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• Shane Sanders

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16.7 Teorema de Stokes 54. Parametrización de una superficie de revolución Suponga que la curva parametrizada C: (f(u), g(u)) gira alrededor del eje x, donde gsud 7 0 para a … u … b . a. Muestre que rsu, yd = ƒsudi + sgsudcos ydj + sgsudsin ydk es una parametrización de la superficie de revolución resultante, donde 0 … y … 2p es el ángulo del plano xy al punto r(u, v) en la superficie. (Vea la siguiente figura.) Observe que f(u) mide la distancia a lo largo del eje de revolución y g(u) mide la distancia al eje de revolución.

1201

b. Encuentre una parametrización para la superficie obtenida al girar la curva x = y 2, y Ú 0 , alrededor del eje x. 55. a. Parametrización de un elipsoide Recuerde la parametrización x = a cos u, y = b sen u, 0 … u … 2p de la elipse sx2>a2 d + s y2>b2 d = 1 (Sección 3.5, ejemplo 13). Use los ángulos u y f en coordenadas esféricas para mostrar que rsu, fd = sa cos u cos fdi + sb sen u cos fdj + sc sen fdk es una parametrización del elipsoide sx 2>a 2 d + s y 2>b 2 d + sz 2>c 2 d = 1. b. Escriba una integral para el área de la superficie del elipsoide, pero no evalúe la integral.

y

56. Hiperboloide de una hoja a. Encuentre una parametrización para el hiperboloide de una hoja x 2 + y 2 - z 2 = 1 en términos del ángulo u asociado al círculo x 2 + y 2 = r 2 y el parámetro hiperbólico u asociado con la función hiperbólica r 2 - z 2 = 1. (Vea la sección 7.8, ejercicio 84).

( f (u), g(u), 0) r(u, y) C y

b. Generalice el resultado de la parte (a) al hiperboloide sx2>a2 d + s y2>b2 d - sz2>c2 d = 1.

g(u) z

f (u)

57. (Continuación del ejercicio 56.) Encuentre una ecuación cartesiana para el plano tangente al hiperboloide x 2 + y 2 - z 2 = 25 en el punto (x0, y0, 0), donde x02 + y02 = 25.

x

58. Hiperboloide de dos hojas Encuentre una parametrización del hiperboloide de dos hojas sz2>c2 d - sx2>a2 d - s y2>b2 d = 1.

Teorema de Stokes

16.7 Rot F

P

FIGURA 16.59 El vector circulación en el punto P en un plano en un flujo tridimensional. Observe la relación de mano derecha hacia la recta de circulación.

Como vimos en la sección 16.4, la densidad de circulación o componente rotacional de un campo de dos dimensiones F = Mi + Nj en el punto (x, y) queda descrita por la cantidad escalar s0N>0x - 0M>0yd. En tres dimensiones, la circulación alrededor de un punto P en el plano queda descrita por un vector. Este vector es normal al plano de circulación (figura 16.59), y apunta en la dirección que da una relación de mano derecha a la recta de circulación. La longitud del vector da la tasa de giro del fluido, que por lo general varía cuando el plano de la circulación se inclina con respecto a P. Se puede ver que el vector de mayor circulación en un flujo con campo de velocidades F = Mi + Nj + Pk es el vector rotacional rot F = a

0N 0N 0M 0P 0M 0P bi + a bj + a bk. 0y 0z 0z 0x 0x 0y

(1)

Obtenemos esta información del teorema de Stokes, que es la generalización, al espacio, de la forma de circulación rotacional del teorema de Green. Observe que srot Fd # k = s0N>0x - 0M>0yd es consistente con nuestra definición de la sección 16.4, cuando F = Msx, ydi + Nsx, ydj. Con frecuencia, la fórmula para el rotacional de F en la ecuación (1) se escribe utilizando el operador simbólico § = i

0 0 0 + j + k . 0x 0y 0z

(2)

