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UAI Programa MSc. en Finanzas

Finanzas Corporativas Fernando Díaz H

Introducción a la Teoría de Decisiones bajo Incertidumbre1

1

Introducción

El objetivo de esta parte del curso es analizar cómo debe modiĮcarse la teoría del consumidor para tomar en cuenta un factor determinante en la toma de decisiones: el riesgo.

2

Riesgo e Incertidumbre

Toda actividad humana se desarrolla en un escenario riesgoso. Pero, ¿qué es el riesgo? Tradicionalmente, se asocia el riesgo con la posibilidad de obtener, en una actividad cualquiera, un resultado desfavorable. Se suelen escuchar comentarios como: ͞El paracaidismo es un deporte riesgoso͟ o ͞Los bomberos ponen en riesgo sus vidas͟. Sin embargo, ¿consideraría usted riesgoso comprar un boleto de la lotería? Aclaremos un poco las cosas. El riesgo es incertidumbre. Es no conocer, de antemano, el resultado de una determinada acción. Bajo esta perspectiva, comprar un boleto de lotería es tremendamente riesgoso, puesto que no se sabe cuál será el resultado de esta acción. ¿Y saltar desde un avión a 5.000 metros de altura, es riesgoso? Depende. Si lleva puesto el paracaídas, lo es. Si salta sin paracaídas, no tiene ningún riesgo. ¿Por qué? Porque es seguro que quien salte sin paracaídas, se va a morir. Es decir, antes de realizar tal acción, se conoce de antemano su resultado. Cuando se analiza el comportamiento del consumidor bajo certidumbre, se asume que su relación de preferencias, deĮnidas sobre un espacio determinado de bienes, satisface ciertas propiedades, de forma tal de garantizar la existencia 1 Para

uso exclusivo de este curso. Versión preliminar.

1

de una función continua, desde dicho espacio de bienes a los reales, que represente tales preferencias2 . De igual forma, al analizar la conducta del consumidor bajo incertidumbre, es también necesario que sus preferencias satisfagan ciertos axiomas de comportamiento, para poder así garantizar la existencia de una función de utilidad que represente de buena forma estas preferencias. Pero, ¿sobré qué elementos están deĮnidas las preferencias de un individuo en un ambiente de incertidumbre? ¿Cómo se maniĮesta el riesgo en la toma de decisiones?

2.1

Preferencias y Utilidad Esperada

Buscamos una teoría que entregue predicciones deĮnitivas sobre el comportamiento de los individuos cuando sus acciones son realizadas, sin conocer a priori, cuál será la consecuencia exacta de estas acciones. De alguna forma, debemos introducir incertidumbre en nuestra teoría y deĮnir cuáles son los objetos de decisión de los agentes. Suponga que existen dos instantes del tiempo, t=0 y t=1 y que existe un sólo bien que puede ser consumido en t=1. La incertidumbre es introducida en el modelo asumiendo que existen varios posibles Estados de la Naturaleza, cuya realización ocurre en t=1. Un estado de la naturaleza en particular, es una descripción completa de toda la incertidumbre reinante entre t=0 y t=1. Sea la colección de todos los estados de la naturaleza que pueden realizarse en t=1 y denotemos por ͞s͟ a un estado en particular. Los estados de la naturaleza son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, de forma tal que constituyen una partición de . Vale decir: s : , s=1,2,...,S tal que {si } = i=1 S

y

si sj =


i=j

En t=0, se sabe que el verdadero estado de la naturaleza que se realizará en t=1 es un elemento de , pero no se sabe cuál será. Por otro lado, se asume que existe un conjunto de Acciones o Planes de Consumo que pueden ser ejecutados por los individuos en t=0. Sea A el

conjunto de todas estas posibles acciones y denominemos ͞a͟ a una acción o plan de consumo en particular, con a : A. Ahora, por cada acción llevada a cabo, existe un conjunto de posibles consecuencias, dependientes de cuál sea el estado de la naturaleza que efectivamente se realice en el futuro. Las consecuencias, conocidas en t=0 por todos los individuos, se pueden interpretar como distintos niveles de consumo, para distintos estados de la naturaleza, del único bien existente en la economía. Una acción o plan de consumo es, entonces, una especiĮcación del número de unidades de este bien, disponibles para el consumo, en diferentes estados de la naturaleza. 2 En particular, si las preferencias son completas, reŇexivas, transitivas, continuas y estríctamente monotónicas, entonces existe una función de utilidad que representa estas preferencias.

2

Dicho de otra forma, cada acción tienen asociado un nivel de consumo contingente: a ї {c1 , c2 , ..., cS } donde c2 corresponde al consumo disponible, de ocurrir el estado de la naturaleza número dos, si es que se ha optado por la acción a. Un ejemplo puede ayudar a aclarar estos conceptos. Suponga que Mr. Beans está a punto de salir de su casa un día por la mañana, decidiendo si lleva un paraguas o no. En este caso, la incertidumbre que este individuo enfrenta es respecto de las condiciones climáticas que prevalecerán horas más tarde durante el día. De esta forma, , la colección de todos los posibles estados de la naturaleza, está conformada por dos eventos: s1 ї No llueve s2 ї Llueve Las posibles acciones que el individuo puede tomar son el llevar o no llevar un paraguas, por lo que A, el conjunto de todas las posibles acciones, contiene dos elementos: a1 ї Llevar paraguas a2 ї No llevar paraguas Por cada acción llevada a cabo, existe un conjunto de consecuencias posibles, dependiendo de cuál sea el estado de la naturaleza que efectivamente se realice en el futuro. Analicemos, en primer lugar, la decisión de llevar paraguas. Si no llueve en la tarde, Mr. Beans se encontrará secó, pero incómodo pues tiene que andar con el famoso paraguas para todos lados. Sin embargo, si llueve, evitó mojarse y se encontrará muy feliz. Luego, las consecuencias de la acción a1 ͞llevar paraguas͟- son: c1 ї Seco, pero incómodo 1 c1 ї Seco y contento 2 Del mismo modo, las consecuencias de la acción a2 - ͞no llevar paraguas͟ serían: c2 ї Seco y feliz 1 c2 ї Mojado y triste 2 En la Įgura número uno, se presenta en forma esquemática el problema que enfrenta Mr. Beans. Nótese que la realización de incertidumbre ocurre en t=1, una vez que la decisión ya ha sido tomada.

3

Figura 1 ¿Lloverá o no? Si llevó el paraguas... Si no llevó el paraguas...

...seco, pero incómodo...

...seco y feliz...

t=0 Si llevó el paraguas...

t=1 Si no llevó el paraguas...

...seco y contento...

...mojado y triste...

