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CALCULO INTEGRAL

TAREA 1 - EL CONCEPTO DE INTEGRAL TRABAJO COLABORATIVO

PRESENTADO POR: FRANCISCO SERRANO MENDOZA – CODIGO: 1082371858 YORLADIS NÙÑEZ NÙÑEZ – CODIGO: 1.102.232.083 OSCAR ANDRES HORTA RICAUTE – CODIGO: KELLY AGUAS ALDANAS – CODIGO:

GRUPO: 100411_487

PRESENTADO A: GUSTAVO SALAZAR CEDEÑO TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVA CONTABLES ECONÓMICAS Y DE NEGOCIOS – ECACEN PROGRAMA: ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS MARZO 2020

INTRODUCCION

Con esta actividad aplicaremos el conocimiento adquirido para Integrales inmediatas, sumas de riemann, Teorema de integración e Integral definida y algunos teoremas en la solución de los ejercicios propuestos. Igualmente, aprenderemos a trabajar en equipo y a fomentar el aprendizaje por medio de aportes y puntos de vistas de los compañeros del grupo académico. El Cálculo Integral es la rama de las Matemáticas muy utilizadas en Ciencias, tecnología, Ingeniería e Investigación, que requiere un trabajo sistemático y planificado, para poder cumplir el proceso fundamental de técnicas que permiten solucionar problemas de estos campos. Por ello, la integración es necesaria para otras áreas matemáticas más avanzadas y tiene muchas aplicaciones prácticas en nuestra vida profesional.

Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas.

Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral. Editorial Unimagdalena. (pp. 15 – 23). Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas y compruebe su respuesta derivando el resultado.

Ejercicio a.

5

∫

1

4 x 4 −2 x 4 x

¿>∫

1 4

dx

5

1

4 x4

2 x4

x

1 4

¿>∫ 4 x

−

5 1 − 4 4

x

1 4

dx 1

−2 x 4

−

1 4

dx

4 4

¿>∫ 4 x −2 x 0 dx , x 0=1 ¿ ∫ 4 x−2 dx ¿ ∫ 4 xdx−∫ 2 dx ¿ 4 ∫ x dx−2 ∫ dx= 4 2 x −2 x +C 2 ¿ 2 x2 −2 x +C ¿

4 x1 +1 −2 x +C 1+1

Ejercicio b.

3

−1 dt ∫ 2t t−2

t 3−1 t 2 t 1 : + + 2t−2 2 2 2

Expandir t 3−1 2t−2

Factorizar

t 3−1 : ( t −1 ) ( t 2 +t+1 )

t 3−1 Reescribir 1 como 13 ¿ t 3−13

Aplicar la siguiente regla de productos notables (diferencia de cubos):

x 3− y 3= ( x− y ) ( x 2 + xy + y 2 ) t 3−13=( t−1 ) ( t 2+t +1 ) ¿ ( t−1 ) ( t 2 +t +1 )

¿

( t−1 ) ( t 2 +t+1 ) 2t−2

Factorizar el termino común 2

¿

( t−1 ) ( t 2 +t+1 ) 2 ( t−1 )

Eliminar los términos comunes: t-1 ¿

t 2 +t+ 1 2

Aplicar las propiedades de las fracciones:

a ±b a b = ± c c c

t 2 +t +1 t 2 t 1 = + + 2 2 2 2 ¿

t2 t 1 + + 2 2 2

¿∫

t2 t 1 + + dt 2 2 2

( )( )( )

Aplicar la regla de la suma: ∫ f ( x ) ± g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx ±∫ g ( x ) dx

