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Instituto Tecnologico Superior Cordillera

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Continuidad De Una Funcion Propiedades Y Tipos Discontinuidad

PABLO ANDRES CAIZA SUQUILLO

Enero 7 2019.

SEMESTRE: 4to A.

DEFINICION DE FUNCION CONTINUA

2

Función continua En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función; aunque en rigor, en un espacio métrico como en variable real, significa lo contrario, que pequeñas variaciones de la función implican que deben estar cercanos los puntos. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Una función continua de en es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un conjunto conexo). La continuidad de funciones es uno de los conceptos básicos del análisis matemático y de la topología general. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.

Si alguna de las tres condiciones no se cumple, la función es discontinua en x0.

PROPIEDADES DE FUNCIONES CONTINUAS

3

De entrada hay dos funciones continuas en todos los puntos de cualquier conjunto A no vacío de números reales en los que estén definidas. La demostración de este hecho es prácticamente inmediata usando directamente la definición anterior. Son las siguient 

La función constante en

A: dado k∈R; f(x)=k,∀x∈A



La función identidad en

A: f(x)=x,∀x∈A Las proposiciones o propiedades que demostraremos a continuación permitirán obtener más funciones continuas a partir de las dos anteriores. Proposición 1. Sea A un conjunto no vacío de números reales. Si f y g son funciones de A en R continuas en un punto a de A, entonces f+g y fg son continuas en a. Como consecuencia, si f y g son continuas en un subconjunto B de A, también lo serán f+g y fg. Sea {xn} cualquier sucesión de puntos de A convergente a a. Entonces, por ser f y g continuas en

a

tenemos que

{f(xn)}→f(a)y{g(xn)}→g(a) Por tanto:

{(f+g)(xn)}={f(xn)+g(xn)}→f(a)+g(a)=(f+g)(a) {(fg)(xn)}={f(xn)g(xn)}→f(a)g(a)=(fg)(a)

4 Proposición 2. Sea A un conjunto no vacío de números reales, f y g funciones de A en R. Supongamos que g(x)≠0,∀x∈A. Si f y g son continuas en un punto a de A, entonces la función fg es continua en a. Como consecuencia, si f y g son continuas en un subconjunto B de A, también lo es fg.

Proposición 3.

Sean f:A→R

g:B→R funciones reales de variable real y supongamos f(A)⊂B. Si f es continua en un punto a de A y g es continua en el punto f(a), entonces la composición g∘f es continua en a. Como consecuencia, si f es continua en A y g es continua en f(A), entonces g∘f es continua en A. Demostración. Sea {xn} una sucesión de puntos de A tal que {xn}→a y sea yn=f(xn),∀n∈N. Entonces

{yn} es una sucesión de puntos de B que, por ser f continua en a, converge a f(a). Por ser g continua en f(a) tenemos que {g(yn)} converge a {g(f(a))}

es decir

{(g∘f)(xn)}→(g∘f)(a)

5 EJEMPLOS PROPIEDAD 1

FIG: 1 EJEMPLO PROPIEDAD 2

Sean f y g funciones de R en R, continuas en todo R. Supongamos que f(x)=g(x),∀x∈Q. Pruébese que f=g. En particular, si f:R→R es continua y la restricción de f a Q es constante, entonces f es constante. Supongamos que existe un número a∈R−Q tal que f(a)≠g(a). Sea {an} una sucesión de números racionales convergente al punto a. Entonces {f(an)}→f(a) y {g(an)}→g(a) por ser f y g continuas en todo R. Pero f(an)=g(an),∀n∈N pues an∈Q,∀n∈N. Esto significa que f(a)=g(a), en contradicción con que f(a)≠g(a). Por tanto f=g. PROPIEDAD 3

FIG 2 PROPIEDAD 3

6 CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO DADO Definición. Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Observación La continuidad de f en x=a implica que se cumplan estas tres condiciones: a.- Existe el límite de la función f(x) en x=a. b.- La función está definida en x=a, es decir, existe f(a). c.- Los dos valores anteriores coinciden. Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto. Definición Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto, es decir

Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto, es decir

Nota Es evidente que si una función es continua por la derecha y por la izquierda en un punto, es continua en dicho punto.