Analicemos otro ejemplo que se acerque más a la construcción teórica que hemos realizado, en particular, al supuesto de que existe un único bien disponible para el consumo en t=1. Consideremos nuevamente a Mr. Beans, esta vez decidiendo si compra o no un boleto de la lotería. En la economía existe un único bien de consumo, los bisbirulitos, cuyo precio por unidad es de $1. Mr. Beans posee una riqueza de $10 y es insaciable, en el sentido que preĮere más bisbirulitos a menos bisbirulitos3 . El boleto de lotería cuesta $1 (o un bisbirulito) y el único premio que reparte, a un sólo ganador, son $1000 (o mil bisbirulitos). La incertidumbre que Mr. Beans enfrenta es el no saber si el boleto que tiene en la mano, que está decidiendo si compra o no, es el boleto que ganará. Claramente, para el problema de Mr. Beans, el conjunto de estados de la naturaleza contiene dos elementos, s1 , que el boleto sea el ganador y s2 , que no lo sea. El conjunto de acciones o planes de consumo, A, está constituido a su vez, también por dos elementos, a1 y a2 , correspondientes a comprar y no comprar el boleto, respectivamente.¿Cuáles son las consecuencias de estas acciones? Como ya dijimos, las consecuencias son dependientes del estado de la naturaleza que se realice en t=1. Consideremos, en primer término, la acción a1 : comprar el boleto. Si el boleto gana, Mr.

Beans disfrutará de un consumo de $1.009 el próximo período, pero si no gana, sólo podrá alcanzar un consumo de $9. Por otro lado, si no lo compra, cualquiera sea el estado de la naturaleza el próximo período, Mr. Beans podrá consumir $10. En términos de la notación que hemos adoptado, podemos describir las acciones y consecuencias de la siguiente forma: 3 No

se olvide nunca: ¡los bienes son bienes!

4

a1 a2

ї {1.009, 9} ї {10, 10}

¿Se da por qué las acciones son denominadas también planes de consumo? La acción a1 es un plan de consumo que entrega 1.009 unidades del bien (bisbirulitos), en caso de ocurrir el estado uno y 9 unidades del bien si ocurre el estado dos, mientras que la acción a2 entrega un nivel de consumo cierto para el próximo período. Una manera muy útil de representar las acciones y sus consecuencias gráĮcamente, es en el denominado Espacio de Consecuencias. Figura 2

c2

Línea de Certeza

a2 10 9

a1

45° 10 1.009

c1

En la Įgura dos, se representan las acciones o planes de consumo en dicho espacio. En el eje de las abscisas, se presentan los niveles de consumo alcanzable, consecuencia de cada una de las acciones, en la contingencia que sea el estado de la naturaleza número uno el que se realice en t=1. Análogamente, en el eje de las ordenadas, se presenta el consumo disponible, consecuencia también de cada una de las acciones, si es el estado de la naturaleza número dos el que Įnalmente ocurre en t=14 . Nótese que la acción a2 , no comprar el boleto, se representa sobre una línea de 45 que parte desde el origen. Esto es así, puesto que como se

observó anteriormente, la acción de no comprar el boleto permite alcanzar un consumo de $10 en t=1, independientemente de cómo se resuelva la incertidumbre. Todas las acciones que se representan sobre esta línea en el espacio de consecuencias, entregan el mismo nivel de consumo, cualquiera sea el estado que Įnalmente se realice, razón por la cual se denomina Línea de Certeza. 4 ¿Cómo representaría las acciones en el espacio de consecuencias, si fuesen tres los posibles estados de la naturaleza? ¿Y si fuesen cuatro o más?

5

A estas alturas de la discusión, el lector debe haberse percatado que el consumidor, en este escenario de incertidumbre, escoge entre diferentes acciones o planes de consumo. Técnicamente, se dice que el consumidor escoge entre diferentes loter´as. Pero, ¿cómo escoge?. Hasta el momento, ¿podemos inferir, ı basándonos en nuestro constructo teórico, que acción escogerá Mr. Beans? ¿Jugará o no la lotería? Si a usted le propusieran una lotería, ¿qué factores tomaría en cuenta a la hora de decidir si jugar o no? 2.1.1 Requisitos para Comparar Acciones

Suponga que a usted le proponen las loterías a1 a2 y a3 , representadas en el espacio de consecuencias en la Įgura tres5 . Figura 3

c2 Línea de Certeza

a2 c2 2

c12 c32 45°

a1

a3

c11

c21

c31

c1

¿Qué plan de consumo o lotería preferiría usted? Tómese algunos minutos para pensarlo antes de seguir. Su usted es un consumidor racional, que preĮere más a menos, debería preferir a2 a a1 , ya que cualquiera que sea el estado de la naturaleza en t=1, la lotería 2 le entrega más posibilidades de consumo que la lotería uno. Pero, ¿cómo escogería entre la lotería dos y la tres? ¿O entre la uno y la tres? Obviamente necesitamos elaborar más en nuestra teoría para poder entregar una respuesta. 5 Se

puede hablar indistintamente de loterías o planes de consumo o acciones.

6

Ya dijimos que el consumidor escoge entre diferentes planes de consumo. Para que haya elección, el consumidor debe tener un conjunto de preferencias, o de otra forma no tendría cómo elegir. DeĮnición 1 (Relación Binaria) Sea A el conjunto de planes de consumo o acciones o loterías bajo consideración. Una Relación Binaria deĮnida sobre A es una colección de pares de planes de consumo (a1 , a2 ), tal que si (a1 , a2 ) pertenece a la relación, escribimos a1 a2 y decimos que a1 es preferido a a2 . Sin embargo, una relación binaria no es, todavía, una relación de preferencias. Se requieren dos condiciones adicionales. DeĮnición 2 (Transitividad) Una relación binaria es transitiva si ëa1 , a2 , a3 : A, a1 a2 y a2 a3 , entonces a1 a3 . Es decir, si a1 es preferida a a2 y esta última es preferida a a3 , entonces a1 es preferida a a3 . DeĮnición 3 (Completitud) Una relación binaria se dice completa si ëa1 ,a2 : A, se tiene que a1 a2 o a2 a1 . En palabras, diferentes planes de consumo o loterías son siempre comparables. DeĮnición 4 (Relación de Preferencias) Una Relación de Preferencias es una relación binaria, transitiva y completa. Podemos también deĮnir una Relación de Indiferencia y una Relación de Preferencia Estricta.Dada una relación de preferencias , dos loterías a1 y a2 se dicen indiferentes entre sí, si a1 a2 y a2 a1 . En este caso, se escribe a1  a2 . La acción a1 es estrictamente preferida a la acción a2 , si a1 a2 y a2 a1 , lo que escribiremos como a1  a2 . Ahora bien, dado que el consumidor escoge entre diferentes planes de consumo, que entregan posibilidades de consumo contingentes a los estados de la naturaleza, para poder efectivamente decidir, el consumidor debe tener alguna presunción respecto de las probabilidades con que ocurren los distintos estados. Esto no debería ser una gran sorpresa. Después de todo, si a usted le hacen escoger entre dos loterías, cuyos pagos diĮeren de acuerdo al estado de la naturaleza que efectivamente se realice, ¿no le interesaría saber cuáles son las probabilidades de ocurrencia de estos estados? Por ejemplo, suponga que usted tiene $1.000.000 y alguien le ofrece el siguiente juego. ͞Dame tu millón hoy, y si mañana amanece despejado, te doy $3.000.000, mientras que si amanece nublado, te doy $500.000͟ ¿No le gustaría, antes de decidir, conocer cuáles son las probabilidades de que amanezca despejado o nublado? 7