¿∫

t2 t 1 dt +∫ dt +∫ dt 2 2 2 2

3

∫ t2 dt = t6 2

∫ t2 dt Sacar la constante: ∫ a∙ f ( x ) dx=a ∙ f ( x ) dx 1 ¿ ∙∫ t 2 dt 2

Aplicar la regla de la potencia:∫ x a dx=

x a+1 , a≠−1 a+1

1 t 2+1 ¿ ∙ 2 2+1

Simplificar ¿

1 t 2 +1 t 3 ∙ : 2 2+1 6

t3 6 2

∫ 2t dt = t4 t

∫ 2 dx 1 ¿ ∙∫ tdt 2

1 t 1+1 ¿ ∙ 2 1+1

Simplificar ¿

1 t 1+ 1 ∙ 2 1+1

t2 4 1

1

∫ 2 dt = 2 t ¿

t3 t 2 1 + + t 6 4 2

Agregar una constante a la solución

Ejercicio d: 3

x ∫ 20 (e 4 ¿−e 2 x )dx ¿

¿

t3 t 2 1 + + t +C 6 4 2

3 2x Sacar constante = ¿ 20∫ e 4−x−e dx

Sumar 3 2x = 20 (∫ e4 xdx−e dx

3 3 e x2 xdx= 4 8

∫e ∫(

3 e x2 ¿ −1 2 x e )¿ 8 2

= 20( = 20

(

3 e2 1 2 x − e ) 8 2 3 e2 1 2 x − e +C 8 2

)

(Se agrega la constante C)

d 2 ex 2 1 2 x 20 − e +C dx 8 2

(

-

)

d ¿ dx

d ¿ dx d ( C ) =0 dx

( ex2 −e )+ 0

=20

2x

Simplificamos =20(

ex 2 x −e ) 2

Ejercicio e.

∫

( sen(3 x )−cos ⁡(2 x)) dx 4

∫

sen ( 3 x )−cos ( 2 x ) 1 dx ∫ ( sen 3 x−cos ( 2 x ) ) dx 4 4

1 1 sen 3 x dx−∫ cos 2 x dx )= ¿ ( ∫ 4 4 1 −1 1 cos(3 x)− sen (2 x ) +c 4 3 2

(

)

−1 1 cos ( 3 x )− sen ( 2 x ) +c 12 8

Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann. Ejercicio a. i. Utilizar la definición de Sumas de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 2

f ( x )=2 x + 5 x +6 en el intervalo [-2, 0], en donde use una partición de n=6.

f ( x )=2 x 2+ 5 x +6 a ≔−2 b ≔0 n ≔6 b−a Δ≔ n a

c ≔∫ f ( x ) dx b

22 d≔ 3

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función f ( x ) en Geogebra.

-

Ubique con la ayuda de Geogebra los seis (6) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva f ( x ).

1 0 1 2 3 4 5 6  

ii.

x_i x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6  

 

  -2 -1,67 -1,33 -1 -0,67 -0,33 0

 

  4 3,22 2,89 3 3,56 4,56 6

 

1,33 1,07 0,96 1 1,19 1,52 2 9,07

Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con una partición de n= 6.

´¿q

Ejercicio b.

i. Utilizar la definición de Sumas de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función f ( x )=x 2 +5 en el intervalo [- 2, 2] en donde n= 5. Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función f ( x ) en Geogebra. Ubique con la ayuda de Geogebra los cinco (5) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva f ( x ).

ii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con una partición de n= 5.

Solución Utilizando la definición de la Suma de Riemann la aproximación del área bajo la curva de la función f(x) en el intervalo [-2, 2] para una partición de n = 5 es:  

(Sumatoria de i=1 hasta n) ∑ f(x_i)Δx = 25.79 u²  

En la imagen se puede ver la ubicación de los rectángulos (5) que representación gráfica del área bajo la curva.  

Área por integral definida:

A = 25.333 u²

Explicación pasó a paso: Suma de Riemann es la aproximación del área bajo la curva en un intervalo.  