1202

Capítulo 16: Integración en Campos Vectoriales

(El símbolo § se pronuncia “nabla.”) El rotacional de F es § * F : i

j

k

0 § * F = 4 0x

0 0y

0 4 0z

M

N

P

= a

0N 0N 0M 0P 0M 0P bi + a bj + a bk 0y 0z 0z 0x 0x 0y = rot F.

rot F = § * F

EJEMPLO 1

(3)

Cómo determinar el rotacional de F

Determinar el rotacional de F = sx 2 - ydi + 4zj + x 2k. Solución Ecuación (3)

rot F = § * F i

j

k

0 0x

0 0y

0 4 0z

x2 - y

4z

x2

= 4

= a

0 2 0 0 0 2 sx d s4zdbi - a sx 2 d sx - yd bj 0y 0z 0x 0z

+ a

0 0 2 s4zd sx - yd bk 0x 0y

= s0 - 4di - s2x - 0dj + s0 + 1dk = - 4i - 2xj + k Como veremos, el operador § tiene varias aplicaciones. Por ejemplo, cuando se aplica a una función escalar f (x, y, z), nos da el gradiente de f : §ƒ = S

n

0ƒ 0ƒ 0ƒ i + j + k. 0x 0y 0z

Éste puede leerse ahora como “nabla f ” o “gradiente de f ”.

Teorema de Stokes C

FIGURA 16.60 La orientación de la curva límite C da una relación de mano derecha del campo normal n.

El teorema de Stokes dice que, bajo condiciones que por lo general se cumplen en la práctica, la circulación de un campo vectorial alrededor de la frontera de una superficie orientada en el espacio, en el sentido contrario al de las manecillas con respecto al campo vectorial unitario n normal a la superficie (figura 16.60), es igual a la integral del componente normal del rotacional del campo sobre la superficie.

16.7 Teorema de Stokes

1203

TEOREMA 5 Teorema de Stokes La circulación de un campo vectorial F = Mi + Nj + Pk alrededor de la frontera C de una superficie orientada S, en el sentido contrario al de las manecillas de un reloj con respecto al vector unitario n normal a la superficie, es igual a la integral de § * F # n sobre S. F

F # dr =

C

6

§ * F # n ds

(4)

S

Circulación en sentido contrario al de las manecillas del reloj

Integral del rotacional

Observe en la ecuación (4) que, si dos superficies orientadas de manera diferente, S1 y S2, tienen la misma frontera C, las integrales de los rotacionales son iguales:

6

§ * F # n1 ds =

S1

Green: k R

Rotacional

S2

s§ * Fd # n = s § * Fd # k = a

Stokes:

0N 0M b. 0x 0y

Bajo estas condiciones, la ecuación de Stokes es

n acio

S

nal

C ir c ul

§ * F # n2 ds.

Ambas integrales son iguales a la integral de circulación en sentido contrario al de las manecillas, del lado izquierdo de la ecuación (4), mientras que los vectores unitarios normales n1 y n2 orientan correctamente las superficies. De manera natural, necesitamos algunas restricciones matemáticas en F, C y S para garantizar la existencia de las integrales en la ecuación de Stokes. Las restricciones usuales son que todas las funciones, campos vectoriales y sus derivadas, sean continuas. Si C es una curva en el plano xy, orientada en sentido contrario al de las manecillas, y R es la región en el plano xy acotada por C, entonces ds = dx dy y

Circulación

Rot

6

F

ación

FIGURA 16.61 Comparación del teorema de Green y el teorema de Stokes.

F # dr =

C

0N 0M b dx dy, 0x 0y 6 a

R

que es la forma circulación rotacional de la ecuación en el teorema de Green. Recíprocamente, al invertir estos pasos podemos rescribir la forma circulación rotacional del teorema de Green para campos de dos dimensiones con la notación como

F

C

F # dr =

6

§ * F # k dA.

(5)

R

Vea la figura 16.61. EJEMPLO 2

Verificación de la ecuación de Stokes para un hemisferio

Evaluar la ecuación (4) para el hemisferio S: x 2 + y 2 + z 2 = 9, z Ú 0, su circunferencia frontera C: x 2 + y 2 = 9, z = 0, y el campo F = yi - xj.