Sea P un conjunto de probabilidades deĮnido sobre . Esto simplemente signiĮca que para cada estado de la naturaleza, está asociada una probabilidad de ocurrencia, que puede ser objetiva o subjetiva. Lo único importante es que al momento de decidir, el consumidor sabe cuanto paga cada acción o plan de consumo en todos y cada uno de los posibles estados de la naturaleza y sabe, además, la probabilidad de ocurrencia de esos estados. Volvamos por un instante al ejemplo del boleto de la lotería de Mr. Beans. Cuando el escoge la acción o plan de consumo, su racionamiento debiera ser el siguiente: ͞Si no compro el boleto, mañana puedo consumir 10, con probabilidad uno, puesto que mi consumo no dependerá del estado de la naturaleza que se realice. Yo sé que la probabilidad de ganarse la lotería es uno en un millón. Por ende, si compro el 999.999 boleto, mi consumo mañana puede ser de 9 con probabilidad 1.000.000 o de 1.009 1 con probabilidad 1.000.000 . ¿Qué preĮero?͟ Esquemáticamente, la información relevante para la toma de decisión de Mr. Beans es la siguiente: Figura 3 Estado de la Naturaleza Boleto gana Probabilidad Acción Comprar el boleto No comprar el boleto ʋ1 Boleto no gana ʋ2

1.009 10

9 10

En base a la discusión anterior, podemos reĮnar el concepto de plan de consumo o lotería. DeĮnición 5 (Plan de Consumo) Una acción o plan de consumo o lotería, es una variable aleatoria, cuyas características probabilísticas están deĮnidas por P . Hemos establecido, para un ambiente de incertidumbre, una relación de preferencias para el consumidor. Sin embargo, aún estamos lejos de poder representar estas preferencias a través de una Función de Utilidad. Dado que trabajamos en un ambiente de incertidumbre, donde el resultado de las acciones son variables aleatorias, lo que buscamos en realidad es una representación de las preferencias a través de una Función de Utilidad Esperada. Esta función debe representar las preferencias de una manera consistente, en el sentido que si una acción es preferida a otra, la utilidad esperada de llevar a cabo la primera es mayor que aquella de la segunda. Es decir, queremos que si a1 a2 , entonces U (a1 ) ш U (a2 ) . 8

A diferencia del caso de perfecta certidumbre, demostrar la existencia de una función de utilidad, que represente las preferencias del consumidor, es complicado en el caso de incertidumbre y está fuera del alcance de este curso. Sin embargo, es posible demostrar que bajo ciertas condiciones técnicas, referidas a ciertos axiomas de comportamiento, siempre es posible obtener una representación de las preferencias a través de una función de utilidad. Aceptemos, entonces, la existencia de una función de utilidad capaz de representar, de manera apropiada, las preferencias del consumidor6 . Resulta natural que la utilidad de realizar una determinada acción o jugar una lotería o decidirse por un plan de consumo, dependa de los niveles de consumo o consecuencias resultantes, de acuerdo al estado de la naturaleza que se realice. Por ende, como una primera aproximación, podríamos establecer que: (1) U (ai ) = U ci , ci , ci , ..., ci 1 2 2 S

Es decir, al evaluar una acción, se deben tomar en cuenta todas las posibles consecuencias de esta acción. Pero como ya vimos, un individuo debiera también considerar la probabilidad de ocurrencia de los eventos y, por ende, de los niveles de consumo contingentes. De esta forma, nos parece racional que entren como parámetros en la función de utilidad las probabilidades de ocurrencia de los estados: (2) U (ai ) = U ci , ci , ci , ..., ci ; ʋ1 , ʋ2 , ʋ 3 , ..., ʋS 1 2 2 S S

con j=1

ʋj = 1

2.1.2

La Hipótesis de la Utilidad Esperada

La función de utilidad representada en (2) es muy general. Es posible imponer más estructura en la función de utilidad, si las preferencias satisfacen ciertas condiciones técnicas. De hecho, es posible demostrar que las preferencias por planes de consumo aleatorios o loterías, se pueden expresar en términos de una función de Utilidad Esperada. Concretamente, se puede encontrar una función de utilidad u (·) tal que: S

(3)

U (ai ) = U

ci , ci , ci , ..., ci ; ʋ1 , ʋ2 , ʋ 3 , ..., ʋS 1 2 2 S

= j=1

ʋj · u ci j

Esta representación se conoce como la Hipótesis de la Utilidad Esperada. La función u (·) se conoce la Función de Utilidad de Von Neumann-Morgenstern. Nótese que las preferencias son ahora expresadas como el valor esperado de una función de utilidad. ¿Qué propiedades debe tener esta función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern para poder establecer una teoría adecuada del 6 No

se preocupe, puede dormir tranquilo...

9

comportamiento de los consumidores bajo incertidumbre? Volvamos a la Įgura número 2. Dijimos que cualquier individuo que preĮera más a menos debería preferir a2 a a1 , ya que cualquiera que sea el estado de la naturaleza en t=1, la lotería dos le entrega más posibilidades de consumo que la lotería uno. Basta que: эu (cs ) >0 эcs para que a2 sea preferido a a1 . Es decir, basta con que u (·) sea creciente Pero, ¿cómo saber si a2 es preferido a a3 o viceversa? Necesitamos seguir elaborando en nuestra teoría, en particular respecto de la convexidad o concavidad de la función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern. Como veremos, este punto está estrechamente ligado a las actitudes de las personas frente al riesgo.