Sea, f ( x )=x 2 +5

en el intervalos [-2, 2] con n = 5;  

La n-ésima Suma de Riemann:  

(Sumatoria de i=1 hasta n) ∑ f(x_i)Δx  

Calculo de Δx;  

[-2, 2] siendo: a = -2, b = 2;  

∆ x= ∆ x=

∆ x=

( b−a ) n

( 2−(−2 ) )

 

n

4   n

Calculo de x_i;  

x i=a+i ∆ x

 

Sustituir;  

x i=−2+ 4

i n

 

∑ f ( x i) Δx Sustituir;  

(

Σf −2+4

i 4 n n

)

 

[(

(Sumatoria de i=1 hasta n)Σ −2+ 4

Para i = 1 y n = 5;

( 1) 2 4 −2+ 4 +5 5 5

[(

]

)

36 4 +5 25 5

[( ) ]

 

¿ 5.152

Para i = 2 y n = 5;

[(

−2+ 4

( 2) 2 4 +5 5 5

)

]

([ 254 )+5] 45   = 4.128

Para i = 3 y n = 5;

( 3) 2 4 −2+ 4 +5 5 5

[(

)

]

4 4 +5   25 5

[( ) ] = 4.128

Para i = 4 y n = 5;

i 2 4 +5 n n

)

]

 

(4 ) 2 4 −2+ 4 +5 5 5

[( ) ] [( ) ] 36 4 +5 25 5

 

¿ 5.152

Para i = 5 y n = 5;

( 5) 2 4 −2+ 4 +5 5 5

[(

¿ ( 4 +5 )

4 5

36 5

 

¿

]

)

¿ 7.2

i 2 4 Σ −2+ 4 +5 =2 ( 5.152 ) +2 ( 4.128 )+7.2=25.76 u2 n n

[(

]

)

Calculo de la integral definida es el área bajo la curva: 2

A=∫ ( X 2+5 ) dx −2

Aplicar propiedad de la suma: 2

2

A=∫ x 2 dx +∫ dx −2

−2

¿

x 3 16 = 3 3

¿ 5 x=20 A=

16 +20 3

A=25.333u ²

Ejercicio d. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función (𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 en el intervalo [1, 2], en donde use una partición de n=8. Siga los siguientes pasos: Graficar la función (𝑥) en Geogebra.

Ubique con la ayuda de Geogebra los ocho (8) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥). Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con una partición de n= 8.

∆ x=

b−a 2−1 1 = = =0,12 n 8 8

X 1 =a=1 X 2 =a+1 ( ∆ x )=1,12 X 3 =a+2 ( ∆ x )=1,24 X 4=a+3 ( ∆ x )=1,36 X 5 =a+ 4 ( ∆ x )=1,48 X 6 =a+5 ( ∆ x )=1,6 X 7 =a+6 ( ∆ x ) =1,72 X 8=a+7 ( ∆ x ) =1,84

8

∑ f ( x i ) ∆ x=f ( 1 ) 0,12+ f ( 1,12 ) 0,12+ f ( 1,24 ) 0,12+f ( 1,36 ) 0,12+ f ( 1,48 ) 0,12+ f ( 1,6 )' , 12+ f ( 1,72 ) 0,12+ f ( 1,84 ) i=1

Ejercicio e.

i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función f ( x )=x 2 +2 x en el intervalo [-1,2], en donde use una partición de n=7. Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función f ( x ) en Geogebra. Ubique con la ayuda de Geogebra los siete (7) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva f ( x ).

ii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con una partición de n= 7.

Tipo de ejercicios 3 – Teorema de integración.

Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando G' ( x ) de las siguientes funciones. Ejercicio a. x

G(x )=∫ (2 t 2¿ + √t) dt ¿ 0

f ( t )=2 t 2+ √ t a ( x )=0=a' ( x )=0 b ( x )=x=b' ( x )=1 ¿ f ( b ( x ) ) ×b ' ( x )−f ( a ( x ) ) × a' ( x ) ¿ ( 2 x 2−√ x ) ( 1 )−¿ ¿ 2 x2 − √ x

Ejercicio b.

