva. Para las que sean funciones biyectivas encontrar su inversa. a) R = f(1; a); (2; a); (3; c); (4; b)g

b) R = f(1; c); (2; a); (3; b); (4; c); (2; d)g c) R = f(1; a); (1; b); (1; c); (1; d)g

d) R = f(1; c); (2; d); (3; a); (4; b)g e) R = f(1; d); (2; d); (4; a)g

f ) R = f(1; b); (2; b); (3; b); (4; b)g

g) R = f(1; d); (1; c); (2; b); (2; a); (3; d); (4; b)g 2. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de Z a) f(n; 2n) : n 2 Zg

Z son funciones de Z en Z? c) f(n2 ; n) : n 2 Zg.

b) f(2n; n) : n 2 Zg

3. Todas las funciones gra…cadas debajo tienen dominio y codominio iguales a [0; 1]. Indicar cuáles de ellas son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas. f3

f2

f1

f5

1

1

f7

f6

f8

1

1

1

1

1

1

1

f4

1

1

1

1

1

1

1

4. En cada caso determinar si la función f : A ! B es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. a) A = f1; 2; 3; 4g, B = f0; 2; 6g; f = f(1; 0); (2; 2); (3; 6); (4; 0)g. ( 4 si x 5 b) A = B = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8g; para cada x 2 A, f (x) = : 3 si x > 5 Funciones.

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c) A = f 12 ; 13 ; 14 g, B = fx; y; z; wg; f = f( 21 ; x); ( 14 ; y); ( 13 ; w)g.

d) A = N, B = R; f = f(a; b) 2 A e) A = R, B = fx 2 R : x ( f ) A = B = N, f (x) =

g) A = N, B = Z, f (n) =

B:a

4b = 3g.

0g; f (a) = jaj. si x = 1

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. x 1 si x 2 ( 1 n si n es impar. 2 n 2

si n es par.

.

h) A = Mn n (conjunto de matrices cuadradas n T r (A) se denota la traza de la matriz A).

n), B = R, f (A) = T r (A) (con

5. Demostrar que la composición de funciones inyectivas es otra función inyectiva. 6. Sea f una función de A = f1; 2; 3; 4g en B = fa; b; c; dg. En cada caso determinar si la relación inversa de f es función. a) f = f(1; a); (2; a); (3; c); (4; d)g b) f = f(1; a); (2; c); (3; b); (4; d)g

7. Sean f : N ! R y g : N ! R. En cada caso mostrar que f (n) es O(g(n)). Gra…car. a) f (n) = n2 (7n b) f (n) =

n(n+1) , 2

2), g(n) = n3 . g(n) = n2 .

c) f (n) = n!, g(n) = nn . d) f (n) = 8n + log2 (n), g(n) = n. e) f (n) = n log2 (n), g(n) = n2 . f ) f (n) = 37n2 + 120n + 17, g(n) =

n3 . 2

8. En los siguientes casos calcular, si es posible, los valores de a1 , a2 , a3 , a4 y a5 . Si no pueden calcularse explicar por qué falla la de…nición. a) a1 = 1, a2 = 1, an = an b) a1 = 1, an = an

1

c) a1 = 0, an = nan

1

+ 2an 1

+ 2an

2

para todo número natural n

para todo número natural n

2

para todo número natural n

3.

2.

2.

9. Para cada una de las siguientes sucesiones de…nidas recursivamente calcular los primeros siete términos de la sucesión, hallar una fórmula explícita y probar que es correcta. a) a0 = 3, an = an

1

b) a1 = 4, an = 2:an

+ 2 para todo número natural n 1 para todo número natural n

1

c) a1 = 1, an = n2 an

1.

1

para todo número natural n

d) a0 = 5, a1 = 2, an = 3:an

2

2. 2.

para todo número natural n

e) a0 = 0, a1 = 3, an + an+2 = 0 para todo número natural n f ) a0 = 1, a1 = 3, an = 5an

1

6an

2

2. 0.

para todo número natural n

2.

Funciones.

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