1204

Capítulo 16: Integración en Campos Vectoriales

Calculamos la circulación en sentido contrario al de las manecillas del reloj alrededor de C (visto desde arriba), utilizando la parametrización rsud = s3 cos udi + s3 sen udj, 0 … u … 2p:

Solución

dr = s - 3 sen u dudi + s3 cos u dudj F = yi - xj = s3 sen udi - s3 cos udj F # dr = - 9 sen2 u du - 9 cos2 u du = - 9 du 2p

F

F # dr =

C

-9 du = - 18p.

L0

Para la integral del rotacional de F, tenemos § * F = a

0N 0N 0M 0P 0M 0P bi + a bj + a bk 0y 0z 0z 0x 0x 0y

= s0 - 0di + s0 - 0dj + s -1 - 1dk = - 2k n =

xi + yj + zk 2x + y + z 2

2

=

2

xi + yj + zk 3

Sección 16.5, ejemplo 5, con a = 3

3 ds = z dA § * F # n ds = -

Normal unitario exterior

2z 3 dA = - 2 dA 3 z

y 6

§ * F # n ds =

S

2

6 2

-2 dA = - 18p.

x +y …9

La circulación alrededor del círculo es igual a la integral del rotacional sobre el hemisferio, como debe ser. EJEMPLO 3

Cálculo de la circulación

Determinar la circulación del campo F = sx 2 - ydi + 4zj + x 2k alrededor de la curva C en que el plano z = 2 corta al cono z = 2x 2 + y 2 , en sentido contrario a las manecillas del reloj, visto desde arriba (figura 16.62).

z C: x 2  y 2  4, z  2 n

El teorema de Stokes nos permite encontrar la circulación, integrando sobre la superficie del cono. El hecho de recorrer C en el sentido contrario al de las manecillas del reloj visto desde arriba, corresponde a tomar la normal interior n al cono, la normal con un componente positivo. Parametrizamos el cono como

Solución

rsr, ud = sr cos udi + sr sen udj + rk,

0 … r … 2,

0 … u … 2p.

Entonces tenemos que S: r(t)  (r cos ␪)i  (r sen ␪) j  rk x

FIGURA 16.62 del ejemplo 3.

y

La curva C y el cono S

n = =

-sr cos udi - sr sen udj + rk rr * ru = ƒ rr * ru ƒ r22 1 Q -scos udi - ssen udj + kR 22

Sección 16.6, ejemplo 4

16.7 Teorema de Stokes

ds = r22 dr du

1205

Sección 16.6, ejemplo 4

§ * F = - 4i - 2xj + k

Ejemplo 1 x = r cos u

= - 4i - 2r cos uj + k. De acuerdo con lo anterior, § * F#n =

=

1 a4 cos u + 2r cos u sen u + 1b 22 1 a4 cos u + r sen 2u + 1b 22

y la circulación es F

F # dr =

C

6

§ * F # n ds

Stokes’ Theorem, Equation (4)

S

1 a4 cos u + r sen 2u + 1b A r22 dr du B = 4p. L0 L0 22 2p

=

2

Interpretación de § * F mediante la rueda con paletas Suponga que v(x, y, z) es la velocidad de un fluido en movimiento cuya densidad en (x, y, z) es dsx, y, zd, y sea F = dv . Entonces F # dr

F

C

es la circulación del fluido alrededor de la curva cerrada C. Por el teorema de Stokes, la circulación es igual al flujo de § * F a través de una superficie S acotada por C: F

C

F # dr =

6

§ * F # n ds.