2

x +x

G(x )= ∫

√ 2t + sen(t) dt

1

Al desarrollar el ejercicio se obtiene:

√

G ' (x )=( 2 x +1 ) • [ 2 ( x2 + x ) + sen ( x 2+ x ) ]  

Explicación pasó a paso:

Datos;

2

x +x

 G(x )= ∫ 1

[ √ ( 2 t+ sen(t )) ] dt

Teorema fundamental del cálculo:

Indica que la derivada simplifica a la integral y se evalúa en función de x; x

d ∫ f ( t ) dt=f ( x ) dx a   d dx

u ( x)

∫ f ( t ) dt=f ( u ( x ) ) ∙ u ( x ) a

Aplicar Teorema fundamental del cálculo;

Donde;

 

u(x )=x ²+ x

√

f (x)=G( x)= [ 2 ( x 2+ x ) + sen ( x 2 + x ) ] ∙ u ' ( x )

u ' (x )=2 x+1

Sustituir;

√

G ' (x )=( 2 x +1 ) • [ 2 ( x2 + x ) + sen ( x 2+ x ) ] 

Ejercicio d. 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑡 5 𝑑𝑡

G(x) = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥

senx 5 G(x)= ∫ t dt cosx

t6 6

senx

[ ]∫

G(x)=

G ( x) =

dt

cosx

sen6 x cosx 6 x 6 6

1 G ( x ) = ( sen6 x - cos 6 x )tc 6

Ejercicio e.

2x

3

G ( x ) =∫ 3x

3 t +5 dt 2t−2

G ´ (x )=

3 ( 2 x 3 ) +5 3 ( 3 x ) +5 2 ( ) . ( 2 3 x ) − .(3) 2 (3 x )−2 2 ( 2 x3 ) −2

G ´ (x )=

6 x3 +5 9 x+5 .(6 x ¿¿ 2)− .(3) ¿ 3 6 x−2 4 x −2

36 x 5 +30 x 2 27 x +5 − 6 x−2 4 x 3−2

¿

Tipo de ejercicios 4 – Integral definida. Desarrollar el ejercicio que ha elegido Utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo.

Ejercicio a. Calcular la siguiente integral definida: 5

∫ x 2 ( x −5 )4 dx 0 5

5

∫ x 2 ( x −5 )4 dx=∫ x 2 ¿ ¿ 0 5

0

∫ x 2 ( x 4−20 x 3 +150 x 2−500 x +625 ) dx 0 5

∫ x 6−20 x 5 +150 x 4−500 x 3+ 625 x 2 dx 0

¿

x 7 20 x6 150 x 5 500 x 4 625 x 3 5 − + − + ¿ 7 6 5 4 3 0

¿

x 7 10 x6 625 x 3 5 − +30 x5 −125 x 4+ 7 3 3 0¿

¿

|

|

(

6

6

57 10 ( 5 ) 625 3 0 7 10 ( 0 ) 625 3 − +30 ( 5 )5 −125 ( 5 )4 + 5 − − +30 ( 0 )5−125 ( 0 ) 4+ 0 7 3 3 7 3 3

)(

)

15625 21 ¿ 744.047619 ¿

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra.

-

Tome un pantallazo de la gráfica.

-

Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida.

Ejercicio b.

Calcular la siguiente integral definida:

4

∫|x2−2 x−15|dx 1

Siga los siguientes pasos: -

Solución

Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida.

Encontrar las expresiones equivalentes a|x 2−2 x−15|en 1 ≤ x ≤ 4 absolutos.

4

¿ ∫ −( x 2 ) + ( 2 x ) + ( 15 ) dx 1

Aplicar la regla de la suma ∫ f ( x ) ± g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx ±∫ g ( x ) dx

4

4

4

¿−∫ x2 dx +∫ 2 xdx +∫ 15 dx 1

1

1

4

∫ x 2 dx=21 1 4

∫ x 2 dx 1

Aplicar la regla de potencia ∫ x a dx=

¿

x 2+1 4 2+1 1

[ ]

Simplificar

¿

∫ 2 xdx=15

[ ]

[ ] = 21

4

x3 4 3 1

x3 4 =21 3 1

Calcular los límites:

