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Unidad 2. Funciones .Continuidad

1. Definición de Continuidad Veamos la definición de la continuidad: Definición: Una función f(x) es continua en un punto x0 si en dicho punto se cumplen las siguientes tres condiciones: 1. Existe lim f ( x) x→ x0

2. La función definida en x0, es decir x0∈Dom(f(x)) 3. Los dos valores anteriores coinciden: lim f ( x) =f(x0). x→ x0

ww

1) Dom(f(x))=(-∞,3)∪[5,∞)

w.

M

at

em

at ic

a1

.c om

Ejemplo:

Continua en todos los puntos del dominio menos en a) x=-3
lim f ( x ) =3≠f(3)=2 x → −3

b) x=1
lim f ( x ) no existe pues los límites laterales son distintos x→1

c) x=5
lim f ( x ) no existe pues no existe el límite por la izquierda x→ 5

2) Dom(g(x))=(-∞,0)∪(0,1]∪(2,3)∪(3,∞) Continua en todos los puntos del dominio menos en a) x=0
lim g ( x ) no existe pues los límites laterales son distintos x→ 0

b) x=1
lim g ( x ) no existe pues no existe el límite por la derecha x→1

c) x=3
lim g ( x ) = −∞ pero 3∉Dom(g(x)) x →3

José Luis Lorente Aragón

29

Unidad 2. Funciones .Continuidad

Definición: Una función f(x) es continua en un intervalo (a,b) si en todos los puntos del intervalo es continua. Esto ocurre cuando al dibujar la gráfica “no levantamos el boli de la hoja para dibujarla” En el ejemplo anterior f(x) continua en (-∞,-3)∪(-3,1)∪(1,3)∪(5,∞). La función g(x) en (-∞,0)∪(0,1)∪(2,3)∪(3,∞).

2. Tipos de discontinuidades Definición: Una función f(x) es discontinua en un punto x0 si no es continua en dicho punto. Existen dos tipos de discontinuidades: a) Discontinuidad evitable b) Discontinuidad no evitable

a1

1. El límite de la función en x0 existe,

.c om

Discontinuidad evitable: Una función f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto x0 si se cumple las siguientes condiciones:

at ic

2. El límite no coincide con f(x0) o bien la función no está definida en x0 (es decir x0∉Dom(f(x))

em

Ejemplos:

ww

w.

M

at

1)

lim f ( x ) = 4 ≠ f ( 2) = 1 . Esta discontinuidad se evita redefiniendo la función en x=2, x→2

haciendo que en este punto la función tome el mismo valor que el límite es decir f(2)=4  x2 − 4  Así la función f(x) =  x − 2 si x ≠ 2 = x+2 si es continua pues lim f ( x ) = 4 = f ( 2) x→2  4 si x = 2

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Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

Unidad 2. Funciones .Continuidad



2) g(x)=


  

.c om

lim g ( x ) = 0 pero 0∉Don(g(x)). Esta discontinuidad se evitaría si redefinimos la x →0

 e −1 / x si x ≠ 0 función tal que en x=0 esta valga lo mismo que el límite: g(x)=  0 si x = 0

em

at ic

a1

2

M

at

Discontinuidad no evitable: Es aquella en la que el límite en el punto o no existe o es infinito. Pueden ser a su vez de 2 tipos:

ww

w.

1) Salto finito en x0: los límites laterales no coinciden lim+ f ( x) ≠ lim− f ( x) x → x0

José Luis Lorente Aragón

x → x0

31

Unidad 2. Funciones .Continuidad

2) Salto infinito en x0: cuando los dos límites laterales en x0 o al menos uno de ellos es +∞ o -∞.

3. Continuidad de las funciones elementales. Operaciones con funciones continuas.

.c om

Las funciones elementales, por lo general, son continuas en todos los puntos del dominio. Las discontinuidades más importantes aparecen en funciones definidas a trozos (discontinuidades evitables o de salto finito), y en funciones con denominador en el valor donde se anula éste (discontinuidad de salto infinito).

a1

Operaciones de funciones continuas: Sean f(x) y g(x) funciones continuas en x0

at ic

1) Las funciones suma y resta (f ± g)(x) son continua en x0 2) La función producto (f·g)(x) es continua en x0

em

3) La función división (f/g)(x) es continua en x0 si g(x0)≠0

w.

