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• Sergio Felipe Grisales

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Tarea 2 Métodos de integración

Presentado por: Leidy Yohana Vanegas Contreras Sergio Grisales Diego paez cód. 1074558321 Tutor: Sandra Viviana Ávila

Grupo: 100411_57

Universidad Nacional Abierta y a Distancia Vicerrectoría Académica y de Investigación Curso: Cálculo Integral noviembre de 2020.

EJERCICIOS SERGIO GRISALES Tipo de ejercicios 1 – Integración por sustitución. Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso: Rivera, A. (2014). Cálculo y sus Fundamentos para Ingeniería y Ciencias. México: Grupo Editorial Patria. (pp. 541 - 546). Desarrollar los ejercicios seleccionado utilizando el método de integración por sustitución y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra)

¿∫

1 1 2

3

u +u 2

¿∫

du

2 dv 1+ v 2

¿ 2∗∫

1 dv 1+v 2

¿ 2 arctan ⁡(v ) Sustituir en la ecuación

1 2 ¿ 2 arctan ⁡( ( 1+ x ) )

Se agrega una constante, ejemplo: C

(

1 2

)

¿ 2 arctan ( 1+ x ) + c

Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes. Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso: Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral: La Integral Indefinida y Métodos de Integración. Editorial Unimagdalena. (pp. 80 – 83). Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por partes y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra)

¿

1 3 x2 x ln x−∫ dx 3 3

x2 x3 dx= ∫3 9 ¿

1 3 x3 x ln x− 3 9

Se agrega constante, ejemplo c ¿

1 3 x3 x ln x− + c 3 9

Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales. Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso: Guerrero, G. (2014). Cálculo Integral: Serie

Universitaria Patria. México: Grupo Editorial Patria. (pp. 135 – 141; 176 - 181). Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración adecuado y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra)

¿ ∫❑

2 x+ 1 2 1 − + 2 2 dx x +1 x−1 (x−1)

¿∫

2 x +1 2 1 dx−∫ + dx 2 x−1 (x−1)2 x +1

¿∫

2 x +1 dx=ln |x 2+1|+ arctan ( x ) 2 x +1

¿∫

2 dx=2 ln |x−1| x −1 1

−1

∫ ( x −1)2 dx = x−1 ¿ ln |x 2 +1|+arctan ( x )−2 ln |x−1|−

1 +c x−1

Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias. Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso: Alvarado, M. (2016) Cálculo Integral en Competencias. México: Grupo Editorial Patria. (pp. 181 - 184). Según el ejercicio seleccionado, desarrollar la integral

impropia y determine si convergen o divergen y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra)

¿∫

x 1 dx = ln |x 2+1|+ c 2 x +1 2

Es divergente EJERCICIOS LEIDY JOHANA Tipo de ejercicios 1 – Integración por sustitución. Ejercicio B sen(2 t+ 1)

∫ cos 2( 2t +1) dt Solución: Usando la sustitución u=cos2 (2 t+ 1), trasforme la integral −1

∫ 2 u2 du Utilizo las propiedades de la integral

−1 1 x ∫ 2 du 2 u Resuelvo la integral −1 −1 x( ) 2 u Usando la sustitución u=cos(2 t +1)

−1 −1 x( ) 2 cos ⁡(2 t+ 1) Simplifico la expresión (

1 ) 2cos ⁡(2 t+ 1)

Agrego la constante de integral (

1 ) +c 2cos ⁡(2 t+ 1)

Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes. Ejercicio B

∫ x . sec2 ( x ) dx Formula integrales por partes:

∫ u . dv=u . v −∫ v . du Usamos la técnica del ILATE para poder identificar cual es “u” y cual es “dv” Inversa

Logarítmica Algebraica Trigonométrica Exponencial u=x

dv = sec 2∗( x ) dx

Hallo la derivada de u du =1 dx dx Hallo la integral de dv dv =sec 2∗ ( x ) dx v=tang ( x ) +c Reemplazo en la formula

∫ x . sec2∗( x ) dx=x .tang ( x ) −∫ tang ( x ) . 1 dx x . tang ( x )−∫

sen x dx cos x

x . tang ( x ) +∫

−sen x dx cos x

Aplicamos la fórmula f (x)

∫ f (x ) dx = ln f (x) + c x . tang ( x ) + ln l cos x l+ c

Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones Parciales Ejercicio B x2 ∫ 2 dx √ x −1

Solución: Usando la sustitución x=sec (t),trasformo la integral

∫ sec ⁡¿ ¿ ¿ Usando sec ⁡¿= tan¿ simplifico la expresión

∫ sec ⁡¿ ¿ ¿ Simplifico la raíz y el exponente usando 2

∫ sec ⁡¿ ¿ ¿

Reduzco la expresión usando el máximo común divisor tan(t)