2.2

Aversión al Riesgo

¿Por qué las personas aseguran sus bienes? ¿Por qué hay gente que apuesta en el hipódromo? ¿Cómo es posible que haya personas que aseguren su automóvil y después vayan a jugar al casino? Queremos que la teoría que estamos construyendo nos permita entender cómo las personas conviven e interactúan con el riesgo. Para lograr este objetivo de buena forma, necesitamos introducir algunos conceptos. Imagine que usted posee $100,000 que desea invertir por un año. Un analista Įnanciero le sugiere invertir en la bolsa, por lo que usted decide invertir en un índice accionario. La compañía El Indice ofrece un instrumento Įnanciero que, imitando el Portfolio de Mercado, le ofrece la rentabilidad del IGPA. Normalizando este índice a $100 en t=0 (hoy), se sabe que dentro de un año el IGPA puede tomar los valores que se muestran en la Įgura número cuatro.¿Cuál es el valor esperado de su riqueza, si usted decide invertir en el instrumento Įnanciero que le ofrece la compañía? Dadas las probabilidades de ocurrencia de los eventos, el retorno esperado de la inversión es : E [rMercado ] = 130·0.1+120·0.3+110·0.2+100·0.15+90·0.1+80·0.1+70·0.05 100

о 1 = .0 65

Es decir, el retorno esperado de invertir en el Portfolio de Mercado y, por ende, en el índice, es de un 6.5%. Luego, la esperanza de la riqueza en t=1 es: E [W1 ] = 100000 · (1 + .0 65) = 1. 065 × 105 El valor esperado de la riqueza es de $106,500. Esto no signiĮca que usted vaya a recibir esta cantidad de dinero en t=1. ¡De hecho, la probabilidad de terminar con una riqueza de $106,500 es cero!.(¿Por qué? ¿Tiene claro el concepto de esperanza matemática?). ¿Se da cuenta que invertir en el índice es como jugar un juego?

10

Figura 4 t=0 t = 1 año

Valor del índice hoy

Estados de Probabilidades la Naturaleza de Ocurrencia si ʋi 130 120 110 100 90 80 70 0.1 0.3 0.2 0.15 0.1 0.1 0.05

100

Suponga, ahora, que las probabilidades de ocurrencia cambian. Estas nuevas probabilidades, asociadas a los diferentes estados de la naturaleza, se presentan en la Įgura número cinco. Figura 5 t=0 t = 1 año

Valor del índice hoy

Estados de Probabilidades la Naturaleza de Ocurrencia si ʋi 130 120 110 100 90 80 70 30.8% 3.3% 6.6% 9.9% 13.2% 16.5% 19.8%

100

Es fácil comprobar que, en este caso, la rentabilidad esperada de invertir en el Portfolio de Mercado es cero. De esta forma, si usted invierte su riqueza de 11

$100,000 en el índice, el valor esperado de ésta, en t=1, es de $100,0007 . Esto es lo que se denomina un Juego Justo. DeĮnición 6 (Juego Justo) Un Juego Justo es una variable aleatoria Ȃ = 0, tal que E [Ȃ] = 0. Ahora, si alguien le preguntara qué preĮere, jugar este Juego Justo o quedarse con su riqueza de $100,000 hasta t=1, ¿qué le respondería? ¿Y si pudiera además invertir en bonos del Banco Central, con un retorno seguro del 6%, qué preferiría? Medítelo por un momento antes de seguir. Si usted preĮere quedarse con sus $100,000 en vez de jugar un juego con un valor esperado de $100,000, entonces usted es un Averso al Riesgo. No debe suponerse que un averso al riesgo nunca jugará una lotería, o de otra forma no podría explicarse que haya gente que compre boletos del Loto o juegue al Kino. Para un premio suĮcientemente atractivo, un averso al riesgo sí puede estar dispuesto a jugar una lotería, pero esta lotería no sería un juego justo. DeĮnición 7 (Aversidad al Riesgo) Un individuo es Averso al Riesgo, a un nivel particular de riqueza W , si es que no está dispuesto a aceptar un juego justo, esto es, si preĮere una riqueza segura de W a la lotería W + Ȃ. Anteriormente, se dijo que la convexidad o concavidad de la función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern estaban fuertemente ligadas a las actitudes de las personas frente al riesgo. El siguiente teorema pone de maniĮesto esta relación. Teorema 1 Un individuo es Averso al Riesgo si y sólo si su función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern es estrictamente cóncava. La demostración de este teorema no es diĮcil y se presenta en un apéndice al Įnal de estos apuntes. Sin embargo, no es necesaria para la comprensión global de los conceptos en cuestión y no será controlada8 . Un diagrama basta para poner en claro estas ideas. En la Įgura seis se presenta el caso de un individuo con una riqueza inicial Wi . Con este ingreso, este individuo tiene la posibilidad de participar en una lotería, que entrega W1 con probabilidad p y W2 con probabilidad (1 о p), de suerte que la esperanza de la riqueza Įnal, Wf , viene dada por E [Wf ] = p · W1 + (1 о p) · W2 = Wi . Dada la concavidad de la función de utilidad, es claro que el individuo preĮere no jugar, y quedarse con una riqueza cierta de Wi , que a jugar y obtener una riqueza esperada de Wi . 7 ¿Cuántas espacios de probabilidad puede usted encontrar, de forma tal que la riqueza esperada en t=1 se igual a la riqueza en t=0? ¿Tiene claro sus conceptos de algebra lineal? ¿Cuáles son las restricciones que se deben imponer sobre las probabilidades? 8 La incluyo con la vana esperanza de que algunos de mis alumnos se interesen, más que en pasar un curso, en aprender.

12

Figura 6

u(E[Wf]) E [u(Wf)]

W W1 Wi=E(Wf) W2

Un averso al riesgo preĮere no jugar a jugar un juego justo. Se sigue que, enfrentado a un resultado incierto, estaría dispuesto a recibir menos que la esperanza de su riqueza por eliminar el riesgo9 . En la Įgura número 7 se presenta esta situación. Figura 7

u(E[Wf]) E [u(Wf)]

W W1 Wc Wi=E(Wf) W2

9 Si no se convence, pregúntele a las compañías de seguro que viven de esta disposición a eliminar el riesgo, que por lo demás, ofrecen cualquier cosa menos un juego justo...