M

at

4) Si g(x) es continua en x0 y f(x) es continua en g(x0) entonces la función compuesta (f°g)(x) es continua en x0.

ww

4. Teoremas de Continuidad 4.1. Teorema de conservación del signo Teorema de conservación del signo: si una función f(x) es continua en el punto x0 de manera que f(x0)≠0, se cumple que en un entorno del punto la función conserva el signo, Esto es si f(x0)>0 se cumple que en un entorno de x0 la función positiva, y si f(x0) π / 2

at ic

a1

.c om

Es una función definida a trozos; en cada uno de ellos las funciones son expresiones trigonométricas, continuas en R. Luego el único punto donde puede existir discontinuidad es en x=π/2, allí donde la función cambia de expresión analítica. Veamos si f(x) es continua en π/2

w.

M

at

em

 lim + f ( x) = lim `+ 2k + cos(2 x) = 2k − 1 π   x→ π  x →  2 2 lim f ( x) =  π lim f ( x) = lim − sen(3x) = −1 x→   π − π  2 → x x →    2  2

ww

El límite existe si los límites laterales son iguales, esto ocurre si k=0. Además cuando k=0 se cumple f(π/2)=-1,y por tanto la función es continua en x=π/2 De esta forma la función es continua en R si k=0  x+2  b) g(x)=  x − 2 k

si x ≠ 2 si x = 2

Es una función definida a trozos, en uno de ellos la función es una fracción algebraica que puede no ser continua en los puntos donde se anual el denominador (x=2). Como este punto coincide con el punto donde la función cambia de expresión analítica, es el único punto donde tenemos que estudiar la continuidad de g(x).

x+2 4  = − = −∞ − x + 2 4  xlim lim g ( x) = lim =  →2 x − 2 0 el límite no existe, x →2 x →2 x − 2 0  lim x + 2 = 4 = ∞  x → 2+ x − 2 0 + independientemente del valor de k la función g(x) no es continua en x=2

José Luis Lorente Aragón

así

que

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Unidad 2. Funciones .Continuidad

  1+ | x | si x < 0  si x = 0 c) k(x)=  k 3  2 x + 1 si x > 0 Como |x| está definido para valores negativos (x 0 Es una función definida a trozos; en cada uno de ellos las funciones son polinomios, y estos son continuos en R. El único punto donde puede presentar discontinuidad es en x=0, allí donde la función cambia de expresión analítica.

.c om

 lim− 1+ | x |= 1  x →0 lim k ( x) =  =1 3 x →0 lim x + 1 = 1  x →0 + 2 

a1

Para que sea continua ha de cumplir que k(0)= lim k ( x ) . Por tanto k(x) será continua si x→ 0

at ic

k(0)=k=1
k=1

M

at

em

 x2 + 2 si x > 3  e) m( x) =  x − 2  x + 3 + k si x ≤ 3 x − 4

ww

w.

Es una función definida a trozos, en cada uno de ellos las funciones son fracciones algebraicas, que no son continuas en los puntos donde se anulan el denominador. En la primera de ellas ocurre en x=2, pero como esa expresión analítica sólo existe para x>3, nuca tomará ese valor. La segunda se anula para x=4, pero como la expresión definida para x≤3 nunca tomará ese valor. Así que sólo hay que estudiar la continuidad en x=3, donde la función cambia de expresión analítica:

x+3  lim + k = −6 + k  x→3− x − 4 lim m( x) =  El límite existe si k=17. Además si k=17 m(3)=11 2 x →3 x + 2 11  lim = = 11  x→3+ x − 2 1 y por tanto continua en 3 y en todo R.

Ejercicio 5: Hallar el dominio y la continuidad de las siguientes funciones: a) f(x)=|x2-6x+5| El dominio de la función f(x)=|x2-6x+5| y su continuidad es todo R, ya que el valor absoluto de f(x) es continuo en los mismos puntos en los que sea continua la función x2-6x+5, que es un polinomio.

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Unidad 2. Funciones .Continuidad

b) g ( x ) = 4 + x + 4 − x − 2 2 . El dominio de una raíz cuadrada son todos los puntos donde el radicando es positivo o cero. Como g(x) está definida a partir de suma la de tres funciones, el dominio será la intersección de los tres dominios. Veamos uno a uno por separado: 4 + x Dom=[-4,∞) 4 − x Dom=(-∞,4]

2 2

Dom=R

Dom(g(x))= [-4,∞)∩(-∞,4]∩R=[-4,4] En los puntos del dominio la función es continua menos en -4 y 4 De esta manera g(x) continua en (-4,4) En -4 no es continua pues lim− g ( x ) = no existe x → −4

En 4 no es continua pues lim+ g ( x ) = no existe x→ 4

a1

.c om

Ejercicio 6: Determinar los parámetros a y b para que la siguiente función sea continua en todo R

 xe x si x ≤ 0  f ( x) =  ax + b si 0 < x ≤ 1 1 + x ln( x) si x ≥ 1 

em

at ic

2

ww

w.