∫ sec ⁡¿ ¿ Calculo el producto

∫ sec ⁡¿ ¿ Resuelvo la integral 1 1 x sec ( t ) tan ⁡(t) x ∫ sec ⁡( t) dt 2 2 1 1 x sec ( t ) tan ( t ) x ln ⁡¿ 2 2 Utilizo la sustitución t = asec (x) 1 x sec¿ ¿ 2 Simplifico la expresión x∗tan ⁡¿ ¿ Agrego la constante de integración

x∗tan ⁡¿ ¿

Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias Ejercicio B ∞

∫ xe− x dx 0

Aplicamos formula ∞

b

∫ f ( x ) dx=lim ¿b >∞∫ f (x )dx ¿ a

0

b

lim ¿b> ∞∫ xe− x dx ¿ 0

Hallamos la integral definida y toca por el método de integración por partes pues es una función algebraica multiplicando una exponencial (hay 2 funciones diferentes). Usamos la técnica del ILATE para poder identificar cual es “u” y cual es “dv” u=x dv=e−x dx Derivamos el u y el dv lo integramos

du=dx v=∫ e−x dx

v=

e−x −x =−e −1

∫ u . dv=u . v −∫ v . du e−x ∫ x e dx=−x e +∫ e dx=−x e + −1 + c −x

−x

−x

−x

−x e−x −e−x Aplicamos límites de Integración, reemplazando el b en todos los x que haya, quedando −b e−b −e−b −( 0−1 ) =−b e−b −e−b +1

lim ¿b> ∞ ¿ ¿) −lim ¿b> ∞ ¿

−lim ¿b> ∞

b 1 −lim ¿ b> ∞ b + lim ¿b >∞ 1¿ ¿ b e e

1 −0+1 ¿ = 0 - 0 + 1 = 1 eb

Como ha salido un número constante esta integral impropia converge.

EJERCICIOS DIEGO PAEZ Tipo de ejercicios 1 – Integración por sustitución. Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso: Rivera, A. (2014). Cálculo y sus Fundamentos para Ingeniería y Ciencias. México: Grupo Editorial Patria. (pp. 541 - 546). Desarrollar los ejercicios seleccionado utilizando el método de integración por sustitución y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra) Ejercicio C

∫ √2 x−1 dx Solución u ¿∫ √ 2 Se saca la contante según la fórmula: ∫ a∗f ( x ) dx=a∗∫ f ( x ) dx 1 ¿ ∗∫ √ u du 2

Se aplica la ley de los exponentes 1

1 ¿ ∗∫ u 2 du 2 Se aplica regla de la potencia donde: ∫ x a dx=

x a+1 , donde a no puede ser igual−1 a+1

1

1 2 +1 ∗u 2 ¿ 1 +1 2 Hacer la sustitución en la ecuación 1

+1 1 ∗(2 x−1) 2 2 ¿ 1 +1 2 3

1 ¿ ∗(2 x−1) 2 3 Se agrega la contante 3

1 2 ¿ ∗( 2 x −1 ) + c 3

Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes. Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso: Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral: La Integral Indefinida y Métodos de Integración. Editorial Unimagdalena. (pp. 80 – 83). Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por partes y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra) Ejercicio C

∫ xe 3 x dx

Solución Se aplica la integración por sustitución ¿∫

ex x dx 9

Se saca la constante de acuerdo con la fórmula: ∫ a∗f ( x ) dx=a∗∫ f ( x ) dx 1 ¿ ∗∫ e x xdx 9 Se aplica la integración por partes ¿

1 x e x−∫ e x dx ) ( 9

1 ¿ ( e x x−e x ) 9 Se sustituye en la ecuación la variable por : 3x 1 ¿ ( e3 x∗3 x−e 3 x ) 9 Se agrega la contante a la ecuación 1 ¿ ( e3 x∗3 x−e 3 x ) +c 9

Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales. Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso: Guerrero, G. (2014). Cálculo Integral: Serie Universitaria Patria. México: Grupo Editorial Patria. (pp. 135 – 141; 176 - 181). Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración adecuado y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra)

Ejercicio C

x2 ∫ x 2+ 4 dx

Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias. Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso: Alvarado, M. (2016) Cálculo Integral en Competencias. México: Grupo Editorial Patria. (pp. 181 - 184). Según el ejercicio seleccionado, desarrollar la integral impropia y determine si convergen o divergen y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra)

Ejercicio C

1

dx ∫ 1−x 0

Nombre Estudiante

Ejercicios

Link video explicativo

Yohana Vanegas

sustentados Ejercicio 1

https://youtu.be/0HAp0Ty421A

Bibliografía: Rivera, A. (2014). Cálculo y sus Fundamentos para Ingeniería y Ciencias. México: Grupo Editorial Patria.  Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral: La Integral Indefinida y Métodos de Integración. Editorial Unimagdalena Guerrero, G. (2014). Cálculo Integral: Serie Universitaria Patria. México: Grupo Editorial Patria. Alvarado, M. (2016) Cálculo Integral en Competencias. México: Grupo Editorial Patria.