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• luis zamora

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Por tanto, respecto a P = (1, 1, −2) , la temperatura se incrementa con mayor rapidez en la direcci´ on del vector gradiente → − → − → − → − v = − i +2j +6k La tasa m´ axima de incremento es la longitud del vector gradiente √ 5 41 5 |∇T (1, 1, −2)| = | − ~i + 2~j + 6~k| = 8 8 − Observaci´ on: el valor m´ınimo de la derivada direccional es −|∇f (x, y)| y ocurre cuando → u tiene la direcci´ on opuesta al gradiente ∇f (x.y) . Ejemplo 05

Considere la placa rect´ angular que se muestra en la figura siguiente. La temperatura

en un punto (x, y) de la placa est´ a dada por T (x, y) = 5 + 2x2 + y 2 Determine la direcci´ on en la que se debe mover un insecto que est´a en el punto (4, 2) , para que se enfr´ıe lo m´ as r´ apido posible.

Soluci´ on

Para que el insecto se enfr´ıe m´ as r´ apidamente, respecto al punto (4, 2) , debe seguir una direcci´on opuesta al gradiente, es decir ∇T (x, y) = (−4x, −2y) =⇒ −∇T (4, 2) = (−16, −4) → − → − − O sea debe ir en la direcci´ on del vector → v = −16 i − 4 j .

8.

Teorema de Stokes

~ , como contorno es una curva cerrada simple Sea S una superficie orientada con vector normal N ~ “C”, suave o trozos. Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienes parciales continuas en una regi´ on abierta D, que contiene “S” y “C” entonces: Z Z   ~ ~ dS ~ f d~r = ∈ rot F~ · N C

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