M

at

Es una función definida a trozos, y en cada trozo la función es continua en su dominio de definición, ya que el único que no es continua en todo R es 1 + x ln( x ) , pero como está definida para x≥1 en este intervalo es continua. Tendremos que ver la continuidad en x=0 y x=1 para asegurar que la función f(x) continua en todo R. · Continuidad en x=0  lim f ( x) = lim xe x = 0·1 = 0 x →0 − El límite existe si b=0, además para lim f ( x) =  x → 0 − x →0 lim f ( x ) = lim+ ax + b = b  x → 0 + x →0 este valor de b f(0)=0 y por tanto la función será continua 2

· Continuidad en x=1  lim+ f ( x) = lim+ (1 + x ln( x)) = 1 + 1·0 = 1 x →1 lim f ( x) =  x→1 El límite existe si a=1, x →1 lim f ( x ) = lim ax = a  x→1− − x →1 además para este valor f(a)=1 y por tanto la función será continua Si a=1 y b=0 la función será continua en R

José Luis Lorente Aragón

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Unidad 2. Funciones .Continuidad

Ejercicio 7: Sean las funciones     

 ∈,  y   ∈ , ∞

   ∈ ,  estudiar la continuidad de f+g, f·g, f/g   ∈ , ∞

Estudiemos la continuidad de las funciones f(x) y g(x) Fácilmente se puede comprobar que f(x) es continua en todo el dominio de definición [0,∞), y g(x) continua en todos los puntos de definición menos en x=2, donde los límites laterales no coinciden, es decir en [0,2)∪(2,∞). a) (f+g)(x) por las propiedades de continuidad será continua en [0,∞)∩( [0,2)∪(2,∞))= =[0,2)∪(2,∞) b) (f·g)(x) por las propiedades de continuidad será continua en [0,∞)∩( [0,2)∪(2,∞))= =[0,2)∪(2,∞) c) (f/g)(x) por las propiedades de continuidad será continua en [0,∞)∩( [0,2)∪(2,∞))=

.c om

=[0,2)∪(2,∞), ya que g(x) no se anula para ningún valor de x

x2 − 4 x2 − 2x

at ic

a) f(x) =

a1

Ejercicio 8: Hallar y clasificar las discontinuidades de las siguientes funciones

M

at

em

Será continua en R menos en los puntos donde se anula el denominador es decir x=0 y x=2, por tanto 0,2 ∉ Dom(f(x)). Veamos el límite en estos puntos para discernir el tipo de discontinuidad.

w.

· En x=0

ww

 lim 2 x − 4 − 4  x →0+ lim 2 = = x →0 x − 2 x 0  lim  x →0 −

x2 − 4 −4 = = +∞ x( x − 2) − 2·0 + → salto inf inito en x = 0 x2 − 4 −4 = = −∞ x( x − 2) − 2·0 −

· En x=2

x2 − 4 0 ( x + 2)( x − 2) 4 lim 2 = = lim = = 2 → evitable x→2 x − 2 x x → 2 0 x( x − 2) 2 2 − x si x ≤ 0 b) g ( x) =  − x si x > 0 e Tanto 2-x como e-x son continuas para todo R, luego la única posible discontinuidad puede ocurrir en x=0.

 lim+ g ( x) = lim+ e − x = 1 x →0 lim g ( x) =  x → 0 Discontinuidad de salto finito. x→0 lim g ( x ) = lim 2− x = 2  x → 0 − − x→0 40

Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

Unidad 2. Funciones .Continuidad

 2 si x = 0 c) f ( x) =  − x si x ≠ 0 e

lim f ( x) = lim e − x = 1 ≠ f (0) = 2
Salto finito x →0

x →0

Ejercicio9: Estudiar la continuidad de f(x) ln(− x) si x < −2  sen(πx) si − 2 ≤ x ≤ 2  f ( x) =  si 2 < x < 4 0 2  x − 12 si x ≥ 4 Función definida a trozos y en cada uno de ellos la función es continua en su dominio de definición, (ln(-x) es continua si x0, f(π)=0-1-π0 f(π/2)=0-30, f(2)=-60, esto ocurre en el intervalo (-2,∞)

De esta forma el dominio será (-2,∞) menos el punto x=0
Dom(f(x))=(-2,0)∪(0,∞). En todos los puntos del dominio la función es continua pues, el límite existe y coincide con el valor de la función en el punto.