S

Suponga que fijamos un punto Q en el dominio de F y una dirección u en Q. Sea C un círculo de radio r , con centro en Q, cuyo plano es normal a u. Si § * F es continuo en Q, el valor promedio del componente u de § * F sobre el disco circular S acotado por C, se aproxima al componente u de § * F en Q cuando r : 0: s§ * F # udQ = lím

p:0

1 § * F # u ds. pr2 6 S

Si reemplazamos la integral de superficie de esta última ecuación por la circulación, obtenemos s§ * F # udQ = lím

p:0

1 F # dr. pr2 F

(6)

C

El lado izquierdo de la ecuación (6) tiene su valor máximo cuando u es la dirección de § * F. Cuando r es pequeño, el límite del lado derecho de la ecuación (6) está dado aproximadamente por 1 F # dr, pr2 F C

1206

Capítulo 16: Integración en Campos Vectoriales

que es la circulación alrededor de C dividida entre el área del disco (densidad de circulación). Suponga que una rueda pequeña con paletas de radio r se introduce en el fluido en Q, con su eje dirigido a lo largo de u. La circulación del fluido alrededor de C afectará la tasa de giro de la rueda con paletas. La rueda girará más rápidamente cuando la integral de circulación se maximice, y por lo tanto, girará más rápidamente cuando el eje de la rueda con paletas apunte en la dirección § * F (figura 16.63).

Rot F

Q

Relación de § * F con la densidad de circulación

EJEMPLO 4

Un fluido de densidad constante alrededor del eje z con velocidad v = vs -yi + xjd, donde v es una constante positiva llamada velocidad angular de rotación (figura 16.64). Si F = v, determine § * F y relacione esto a la densidad de circulación. FIGURA 16.63 Interpretación del rotacional de F mediante una rueda con paletas

Solución

Con F = v = - vyi + vxj, § * F = a

0N 0N 0P 0M 0P 0M bi + a bj + a bk 0y 0z 0z 0x 0x 0y

= s0 - 0di + s0 - 0dj + sv - s - vddk = 2vk. z

Por el teorema de Stokes, la circulación de F alrededor del círculo C de radio r que acota a un disco S en un plano normal a § * F , digamos el plano xy, es

␻

F

P(x, y, z)

F # dr =

C

6

§ * F # n ds =

S

6

2vk # k dx dy = s2vdspr2 d.

S

Así, 1 F # dr, pr2 F

s§ * Fd # k = 2v =

C

cconsistente con la ecuación (6) cuando u = k.

v  ␻(–yi  xj)

O

EJEMPLO 5

r P(x, y, 0)

y

x

FIGURA 16.64 Un flujo rotacional estable paralelo al plano xy, con velocidad angular constante v en dirección positiva (sentido contrario al de las manecillas de un reloj; ejemplo 4).

Aplicación del teorema de Stokes

Utilizar el teorema de Stokes para evaluar 1C F # dr, si F = xzi + xyj + 3xzk y C es la frontera de la porción del plano 2x + y + z = 2 en el primer octante, recorrida en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, vista desde arriba (figura 16.65). El plano es la superficie de nivel ƒsx, y, zd = 2 de la función ƒsx, y, zd = 2x + y + z. El vector unitario normal

Solución

n =

§ƒ s2i + j + kd 1 a2i + j + kb = = §ƒ 2i + j + k ƒ ƒ ƒ ƒ 26

es consistente con el movimiento en el sentido contrario al de las manecillas del reloj alrededor de C. Para aplicar el teorema de Stokes, encontramos i

j

k

0 rot F = § * F = 4 0x

0 0y

0 4 = sx - 3zdj + yk. 0z

xz

xy

3xz

En el plano, z es igual a 2 - 2x - y, de modo que § * F = sx - 3s2 - 2x - yddj + yk = s7x + 3y - 6dj + yk

16.7 Teorema de Stokes z

1207

y § * F#n =

1 1 a7x + 3y - 6 + yb = a7x + 4y - 6b . 26 26

(0, 0, 2)

El elemento de área de la superficie es n C

ds =

2x  y  z  2 (1, 0, 0)

ƒ §ƒ ƒ 26 dA = dx dy. 1 ƒ §ƒ # k ƒ

La circulación es

R (0, 2, 0) y  2  2x

x

FIGURA 16.65 ejemplo 5.

y

F

F # dr =

6

C

La superficie plana del

§ * F # n ds

Teorema de Stokes, ecuación (4)

S

1

=

2 - 2x

L0 L0 1

=

2 - 2x

L0 L0

E

1 a7x + 4y - 6b 26 dy dx 26 s7x + 4y - 6d dy dx = - 1.

