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REVISTA DE EPIE-UNPRG, VOL. 01, NO. 1, MARZO 2015

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´ DEL TEOREMA DE PARSEVAL APLICACION ˜ PARA SENALES Est. N´un˜ ez D´avila Ed´u, Estudiante VII EPIE, UNPRG

Adem´as el ancho de banda para las se˜nales y sistemas puede utilizarse como medida de la velocidad dela transmisi´on de la informaci´on. Por ejemplo cuando una se˜nal cambia r´apidamente en funci´on del tiempo, sus componentes de frecuencia o espectro de frecuencia, se extienden sobre un amplio rango, entonces se dice que la se˜nal tiene un ancho de banda grande. Los sistemas el´ectricos tienen elementos que almacenan energ´ıa y este almacenamiento no puede cambiar instant´aneamente en consecuencia los sistemas de comunicaciones tienen un ancho de banda finito que reduce la velocidad de de sealizaci´on. En esta revista nos centraremos en el estudio del c´alculo del ancho de banda necesario para poder transmitir una seal cuando es sometida a un sistema determinado (PASA BAJO, PASA ALTO).

Resumen—En este proyecto se realiz´o un programa en MATLAB para poder demostrar el TEOREMA DE PARSEVAL DE UNA SEAL FRENTE A UN SISTEMA, para esto se recopil´o ˜ informaci´on sobre SENALES Y SISTEMAS EN TELECOMUNICACIONES. El programa que se realizo cumple con las caracter´ısticas que aprendimos de la informaci´on recopilada. Tener encuenta que se eligi´o el programa MATLAB por su facilidad en el manejo ˜ de creacion de senales y por su facilidad de manejo de calculo matem´atico. Palabras Claves—TEOREMA DE PARSEVAL, MATLAB, SIS˜ TEMAS Y SENALES

´ I. I NTRODUCCCI ON

D

Urante el dise´no de un sistema de comunicaciones o alguna parte del mismo, se debe enfrentar a dos clases de impedimentos, por una parte se tiene los problemas tecnol´ogicos, refiri´endose al hardware, la regulacion, el factor econ´onomico, etc. Y por el otro las limitaciones f´ısicas fundamentales impuestas por el sistema que son el Ruido y el Ancho de Banda • Ruido : Impone una de las limitaciones debido a que el ruido generado por el movimiento de los electrones es inevitable, como se menciono, dicho movimiento genera corrientes aleatorias y voltajes llamados ruido t´ermico. El ruido relativo a una se˜nal de informacion se mide en t´erminos de la relacion se˜nal a ruido (S/N), donde por lo general el ruido t´ermico tiene un valor peque˜no comparado con el valor de la relacion se˜nal a ruido, lo que hace que ese ruido sea despreciable, sin embargo, un valor bajo de S/N degrada la fidelidad de la se˜nal anal´ogica y produce errores en las comunicaciones digitales. El ruido t´ermico crea problemas en comunicaciones de largas distancias debido a que la se˜nal tiene perdidas de potencia y su nivel es comparable al del ruido. • Ancho de Banda: Para la se˜ nal de informaci´on el ancho de banda hace referencia al barrido de frecuencias que ocupa una se˜nal, en terminos m´as simples es la diferencia entre las frecuencias m´axima y minima contenidas en la informaci´on. Para el canal de comunicaciones es la diferencia entre las frecuencias m´axima y minima que puede pasar por e´ l. Este debe ser lo suficiente grande para que la informaci´on pase sin problemas. Ancho de banda de la se˜nal ≤ Ancho de banda del canal Departamento de Ingenieria Electronica, UNPRG, Lambayeque, Per´u

´ II. M ARCO T E ORICO

E

N la ingenier´ıa de las comunicaciones, ad´emas de las conocidas se˜nales peri´odicas seno y coseno, se emplea una gran cantidad de formas de ondas peri´odicas para simular se˜nales f´ısicas, tales como se˜nales rectangulares (relojes), diente de sierra, se˜nales rectificadas, se˜nales moduladas, etc., que se puede representar en el dominio de la frecuencia. Si una se al XT (t) es periodica y satisface ciertas condiciones, se puede representar en el dominio de la frecuencia mediante un n´umero infinito de componentes sinusoidales relacionadas arm´onicamente con la frecuencia fundamental. La amplitud y la fase relativas de cada una de estas componentes est´an especificadas en el desarrollo en serie de Fourier de xT (t). La Serie Exponencial de Fourier es la siguiente: XT (t) =

∞ X −∞

Cn ∗ ej2πfo t

(1)

El coeficiente de Fourier Xn , llamado tambi´en Espectro Complejo de Fourier, viene dado por la expresi´on XT (t) =