7 2.- Propiedades de la continuidad local.

1.- Unicidad del límite. Si una función es continua en un punto, entonces tiene límite en ese punto.

2.- Teorema del signo. Si una función es continua en un punto

, entonces existe un

entorno simétrico de x=a en el que los valores que toma f tienen el mismo signo de f(a).

3.- Anulación de la función. Si una función es continua en x=a y toma valores positivos y negativos en cualquier entorno simétrico del punto x=a, la función se anula en dicho punto. 4.- Acotación de la función. Si una función es continua en el punto x=a, entonces está acotada en ese punto, es decir, existe un entorno simétrico de x=a en el que la función está acotada. 5.- Continuidad y operaciones. Las operaciones con funciones continuas en x=a da como resultado otra función continua en un entorno simétrico de x=a, siempre que tenga sentido la operación.

8 Ejemplos

1.- Estudiar la continuidad de las funciones:

2.- Se define la función signo de x por

TIPOS DE DISCONTINUIDADES Las discontinuidades se clasifican en:

Discontinuidad evitable

En este caso no se cumple la condición (a) de la definición de continuidad, es decir existe el límite finito L de f(x) en x = a pero f(x) no está definida en a. La función puede modificarse adoptando como f(a) el valor L correspondiente, convirtiéndose así en una función continua en x = a. También se clasifica como evitable la discontinuidad en la que no se cumple la condición (c) de la definición de continuidad, es decir, existen f(a) y

, pero no

coinciden. En este caso, puede salvarse la discontinuidad tomando como valor de la función el resultado del límite.

9 Discontinuidad de salto

Existen los límites laterales pero son distintos.

Discontinuidad infinita

Al menos uno de los límites laterales no existe.

Ejemplo. Dadas las siguientes gráficas de funciones discontinuas en x = 5, indique el tipo de discontinuidad en cada caso.

i)

ii)

iii)

iv)

i) El límite de y = f(x) para x tendiendo a 5 existe y es 4, pero 5 no pertenece al dominio de la función. Se trata de un discontinuidad evitable en x = 5.

10 ii) Al igual que en (i) el límite para x ® 5 existe y es 4 pero no coincide con la imagen de 5, que es 1. Se trata de una discontinuidad evitable.

iii) Observando la gráfica se deduce que

y

. Como los

límites laterales existen pero son distintos es una discontinuidad de salto.

iv) Los límites laterales no existen pues

y

. La función

presenta una discontinuidad infinita en x = 5.

CONTINUIDAD SOBRE UN INTERVALO (a,b)

Una función es continua en un intervalo abierto o unión de intervalos abiertos si es continua en cada punto de ese conjunto.

Decimos que f(x) es continua en (a, b) sí y sólo sí f(x) es continua " x Î (a, b).

Ejemplo. Analice la continuidad de la función h(x) =

en el intervalo (–1, 1).

Por ser una función racional, la función es continua en cada número real excepto los que anulan el denominador, x = 1 y x = -1. Como esos valores no pertenecen al intervalo, la función es continua en el intervalo (–1,1).

Ejemplo. Analice la continuidad de la función h(x) =

en el intervalo (–2, 2).

Los posibles puntos de discontinuidad son los que anulan el denominador, x = 1 y x = 1.

A continuación se analiza lo que sucede para cada valor:

11 En x = 1

En x = - 1 h(1) =

(indeterminado)

La función no está definida en este

h(-1) =

no existe

punto.

Como f(x) no está definida en x = 1 pero existe el límite para x ® 1, la función presenta una

Como no existe el límite para x ® -1, la función presenta una discontinuidad infinita en x = -1

discontinuidad evitable en x = 1.

