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• Paola

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CAP. V. - PROBLEMAS PROPUESTOS P.1 Determine la anualidad equivalente de las dos siguientes proposiciones para un servicio de 12 años de duración si el interés de equivalencia es el 10%.

MAQUINA M Inversion(año 0)

MAQUINA N

S/.10 000

S/.17 500

Valor de rescate (año 12)

0

3 000

Costo de operación(1-12)

2 000

1 500

Costo de mantenimiento(1-12)

1 200

1 060

a) Cálculo de la anualidad equivalente para la maquina M CAE M =−10000(A / P ; 12; 10 %)−2000−1200 CAE M =−10000(0.1468)−2000−1200=−4668

b) Cálculo de la anualidad equivalente para la maquina N CAE N =−17500( A /P ; 12 ;10 % )−1500−1060+ 3000(A / F ; 12 ; 10 %) CAE N =−17500(0.1468)−1500−1060+3000(0.0468)=−4988.6 INTERPRETACION: Nos conviene la alternativa M, debido a que genera menor costo , ya que la anualidad generada anualmente es de S/. 4 668

P.2 Para cierta operación de maquinado de una planta de automóviles se debe adquirir una rectificadora. Se tiene dos proposiciones: Una máquina usada que cuesta S/. 600

000 o una nueva que cuesta S/. 1.6M. El costo de la mano de obra se estima en S/. 1.15M con la usada y en S/. 1.05 con la nueva; las de mantenimiento para la usada serian de S/. 75 000 el primer año y se incrementaría en S/. 20 000 cada año, y para la nueva S/. 50 000 el primer año con incrementos anuales de S/. 12 000. En cualquiera de los dos casos a los 10 años se descontinuará esta operación y la máquina usada un valor de rescate casi nulo, mientras que la nueva podría venderse en S/.500 000. Determine la anualidad equivalente para cada alternativa si el interés de equivalencia es de 12%. SOLUCION: Datos

Costo Costo de MOD

Maquina usada

Maquina nueva

S/.600 000

S/.1 600 000

S/.1 150 000

S/.1 050 000

Costo de mantto

S/.75 000

S/.50 000

Incremento en costo de mantto

S/.20 000

S/.12 000

0

S/.500 000

12%

12%

Valor de rescate Interés equivalente MAQUINA USADA:

CAEU =−600 000( A /P ; 10 ; 12% ) – 1150 000−75 000−20 000( A /G; 10 ; 12 %) CAEU =−600000(0.1770)−1150000−75000−20000(3.5847) CAEU =−1 402 894 MAQUINA NUEVA:

CAEU =−1 600000 ( A / P ; 10; 12 %)−1050 000−50 000−12 000( A /G ; 10 ; 12 %)+ 500 000(A / F ; 10 ; 12 % CAEU =−1 600000 (0.1770)−1 050 000−50 000−12000 (3.5850)+500 000( 0.0570) CAEU =−1 423 370

INTERPRETACION: Nos conviene la MAQUINA USADA debido a que genera menor costo , ya que el costo anual equivalente de esta maquina es S/. 1 402 894 y en comparación con la maquina nueva este costo es mucho menos , lo que le brinda a la empresa un ahorro

P.6 Se están considerando dos máquinas que tiene los siguientes costos para un proceso de producción continua: Maquina G

Maquina H

Costo inicial

S/.620 000

S/.770 000

Costo anual de operación

S/.150 000

S/.210 000

Valor de rescate

S/.80 000

S/.100 000

Vida útil (años)

4

6

Utilizando una tasa de interés del 15% determine que alternativa debe seleccionarse en base al análisis del valor presente. SOLUCION: MAQUINA G 80 000

1

80 000

4

80 000

8

12

150 000 620 000

620 000

620 000

P 15% P −540 000∗ −540 000∗ F 4 F 12 15% P +70 000∗ F 12 V AN =−620 000−150 000∗( 5.4206 )−540 000∗( 0.5718 ) −540 000 ¿ ( 0.3269 ) +80 000∗(0.1869) P V AN =−620 000−150 000∗ A

15 %

( )

( )

15 %

( )

8

( )

V AN =−620 00−813 090−308 772−176 526+14 592 VAN =−1 903 796 MAQUINA H 100 000

100 000

100 000

1

6

12

210 000 770 000 770 000

P A

15 %

( )

