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• julian

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Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas y compruebe su respuesta derivando el resultado. Ejercicio c.

(𝑥 4 + 4𝑥 − 2) ∫ 𝑑𝑥 𝑥2 𝑥4 4𝑥 2 ∫ 2 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥 − ∫ 2 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 1

1

∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + 4 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 1

∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + 4 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑋 −2 𝑑𝑥 𝑿𝟑 𝟐 + 𝟒 𝐥𝐧 𝑿 + +𝒄 𝟑 𝑿

𝑑𝑦 𝑋 3 2 ( + 4 ln 𝑋 + ) 𝑑𝑥 3 𝑋

𝑑𝑦 𝑥 3 𝑑𝑦 𝑑𝑦 2 ln 𝑥 + ( )+4 ( ) 𝑑𝑥 3 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥 1 3

∗ 3𝑥 2 + 4

𝑥2 + 𝑥2 +

𝑥2 +

4 𝑥

4 𝑥 4 𝑥

1 𝑥

+2∗

+2∗ 𝑑𝑦 𝑑𝑥

2

𝑑𝑥 𝑥

(𝑥 −1 )

+ 2 ∗ −(

− 𝑥2

𝑑𝑦 1

=

1 𝑥2

) 𝑥 4 +4𝑥−2 𝑥2

Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann

Ejercicio c.

2.1. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟐 En el intervalo [0, 3], en donde use una partición de n=6. 𝒃

∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 ∑𝒏𝒌=𝟏 𝒇(𝒂 + 𝒌∆𝒙)∆𝒙 ∆𝒙 = 𝒏→∞

𝟑−𝟎

∆𝒙 =

𝒏

𝟑

∆𝒙 = 𝟔

𝒃−𝒂 𝒏

𝒃=𝟑 𝒂=𝟎 𝒏=𝟔

∆𝒙 = 𝟎. 𝟓

𝒏

𝑨 = ∑ 𝒇(𝒂 + 𝒌∆𝒙)∆𝒙 𝒌=𝟏

𝟔

𝒌 𝟏 𝑨 = ∑𝒇( ) ∗ 𝟐 𝟐 𝒌=𝟏

𝑨= 𝑨=

𝟏 𝟐

𝒌

∑𝟔𝒌=𝟏 𝒇 ( ) Reemplazamos las K por cada valor desde 1 hasta 6. 𝟐

𝟏 𝟏 𝟑 𝟓 [𝒇 ( ) + 𝒇(𝟏) + 𝒇 ( ) + 𝒇(𝟐) + 𝒇 ( ) + 𝒇(𝟑)] 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

Reemplazamos las X en la función original. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟐 𝑨=

𝟏 𝟏𝟕 𝟒𝟑 𝟏𝟒𝟏 [ +𝟑+ + 𝟏𝟎 + + 𝟐𝟗] 𝟐 𝟖 𝟖 𝟖

𝑨 = 𝟑𝟑. 𝟓𝟓 𝒖𝟐

2.2. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟐 en el intervalo [0, 3], en donde use una partición de n=12

∆𝑥 =

𝑏−𝑎 𝑛

∆𝑥 =

3 1 = ∆𝑥 = = 0.25 12 4

𝑎=0

𝑏=3

𝑛 = 12

12

𝐴 = ∑ 𝑓(𝑎 + 𝑘∆𝑥 )∆𝑥 𝑘=1

𝑘

𝐴 = ∑12 𝑘=1 𝑓 ( 4 ) ∗

1 4

𝐴=

1

𝑘

∑12 ∗ 𝑘=1 𝑓 ( 4 ) 4

Reemplazamos las K por cada valor desde 1 hasta 12.

𝐴=

1 [𝑓(0.25) + 𝑓(0.5) + 𝑓(0.75) + 𝑓 (1) + 𝑓 (1.25) + 𝑓 (1.50) 4 + 𝑓 (1.75) + 𝑓 (2) + 𝑓 (2.25) + 𝑓 (2.5) + 𝑓(2.75) + 𝑓(3)]

Reemplazamos las X en la función original. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟐

𝐴=

1 [2.01 + 2.12 + 2.42 + 3 + 3.95 + 5.37 + 7.35 4 + 10 + 13.39 + 17.62 + 22.79 + 29]

𝑨 = 𝟐𝟗. 𝟕𝟓𝒖𝟐

2.3. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 6 y n=12.

Tipo de ejercicios 3 – Teorema de integración. Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando 𝐹′(𝑥) de la siguiente función. 𝑥2

𝐹(𝑥) = ∫

𝑥 2

3𝑡(3 + 2𝑡)𝑑𝑡

Teorema fundamental del cálculo 𝑥2

𝐹(𝑥) = ∫ 3𝑡(3 + 2𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓(𝑢(𝑥)) ∗ 𝑢′ (𝑥) − 𝑓(𝑔(𝑥)) ∗ 𝑢′(𝑥) 𝑥 2

Reemplazamos los valores 𝑥2

𝐹(𝑥) = ∫ 3𝑡(3 + 2𝑡)𝑑𝑡 = 3𝑥 2 (3 + 2𝑥 2 ) ∗ 2𝑥 − 𝑥 2

𝑥2

𝐹(𝑥) = ∫ 3𝑡(3 + 2𝑡)𝑑𝑡 = 3𝑥 2 (3 + 2𝑥 2 ) ∗ 2𝑥 − 𝑥 2

3𝑥 𝑥 1 (3 + 2 ( )) ∗ 2 2 2

3𝑥 𝑥 1 (3 + 2 ( )) ∗ 2 2 2

𝑥2

𝐹(𝑥) = ∫ 3𝑡(3 + 2𝑡)𝑑𝑡 = 3𝑥 2 (3 + 2𝑥 2 ) ∗ 2𝑥 − 𝑥 2

3𝑥 1 (3 + 𝑥) ∗ 2 2

Organizamos la ecuación 𝑥2

𝐹(𝑥) = ∫ 3𝑡(3 + 2𝑡)𝑑𝑡 = 2𝑥(9𝑥 2 + 6𝑥 4 ) − 𝑥 2

𝑥2

𝐹 (𝑥 ) = ∫

𝑥 2

3𝑥 (3 + 𝑥) 4

𝟗𝒙 + 𝟑𝒙𝟐 3𝑡(3 + 2𝑡)𝑑𝑡 = (𝟏𝟖𝒙 + 𝟏𝟐𝒙 ) − 𝟒 𝟑

𝟓

Tipo de ejercicios 4 – Integral definida. Desarrollar el ejercicio que ha elegido Utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo. Calcular la siguiente integral definida:

𝜋

∫ −𝜋

𝜋 [𝑆𝑒𝑛 (𝑥 + ) + 2] 𝑑𝑥 2

Primero separamos las integrales aplicando la suma de integrales 𝜋

𝜋 𝜋 ∫ 𝑆𝑒𝑛 (𝑥 + ) 𝑑𝑥 + ∫ 2𝑑𝑥 2 −𝜋 −𝜋

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida.