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Teorema de Stokes El teorema de Stokes establece la relación entre una integral de superficie sobre una superficie orientada S y una integral de línea a lo largo de una curva cerrada C en el espacio que forma la frontera o el borde de S, como se muestra en la figura. La dirección positiva a lo largo de C es la dirección en sentido contrario a las manecillas del reloj con respecto al vector normal N. Es decir, si se imagina que se toma el vector normal N, los demás dedos apuntaran en la dirección positiva de C, como se muestra en la figura.

Teorema de Stokes Sea S una superficie orientada con vector unitario normal N, acotada por una curva cerrada simple, suave a trozos C, con orientación positiva. Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a S y a C, entonces

Nota: la integral de línea puede escribirse en forma diferencial ∫c M dx + N dy + P dz o en forma vectorial ∫c F · T ds.

EJEMPLO 1 Aplicación del teorema de Stokes Sea C el triangulo orientado situado en el plano 2x + 2y + z = 6, como se muestra en la figura. Evaluar

donde F (x,y,z) = -y² i + z j + x k. Solución: Usando el teorema de Stokes, se empieza por hallar el rotacional de F.

Considerando z = 6 – 2x – 2y = g(x,y), se puede usar el teorema para un vector normal dirigido hacia arriba para obtener

EJEMPLO 2 Verificación del teorema de Stokes

Verificar el teorema de Stokes con F(x,y,z) = 2z i + x j + y²k, donde S es la superficie del paraboloide z = 4 – x² - y² y C es la traza de S en el plano xy, como se muestra en la figura.

Solución Como integral de superficie, se tiene z = g(x,y) = 4 – x² - y² y

De acuerdo con el teorema para un vector dirigido hacia arriba N, se obtiene