V AN =−770 000−210 000∗

12

P F

15%

( )

−670 000∗

6

P F

15 %

( )

+ 100 000∗

12

V AN =−770 000−210 000∗( 5.4206 )−670000∗( 0.4323 ) +100 000∗(0.1869) VAN =−770 000−1138 326−289641+18 690 VAN =−2 179277 INTERPRETACION: Se elige la maquina G por tener menor costo

P.8 Una empresa tiene un gerente egresado de la UNSA y añorando los tiempos idos en la Universidad, quiere establecer un fondo permanente de becas. Desea ayudar a tres estudiantes, durante los 5 primeros años después de que se haya establecido el fondo y 5 estudiantes de ahí en adelante. Suponiendo que los derechos de matrícula y gastos ascienden a un valor de S/. 400,000 al año, ¿Cuánto dinero debe donar la empresa hoy si la Universidad puede obtener un 15% sobre el fondo? SOLUCION: Durante los 5 primeros años: 1 estudiante = 400 000 3 estudiantes = 1 200 000 De ahí en adelante 5 estudiantes = 2 000 000

a 2 000 000 P= = i 0.15 P=13 333 333.33 VPN =1 200 000

P A

15 %

( )

+13 333333.33

5

P F

15 %

( )

5

VPN =1 200 000∗( 3.3522 ) +13 333 333∗( 0.4972 ) VPN =4 022 640+6 629 333.332 VPN =10 651 973.33

INTERPRETACION: La empresa debe donar 10 651 973.33 soles

P.11 Un ingeniero consultor quiere determinar cuál de los dos métodos se debe utilizar para la limpieza de una red de alcantarillado. Una malla de limpieza manual tendría un costo inicial de instalación de S/. 400 000. Se espera que la mano de obra para limpieza cueste S/. 800 000 el primer año, S/. 850 000 el segundo año, S/. 900 000 el tercer año y que aumente en S/. 50 000 cada año. Una malla de limpieza automática tendría un costo inicial de S/. 2 500 000 con un costo anual de energía de S/. 150 000. Además, el motor tendría que ser reemplazado cada dos años a un costo de S/. 40 000 por motor. Se espera que el mantenimiento general sea de S/. 100 000 el primer año y que aumente en S/. 10 000, cada año. Si las mallas tienen una vida útil de 10 años. ¿Qué método se debe seleccionar si la tasa de interés es del 20%? Inversión Mano de obra Costo Anual Aumento de mano de obra/año Motor (2 años) Mantenimiento Aumento de mantenimiento/año Vida Útil i

a. Utilice el método del valor presente. 

Para la malla de limpieza manual:

Manual 400000 800000 50000  

Automática 2500000 150000 40000 100000

10 20%

10000 10 20%

1

2

3

I = 20%

4

5

6

7

8

9

10

G = 50 00 0

20 %

P A

( )

V P=−400 000−800 000∗

P G

20 %

( )

−50 000∗

10

10

V P=−400 000−800 000∗4.1925−50 000∗12.8871 V P=−4 398 355



Para la malla de limpieza automática I = 20%

40 00 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A=250 0 00

P = 2 500 000

G = 10 00 0

V

P P=−2500 000−100 000∗ A

20 %

( )

10

P −150 000∗ A

20 %

( )

V

10

P −10 000∗ G

20 %

( )

10

P −40000∗ F

20 %

( )

2

(

−40 000∗

P=−2500 000−100 000∗4.1925−150 000∗4.1925−10 000∗12.8871−40 000∗0.6944−40 000∗0

V P=−3753 224

b. Utilice el método del valor anual equivalente. 