Por lo tanto, la función es continua en (-2, -1) È (-1, 1) È (1, 2).

Ejemplo. Determine el intervalo más grande (o unión de intervalos) en el que cada función es continua:

12 a) h(x) = x3 - 3x

b) f(x) =

c) g(x) = log2 x

d) m(x) =

a) La función h(x) = x3 - 3x es una función continua en cada número real por tratarse de una función polinomial, por lo tanto es continua en (-¥ , +¥ ). b) La función f : R – {2} ® R / f(x) =

es continua en todo su dominio de definición, es decir en (-¥ , 2) È (2, +¥ ).

Su gráfica es:

c) La función g : R+ ® R / g(x) = log2 x es continua en todo su dominio, es decir en (0, +¥).

13 Su gráfica es:

d) La función m: R ® R / m(x) =

es continua en los intervalos (-¥ , 2)

È (2, +¥).

Su gráfica es:

Continuidad de una función en un intervalo cerrado

La continuidad de una función en un intervalo cerrado [a, b] no es sencilla de analizar como en el caso de intervalos abiertos. Dado que al considerar el intervalo cerrado [a, b] la función no está definida a la izquierda de a como tampoco a la derecha de b, no tiene

14 sentido considerar los límites en a y en b. Esto hace que no se pueda definir la continuidad en esos dos puntos. Se debe definir primero la continuidad por derecha y la continuidad por izquierda en un punto.

Definición. Una función es continua a la derecha de un número a si

continua a la izquierda de a si

y es

.

Definición. Se dice que f(x) es continua en [a, b] sí y sólo sí

a) f(x) es continua en (a, b)

b)

c)

= f(a) (continua a la derecha de a)

f(x) = f(b) (continua a la izquierda de b)

Ejemplo. Demuestre que la función f(x) =

La función f(x) =

es continua en el intervalo [–3, 3].

resulta de la composición de las funciones y = 9 – x2 e

. La primera es una función polinomial, definida para todo número real y la segunda es una función cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales no negativos. Por lo tanto, el dominio de f(x) es el conjunto de todos los números reales tales que 9 – x2 ³ 0, o sea, todos los números reales pertenecientes al intervalo cerrado [– 3, 3].

15 La gráfica de la función f(x) es la siguiente:

En la gráfica puede observarse que la función f(x) es continua en cada número real perteneciente al intervalo abierto (- 3, 3).

Además:

y Esto implica que la función es continua a la derecha de –3 y es continua a la izquierda de 3. En consecuencia, f(x) =

es continua en [–3, 3].

Ejemplo. Analice la continuidad de la función g(x) =

.

Grafique.

Se analizará primero si la función es continua en el intervalo abierto (–1,2) y luego qué sucede en los extremos.

Como cada tramo que define g(x) es una función polinomial, el único valor posible de discontinuidad es x = 1.

g(1) = 7 - 2.1 = 5

y

16 Los límites laterales existen pero son distintos. Por lo tanto, no existe el límite en x = 1.

La función no es continua en x = 1.

. La función resulta continua a la derecha de x = -1.

. La función resulta continua a la izquierda de x = 2.

Por lo tanto, la función es continua en [–1, 1) È [1, 2].

Gráficamente se puede resumir lo planteado de la siguiente manera:

17

La función es continua en [a, b] .

La función es continua en (a, b] .

La función es continua en [a, c] La función es continua en [a, b).

y en el intervalo (c, b] .

La función es continua en (a, b).

18 Bibliografía http://www.fca.unl.edu.ar/Continuidad/3.2%20Funci%F3n%20continua%20en%20unin tervalo.htm Lara y Arroba Calculo Diferencial e Integral sexta edicion https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continua

https://lasmatematicas.eu/2017/09/03/funciones-continuas-definicion-y-propiedades/ https://www.ecured.cu/Funciones_continuas Apostol Calculus 6 ta Edicion