13

Puede observarse que un nivel de riqueza segura de Wc , entrega la misma utilidad que la esperanza de la riqueza en una situación de incertidumbre. En otra palabras, si un averso al riesgo se viera obligado a jugar la lotería previamente descrita, él estaría dispuesto a aceptar cualquier nivel de riqueza segura superior a Wc por no jugarla. Este nivel de riqueza segura es lo que se conoce como Equivalente Cierto. DeĮnición 8 (Equivalente Cierto) El Equivalente Cierto de una lotería o cualquier otra situación riesgosa, para un individuo en particular, es un nivel de riqueza cierta Wc tal que el individuo está indiferente entre enfrentar dicha situación riesgosa y este nivel de riqueza cierta, es decir, E [u (Wf )] = u (W c) Es posible describir la actitud frente al riesgo de un individuo en función del equivalente cierto. Proposición 1 Un individuo es Averso al Riesgo si y sólo si Wc < E [Wf ] Los conceptos relacionados de Indiferencia al Riesgo y Preferencia por Riesgo son una extensión directa de lo recién analizado. Un indiferente al riesgo posee preferencia tales que, le da lo mismo un nivel dado de riqueza cierto que un juego justo, con una riqueza esperada igual al nivel de dicha riqueza cierta. Es decir, los juegos justos le son indiferentes. Es fácil comprobar que para estos individuos, la función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern es lineal. Por otro lado, un preferente al riesgo sí está dispuesto a jugar un juego justo y su función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern es convexa10 . Es posible interpretar intuitivamente, a partir de un gráĮco, que la aversidad al riesgo se asocie con una función de utilidad cóncava. En la Įgura número ocho, suponga un individuo con una riqueza inicial de W . Dada la forma de su función de utilidad, es claro que el incremento en la utilidad de ganar $1, es menor que la disminución en esta de perder $1. Si la probabilidad de estos eventos es igual, de forma que la apuesta sea un juego justo, este individuo no querrá jugar, con lo que, de acuerdo a la deĮnición, corresponde a un averso al riesgo. El supuesto de individuos preferentes al riesgo es muy poco realista y sin fundamento teórico. Prácticamente no existen modelos donde se suponga tal actitud de los individuos frente al riesgo. El supuesto de aversidad al riesgo, por el contrario, es conceptualmente muy atractivo y constituye la base de innumerables modelos de comportamiento bajo incertidumbre. De hecho, la mayor parte de los modelos de valoración de activos Įnancieros, como el CAPM, adoptan este supuesto como una buena representación de las preferencias de los 1 0 ¿Qué relación debe existir entre el equivalente cierto y la esperanza de la utilidad de la riqueza para un indiferente al riesgo? ¿Y para un neutral al riesgo?

14

individuos. El supuesto de neutralidad frente al riesgo es también utilizado con frecuencia y es la base de los modelos de valoración de los denominados Instrumentos Derivados, como futuros y opciones. Figura 8

ѐ+ u(W) ѐо u(W) ѐоW=$1 ѐ+W=$1

W

W

2.2.1

Medidas de Aversión al Riesgo

Volvamos al análisis de la Įgura número 7. En esta, el individuo representado tiene una riqueza esperada de E [Wf ] . Como dijimos, dada su aversidad, el está dispuesto a recibir una riqueza segura inferior a la esperanza de su riqueza. La pregunta natural es cuánto menos. Es fácil comprobar (basta ver la Įgura), que la diferencia ɽ = E [Wf ] о Wc es la máxima prima que un averso al riesgo estaría dispuesto a pagar por eliminar el riesgo. En general, cuanto mayor sea el grado de aversión al riesgo de un individuo, mayor será su disposición a pagar por eliminar la incertidumbre. Necesitamos, por ende, una medida objetiva de este grado de aversidad.. Una posible medida es ɽ, el tamaño de la prima. A continuación, ligaremos esta posible medida de aversión al riesgo, con una medida local de aversidad, es decir, una medida apta para medir la aversión hacia riesgos ͞pequeños͟. Para esto, necesitamos un supuesto técnico. Supuesto 1 La función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern tiene, al menos, hasta segundas derivadas continuas y Įnitas.

15

Considere un nivel de riqueza W y un juego justo Ȃ, con Var[Ȃ] = ʍ2 > 0. Sea Ȃ Wc el equivalente cierto de W = W +Ȃ y sea ɽ = W о Wc la máxima prima que un averso al riesgo estaría dispuesto a pagar11 . Utilizando una aproximación de segundo orden de Taylor de u (W + Ȃ) en torno a W , se tiene: (4) 2 u (W + Ȃ) у u (W ) + u (W ) Ȃ + 1 u (W ) Ȃ2

Tomando valor esperado, ʍ 2 u (W ) 2 Aplicando nuevamente una aproximación de Taylor, esta vez de u (W о ɽ) en torno a W , se obtiene, (5) Ȃ E u W у u (W ) + (6) u (Wc ) = u (W о ɽ) у u (W ) о u (W ) ɽ

Ahora, por deĮnición de equivalente cierto, se tiene que, (8) E [u (W + Ȃ)] = u (Wc ) ʍ2 u (W ) ʍ2 = A (W ) (W ) 2 u 2 u (W ) u (W )

Reemplazando (5) y (6) en (8) y despejando ɽ, (9) ɽуо

donde A (W ) = о

(W ) DeĮnición 9 (CoeĮciente Absoluto de Aversión al Riesgo) A (W ) = о u (W ) u se conoce como el CoeĮciente Absoluto de Aversión al Riesgo.

Si dos individuos tienen la misma utilidad marginal para algún nivel de riqueza W, aquel cuya función de utilidad tenga una mayor curvatura, requerirá una mayor compensación por aceptar apuestas justas ͞pequeñas͟. Esto es, cuanto mayor la curvatura, mayor el coeĮciente de aversión al riesgo. Esto se muestra gráĮcamente a continuación. 12 . Figura 9 Ȃ que en este caso E W = W. ¿Tiene claro por que? la Utilidad Marginal corresponde a la derivada de la función de utilidad эu respecto de la riqueza, эW (W ) 1 1 Nótese 1 2 Obviamente,

16

Utilidad marginal de la riqueza, para W=W0

Individuo A Individuo B

W0

W

En la Įgura número nueve, ¿cuál individuo es más averso al riesgo? ¿Es su respuesta compatible con el hecho de que la utilidad marginal es la misma para ambos?

2.3

Trasnformaciones AĮnes de la Función de Utilidad

Cuando se analiza el comportamiento del consumidor bajo certidumbre, cualquier transformación monotónica de la función de utilidad es válida como representación adecuada de las preferencias. Esto ocurre porque cualquier transformación monotónica de la función de utilidad, entregará las mismas condiciones de primer orden, en el problema de maximización del bienestar del consumidor, que la función de utilidad original. La función de utilidad entrega sólo un orden de preferencias. ¿Qué ocurre bajo incertidumbre? En particular, ¿es posible reemplazar la función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern por cualquier transformación monotónica de élla, de forma tal que la representación de las preferencias del consumidor no se vea afectada? Si queremos reemplazar la función de utilidad de un individuo por una transformación de la misma, de manera que siga representando las preferencias del consumidor, debemos exigir a esta transformación que entregue el mismo coeĮciente de aversión absoluta al riesgo. Si no, no representaría las mismas preferencias. La pregunta es, ¿basta utilizar una transformación monotónica de la función de utilidad de Von NeumannMorgenstern? Supongamos que la función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern es de la forma: u (W ) = ln W Para calcular el coeĮciente absoluto de aversión al riesgo, es necesario computar la primera y segunda derivada de la función de utilidad., 17