Para la malla de limpeza manual:

20%

A P

( )

V A=−400 000∗

A G

20 %

( )

−800 000−50 000∗

10

10

V A=−400 000∗0.2385−800 000−50 000∗3.0739 V A=−1 049095



Para la malla de limpieza automática V 20 %

A P=−2500 000∗ P

A −100 000−150 000−10 000∗ G

( )

20 %

( )

10

10

A −40 000∗ F

20 %

( )

2

V

A −40 000∗ F

20 %

( )

−4

4

P=−2500 000∗0.2385−100 000−150 000−10 000∗3.0739−40 000∗0.4545−40000∗0.1863−40

V A=−910 666

INTERPRETACIÓN: Sería más conveniente escoger la malla de limpieza automática ya que su costo es menor

P.13 Un inversionista en bienes raíces compro una propiedad por S/. 6M y vendió 17 años más tarde en 21M. ¿Calcule la tasa de retorno sobre la inversión?

a. Si los impuestos prediales fueron S/. 8 000 el primer año, S/. 9 000 el segundo año y aumentaron en S/. 1 000 por año hasta que se vendió la propiedad. TR

P A

( )

−6 000 000−8 000∗

P G

TR

( )

−1 000∗

17

17

Para un TR=0; los ingresos para el año 17 serán ¿−8000 ( 17 )−1000

) + 21 M ( n ( n+1 2 )

¿ 20 728 000 Actualizando: −6000000+20728000

P F

TR

( )

=0

17

P F

TR

( ) =0.28946 17

P F

TR

( ) =0

+21 000 000∗

17

Buscando en tablas la TR está entre 7% y 8% Para 7% −6000000−8000

P A

0.07

( )

−1000

17

P G

O .. O 7

P G

O ..O 8

( )

+ 21000000

17

P F

O. O7

P F

O. O8

( )

=0

17

495304 ≠0 Para 8% −6000000−8000

P A

0.08

( )

−1000

17

( )

+ 21000000

17

( )

=0

17

−453264 ≠0

Interpolando: %

s/

7

495304

TR

0

8

-453264

TR = 7.5284% => 7.53%

b. Si los impuestos prediales fueron S/. 8 000 el primer año y aumentaron en S/. 5 000 por año hasta que se vendió la propiedad. n ( n+1 ) P −6 000 000−5 000 (17 )−8 000 + 21000 000 2 F

(

P F

)

TR.

( )

=0.302617

17

Interpolando: %

s/

7

0.3166

TR

0.302617

8

0.2703

TR = 7.3020% = 7.3%

O .O 7

( )

17

P −6000000+19827 F

TR .

( )

17

=0

P.23 El cuerpo de ingenieros del ejército está considerando la posibilidad de construir una pequeña represa para el control de inundaciones de un arroyo existente. El costo inicial del proyecto será de S/.2,2M con costos de inspección y mantenimiento de S/.10 000 anuales. Además, cada 15 años se requerirán gastos de reconstrucción por S/. 65 000. Si los daños de las inundaciones se reducen del costo actual de S/. 90 000 anuales a S/. 10 000 por año, utilice el método beneficio/costo para determinar si se debe construir la represa. Supongamos que la represa tendrá una vida permanente y que la tasa de interés es del 5% anual. Costo Inicial Costo de Mantenimiento (anual) Costo de Reconstrucción (15 años) Ingreso Anual daños de las inundaciones Vida Útil Interes 

S/. 2,2 M S/. 10 000 S/. 65 000 S/. 80 000 de ahorro en reducción de permanente 5%

Analizando el Costo Inicial si dice que es de vida útil permanente

C 1=2,2 M ¿ C 1=2,2 M (0,05038) C 1=110836 

Analizando el Costo de reconstrucción Anual

CR=65 000 ¿ CR=65 000 (0,04634) CR=3012,1 

Analizando el Costo Total AnualC= A 2+C 1+CR

C=10 000+110 836+ 3012,1 C=123 848,1 

Relación Beneficio/Costo

B 80 000 = C 123 848,1 B =0,6460=0,65 C Interpretación: Se recomienda al Cuerpo de ingenieros del ejército no realizar el proyecto, de la construcción de represa par el control de inundaciones, porque el análisis de Beneficio Costo nos muestra que es totalmente desfavorable, el proyecto sería viable si el costo inicial disminuyese junto al interes. Ya que estos son muy altos. P.24 El Ministerio de Transportes está considerando la construcción de una carretera para una región rural turística. Se espera que la carretera cueste S/.60M con un costo de mantenimiento acumulado de S/.200 000 anuales. Se espera que la nueva vía de acceso proporcione un ingreso turístico adicional de S/.3,5 M anuales. Y se prevé que la

carretera tenga una vida útil de 25 años, utilice el método beneficio/costo a una tasa de interés del 20% para determinar si se debe construir la carretera.

