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Índice  Objetivos…………………………………………………………………… 3  Introducción………………………………………………………………… 4  George Gabriel Stokes y teorema de Stokes………………………….. 5-7  Ejercicios resueltos…………………………………………………………8-9  Conclusión…………………………………………………………………. 10  Bibliografía…………………….…………………………………………… 11

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Objetivos Objetivo General:

 Estudiar, analizar e interpretar el teorema de Stokes.

Objetivos Específicos:

 Usar eficientemente el teorema de Stokes.

 Resolver ejercicios mediante el teorema de Stokes

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Introducción En el presente informe se tratara el teorema de Stokes, que es la versión tridimensional de la fórmula de Green, conocida como Teorema de Stokes, y nos permite calcular una integral de línea de un campo vectorial en el espacio mediante una integral de superficie del rotacional del campo.

El Teorema de Stokes no sólo nos da la versión tridimensional de la Fórmula de Green sino que de hecho generaliza el Teorema de Green. Para ponerlo de manifiesto basta en realidad pensar que un recinto en el plano es un tipo muy particular de superficie.

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George Gabriel Stokes Sir George Gabriel Stokes, primer Baronet (13 de agosto de 1819-1 de febrero de 1903) fue un matemático y físico irlandés que realizó contribuciones importantes a la dinámica de fluidos (incluyendo las ecuaciones de Navier-Stokes), la óptica y la física matemática (incluyendo el teorema de Stokes). Fue secretario y luego presidente de la Royal Society de Inglaterra. El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes fechada el 2 de julio de 1850.1 2 3 Stokes puso el teorema como una pregunta en el examen de 1854 del Premio de Smith, lo que dio como resultado que ahora lleve su nombre.

Teorema de Stokes El teorema de Stokes generaliza el teorema de Green a tres dimensiones. La forma rotacional de la circulación del teorema de Green relaciona la circulación, en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, de un campo vectorial alrededor de una curva cerrada simple C en el plano xy con una integral doble sobre la región plana R encerrada por c. El teorema de Stokes relaciona la circulación de un campo vectorial alrededor de la frontera C de una superficie orientada S en el espacio con una integral de superficie sobre la superficie S. Es necesario que la superficie sea suave a tramos, lo cual significa que se trata de una unión finita de superficies suaves unidas a lo largo de curvas suaves

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Sea S una superficie orientada suave por tramos que tiene como frontera una curva suave por tramos C. sea F= Mi + Nj + Pk un campo vectorial cuyas componentes tienen primeras derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a S. Entonces, la circulación de F alrededor de C en sentido contrario al de las manecillas del reloj con respecto al vector unitario n normal a la superficie es igual a la integral del campo vectorial rotacional sobre S:

Aplicación: permite calcular una integral de línea de un campo vectorial en el espacio mediante una integral de superficie del rotacional del campo. Partiendo de una curvatura C y teniendo su superficie S que forma una normal, teniendo cada una funciones paramétricas

 Integral de línea Siendo: o F(x,y,z)= xi + yj + zk (componentes vectoriales) o dr= derivadas respecto a r

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 Integral de superficie o Producto cruz entre el operador Nabla y una función vectorial

o ds= dr*dA

Procedimiento para resolver el teorema de Stokes. 1) Determinar el campo vectorial a intervenir. 2) Formar el determinante respectivo para calcular su rotacional. 3) Determinar el diferencial de superficie. 4) Realizar el producto entre el rotacional del campo vectorial y el diferencial de superficie. 5) Resolver la integral de superficie.

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Conclusión El teorema de Stokes está fuertemente relacionado con el rotacional puesto que consigue una integral de línea a través de una integral de superficie, lo cual es igual a la integral de superficie del rotacional del campo vectorial por el diferencial de superficie. El operador nabla es bastante útil pues tiene varias aplicaciones. Como por ejemplo cuando se aplica a una función escalar nos da el vector gradiente de f o sacar el rotacional de flujo F con el producto cruz F. El teorema de Stokes en una definición física se utiliza para convertir una integral de curva a una integral de superficie.

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Bibliografía Thomas, G. (2015) (13a ed.). Mexico: PEARSON EDUCACION.

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