1

x a+1 , a≠−1 a+1

sin los valores

4

∫ 2 xdx 1

Sacar la constante: ∫ a∙ f ( x ) dx=a ∙∫ f ( x ) dx

4

¿ 2 ∙∫ xdx 1

Aplicar la regla de la potencia: ∫ x a dx=

¿2

x a+1 , a≠−1 a+1

x 1+1 4 1+1 1

[ ]

Simplificar

Calcular los límites: ¿2∙

¿2

x2 4 2 1

[ ]

x 2 4 15 = 2 1 2

[ ]

15 2

Simplificamos

¿ 15

4

∫ 15 dx=45 1 4

∫ 15 dx 1

Integral de una constante: ¿ [ 15 x ]

4 1

∫ adx=ax

Calcular los límites:

[ 15 x ] 4 =45 1

¿ 45

¿−21+15+45 ¿ 39

Simplificar

Geogebra

Ejercicio d. Calcular la siguiente integral definida: 8

∫ 4

(2√𝑥 − 3)

2 𝑑𝑡

2√𝑥

Siga los siguientes pasos: - Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de

la cual acaba de hallar el área con la integral definida. 8

1 = ∗∫ ¿ ¿ ¿ 2 4 ¿¿

8

1 9 = ∗∫ 4 √ t−12+ dt 2 4 √t 1 = ¿ 2 8

= ∫ 4 √ tdt=4( 4

32 √2 −16 ¿ )¿ 3 3

8

=∫ 12 dt=48 4

8

¿∫ 4

9 dt=9¿ ¿ -4) √t

1 32 √ 2 16 − −48+ 9(4 √ 2−4)) = (4 2 3 3

(

=2 ¿ ¿

)

Ejercicio e. Calcular la siguiente integral definida, π 2

2

0

1−tan (x) dx sec 2 (x)

π 2

2

∫ ∫ 0

¿∫

(

∫¿¿

(

π 2

2

π 2

0

2

1−tan (x) tan (x ) 1 dx=∫ − 2 dx 2 2 sec (x) sec ( x) 0 sec x

π 2

0

π 2

)

1 sen x − dx=∫ ( cos 2 x−sen2 x ) dx 2 1 cos x 0 2 cos 1 cos2 x

)

π 2

π /4

0

1 1 ¿ ∫ ( 2 cos x−1 ) dx= sen 2 x − sen 2 x =¿ 2 2 0 π/4 0

|

2

|

1 π 1 1 1 π 1 1 sen 2 − sen 2 ( 0 )− sen 2 ( 0 ) + sen 2 = + =1 2 4 2 2 2 4 2 2

()

()

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida.

Tabla links videos explicativos. Nombre Estudiante Yorladis Nuñes

Ejercicios sustentados Tipo de Ejercicio 1. Ejercicio a.

Link video explicativo

Francisco Serrano M.

Tipo de ejercicio Link. 3. https://www.loom.com/share/b8d4e9b6f7db46d88 Ejercicio b. 95da8dbc7bbabbb

Link. http://youtu.be/ZrXNP71Mgxk?hd=1

Referencias Bibliográficas

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García, G. (2010). Introducción al cálculo diferencial. Editorial Instituto Politécnico Nacional. (pp. 109-125). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login? url=http://search.ebscohost.com/login.aspx? direct=true&db=edsebk&AN=865890&lang=es&site=eds-live Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral. Editorial Unimagdalena. (pp. 15 – 23). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx? direct=true&db=edselb&AN=edselb.5045548&lang=es&site=eds-live

Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 2 – 13). Recuperado de https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action? ppg=1&docID=3227578&tm=1536935311791

Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 50 – 53). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login? url=http://search.ebscohost.com/login.aspx? direct=true&db=edselb&AN=edselb.3196635&lang=es&site=eds-live

Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 54 – 57). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login? url=http://search.ebscohost.com/login.aspx? direct=true&db=edselb&AN=edselb.3196635&lang=es&site=eds-live