Costo Inicial Costo de Mantenimiento (anual) Ingreso Anual Vida Útil Interes 

S/. 60 M S/. 200 000 S/. 3,5 M 25 años 20%

Analizando el Costo Inicial

C 1=60 M ¿ C 1=60 M ( 0,20212) C 1=12127 200 

Analizando el Costo Total Anual

C= A 2+C 1 C=200 000+12 127 200 C=12 327 200  Relación Beneficio/Costo B 3500 000 = C 12327 200 B =0,2839=0,28 % C Interpretación: Se recomienda al Ministerio de Transportes no realizar el proyecto, de la construcción de carreteras para la región Rural turística, porque el análisis de Beneficio Costo nos muestra que es totalmente desfavorable.

P.25 El Ministerio de Agricultura esta considerando un proyecto de construcción de canales en una región desértica. El costo inicial del proyecto es de S/.15M con costos de mantenimiento de S/. 250 000 al año. Si se espera que el ingreso agrícola sea S/.1,75M al año, efectuar un análisis beneficio/costo para determinar si se debe emprender el proyecto utilizando un período de 20 años de estudios y una tasa de interés del 10% anual.

MAQUINA COSTO INICIAL COSTO DE MANTENIMIENTO INGRESO ANUAL

S/.15 M S/. 250 000 S/. 1.75 M

VIDA UTIL

20 años

INTERES 

10%

Anualizamos el costo inicial:

CI =15 M ¿ CI =15 M (0.1175) CI =1762 500 

Costo Total (anual):

CI =A 2+ CI CI =250 000+1762 500 CI =2 012500

 Relación Beneficio/Costo: B/C=1762500/2012500 B/C=0.8758

INTERPRETACION: Se recomienda al Ministerio de Agricultura no realizar el proyecto de construcción de canales, porque el análisis beneficio costo nos muestra que los costos son mayores que nuestros beneficios en un lapso de 20 años; en conclusión, no es rentable.

PROBLEMA 27

CASO ESTUDIO PARA EL ANÁLISIS DE ALTERNATIVAS O COMPARACIÓN EN EL TIEMPO C. MÉTODO DE COMPARACIÓN POR LA TASA DE RENDIMIENTO 1. Se tiene la oportunidad de hacer una inversión de S/. 1 000 000 en un proyecto completamente depreciable (esto es sin valor de rescate), que producirá ingresos anuales uniformes de S/. 483 797 durante 5 años. De estos ingresos se tendrán que pagar S/. 200 000 al año por concepto de costos de operación y mantenimiento y, S/. 20 000 por impuestos a la propiedad y seguros. La compañía está dispuesta a aceptar cualquier proyecto que reditúe 10% o más antes de

impuestos, sobre todo el capital invertido. Muestre, por medio del método de la tasa de retorno, si ésta es una inversión conveniente. SOLUCIÓN Inversión Inicial saliente al inicio del 1er. Año.

Io=1 000 000 Anualidades de ingreso al final de cada uno de los 5 años:

A=483 797 – 220 000=263 797

A

0

A=263 797

1

2 3

4

5

Io=1000 000

TR= ¿?

La relación de este flujo económico al inicio del 1er año:

−1000 000+263797 TR

( PA )

= S

P A

TR

( ) =0 5

1000 000 =3.7908 263797

En las tablas de interés para el factor (P/A) y para n = s se tiene que para el valor 3.7908 la tasa de interés es 10%.

TR=10 % .

Interpretación : Ya que la compañía está dispuesta a aceptar cualquier proyecto que reditúe 10 % o más antes de impuestos, y a nosotros según el método de TR (tasa de rendimiento) nos salió un valor del 10 %, esto quiere decir que la inversión a penas se justifica

2. Una familia compró una casa en ruinas por S/. 250 000, con el propósito de venderla y obtener una utilidad. Durante el 1er año que tuvieron la casa gastaron S/. 50 000 en mejoras, S/ 100 000 el 2do. año y S/. 8 000 en el 3er. Además pagaron un impuesto predial de S/. 5 000 cada año durante 3 años y luego vendieron la casa por S/. 695 000. ¿Cuál fue la tasa de retorno obtenida?.

695 000

0 TR= ¿?

1989

1 5 000

2

3

50 000

50 000 8 000

50 000 100 000 250 000

682 000

0

1

2

3

TR= ¿?