Demostración del teorema de Stokes para superficies poliédricas A

D

B

FIGURA 16.66 poliédrica.

C

Parte de una superficie

Sea S una superficie poliédrica que consta de un número finito de partes o regiones planas. (Para un ejemplo, vea la figura 16.66.) Aplicamos el teorema de Green a cada parte de S. Existen dos tipos de partes: 1.

Aquellas rodeadas en todos sus lados por otras partes

2.

Aquellas que tienen una o más aristas no adyacentes a otras partes.

La frontera ¢ de S consta de aquellas aristas de las partes del tipo 2 que no son adyacentes a otras partes. En la figura 16.66, los triángulos EAB, BCE y CDE representan una parte de S, con ABCD como parte de la frontera ¢ . Aplicamos el teorema de Green a los tres triángulos y sumamos los resultados, para obtener £

F

EAB

+

F

BCE

+

F

≥F # dr = £

CDE

+

6

EAB

6

BCE

+

6

≥ § * F # n ds.

(7)

CDE

Las tres integrales de línea del lado izquierdo de la ecuación (7) se combinan en una integral de línea alrededor del perímetro ABCDE, ya que las integrales a lo largo de los segmentos interiores se cancelan por pares. Por ejemplo, la integral a lo largo del segmento BE del triángulo ABE tiene signo opuesto a la integral a lo largo del mismo segmento del triángulo EBC. Lo mismo se cumple para el segmento CE. De aquí que la ecuación (7) se reduce a F

F # dr =

ABCDE

6

§ * F # n ds.

ABCDE

Al aplicar el teorema de Green a todas las partes y al sumar los resultados, obtenemos

F ¢

F # dr =

6 S

§ * F # n ds.

1208

Capítulo 16: Integración en Campos Vectoriales

Éste es el teorema de Stokes para una superficie poliédrica S. El lector puede encontrar demostraciones para superficies más generales en textos de cálculo avanzado. n

El teorema de Stokes para superficies con agujeros

S

FIGURA 16.67 El teorema de Stokes también se cumple para superficies orientadas con agujeros.

El teorema de Stokes puede aplicarse a una superficie orientada S con uno o más agujeros (figura 16.67), de una forma análoga a la extensión del teorema de Green: la integral de superficie sobre S, del componente normal § * F, es igual a la suma de las integrales de línea en todas las curvas frontera del componente tangencial de F, donde las curvas se trazan en la dirección inducida por la orientación de S.

Una identidad importante La siguiente identidad surge con frecuencia tanto en matemáticas como en las ciencias físicas.

curl grad ƒ = 0

or

§ * §f = 0

(8)

Esta identidad se cumple para cualquier función f (x, y, z), cuyas segundas derivadas parciales sean continuas. La demostración es como sigue: i

j

k

0 § * §ƒ = 5 0x

0 0y

0 5 = sƒzy - ƒyz di - sƒzx - ƒxz dj + sƒyx - ƒxy dk. 0z

0ƒ 0x

0ƒ 0y

0ƒ 0z

Si las segundas derivadas parciales son continuas, las segundas derivadas cruzadas y que aparecen entre paréntesis son iguales (teorema 2, sección 14.3), y el vector es igual a cero.

Campos conservativos y el teorema de Stokes En la sección 16.3 encontramos que el hecho de que un campo F sea conservativo en una región abierta D en el espacio es equivalente a que la integral de F se anule a lo largo de cualquier lazo cerrado en D. Esto, a su vez, en regiones abiertas simplemente conexas, equivale a decir que § * F = 0.

