• Author / Uploaded
• rolg1292

• Categories
• Física teórica
• Álgebra
• Objetos matemáticos
• Espacio
• Álgebra lineal

Citation preview

Teorema de Stokes El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes. El teorema fundamental del cálculo establece que la integral de una función f en el intervalo [a, b] puede ser calculada por medio de su antiderivada F de f: El teorema de Stokes es una generalización de este teorema en el siguiente sentido: •

Para la F elegida, . En el lenguaje de las formas diferenciales es decir que f(x) dx es la derivada exterior de la 0-forma (como por ejemplo una función) F: dF = f dx. El teorema general de Stokes aplica para formas diferenciales mayores ω en vez de F.

•

En un lenguaje matemático, el intervalo abierto (a, b) es una variedad matemática unidimensional. Su frontera es el conjunto que consiste en los dos puntos a y b. Integrar f en ese intervalo puede ser generalizado como integrar formas en una variedad matemática de mayor orden. Para esto se necesitan dos condiciones técnicas: la variedad matemática debe ser orientable, y la forma tiene que ser compacta de manera que otorgue una integral bien definida.

•

Los dos puntos a y b forman parte de la frontera del intervalo abierto. Más genéricamente, el teorema de Stokes se aplica a variedades orientadas M con frontera. La frontera ∂M de M es una variedad en sí misma y hereda la orientación natural de M. Por ejemplo, la orientación natural del intervalo da una orientación de los dos puntos frontera. Intuitivamente a hereda la orientación opuesta a b, al ser extremos opuestos del intervalo. Entonces, integrando F en los dos puntos frontera a, b es equivalente a tomar la diferencia F(b) − F(a).

Por lo que teorema fundamental escribe:

el se

Formulación general Sea M una variedad de dimensión n diferenciable por trozos orientada compacta y sea ω una forma diferencial en M de grado n-1 y de clase C¹. Si ∂ M denota el límite de M con su orientación inducida, entonces Aquí d es la derivada exterior, que se define usando solamente la estructura de variedad. El teorema debe ser considerado como generalización del teorema fundamental del cálculo y, de hecho, se prueba fácilmente usando este teorema.

El teorema se utiliza a menudo en situaciones donde M es una subvariedad orientada sumergida en una variedad más grande en la cual la forma ω se define.El teorema se extiende fácilmente a las combinaciones lineales de las subvariedades diferenciables por trozos, las, así llamadas, cadenas. El teorema de Stokes demuestra entonces que las formas cerradas definidas módulo una forma exacta se pueden integrar sobre las cadenas definidas módulo borde. Ésta es la base para el apareamiento entre los grupos de homología y la cohomología de de Rham. El clásico teorema de Kelvin-Stokes que relaciona la integral de superficie del rotacional del campo vectorial sobre una superficie Σ en el 3-espacio euclidiano a la integral de línea del campo vectorial sobre su borde, es un caso especial del teorema de Stokes generalizado (con n = 2) una vez que identifiquemos el campo vectorial con una 1-forma usando la métrica en el 3-espacio euclidiano. Asimismo el teorema de Ostrogradsky-Gauss o Teorema de la divergencia. Es un caso especial si identificamos un campo vectorial con la n-1 forma obtenida contrayendo el campo vectorial con la forma de volumen euclidiano.El teorema fundamental del cálculo y el teorema de Green son también casos especiales del teorema de Stokes generalizado. La forma general del teorema de Stokes que usa formas diferenciales es de más alcance que los casos especiales, por supuesto, aunque los últimos son más accesibles y a menudo son considerados más convenientes por físicos e ingenieros. Otra forma de escribir el mismo teorema es la siguiente:Donde

es un vector cualquiera.

Establece que la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial sobre una superficie abierta es igual a la integral cerrada del Campo vectorial a lo largo del contorno que limita la superficie. Teorema de Stokes Este teorema establece una relación entre una integral de línea y una de superficie, en que S es una superficie abierta, y C es la cueva cerrada que limita a dicha superficie. La dirección de recorrido de la curva C determina la orientación del vector

, normal a la superficie.