эu (W ) э ln W 1 = = эW эW W э1 э 2 u (W ) э 2 ln W 1 = = W =о 2 эW 2 dW 2 эW W Así, 1 W2 = 1 A (u (W )) = о W 1 W Consideremos, ahora, una transformación monotónica de esta función de utilidad y veamos si obtenemos el mismo coeĮciente de aversión al riesgo. о Sea f (u) = u2 y v (W ) = f (u (W )) El coeĮciente absoluto de aversión al riesgo viene dado por: v (W ) A (v (W )) = о v (W ) v (W ) = эv (W ) эf (u (W )) эu (W ) 1 1 = = 2u(W ) = 2 ln W эW эu (W ) эW W W э 2u (W ) v (W ) = Luego, о2 о1+ln W W W2 = о (ln W ) 1 о1 + ln W 2 ln W W Claramente, A (v (W )) = A (u (W )) y, por ende, u (W ) y v (W ) no pueden representar las preferencias de un mismo individuo. Así, hemos demostrado que una transformación monotónica de la función de utilidad no representa las mismas preferencias que la función de utilidad original13 . Veremos, en un momento, que la transformación de la función de utilidad no sólo debe ser monotónica, sino que también debe ser lineal. Es decir, es necesario imponer condiciones más fuertes a la transformación que en el caso de certidumbre. A (v (W )) = о Consideremos una transformación lineal de la función de utilidad original y veamos si esta vez obtenemos el mismo coeĮciente de aversión al riesgo. Sea f (u) = au + b y v (W ) = f (u (W )) , con a y b constantes. El coeĮciente absoluto de aversión al riesgo viene dado por: A (v (W )) = о 1 3 Recuerde

1W

э 2 ln W = эW

1W

эW

= о2

о1 + ln W W2

v

(W ) v (W )

que para demostrar que una proposición es falsa, basta con encontrar un con-

traejemplo.

18

v (W ) =

эv (W ) эf (u (W )) эu (W ) 1 = =a эW эu (W ) эW W э a 1 W эW о a W2

v

(W ) = Luego,

=о

a W2 = 1 A (v (W )) = о W 1 a W En este caso, A (v (W )) = A (u (W )), por lo que sí es posible que tanto v (·) como u (·) representen las preferencias de un mismo individuo. Se dice, entonces, que la transformación es una Transformación Afín de la función de utilidad original. Intentemos formalizar un poco esta idea14 . DeĮnición 10 (Transformación Afín) Una Transformación Afín de la función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern, es una transformación que representa las mismas preferencias que la función de utilidad original. Teorema 2 Toda Transformación Afín de la función de utilidad de Von NeumannMorgenstern es lineal Demostración: La demostración es bastante simple. Sea u (W ) la función de utilidad de un individuo cualquiera y sea v (W ) una transformación de la función de utilidad original, tal que, v (W ) = f (u (W )) Tomado primeras y segundas derivadas, v (W ) = f (u (W )) u (W ) v (W ) = f (u (W )) (u (W ))2 + f (u (W )) u (W ) Luego, v (W ) f (u (W )) (u (W ))2 f (u (W )) u (W ) = A (v) = о о v (W ) f (u (W )) u (W ) f (u (W )) u (W ) f (u (W )) u (W ) + A (u) f (u (W ))

=% A (v) = о

Para que v (·) y u (·) representen las preferencias de un mismo individuo, debe ser cierto que A (v) = A (u). Para que esta última condición se cumpla, f (u (W )) u (W ) es necesario que la expresión = 0. Para un nivel de riqueza f (u (W )) dado W = 0, esta expresión puede ser cero sólo si f (u (W )) = 0. Pero si f (u (W )) = 0, entonces la transformación es lineal. Q.E.D. 1 4 ¡Un

ejemplo no es una demostración!

19

2.4

Asumiendo Riesgo: El Óptimo del Individuo

Hemos desarrollado una teoría para el comportamiento de los individuos bajo incertidumbre, describiendo el problema de decisión, las preferencias individuales, las acciones o loterías sobre las cuales estas preferencias están deĮnidas y estableciendo una representación de las mismas, a través de la hipótesis de la utilidad esperada. Recordemos el problema que motivó esta discusión. En la Įgura número tres, nos preguntábamos cómo escogería un individuo racional entre la lotería dos y la tres o entre la uno y la tres. A estas alturas, estamos en condiciones de entregar predicciones deĮnitivas acerca del comportamiento de los consumidores bajo incertidumbre. Supongamos que existen sólo dos posibles estados de la naturaleza en t=1, s1 y s2 : . Las consecuencias de las acciones, contingentes a los estados que efectivamente se realice, pueden representarse, como vimos anteriormente, en el denominado espacio de consecuencias. El problema es cómo representar las preferencias en este espacio. Para ello, comencemos el análisis a partir de la ecuación (3), que en el escenario simpliĮcado en que trabajamos puede escribirse como, (10) U (a) = ʋ1 u (c1 ) + ʋ2 u (c2 )

Para un nivel dado de U, la ecuación (10) describe el conjunto de todas las combinaciones de consecuencias, c1 ,c2 , que son igualmente preferidas, lo que corresponde, por ende, a una Curva de Indiferencia en el espacio de consecuencias. Los supuestos acerca de la concavidad de la función de utilidad se traducen en curvas de indiferencia convexas en el espacio de consecuencias, tal como se muestra en la Įgura número 10. A medida que el nivel de utilidad U varía, la familia completa de curvas de indiferencia, implicadas por la función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern, u (·) , y por las probabilidades de ocurrencia ʋ i , va apareciendo en el espacio de consecuencias, como se muestra para las curvas U 1 , U 2 y U 3 . Claramente, el valor absoluto de la pendiente de una curva de indiferencia, para una combinación determinada de c1 y c2 , corresponde a la Tasa Marginal de Sustitución en Consumo. Por ejemplo, para c1 y c2 en el diagrama anterior, Ƿ Ƿ la pendiente de la recta AA corresponde a la Tasa Marginal de Sustitución en Consumo. Figura 10

20

c2 U2 U1

U3

Línea de Certeza

A

c2 A

c1

c1

Formalmente, tomando diferencial total de la ecuación (10), (11) dU = ʋ 1 u (c1 ) dc1 + ʋ2 u (c2 ) dc2 = 0 =% dc2 ʋ1 u (c1 ) |U=cte = о dc1 ʋ2 u (c2 )

DeĮnición 11 (Tasa Marginal de Sustitución) Se deĮne la Tasa Marginal ʋ1 u (c1 ) de Sustitución en Consumo como M (c1 , c2 ) = ʋ2 u (c2 ) Nótese que cualquier curva de indiferencia, al cruzar la línea de certeza, tiene una pendiente absoluta igual a о ʋ1 , la razón de las probabilidades de ocurrencia ʋ2 de los estados. Es interesante preguntarse cómo se interpreta en el espacio de consecuencias el hecho de que un averso al riesgo no esté dispuesto a aceptar un juego justo. Considere un plan de consumo a, con niveles de consumo contingentes c1 y c2 , ¯ ¯ ¯ como se muestra en la Įgura número once. Figura 11