250 000

55 000 105 000

Ecuación matemática:

P TR P TR −A2 +I 3 F 2 F 3 1 TR P P −250 000 – 55 000 −105 000 F 1 F P −Io− A 1 F

TR

( )

( ) ( )

( ) ( )

TR

+682 000

2

P F

TR

( )

=0

3

Tanteos : Para TR=0 −250 000−55 000−105 000+682 000=0 272 000 ≠0 272 000 representa la utilidad que la familia obtendrá si el dinero no creciera a través del tiempo, sin embargo sólo representa la utilidad máxima que se ganaría esto nos sirve para obtener una tasa de aproximación para los tanteos:

% de aproximidacion=

utilidad 272 000 = =0.6634 inversion 410 000

Debemos considerar una tasa que no esté muy próxima ni muy alejada a 66% para la 1era aproximación. Para TR = 30%

P 0.3 P 0.3 P 0.3 −105 000 +682 000 =0 F 1 F 2 F 3 −250 000 – 55 000∗0.7692−105 000∗0.5917+682 000∗0.4552=0 −43 988.1≠ 0 −250 000 – 55 000

( )

( )

( )

Para TR = 25%

P 0.25 P 0.25 P 0.25 −105 000 +682 000 =0 F 1 F 2 F 3 −250 000 – 55 000∗0.8000−105 000∗0.6400+682 000∗0.5120=0 −12 016 ≠ 0 −250 000 – 55 000

( )

( )

( )

Para TR = 20%

P 0.2 P 0.2 P 0.2 −105 000 +682 000 =0 F 1 F 2 F 3 −250 000 – 55 000∗0.8333−105 000∗0.6944+ 682000∗0.5787=0 27 929 ≠ 0 −250 000 – 55 000

( )

( )

( )

Al pasar de una diferencia negativa a una positiva, la tasa de rendimiento debe estar entre 20% y 25% y más cerca de este último por la menor diferencia. Para determinar el punto de intersección de la tasa de rendimiento nos valemos de:

La proporcionalidad de triángulos, tenemos:

a c = b d 25 929.9−0 TR−20 = 25 929.9−(−12 016.0) 25−20 25 929.9 TR−20 = 37 945.5 5 TR=20+

5∗25 929.4 37 945.5

TR=23.4166 %

Interpretación: La tasa de retorno obtenida por esta compra de una casa en ruinas y mejorándola cada año y además con un impuesto predial de 5000 soles cada año y luego vendiéndola en el 3er año, es de: TR=23.42%

3. Si se invierten S/. 5 000,000 hoy en maquinarias y se espera que produzcan S/. 100 000 anuales durante 10 años y 7 000 000 al final de los 10 años. ¿Cuál es la tasa de rendimiento? 7 000 000

A 0

1

A 2 3

4

5 6 7

8

9 10

A= 100 000

1996

Io=5 000 000

P TR P TR +7 000 000 =0 A 10 F 10 Para TR=0 , los ingresosen el año 10 serán :100 000∗10+7 000 000∗1=8 000 000 P TR ACTUALIZANDO :−5 000 000+ 8 000 000 =0 F 10

−5 000 000+ A

( )

( )

( )

P F

TR

000 =0.6250 ( ) = 58 000 000 000 10

El factor se encuentra entre 5% y 6%. Para i=5%

−5 000 000+100 000(7.7217)+7 000 000( 0.6139)=0 69 460 ≠ 0 Al ser > 0 entonces con una tasa mayor Para i=6%

−5 000 000+100 000(7.3601)+ 7 000 000(0.5584)=0 −355 200 ≠ 0 Está entre 5 % y 6 %

69 460−−−−−−−−−−−−−5 % 0−−−−−−−−−−−−−−−−TR −355 200−−−−−−−−−−−−−6 % a c = b d 0−69 460 TR−5 = −355 200−69 460 6−5 −69460 TR−5 = −424660 1 TR=5+

1∗−69 460 −424660

TR=5.1636 % Se encuentra entre 5% y 6%

Interpretación : La tasa de rendimiento para esta inversion de 5 000 000 soles en maquinarias con una proyección de producción de 100 000 anuales durante 10 años y 7 000 000 al final de los 10 años es de : TR=5.16%