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Capítulo 1

CONTINUIDAD DE FUNCIONES Si he visto más lejos que otros, es por que estaba sobre los hombros de gigantes.

ISAAC NEWTON

Logro de la sesión Identicar, calcular y determinar la continuidad de una función.

3.1 Función Continua Decimos que una función 1.

f (a)

es continua en el punto

a ∈ Dom(f )

si

existe.

2.

l´ım f (x) x→a

3.

l´ım f (x) = f (a) x→a

Observación 1. Si

f

f :R→R

f

existe

no es continua en

es continua en

A ⊂ R,

si

f

f

es un polinomio entonces,

Si

f

y

g

son continuas en

a,

decimos que

f

es continua en cada

Si

continuas en

a,

f,

es discontinua en

a ∈ A.

es continua en todo

entonces

R.

f + g , f -g, c.f , f.g , f /g

a.

1

a.

con

g(a) 6= 0

son todas

CONTINUIDAD Y DERIVADAS

Tipos de discontinuidad

Ejemplo.

Determine si la función:

( x2 + 1 x ≤3 f (x) = 2x + 4 x > 3

, es continua en x=3.

3.2 Continuidad en un intervalo abierto Una función f es continua en

Ejemplo.

]a; b[

sí y sólo sí es continua en cada

Analice la continuidad de la función

f

en

x ∈]a; b[.

] − 1; 1[

x+2 f (x) = 2 x −1

Denición.

Continuidad lateral

.

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CONTINUIDAD Y DERIVADAS

3.3. Continuidad en un intervalo cerrado Una función izquierda de

b,

f

es continua en

[a; b],

si y solo si es continua por la derecha de

además debe ser contínua en

( x+3 Ejemplo. Analice la continuidad lateral de la función f (x) = 5

Teorema. entre

f (a)

Ejemplo.

=1≤ x < 1 x=1

y por la

en

[−1; 1]

(del valor intermedio) Sea f continua en [a; b] y N un número estrictamente f (b). Entonces existe al menos un número c en ]a, b[ tal que f (c) = N .

y

Dada la función:f (x)

= x2 + x3 − 3

con dominio

[1, 2]

vamos a demostrar que existe

una raíz (sin hallar su valor exactamente) en ese dominio, es decir existe un número que

a

]a; b[.

c ∈]1; 2[

tal

f (c) = 0

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CONTINUIDAD Y DERIVADAS

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 1 Semana 4

Sesión 1

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Analice la continuidad de las siguiente función para

  x f (x) = 2 − x2  x − 3

x=1

y

x = 3:

;x ≤ 1 ;1 < x ≤ 3 ;x > 3

3. Determine, si los hay, puntos en los que la función dada es discontinua, indicando el tipo de discontinuidad.

( x2 − 1 x < 1 f (x) = 4−x x≥1

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2. Analice la continuidad o discontinuidad de la función:

f (x ) =

 

5 si x≤2 x2 − 6x + 10 si 2 < x < 5  4x − 15 si x≥5

4. Determine, si los hay, puntos en los que la función dada es discontinua, indicando el tipo de discontinuidad

f (x) =

6x+24 x2 +3x−4

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CONTINUIDAD Y DERIVADAS

5. Halle los valores de

A

y

B

para que

f

sea

6. Determine los valores de

a

y

b

para que

la siguiente función sea continua:

continua en su dominio

 2  Ax + Bx + 1 f (x) = 2Ax − B  x + 1

;x ≤ 1 ;1 < x ≤ 2 ;x > 2

f (x ) =

 

3x − a si x 1000

Donde x son los ingresos de la familia en soles.

cantidad a pagar en soles por mido :

f (x ) =

a) Determine el valor de

k

para que los

m3

consu-

 

x + 200 si 0 ≤ x ≤ 20 ax2 − bx + 20 si 20 < x ≤ 30  10x + 100a − 10b + 20 si x > 30

ingresos sean continuos; es decir, no haya salto en

x = S/,1000

Determine el valor de a y b para que

b) ¾Hacia qué valor se estabilizan los gas-

el modelo de pago diseñado por el admi-

tos de alimentación de las familias con in-

nistrador sea continuo

gresos más altos?

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CONTINUIDAD Y DERIVADAS

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 1 Semana 4

Sesión 1

EJERCICIOS ADICIONALES 1. Determine el intérvalo donde la función es contínua:

f (x) =

x2 x2 −36

2. Determine el intérvalo donde la función es contínua:

√ f (x) = x x + 3

3. Determine, si los hay, puntos en los que

4. Determine, si los hay, puntos en los que

la función dada es discontinua, indicando

la función dada es discontinua, indicando

el tipo de discontinuidad.

el tipo de discontinuidad

f (x) =

x2 −3 x2 +2x−8

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 f (x) =

8−x √ 3 x−2

si x < 8 3 − 2x si x ≥ 8

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CONTINUIDAD Y DERIVADAS

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 1 TAREA DOMICILIARIA 1. Encuentre los valores de las respectivas

RESPUESTAS:

constantes para que la función dada a continuación sea continua :

 2  ax − 2 x ≤ 1 f (x)= 1 − bx2 1 < x < 3   −2 − ax x ≥ 3

1.

a = 3/2

y

b = 3/2

2.

a = 7/9

y

b = −8/3

3. a)T

= 17,58°F,

-7°F, b) Si y No

2. Encuentre los valores de las respectivas constantes para que la función dada a continuación sea continua :

 3 x + 3x2 − 9x − 27   ; x ≤ −3    x+3 f (x)= ax2 − 2bx + 1 ; −3 < x < 3   2 − 22x + 57  x   ;x ≥ 3 x−3 3. Suponga que la temperatura de un día dado es 30°F. Entonces la temperatura (en °F), que se siente por efectos del viento que sopla con una velocidad

v,

en millas

por hora (mph), está dada por:

  ;0 ≤ v ≤ 4 30 √ T (v)= 1,25v − 18,67 v + 62, 34 ; 4 < v < 25   −7 ; v ≥ 25 a) ¾Cuál es la temperatura que se siente cuando

v = 9mph?¾Y

cuando

v =

40mph? b) ¾Es la función de temperatura equi-

T (v) continua en v = 4? v = 25mph? (explique) valente

¾y en

4. Determine el intérvalo q donde la función es continua:

f (x) =

5. Determine el valor de

1−x2 4−x2

a

y

b

de modo que

la función sea continua en todo su dominio: 

f (x) =

 

x3 +x2 −4x−4 x+1 ax2 − 2bx + 2

 

x2 −5x+6 x−3

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, x < −1 , −1 ≤ x ≤ 3 ,x > 3

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