1 ∗ T

Z

T 2 −T 2

XT (t) ∗ e−j2fo t dt

1) Teorema de Parseval: Z x=∞ ∞ X 1 |Xn |2 |XT (t)|2 dt = < XT (t) >= ∗ T x=−∞ i=−∞

(2)

(3)

Esta expresi´on se conoce con el nombre de ”Teorema de Parseval” y establece que la potencia promedio de una se˜nal

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peri´odica se puede determinar en el dominio de la frecuencia elevando al cuadrado y sumando las amplitudes de las l´ıneas espectrales. La representaci´on kXn |2 vs nfo se conoce con el nombre de ”Espectro de Potencia de XT (t). La forma de este espectro es igual a la mostrada en la fig. 1 con la diferencia de que las componentes est´an elevadas al cuadrado. El Teorema de Parseval permite calcular tanto la potencia total de una se˜nal como la distribuci´on de esta potencia en las distintas frecuencias. Obs´ervese que el teorema requiere solamente del conocimiento de la caracter´ıstica de amplitud |Xn |; la fase no interviene. La importancia del Teorema de Parseval en el an´alisis de se˜nales y sistemas es que permite determinar la potencia dentro de una gama de frecuencias como, por ejemplo, cuando se quiere la potencia a la salida de un filtro dado. En general, la potencia compuesta de n se˜nales independientes es igual a la suma de las potencias individuales de las se˜nales, siempre y cuando no coincidan las frecuencias de algunas componentes. En este ultimo caso hay que tomar en cuenta los factores de fase correspondientes, pues al sumarse las componentes puede ocurrir interferencia destructiva.

Fig. 2. Magnitud

Fig. 3. Fase

III. E XPERIENCIA - MATLAB

Fig. 1. Espectro de Amplitudes.

Marzo 2, 2015

A partir de ahora explicaremos paso a paso lo que hicimos en MATLAB, aplicando las Series de Fourier y Teorema de Parseval. 4) Reconstrucci´on de la se˜nal a partir del coeficiente Cn: La se˜nal con la que hemos trabajado es la de la fig. 6, su ecuacion es la siguiente:

2) Filtro Pasa Bajo: H(nfo ) =

1 1+

jnfo fc

(4)

En la ecuacion 4, podemos observar la funci´on de Transferencia de un filtro pasa bajo evaluado solamente para multiplos de la frecuencia fundamental fo . Su gr´afica en |XT (t)| vs fn y en 6 Xt (T ) vs fn se pueden observar en la fig. 2 y 3 respectivamente. En la fig. 2 se puede apreciar que a la frecuencia de corte fc se obtiene una ganancia a −3db esto es asi porque al evaluar en la √ ecuaci´on 4 a una frecuencia fc se obtiene el valor√de 1 ÷ 2 lo cual si lo expresamos en decibelios 20*log(1 ÷ 2) obtendremos −3db como se˜nala la fig. 2 Se utiliza el mismo proceso para analizar la frecuencia de corte en la fase. 3) Filtro Pasa Alto: H(nfo ) =

1 1+

fc jnfo

Y t − to

(6) T En la experiencias realizada en Matlab vamos a llegar a la fig. 6 a partir de su coeficiente Cn obtenido de la serie de fourier (ver ecuaci´on 1 y 2). Para obtener un resultado adecuado en el programa MATLAB, creamos un vectores que almanecera la cantidad de valores de n (frecuencias de la se˜nal). El resultado de la se˜nal despues de aplicar la ecuaci´on 1 es: 5) Transmitiendo la se˜nal: Ahora que hemos obtenido la se˜nal con la ecuacion 2, procederemos a pasarla por un

(5)

En la ecuacion 5, podemos observar la funci´on de Transferencia de un filtro pasa aljo evaluado solamente para multiplos de la frecuencia fundamental fo . Su gr´afica en |XT (t)| vs fn y en 6 Xt (T ) vs fn se pueden observar en la fig. 4 y 5 respectivamente.

Fig. 4. Magnitud

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Fig. 8. Salida de una se˜nal en el tiempo y en la frecuencia

Fig. 5. Fase

˜ Fig. 9. SENAL PASADA POR UN FILTRO PASA BAJO fc = 4fo

Fig. 6. Pulso Rectangular

sistema pasa bajo (ver ecuaci´on 4) y un sistema pasa alto (ver ecuaci´on5) y la reconstruiremos de la misma manera que hemos reconstruido la se˜nal original (utilizando el coeficiente Cn y la Serie de FOURIER) Debemos de tener claro el concepto del comportamiento de una se˜nal frente a un determinado sistema (ver figura 8) SISTEMA PASA BAJO: Hemos dado para el sistema pasa bajo una frecuencia de corte igual a 4 veces la frecuencia fundamental de la se˜nal original (figura ??). El resultado es : Por cuestiones de practica y poder observar que es lo que ocurre con la se˜nal, evaluamos la misma se˜nal en el mismo sistema pero con una frecuencia de corte diferente (fc = 4fo ) La respuesta obtenida es la fig 10 SISTEMA PASA ALTO: Para el sistema pasa alto hemos 1 fo (ver figura 11) y otro sistema pasa alto dado una fc = 12