Nuevamente, dada la definición que se ha dado del operador rotor, este teorema resulta una consecuencia bastante natural. Dado que todas las operaciones definidas se pueden expresar en términos del operador gradiente, en adelante usaremos esa notación en forma exclusiva, es decir, Otra igualdad importante se relaciona con la integral de línea del gradiente de un campo escalar,

APLICACIONES Verificación del Teorema de Stokes. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial F(x;y;z) = 3yi + 4zj - 6xk y la parte de la superficie paraboloidal z = 9 - x2 y2 ubicada sobre el plano xy y orientada hacia arriba. z

SOLUCIÓN

9

Cálculo como integral de línea: La curva C es en este caso una circunferencia de radio 3 centrada en el origen sobre el plano xy. Podemos parametrizarla como: x = 3 cosθ  y = 3 sen θ z = 0 

S

0 ≤ θ ≤ 2π

,

3

Con esta parametrización tenemos: F(θ) = 9senθ i + 0j − 18cosθ k

3 x

y C

r´(θ) = −3senθ i + 3cosθ j + 0k r´(θ) = −27sen2θ 2π

∫ F ⋅ dr = ∫ C

0

2π 2π 1 − cos 2θ  F (θ) ⋅ r ′(θ)dθ = ∫ − 27 sen 2 θdθ = ∫ − 27 θdθ = 0 0 2   2π

sen 2θ   = − 27  2 θ − 2 0 

= −27π

Cálculo como integral de superficie: Primero evaluamos el rotacional.

i rot F = ∂

∂x 3y

j ∂

∂y 4z

k ∂ = 4i + 6 j − 3k ∂z − 6x

Ahora parametrizamos la superficie del paraboloide. Para eso observamos que su proyección sobre el plano xy es un círculo de radio 3 con centro en el origen. Parece lógico usar una parametrización basada en coordenadas cilíndricas: x = r cosθ 0 ≤r ≤3  r ( r;θ ) y = r sen θ , 0 ≤ θ ≤ 2π z = 9 − r 2 

El producto vectorial fundamental será:

rr ×rθ =

i cos θ − r sen θ

j sen θ r cosθ

k − 2r = 2r 2 cos θ i + 2r 2 sen θ j + r k 0

Vemos que la componente z de este vector es positiva. Por lo tanto la parametrización describe a una superficie con orientación positiva. Usando entonces esta parametrización, tenemos:

∫∫rot F ⋅ dS = ∫∫rot F ⋅ (r

r

S

2π

∫

0

D

−

3r 2

2 3

2π

×rθ )drdθ = ∫

0

3

∫ (8r 0

2

cos θ +12r 2 sen θ −3r )drdθ =

= −27π

0

Llegamos al mismo valor que cuando lo hicimos como integral de línea, verificando de esa manera el teorema de Stokes.ν Aplicación al concepto de circulación de un campo. Calcular la circulación del campo de velocidades de un fluido F(x;y;z) = (tan -1(x2); 3x; e3z tanz) a lo largo de la intersección de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 con el cilindro x2 + y2 =1, con z > 0. SOLUCIÓN: La circulación de un campo es su integral a lo largo de una 2 línea cerrada. Recordemos que la razón entre la circulación del campo de 1 2 x velocidades y el área de la superficie encerrada por la y curva tiende a un cierto valor a medida que el radio de la curva tiende a 0; si este valor es nulo, entonces el fluido es irrotacional y un molinillo ubicado en ese punto límite no rotará. z

Primero vemos que el campo vectorial F tiene una ley bastante compleja, por lo que se puede anticipar que el cálculo de la circulación como integral de línea puede resultar asaz engorroso. Por lo tanto, vale la pena calcular el rotacional a ver si resulta una función matemáticamente más tratable.

i rot F =

j

∂

∂x tg ( x 2 ) −1

∂

∂y 3x

k ∂ = 0i + 0 j + 3k ∂z e 3 z tg z

En efecto, se simplifican enormemente los cálculos al resultar el rotacional una función vectorial constante. Por el teorema de Stokes, podemos calcular la integral de línea de F sobre la curva dada como el flujo del rotor a través de la superficie grisada. Parametrizando esta última: x = r cosθ 0 ≤ r ≤1  r (r ;θ )  y = r sen θ , 0 ≤ θ ≤ 2π z = 4 − r 2 

Y hallando el producto vectorial fundamental:

rr × rθ =

i

j

cosθ

sen θ

− r sen θ

r cosθ

−

k r 4−r 0

2

=

r 4−r

2

cosθ i +

r 4 −r2

sen θ j + r k

Vemos que esta normal tiene componente z positiva, correspondiendo a una superficie positivamente orientada. con esto podemos calcular ahora:

∫∫rot F ⋅ dS = ∫∫rot F ⋅ (r

r

S

D

2π

×rθ )drdθ = ∫

0

1

∫ 3rdrdθ =3π 0