Ejercicio 15: Hallar a y b para que f(x) cumpla Bolzano en [-π,π]. Hallar c que cumple Bolzano

  cos( x) si − π ≤ x ≤ 0  f ( x) = a + x 2 si 0 < x < 1 b si 1 ≤ x ≤ π  x Para que cumpla Bolzano tenemos que obligar a la función a que sea continua en [-π,π], y por tanto en x=0 y x=1

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Unidad 2. Funciones .Continuidad

 lim− f ( x ) = cos(0) = 1
a=1 En x=0 : lim f ( x ) =  x→0 x →0 f ( x) = a + 0 = a  xlim + →0  lim− f ( x ) = 12 + 1 = 2  x →1 En x=1: lim f ( x ) = 
b=2 b x →1 f ( x ) = = b  xlim  →1+ 1 Si a=1 y b=2 la función es continua en [-π,π], veamos ahora que cumple la segunda condición: f(-π)=-10 Luego cumple Bolzano ∃c∈(-π,π): f(c)=0 Busquemos el valor c: a) Veamos si c∈[-π,0]
cos(c)=0
c=-π/2

.c om

b) Veamos si c∈(0,1)
1+x2=0 no solución

a1

c) Veamos si c∈[1,π]
2/x=0 no solución

at ic

Ejercicio 16: Demuestra que la ecuación πx =e tiene solución en (0,1), ¿lo cumple también φx=e?

em

a) πx=e solución en (0,1)
definimos f(x)=πx-e, se cumple:

at

a) Continua en [0,1]

M

b) Además f(0)=1-e0

ww

w.

Al cumplir Bolzano ∃c: (0,1): f(c)=0, y por tanto la ecuación tiene solución en (0,1)

b) φx=e solución en (0,1)
definimos f(x)= φx-e, se cumple: a) continua en [0,1] b) pero f(0)=1-e0 (no se anula el denominador). b) Busquemos un intervalo donde cumpla Bolzano, por ejemplo [0.1,1]: h(0.1)=e0.1-10

.c om

Luego cumple Bolzano ∃c∈(0.1,1): h(c)=0, y por tanto f(c)=g(c), cortándose en c estas dos funciones

a1

Junio de 2005. Prueba B

at ic

C-3.- Estúdiese, según los valores de los números reales α y β , la continuidad de la función f definida por

at

em

 x +α  si x ≠ 0 f ( x) = 1 + e1 / x . β si x = 0

M

x +α es continua en R-{0}, pues 1+e1/x nunca se anula. El único problema 1/ x 1+ e está en x=0, al anularse el denominador del exponente. Por otro lado en x=0 la función cambia de expresión analítica, luego es el único punto donde tenemos que estudiar la continuidad:

ww

w.

La función

Continua en x=0 si lim f ( x ) = f (0) = β x→0

lim f ( x ) = lim x →0

x →0

α x +α = 1/ x 1+ e 1 + e1 / 0

α α x +α  = = =0 + 1 / x +  xlim 1 / 0 →0 1 + e ∞ 1+ e = (ind ) =  x +α α α  lim− = = − 1 / x  x →0 1 + e 1 1 + e1 / 0

Para que exista el límite α=0. Si α=0 lim f ( x ) =0. x→ 0

Por otro lado para ser continua f(0)= lim f ( x )
β=0 x→ 0

Luego si β=0 y α=0 la función será continua en x=0, y por lo tanto en todo R.

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Unidad 2. Funciones .Continuidad

Septiembre de 2006. Prueba A PR2. b) Pruébese que la ecuación 3x = ex tiene alguna solución en (−∞,1] Definamos la función f(x)=3x-ex; si demostramos que f(x)=0 en (- ∞ ,1], entonces se cumplirá la ecuación. Para esto apliquemos Bolzano: a) f(x) es continua en R y por tanto continua en todo el intervalo b) busquemos el intervalo [a,b] comprendido en (−∞,1] y tal que f(a)·f(b) 0  f ( x) =  b si x = 0  sen(πx) si x < 0  x sen(πx ) es continua en x0 y

Continuidad en x=0. Será continua si lim f ( x ) = f (0) x →0

 lim− f ( x ) = (*) = π
el límite existe si a=π y valdrá lim f ( x ) =π lim f ( x ) =  x → 0 x→ 0 x →0 f ( x ) = (*) = a  xlim →0 +

.c om

(*) Calcularemos estos límites en el tema 4 (Teorema de L’Hopital)

a1

f(0)=b, como lim f ( x ) = f (0)
b=π x →0

ww

w.

M

at

em

at ic

De esta forma si a=π y b=π la función es continua en x=0, y por lo tanto en todo R.

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ww

w.

M

at

em

at ic

a1

.c om

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José Luis Lorente Aragón

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