˜ Fig. 7. SENAL ORIGINAL

1 fo (ver figura 12) con una fc = 15 6) Obtenci´on de Potencia de las Se˜nales: Para calcular la potencia de las se´nales calculadas anteriormente, se utilizara el teorema de Parseval en el dominio de la frecuencia (3). Una variacion del Teorema de Parseval cuando la se˜nal esta sometida a un sistema es la siguiente:

Z x=∞ ∞ X 1 |Xn |2 ∗|H(nfo )|2 |XT (t)|2 dt = < XT (t) >= ∗ T x=−∞ i=−∞ (7) PARA UN SISTEMA PASA BAJO: La potencia obtenida utilizando la ecuaci´on 7 para cada seal es: ˜ Original: 0.2499 • Senal ˜ - Filtro Pasa Bajo (fc = 4fo ): 0.2103 • Senal ˜ - Filtro Pasa Bajo (fc = fo ): 0.1248 • Senal La potencia transmitida es: ˜ - Filtro Pasa Bajo (fc = 4fo ): 84.1483% • Senal ˜ - Filtro Pasa Bajo (fc = fo ): 49.9518% • Senal

˜ Fig. 10. SENAL PASADA POR UN FILTRO PASA BAJO fc = fo

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˜ Fig. 11. SENAL PASADA POR UN FILTRO PASA ALTO fc =

1 f 12 o

´ DE TODAS LAS SENALES ˜ Fig. 13. SUPERPOSICION

˜ Fig. 12. SENAL PASADA POR UN FILTRO PASA ALTO fc =

1 f 15 o

´ DE TODAS LAS SENALES ˜ Fig. 14. SUPERPOSICION

PARA UN SISTEMA PASA ALTO: La potencia obtenida utilizando la ecuaci´on 7 para cada seal es: ˜ Original: 0.2499 • Senal 1 ˜ - Filtro Pasa Alto (fc = 12 fo ): 0.2103 • Senal 1 ˜ - Filtro Pasa Alto (fc = 15 • Senal fo ): 0.1248 La potencia transmitida es: 1 ˜ - Filtro Pasa Alto (fc = 12 fo ): 74.6705% • Senal 1 ˜ - Filtro Pasa Alto (fc = 15 • Senal fo ): 74.7850% ´ IV. C ONCLUSI ON En esta experiencia ralizada utilizando como simulador MATLAB, hemos podido observar r´apidamente como es que la se˜nal original o se˜nal de entrada va cambiando su forma (como se mostros en las imagenes 9, 10, 11, 12) deacuerdo a las variaciones que va sufriendo nuestro sismtea H(nfo ), en este caso un pasa bajo y un pasa alto. Para aprenciar mucho mejor estas varaciones ver la im´agen 13 y 14. Otra importante observaci´on es ver como es que var´ıa la potencia de las se˜nales deacuerdo al sistema. Sabemos por conocimientos en telecomunicaciones que una de los principales problemas para la transmisi´on de se˜nales es el ancho de banda reducido que tenemos, entonces no seria conveniente malgastarlo cuando podemos utilizarlo m´as eficientemente. En un filtro Pasa Bajo: La se˜nal con la que hemos trabajado sometida a un sistema de una frecuencia de corte fc = 4fo obtenemos una representamos casi identica a la de la seal original, entonces estuvieramos trasmitiendo la seal en su 84.1483% lo cual es un buen porcentaje de se˜nal porque nos garantiza que el receptor a donde llegara esta se˜nal podra decifrar el mensaje que se envio.

En un filtro Pasa Alto: La se˜nal en este caso fue sometida a un sistema al cual le fuimos variando su frecuencia de 1 1 fo y fc = 15 fo ), al experimentar en Matlab corte (fc = 12 estos cambios nos dimos cuenta al igual que en el filtro Pasa Bajo que la potencia total de se˜nal transmitida no varia en porcentajes radicales, solo var´ıa en 0.1145%. Entonces podemos llegar a estas conclusiones por el Teorema de Parseval ya que con el podemos calcular la potencia de cada espectro de la se˜nal, entonces podemos concluir que el Teoremade Parseval nos permite dimensionar el ancho ˜ de banda de la senal.