• Author / Uploaded
• albalema

• Categories
• Integral
• Campo magnético
• Corriente eléctrica
• Análisis matemático
• Física y matemáticas

Citation preview

CÁLCULO II TEMA X: TEOREMAS INTEGRALES DEL CÁLCULO VECTORIAL X. 1 TEOREMA DE STOKES Guía de Problemas OBJETIVOS 

Aplicar el teorema de Stokes a la resolución de problemas de aplicación en ingeniería.



Interpretar física y geométricamente los términos que intervienen en el Teorema de Stokes



Valorar el Teorema de Stokes como una herramienta del Cálculo Vectorial y adiestrarnos en su uso

RESUMEN DE LA TEORÍA El Teorema de Stokes relaciona una integral de superficie con una integral de línea, en torno al contorno que limita esta superficie.

Sea Σ una superficie abierta, orientable y suave a trozos, que tiene como borde la curva γ , que es una curva cerrada, regular y cuya orientación es compatible con la de Σ. 

Si F es un campo vectorial continuamente diferenciable en Σ, se verifica que: 

∫γ F ⋅ dr

Tema X: Teorema de Stokes - Cálculo II – U.N.R.C.

 = ∫∫rot F ⋅ dS Σ

1

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Un fluido de densidad constante gira en un tanque cilíndrico de radio R , de manera tal que su movimiento viene descrito por el campo de velocidades

(

 v = w − y iˆ + x ˆj

),

w , es una constante positiva llamada velocidad

donde

angular de la rotación. i)

 Calcular la circulación del campo v alrededor de la curva γ

definida por el borde de la superficie del fluido y orientada en sentido antihorario cuando se observa desde el eje positivo de las ii)

Verifique el Teorema de Stokes

iii)

Interprete físicamente. 

2. En física, la ley de Ampère dice que

∫ H ⋅ dR

C

z.

= I donde  , es la intensidad H

magnética, I la intensidad de corriente que atraviesa una superficie S , cuyo  R = x iˆ + y ˆj + z kˆ .

borde es la curva cerrada C y

para deducir la ecuación de Maxwell:

  rot H = J ,

Utilice la ley de Ampère 

donde J es la densidad de

corriente eléctrica. 3. La velocidad de un vórtice que ocurre de manera natural, por ejemplo un tornado, es una función decreciente de la distancia desde su centro, así que el modelo de velocidad angular constante del problema 1 es inadecuado. Un vórtice libre que circula alrededor del eje

(

z,

tiene un campo vectorial

)

−1  v = K ( x 2 + y 2 ) − y iˆ + x ˆj , donde K es una constante.

  rot v =0 .

i)

Demuestre que el

ii)

Calcule la circulación de v



en sentido antihorario alrededor de la

circunferencia de radio R centrada en el origen. iii)

Los cálculos de los incisos anteriores demuestran que tiene

  rot v =0 ,

pero tiene circulación diferente de cero alrededor de la curva cerrada del inciso ii). Explique por qué esto no contradice el Teorema de Stokes.

Tema X: Teorema de Stokes - Cálculo II – U.N.R.C.

2



4. Una propiedad básica del campo magnético B es que el

  rot B =0

en una

región donde no hay corriente. Considere el campo magnético alrededor de un alambre delgado y largo, portador de una corriente constante. La magnitud del campo magnético depende sólo de la distancia desde el alambre, y su dirección es siempre tangente al círculo alrededor del alambre recorrido en una dirección relacionada con la dirección de la corriente por la regla de la mano derecha. Utilice el Teorema de Stokes para deducir que la magnitud del campo magnético es proporcional al recíproco de la distancia desde el alambre  r µ0 I 1   B = r . 2π r  

Sugerencia: considere un anillo alrededor del alambre. Su frontera tiene 2 secciones: un círculo interior y uno exterior.

Campo Magnético en el exterior R R

r µ I  − yiˆ + xjˆ  B= 0  2  2π  x + y 2 

PROBLEMAS DE EJERCITACIÓN 5. ¿Puede utilizarse el Teorema de Stokes para calcular la integral de línea 

∫F ⋅ dr

C

, siendo

 F = 2 xiˆ +2 yˆj +2 zkˆ

y C es la línea recta que va desde el

punto ( 1, 2 ,3) al ( 4 ,5,6 ) ? 

6. Sea S una superficie y sea F perpendicular a la tangente a la frontera de S   ∇ . Mostrar que ∫∫ × F ⋅ dS = 0 . S

Tema X: Teorema de Stokes - Cálculo II – U.N.R.C.

3

r r r 2 7. Sea F ( x, y , z ) = xziˆ − yjˆ + x ykˆ un campo vectorial y G ( x, y , z ) = rot F ( x, y, z ) . Calcule la integral de superficie

r r

∫∫Σ G ⋅ n dS , donde

Σ es la superficie de las

tres caras, que no están en el plano xy , del tetraedro que tiene tres caras sobre los planos coordenados y la otra cara sobre el plano 3x + y + 3z = 6 y la r normal n es la normal unitaria exterior.

8. Sea Σ

el trozo de la superficie del paraboloide z = x 2 + ( y − 1)

2

interior al

r r 2 cilindro x 2 + ( y − 2) = 4 . Sea F el campo vectorial F ( x, y , z ) = xiˆ − yjˆ . Se pide uuu r r uur rot F dS , usando el Teorema de Stokes. calcular ∫∫ Σ

9. Aplique

el

teorema

de

∫ ( x + 2 z ) dx + ( 3x + y ) dy + ( 2 y − z ) dz

C

Stokes

para

evaluar

en donde C es la curva de intersección

del plano x + 2 y + z = 4 con los ejes coordenados. 

10. Considere el campo F : ℜ3 → ℜ3 dado por F ( x, y , z ) = ( x 2 , xy , z ) y sea C la 

curva dada por la intersección del cilindro x 2 + y 2 = 1 con el plano x + y + z =1 . 

i) Calcule la integral de línea del campo F a lo largo de la curva C . ii) Considere la superficie x + y + z =1  rot F

K

que consiste en la porción del plano

dentro de C . Calcular la integral de superficie del campo

sobre la superficie K . Verifique que se satisface el teorema de

Stokes.

Tema X: Teorema de Stokes - Cálculo II – U.N.R.C.

4