TEOREMA 6 Relación de rot F = 0 con la propiedad del lazo cerrado Si § * F = 0 en cualquier punto de una región abierta simplemente conexa D en el espacio, entonces para cualquier trayectoria cerrada y regular por partes C en D, F

F # dr = 0.

C

Bosquejo de una demostración Por lo general, el teorema 6 se demuestra en dos pasos. El primer paso es para curvas cerradas simples. Un teorema de topología, una rama de las

16.7 Teorema de Stokes

1209

matemáticas avanzadas, establece que toda curva cerrada simple diferenciable C en una región abierta simplemente conexa D, es la frontera de una superficie regular con dos lados S que también está en D. Así, por el teorema de Stokes, F

FIGURA 16.68 En una región abierta simplemente conexa en el espacio, las curvas diferenciables que se cruzan a sí mismas pueden dividirse en lazos donde puede aplicarse el teorema de Stokes.

F # dr =

C

6

§ * F # n ds = 0.

S

El segundo paso se refiere a las curvas que se cruzan a sí mismas, como la de la figura 16.68. La idea es descomponerlas en lazos simples generados por superficies orientables, aplicar el teorema de Stokes a un lazo a la vez y sumar los resultados. El siguiente diagrama resume los resultados para campos conservativos definidos en regiones abiertas conexas y simplemente conexas. Teorema 1, sección 16.3

Teorema 2, sección 13.3

EC

A 2

F conservativo en D

A 2

A 2

B

F • dr  0

sobre cualquier trayectoria cerrada en D

F  f en D Identidad vectorial (ecuación 8; segundas derivadas parciales continuas)

  F  0 en D

Teorema 6, la conexidad simple del dominio y el teorema de Stokes

EJERCICIOS 16.7 Uso del teorema de Stokes para calcular la circulación En los ejercicios 1-6, utilice la integral de superficie del teorema de Stokes para calcular la circulación del campo F alrededor de la curva C en la dirección indicada. 1. F = x 2i + 2xj + z 2k

6. F = x 2y 3i + j + zk C: La intersección del cilindro x2 + y2 = 4 y el hemisferio x2 + y2 + z2 = 16, z  0, en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, vista desde arriba.

Flujo del rotacional

C: La elipse 4x2 + y2 = 4 en el plano xy, en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, vista desde arriba

7. Sea n el vector unitario normal exterior a la capa elíptica S:

2. F = 2yi + 3xj - z 2k 2

4x 2 + 9y 2 + 36z 2 = 36,

z Ú 0,

2

C: La circunferencia x + y = 9 en el plano xy, en el sentido contrario al de las manecillas del reloj visto desde arriba 2

3. F = yi + xzj + x k C: La frontera del triángulo cortado en el plano x + y + z = 1 por el primer octante, en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, visto desde arriba

y sea F = yi + x 2j + sx 2 + y 4 d3>2 sen e 2xyz k. Calcule el valor

4. F = sy 2 + z 2 di + sx 2 + z 2 dj + sx 2 + y 2 dk C: La frontera del triángulo cortado en el plano x + y + z = 1 por el primer octante, en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, visto desde arriba 5. F = s y 2 + z 2 di + sx 2 + y 2 dj + sx 2 + y 2 dk C: El cuadrado acotado por las rectas x = ; 1 y y = ; 1 en el plano xy, en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, visto desde arriba

6

§ * F # n ds.

S

(Sugerencia: Una parametrización de la elipse en la base de la capa es x = 3 cos t, y = 2 sen t, 0  t  2p). 8. Sea n el vector unitario normal exterior (normal alejándose del origen) a la capa parabólica S:

4x 2 + y + z 2 = 4,

y Ú 0,

1210

Capítulo 16: Integración en Campos Vectoriales

y sea F = a -z +

1 1 b i + stan-1 ydj + ax + b k. 2 + x 4 + z

17. F = 3yi + s5 - 2xdj + sz 2 - 2dk S: rsf, ud = A 23 sen f cos u B i + A 23 sen f sen u B j + A 23 cos f B k, 0 … f … p>2, 0 … u … 2p 18. F = y2i + z2j + xk

Determine el valor de 6

§ * F # n ds.