21

c2

L

Línea de Certeza

a c2

c2

a

c1

c1

L

c1

En la Įgura, la línea LL que pasa por a, muestra, dadas las probabilidades ¯ de ocurrencia de los estados, todas las loterías o acciones (en deĮnitiva, combinaciones de consumo c1 ,c2 ), que tienen la misma esperanza matemática del consumo que la lotería a. Así, por ejemploͣ aun cuando las loterías a y a en¯ ¯ Ƿ tregan distintos niveles de consumo en los posibles estados de la naturaleza, la esperanza del consumo es la misma para ambas. De esta forma, la ecuación de LL viene dada por, (12) ʋ1 c1 + ʋ2 c2 = ʋ 1 c1 + ʋ2 c2 = ʋ1 c1 + ʋ 2 c2 = c1 = c2 = c ¯ ¯ Ƿ Ƿ Ƿ Ƿ Ƿ

A lo largo de la LL, el punto o plan de consumo más deseado por un individuo, será aquel donde esta línea es tangente a una curva de indiferencia. Para un averso al riesgo, ¿dónde cree usted que ocurrirá la tangencia? Piénselo por unos minutos antes de proseguir. La pendiente de la LL viene dada por dc2 = о ʋ1 . Por otro lado, sabemos dc1 ʋ2 que las curvas de

indiferencia, al cruzar la línea de certeza, tienen pendiente absoluta igual a о ʋ1 . Por ende, la tangencia, debe ocurrir a lo largo de la línea ʋ2 de certeza. Así, vemos que un nivel de consumo seguro c, es preferido a cualquier Ƿ otra combinación de posibles consumos c1 ,c2 cuyo esperanza matemática sea c. Ƿ Esto se muestra gráĮcamente a continuación.Figura 12

22

c2

L

Línea de Certeza

a c2

c2

a

c1

c1

L

c1

23

Toma De Decisiones Bajo Riesgo La información con la que se cuenta para solucionar el problema es incompleta, es decir, se conoce el problema, se conocen las posibles soluciones, pero no se conoce con certeza los resultados que pueden arrojar. En este tipo de decisiones, las posibles alternativas de solución tienen cierta probabilidad conocida de generar un resultado. En estos casos se pueden usar modelos matemáticos o también el decisor puede hacer uso de la probabilidad objetiva o subjetiva para estimar el posible resultado. La probabilidad objetiva es la posibilidad de que ocurra un resultado basándose en hechos concretos, puede ser cifras de años anteriores o estudios realizados para este fin. En la probabilidad subjetiva se determina el resultado basándose en opiniones y juicios personales. Este modelo, incluye aquellas decisiones para las que las consecuencias de una acción dada dependen de algún evento probabilista. El riesgo o la eliminación del mismo es un esfuerzo que los gerentes deben realizar. Sin embrago, en algunos casos la eliminación de cierto riesgo podría incrementar riesgos de otra índole. El manejo efectivo del riesgo requiere la evaluación y el análisis del impacto subsiguiente del proceso de decisión. Este proceso permite al tomador de decisiones evaluar las estrategias alternativas antes de tomar cualquier decisión. El proceso de decisión se describe a continuación: 1. El problema esta definido y todas las alternativas confiables han sido consideradas. Los resultados posibles para cada alternativa son evaluados. 2. Los resultados son discutidos de acuerdo a su reembolso monetario o de acuerdo a la ganancia neta en activos o con respecto al tiempo. 3. Varios valores inciertos son cuantificados en términos de probabilidad. 4. La calidad de la estrategia óptima depende de la calidad con que se juzgue. El tomador de decisiones deberá examinar e identificar la sensitividad de la estrategia optima con respecto a los factores cruciales. Cuando el decisor posee algún conocimiento sobre los estados de la naturaleza puede asignarle a la ocurrencia de cada estado alguna estimación subjetiva de probabilidad. En estos casos, el problema se clasifica como de toma de decisiones con riesgo. El decisor puede asignar probabilidades a la ocurrencia de los estados de la naturaleza. El proceso de toma de decisión con riesgo es el siguiente: a) Use la información que tenga para asignar su parecer personal (llamado probabilidades subjetivas) sobre el estado de la naturaleza, p(s); b) Cada curso de acción tiene asociado un determinado beneficio con cada uno de los estados de la naturaleza, X(a,s);

c) Calculamos el beneficio esperado, también llamado riesgo o R, correspondiente a cada curso de acción como R(a) = Sumas de [X(a,s) p(s)]; d) Aceptamos el principio que dice que deberíamos actuar para minimizar (o maximizar) el beneficio esperado; e) Ejecute la acción que minimice R(a).

Modelo de toma de decisiones. No es un proceso simple, y se encuentra condicionado por metas, características psicológicas y marcos de referencia de quien toma las decisiones. Los sistemas deben ser diseñados de forma que brinden un verdadero apoyo a la toma de decisiones proporcionando diferentes opciones para manejar la información y evaluarla, apoyando los estilos personales adicionalmente modificándose conforme las personas aprenden y aclaran sus valores. Los diseñadores de sistemas de información deben encontrar la forma de construir sistemas de información que apoyen a la toma de decisiones en la institución como un proceso condicionado porluchas de líderes, políticos y la tendencia a adaptar las soluciones a los problemas. TOMA DE DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE |

En los procesos de decisión bajo incertidumbre, el decisor conoce cuáles son los posibles estados de la naturaleza, aunque no dispone de información alguna sobre cuál de ellos ocurrirá. No sólo es incapaz de predecir el estado real que se presentará, sino que además no puede cuantificar de ninguna forma esta incertidumbre. En particular, esto excluye el conocimiento de información de tipo probabilístico sobre las posibilidades de ocurrencia de cada estado.

CRITERIO DE LAPLACE

Este criterio, propuesto por Laplace en 1825, está basado en el principio de razón insuficiente: como a priori no existe ninguna razón para suponer que un estado se puede presentar antes que los demás, podemos considerar que todos los estados tienen la misma probabilidad de ocurrencia, es decir, la ausencia de conocimiento sobre el estado de la naturaleza equivale a afirmar que todos los estados son equiprobables. Así, para un problema de decisión con n posibles estados de la naturaleza, asignaríamos probabilidad 1/n a cada uno de ellos.

La regla de Laplace selecciona como alternativa óptima aquella que proporciona un mayor resultado esperado:

CRÍTICA

La objeción que se suele hacer al criterio de Laplace es la siguiente: ante una misma realidad, pueden tenerse distintas probabilidades, según los casos que se consideren. Por ejemplo, una partícula puede moverse o no moverse, por lo que la probabilidad de no moverse es 1/2. En cambio, también puede considerarse de la siguiente forma: una partícula puede moverse a la derecha, moverse a la izquierda o no moverse, por lo que la probabilidad de no moverse es 1/3. Desde un punto de vista práctico, la dificultad de aplicación de este criterio reside en la necesidad de elaboración de una lista exhaustiva y mutuamente excluyente de todos los posibles estados de la naturaleza.