S: rsf, ud = s2 sen f cos udi + s2 sen f sen udj + s2 cos fdk, 0 … f … p>2, 0 … u … 2p

S

9. Sea S el cilindro x2 + y2 = a2, 0  z  h, junto con su parte superior, x2 + y2  a2, z = h. Sea F = -yi + xj + x2k. Utilice el teorema de Stokes para encontrar el flujo de § * F hacia afuera a través de S. 10. Evalúe

Teoría y ejemplos 19. Circulación nula Utilice la identidad § * §ƒ = 0 (ecuación (8) del texto) y el teorema de Stokes para mostrar que las circulaciones de los siguientes campos, alrededor de la frontera de cualquier superficie orientable regular en el espacio, se anulan. a. F = 2xi + 2yj + 2zk

6

§ * s yid # n ds,

S

b. F = §sxy 2z 3 d c. F = § * sxi + yj + zkd

donde S es el hemisferio x 2 + y 2 + z 2 = 1, z Ú 0. 11. Flujo del rotacional de F

Muestre que

d. F = §ƒ

§ * F # n ds

20. Circulación nula Sea f (x, y, z) = (x2 + y2 + z2)-1/2. Muestre que la circulación en el sentido de las manecillas del reloj del campo F = §ƒ, alrededor de la circunferencia x2 + y2 = a2 en el plano xy es igual a cero,

tiene el mismo valor para todas las superficies orientadas S que generan C, y que inducen la misma dirección positiva en C.

a. considerando r = (a cos t)i + (a sen t)j, 0  t  2p, e integrando F # dr sobre la circunferencia.

6 S

12. Sea F un campo vectorial diferenciable definido en una región que contiene una superficie orientada cerrada regular S y su interior. Sea n el vector unitario normal a S. Suponga que S es la unión de dos superficies, S1 y S2, unidas a lo largo de una curva cerrada simple regular C. ¿Se puede decir algo acerca de 6

b. aplicando el teorema de Stokes. 21. Sea C una curva regular cerrada simple en el plano 2x + 2y + z = 2, orientada como se muestra aquí. Muestre que F

§ * F # n ds?

2y dx + 3z dy - x dz

C

S

z

Justifique su respuesta.

2x  2y  z  2

2

El teorema de Stokes para superficies parametrizadas

C

En los ejercicios 13-18, utilice la integral de superficie del teorema de Stokes para calcular el flujo del rotacional del campo F a través de la superficie S, en la dirección del vector unitario normal exterior n. 13. F = 2zi + 3xj + 5yk S: rsr, ud = sr cos udi + sr sen udj + s4 - r 2 dk, 0 … r … 2, 0 … u … 2p 14. F = sy - zdi + sz - xdj + sx + zdk S: rsr, ud = sr cos udi + sr sen udj + s9 - r 2 dk, 0 … r … 3, 0 … u … 2p 15. F = x2yi + 2y3zj + 3zk S: rsr, ud = sr cos udi + sr sen udj + rk, 0 … r … 1, 0 … u … 2p 16. F = sx - ydi + s y - zdj + sz - xdk S: rsr, ud = sr cos udi + sr sen udj + s5 - rdk, 0 … r … 5, 0 … u … 2p

O

a1

y

1 x

depende solamente del área de la región encerrada por C y no de la posición o de la forma de C. 22. Muestre que si F = xi + yj + zk, entonces § * F = 0. 23. Encuentre un campo vectorial con componentes dos veces diferenciables, cuyo rotacional sea xi + yj + zk, o bien demuestre que no existen tales campos. 24. ¿Dice algo el teorema de Stokes acerca de la circulación en un campo con rotacional nulo? Justifique su respuesta. 25. Sea R una región del plano xy acotada por una curva cerrada simple regular por partes C y suponga que sabe que los momentos de