CRITERIO DE WALD

Este es el criterio más conservador ya que está basado en lograr lo mejor de las peores condiciones posibles. esto es, si el resultado x(ai, ej) representa pérdida para el decisor, entonces, para ai la peor pérdida independientemente de lo que ej pueda ser, es máx ej { x(ai, ej) }. El criterio minimax elige entonces la acción ai asociada a :

CRITERIO DE HURWICZ

Este criterio representa un intervalo de actitudes desde la más optimista hasta la más pesimista. En las condiciones más optimistas se elegiría la acción que proporcione el máx ai máx ej { x(ai, ej) }. Se supone que x(ai, ej), representa la ganancia o beneficio. De igual manera, en las condiciones más pesimistas, la acción elegida corresponde a máx ai mín ej { x(ai, ej) }. El criterio de Hurwicz da un balance entre el optimismo extremo y el pesimismo extremo ponderando las dos condiciones anteriores por los pesos respectivos y (1- ), donde 0 ч ч 1. Esto es, si x(ai, ej) representa beneficio, seleccione la acción que proporcione:

CRITERIO DE SAVAGE

En 1951 Savage argumenta que al utilizar los valores xij para realizar la elección, el decisor compara el resultado de una alternativa bajo un estado de la naturaleza con todos los demás resultados, independientemente del estado de la naturaleza bajo el que ocurran. Sin embargo, el estado de la naturaleza no es controlable por el decisor, por lo que el resultado de una alternativa sólo debería ser comparado con los resultados de las demás alternativas bajo el mismo estado de la naturaleza. Con este propósito Savage define el concepto de pérdida relativa o pérdida de oportunidad rij asociada a un resultado xij como la diferencia entre el resultado de la mejor alternativa dado que ej es el verdadero estado de la naturaleza y el resultado de la alternativa ai bajo el estado.

TOMA DE DECISIONES BAJO RIESGO

Esta categoría incluye aquellas decisiones para las que las consecuencias de una acción dada dependen de algún evento probabilista.

TOMA DE DECISIONES BAJO CERTIDUMBRE

| Si se pueden predecir con certeza las consecuencias de cada alternativa de acción, entonces se tiene una tarea de toma de decisiones bajo certidumbre. |

| Otra manera de pensar en esto es que existe una relación directa de causa y efecto entre cada acto y su consecuencia. Si está lloviendo, ¿deberá llevarse un paraguas?, si hace frío, ¿deberá llevarse un abrigo?. Ya sea que se lleve o no el paraguas o el abrigo, las consecuencias son predecibles. |

| Una buena parte de las decisiones que se toman a diario cae dentro de esta categoría. |

PROGRAMACION LINEAL

| Muchas decisiones de Dirección de Operaciones incluyen el intentar conseguir utilizar los recursos de la organización de la manera más efectiva posible. Los recursos generalmente incluyen maquinarias (como los aviones), mano de obra (como los pilotos), dinero, tiempo y materias primas (como el combustible). Estos recursos se pueden utilizar para producir productos (como máquinas, muebles, alimentos y vestuario) o servicios (como listas de vuelos, campañas de publicidad o decisiones de inversión). |

| La programación lineal es un método determinista de análisis para elegir la mejor entre muchas alternativas. Cuando esta mejor alternativa incluye un conjunto coordinado de actividades, se le puede llamar plan o programa. |

La programación lineal es una técnica determinista, no incluye probabilidades. El objetivo y cada una de las restricciones se deben expresar como una relación lineal, de ahí el nombre de programación lineal.

TEORIA DE DECISION

En general, un tomador de decisiones debe escoger una acción ai entre un conjunto de acciones disponibles A = {a1, a2,͙, an}. De acuerdo al estado de naturaleza sj que ocurra, con probabilidad de ocurrencia pj dentro del universo de estados posibles S = {s1, s2,͙, sm}, se obtendrá un retorno rij . La situación anterior corresponde a un modelo en que el tomador de decisiones se enfrenta a la naturaleza, por lo tanto, la ganancia o perdida que se obtenga depende exclusivamente de la decisión que se haya tomado.

TOMA DE DECISIONES BAJO CONDICIONES DE CERTEZA

·Poco riesgo de incertidumbre ·Información perfecta · Poco frecuente en la vida real

Se conocen todos los posibles estados de un sistema y en qué estado concreto estará el sistema en un momento dado. El decisor está ante un sistema determinista. Modo de decidir:

elegir uno entre los resultados conocidos, haciendo las acciones previas que nos lleven a dicho estado.

El decisor conoce el estado de la naturaleza que ocurrirá con absoluta certeza. Solamente hay una consecuencia para cada alternativa Certeza: Conocimiento completo y exacto de lo que produce cada alternativa. Sólo hay una consecuencia para cada alternativa. Si se conocen las consecuencias y si los valores del resultado son evidentes, la tarea del decisor es calcular la alternativa óptima o el resultado.

TABLAS DE DECISIÓN BAJO RIESGO

Los procesos de decisión en ambiente de riesgo se caracterizan porque puede asociarse una probabilidad de ocurrencia a cada estado de la naturaleza, probabilidades que son conocidas o pueden ser estimadas por el decisor antes del proceso de toma de decisiones.

REGLAS DE DECISIÓN

Los diferentes criterios de decisión en ambiente de riesgo se basan en estadísticos asociados a la distribución de probabilidad de los resultados. Algunos de estos criterios se aplican sobre la totalidad de las alternativas, mientras que otros sólo tienen en cuenta un subconjunto de ellas, considerando las restantes peores, por lo no que están presentes en el proceso de toma de decisiones.

Representaremos por R (ai) los resultados asociados a la alternativa ai, y por P (ai) la distribución de probabilidad correspondiente a tales resultados, esto es, el conjunto de valores que representan las probabilidades de ocurrencia de los diferentes estados de la naturaleza:

R

| xi1

| xi1

|...

| xi1

|

P

| p1

| p2

|...

| pn

|

Los principales criterios de decisión empleados sobre tablas de decisión en ambiente de riesgo son:

| Criterio del valor esperado

|

| Criterio de mínima varianza con media acotada | Criterio de la media con varianza acotada | Criterio de la dispersión

|

|

|

| Criterio de la probabilidad máxima

|

Valor Esperado de la Información Perfecta

Por información perfecta debemos entender que la ocurrencia o no ocurrencia de todos los eventos con incertidumbre son conocidas de antemano por el tomador de decisiones. Con dicha información se puede volver a plantear un árbol de decisiones en el cual se conoce previamente la ocurrencia de los eventos, es decir, el tomador de decisiones posee información perfecta.

Ríos Huerta Thaiz Alejandra 24 de Mayo de 2010.